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  • 常微分方程定性与稳定性理论,控制专业研究生可以参考一下,里面有李雅普诺夫稳定性详细介绍
  • 常微分方程

    2019-01-05 22:38:25
    作者从常微分方程在现代科学技术方面应用出发,对材料作了新选择和安排,不仅讲述了纯数学的常微分方程理论,同时还讲述了有关技术应用本身。全书包括引论,常系数线性方程,变系数线性方程,存在性定理,稳定...
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  • 我们最近的论文研究了带有阻尼和源项的不稳定波动方程的动态反馈镇定问题,应用自抗扰控制方法实现了以常微分方程补偿波动方程的有限个低频不稳定极点。应用Riesz基方法、算子半群理论和Nyquist判据等方法证明了闭环...

        要

    定偏微分方程是一类描述不稳定系统的方程,其补偿控制问题是分布参数系统控制领域的研究热点和难点问题。我们最近的论文研究了带有阻尼和源项的不稳定波动方程的动态反馈镇定问题,应用自抗扰控制方法实现了以常微分方程补偿波动方程的有限个低频不稳定极点。应用Riesz基方法、算子半群理论和Nyquist判据等方法证明了闭环系统的适定性和稳定性,数值仿真结果验证了控制方法的有效性。

    01

    背景介绍

    物理世界的许多现象是由偏微分方程描述的,其状态空间是无穷维的,故称为无穷维系统。经过20多年的发展,Riesz基理论已经成为研究无穷维系统稳定性的基本分析方法[1,2]。近几年, 郭宝珠教授及其研究团队将自抗扰控制扩展到偏微分方程的抗干扰研究中,通过一些特殊的测试函数将相应的偏微分方程化为常微分方程,进而应用自抗扰控制方法抵消外部干扰[3,4]。文献[5]针对几类无理传递函数的高阶近似模型,将应用二阶自抗扰控制器应用到其中。文献[6]应用自抗扰控制方法,以常微分方程补偿了不稳定热传导方程的有限个不稳定极点,并且通过分布参数系统的Nyquist判据验证了闭环系统的特征值都位于左半复平面,我们在文献[7]中进一步给出了闭环系统的适定性和稳定性的证明。本文基于[6,7]中的方法,研究了不稳定波动方程的动态反馈镇定问题。

    02

    问题描述

    有阻尼和源项的不稳定波动方程可以用来描述带有阻尼和附加刚度力的弹性弦,这种刚度力是由弦周围的介质提供的,导致弦不稳定振动。首先考虑如下不稳定波动方程:23bb42720ab339d9cfec10fefca6daf7.png其中w表示波动方程的位移,02544a848ceb43c49c3f1107e240d6ea.png表示速度,6c9dede46168f980b3ac3314f8e69beb.png表示耗散项,76fbd664d1e76dd486c1d64a57b21b96.png是源项,代表由介质提供的附加刚度力,k>0和c>0都是常数。U(t)是控制输入,88dcdc50656db49a7791d0eb9d44a523.pnga55dcd33bb304cc57dbf4a421b07f1e2.png是初值,75f566a19f35110b11a83c6e3137bf9a.png表示在578c1b02b2a8cf4754744fb2c126eb99.png点的观测量。296451a489a0345bc571c1bbeafeb1b4.png时开环系统只有一个不稳定特征值:a62166858d24c65b9187b8e76c74bf3b.png应用自抗扰控制方法,将扩张状态观测器设计为如下的动态补偿器:0ce41b6f490531ce3530a7d0017d8423.png其中9ee3d1725fefecf9dbaf5e405d5ded53.png都是正常数。反馈控制律为

    64c3818a6b5c07348accaf2f105b9186.png

    其中b357bfb98fd30f803a25fea5cd66cfb8.png是控制器增益。这样就得到一个由波动方程(2.1)和补偿器(2.2)以及反馈控制律(2.3)组合而成的闭环系统:

    f01277a28c7c5004a5902b157f0c86cf.png

    03

    分布参数系统的Nyquist判据

    由于闭环系统是无穷维系统,有无穷多个特征值,其中模趋于无穷大的高频特征值可以通过估计得到渐近表达式,然而对低频谱的估计却是一个难题。应用分布参数系统的Nyquist稳定性判据,可以验证闭环系统的全部特征值都位于复平面的某个左半平面。

    不稳定波动方程(2.1)和动态补偿器(2.2)的传递函数为:

    0f49595f1d3b51ee281bc18b73f3ec9c.png定义一个辅助函数F(s)

    4253d733abf9e67206d1c4e814e4d8f0.png

    可以看出F(s)的零点就是闭环系统的特征值。因此系统(2.4)的稳定性可以通过验证F(s)在左半复平面87bfc1552d0722a2bc75d5062092634a.png之外是否有零点来确定,其中4fd77d9dd50dcc6766d424448b5b2b44.png为某个非负常数。

    下面是关于Nyquist判据的引理。

    Lemma 3.1. Nyquist 路径718cf906c36977d1e9efd071caee362c.png被定义为环绕整个右半复平面c404a1cf9e25bbb1b9ac277da235aa22.png的闭合路径,其中67cb3fba492a1c335b251195aa4d881a.png为常数。Nyquist判据就可表示为如下公式:

    48a6e0983607147a2056bab4793d342c.png

    其中

    dc8ffd4072ccb57b1f11ae45d1a3efd7.png

    选取388a66e591006743b2ebf17311e79718.png的全部参数如下所示c5ffbac31401a6a52b6ad6484eea60cc.png

    2d14409bdff971a4fa0ac6511c9d90bc.png。可以看到388a66e591006743b2ebf17311e79718.png在右半平面13f85389719d96ded060bbda4dd7b6ba.png内有两个极点:0ebd1ca3067bfc75df1056824aa611dad.pngP=2。在图1中,可以看到Nyquist曲线1a451199b61b5b436e0b2c0249801f74.png逆时针环绕驻点8a4bd565784b40665f6af8df60398e43.png两次,即N=-2。因此Z=0,闭环系统的特征值都位于左半平面a212ad869a0c8595b9a4af0c9b1d7c2d.png内。

    cecd4cc649463e946e168f2d52e20c8f.png

    图1 Nyquist曲线1a451199b61b5b436e0b2c0249801f74.png

    04

    闭环系统的指数稳定性

    对有穷维线性系统而言,如果系统的谱位于左半平面,系统就一定指数稳定。但对于无穷维系统,情况变得非常复杂。有例子表明:即使系统的谱全位于左半平面,系统却可以指数增长[2]。因此还要利用半群理论和Riesz基方法证明普确定增长条件成立。对于给定了参数的闭环系统(2.4)有如下的指数稳定性。

    Theorem 4.1.  闭环系统 (2.4)的谱确定增长条件成立,即闭环系统算子A的谱界等于半群0aeb52ebf5861e41c3a32e3bdcea41cc.png的增长界:s(A)=w(A)。因此闭环系统(2.4)是指数稳定的,即存在两个正常数Mμ使得CO半群 0aeb52ebf5861e41c3a32e3bdcea41cc.png满足

    86f80f2e83899af16c182c2d71daa79e.png

    05

    数值仿真

    采用有限差分法来逼近常微分方程和波动方程的解。图2展示了开环不稳定波动方程(2.1)的状态。图3至图5展示了闭环系统(2.4)的状态,可以看到(2.4)的全部状态都收敛到0,这验证了所设计的输出反馈控制律的有效性。

    063e15c49b219bb125675e39967939a8.png

    图2 不稳定波动方程(2.1)的状态w(x,t)

    97911ef36328ee5bb5e8bb77e26c69b2.png

    图3 闭环系统(2.4)的状态w(x,t)

    939e7e5a6f2a9e7b513576619186d90e.png

    图4 闭环系统(2.4)中常微分方程的状态dd8d73010e2a2871d03f8ca52c141c27.png

    ce0986e20c8a3290a0e7a737bf6dfec4.png

    图5 闭环系统(2.4)中常微分方程的状态81fb15aebbcc1c0ad7bd8aded2d66822.png

    06

    结论

    本文采用自抗扰控制技术实现了以常微分方程补偿波动方程的有限个低频不稳定极点,该方法也可以应用到其他不稳定偏微分方程的补偿控制中,例如不稳定热方程、反稳定波动方程、反稳定耦合波动方程等。

    Zhang Yu-Long, ZhuMin, Li Donghai, Wang Jun-Min, "Dynamic Feedback Stabilization ofan Unstable Wave Equation," Automatica, 2020, https://doi.org/10.1016/j.automatica.2020.109165.

    论文原文网址链接:

    https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0005109820303630

    参考文献

    [1]   Luo Zheng-Hua, GuoBao-Zhu, MorgulOmer. Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications. Communications and Control Engineering, Springer-Verlag, London,  1999.

    [2]   GuoBao-Zhu, WangJun-Min. Control of Wave and Beam PDEs: The Riesz Basis Approach. Communications and Control Engineering, Springer International Publishing, Cham, 2019.

    [3]   GuoBao-Zhu, JinFeng-Fei. Sliding Mode and Active Disturbance Rejection Control to Stabilization of One-Dimensional Anti-Stable  Wave Equations Subject to Disturbance in Boundary Input. IEEE Transactionson Automatic Control, 2013, 58(5), 1269-1274.

    [4]   GuoBao-Zhu, LiuJun-Jun. Sliding Mode Control and Active Disturbance Rejection Control to the Stabilization of One-Dimensional Schrödinger Equation Subject to Boundary Control Matched Disturbance. International Journal of Robustand Nonlinear Control, 2014, 24(16), 2194-2212.

    [5]    柴素娟, 李东海, 姚小兰. 几类无理传递函数的自抗扰控制. 23届中国过程控制会议论文, 中国厦门, 2012 8 .

    [6]   Zhao Dong, Li Donghai, Wang Youqing. A Novel Boundary Control Solution for Unstable Heat  Conduction Systems Based on Active Disturbance Rejection Control. Asian Journal of Control, 2016, 18(2), 595608.

    [7]   Zhang Yu-Long, Zhu Min,  Li Donghai,  Wang  Jun-Min. ADRC Dynamic Stabilization  of an Unstable Heat Equation. IEEE Transactions on Automatic Control, 2019, DOI:10.1109/TAC.2019.2957690.

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  • 在编写过程中, 遵循高等学校教学指导委员会关于常微分方程的教学基本要求, 并讲述差分方程的基本理论和方法, 力求知识体系相对完整, 注重融入数学实验与数学建模思想, 紧密结合工科专业背景, 突出将严谨的数学理论和...
  • 应用偏微分方程 作 者: 谷超豪,李大潜,沈玮熙 著 出版时间:2014 丛编项: 高等学校教材 内容简介  本书写作意图是通过几个经过选择主题简单介绍,使读者了解偏微分方程应用...附录 常微分方程几何理论
  • 【主题词】:常微分方程-运动稳定性理论-应用 运动稳定性理论常微分方程-应用 第一篇 总论 1 运动稳定性理论基础 2 李雅普诺夫函数存在性 3 李雅普诺夫方法推广 第二篇 线性系统 4 常系数系统 5 大...
  • 李雅普洛夫在1892年发表了《运动稳定性的一般问题》论文,他把分析常微分方程组稳定性的方法归纳为两种:求出常微分方程的解,分析系统的稳定性->间接方法不需要求解常微分方程的解,而能提供稳定性的信息->...

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    李雅普洛夫在1892年发表了《运动稳定性的一般问题》论文,他把分析常微分方程组稳定性的方法归纳为两种:

    1. 求出常微分方程的解,分析系统的稳定性->间接方法
    2. 不需要求解常微分方程的解,而能提供稳定性的信息->直接方法

    古典控制理论的局限性

      劳斯判据、Nyquist判据、Bode图频域分析,都是判断特征根在复平面上的分布,不解出特征方程的特征根,这种方法仅适用与线性定常系统,不适用于时变系统和非线性系统。

    李雅普诺夫方法的特点

    不仅描述外部(输出)稳定性或BIBO稳定,也描述内部(状态)稳定性。它通过构造一个李雅普诺夫函数,根据这个函数的性质来判别系统的稳定性,不但能用来分析线性定常系统的稳定性,而且也能用来判别非线性系统和时变系统的稳定性。

    第一法 

    基本思路是先求解系统的线性化微分方程,然后根据解的性质来判定系统的稳定性。称为间接法。

    第二法

    基本思路是不需要求解系统的微分方程式(或状态方程式)就可以对系统的稳定性进行分析和判断,称为直接法。

    李雅普诺夫稳定性:系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时,经过“足够长”的时间以后,系统恢复到平衡状态的能力。因此,系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。

    内部稳定性和外部稳定性的关系

    1. 若系统内部稳定则一定外部稳定。
    2. 外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。
    3. 在系统结构分解中指出,传递函数矩阵只能反映系统结构中能控能观测部分。因此,系统为BIBO稳定即极点均具有负实部的事实,只能保证系统的能控能观测部分特征值均具有负实部,不能保证系统的能控不能观测、不能控能观测和不能控不能观测各部分特征值均具有负实部。由此,系统为BIBO稳定不能保证系统为内部稳定。系统外部稳定和系统内部稳定等价的充分必要条件是系统的状态完全能控和完全能观测。

    单数入单输出情况下外稳和内稳的关系

    传递函数如下:

    fc8d8f33bc1b1260285e518ea75abe13.png

    根据状态空间表达式与传递函数的关系可知:

    08a0ae554c5d559243eddd3a6b8d5d91.png
    如果不存在公因子相消,传递函数的极点与系统特征值相同。极点→ 外部稳定性;特征值→ 状态转移矩阵→ 状态轨迹→ 内部稳定性;

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    若系统存在公因子相消-零极点对消,传递函数的极点数少于系统特征值,由于可能消去的是正实部的极点,则系统具有外部稳定性,但不一定具有内部稳定性。G(s)的极点只是矩阵A的特征值的子集。

    结论: 只用传递函数的极点判断系统的稳定性不一定真正反映系统的稳定性。此时,系统内部可能有一些状态越界,导致系统饱和或出现危险。

    平衡状态:

    设系统状态方程为

    ,若对所有t ,状态满足
    ,则称该状态为平衡状态,记为
    。故有下式成立

    9375d8bc79d90bb97d13e03570190f97.png

    线性定常系统的平衡状态(系统状态各分量维持平衡,不再随时间变化,即状态的导数为0

    状态方程:

    dad1092fcb9c6aef41e8c49e6024f2de.png

    平衡状态 应满足代数方程

    。根据线性代数知识,解此方程,当
    A是非奇异时,则系统存在惟一的一个平衡点
    。当
    A是奇异时,则系统的平衡点可能不止一个。

    非线性系统的平衡状态

    方程的解可能有多个,视系统方程而定。如

    其平衡状态应满足式

    9375d8bc79d90bb97d13e03570190f97.png

    ,即

    7f8f665a7368428c0d2f5fe6dd37adb7.png

    李雅普诺夫意义下的稳定

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    李雅普诺夫意义下的稳定性

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    8bc8d4afd688c71e22f40bfbb53e711f.png

    渐进稳定

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    c45da13b7acb9ecc15a701eb8dd3e38c.png

    无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定,都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围 xe 的小范围内,能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于从s(δ)外的状态出发的运动,却完全可以超出s(ε)。因此,上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。

    无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定,都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围 xe 的小范围内,能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于从s(δ)外的状态出发的运动,却完全可以超出s(ε)。因此,上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。

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    大范围渐近稳定(如果系统在任意初态下的每一个解,当

    时,都收敛于
    ,那么系统的平衡状态叫做大范围渐近稳定的

    实质上,大范围渐近稳定是把状态解的运动范围和初始状态的取值范围扩展到了整个状态空间。对于状态空间中的所有各点,如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性,则该平衡状态称为大范围渐近稳定的。一般来说,渐近稳定是个局部的性质。在控制工程中,通常总是希望系统具有大范围稳定的特性。

    大范围渐近稳定的必要条件是:状态空间中系统中只有一个平衡状态。(经典控制理论当中,只有渐近稳定才是稳定)线性系统稳定性与初始条件无关。

    不稳定性

    对于某个给定的球域 ,无论球域 取得多么小,内部总存在着一个初始状态x0,使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域 。

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    各种关系

    505700199c6f1933d92c1fcf31dba1f7.png

    李亚普诺夫函数

    李氏第二法是从能量观点出发得来的,如果系统的总能量(含动能和势能)随时间增长而连续地衰减,直到平衡状态为止,那么振动系统是稳定的。

    如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,那么当它运动到平衡状态的邻域内时,系统积蓄的能量随时间的增长而衰减,直到平衡状态处达到最小值。李雅普诺夫引出了一个虚构的广义能量函数,这个函数具有能量的含义,但比能量更为一般,它有如下一些基本特征:

    ① 能量函数一定是状态变量x的函数。因为状态变量x可以对系统的动态行为进行完全描述,因此能量函数也一定是状态变量x的函数。

    ②V(x) 是正定的

    ③ V(x)具有连续的一阶偏导数。

    对于一个给定的系统,如果能找到一个正定的标量函数v(x),直接利用及的v(x)及其导数数的符号特征判别出平衡状态处的稳定性,则这标量函数V(x)就称为李雅普诺夫函数。

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  • 我们最近的论文研究了带有阻尼和源项的不稳定波动方程的动态反馈镇定问题,应用自抗扰控制方法实现了以常微分方程补偿波动方程的有限个低频不稳定极点。应用Riesz基方法、算子半群理论和Nyquist判据等方法证明了闭环...

        要

    定偏微分方程是一类描述不稳定系统的方程,其补偿控制问题是分布参数系统控制领域的研究热点和难点问题。我们最近的论文研究了带有阻尼和源项的不稳定波动方程的动态反馈镇定问题,应用自抗扰控制方法实现了以常微分方程补偿波动方程的有限个低频不稳定极点。应用Riesz基方法、算子半群理论和Nyquist判据等方法证明了闭环系统的适定性和稳定性,数值仿真结果验证了控制方法的有效性。

    01

    背景介绍

    物理世界的许多现象是由偏微分方程描述的,其状态空间是无穷维的,故称为无穷维系统。经过20多年的发展,Riesz基理论已经成为研究无穷维系统稳定性的基本分析方法[1,2]。近几年, 郭宝珠教授及其研究团队将自抗扰控制扩展到偏微分方程的抗干扰研究中,通过一些特殊的测试函数将相应的偏微分方程化为常微分方程,进而应用自抗扰控制方法抵消外部干扰[3,4]。文献[5]针对几类无理传递函数的高阶近似模型,将应用二阶自抗扰控制器应用到其中。文献[6]应用自抗扰控制方法,以常微分方程补偿了不稳定热传导方程的有限个不稳定极点,并且通过分布参数系统的Nyquist判据验证了闭环系统的特征值都位于左半复平面,我们在文献[7]中进一步给出了闭环系统的适定性和稳定性的证明。本文基于[6,7]中的方法,研究了不稳定波动方程的动态反馈镇定问题。

    02

    问题描述

    有阻尼和源项的不稳定波动方程可以用来描述带有阻尼和附加刚度力的弹性弦,这种刚度力是由弦周围的介质提供的,导致弦不稳定振动。首先考虑如下不稳定波动方程:652d68376ac132aa14d44be4d9fed42e.png其中w表示波动方程的位移,a592291a6d25aa818b39bec8ac277e35.png表示速度,cc314a0a9fc93ac9c6f73ebdf2ec1e0c.png表示耗散项,2982818d8c7564f090c6f082632d2a62.png是源项,代表由介质提供的附加刚度力,k>0和c>0都是常数。U(t)是控制输入,d068e42dfe65305571dad6dc5109fb83.pngacf1063febcbe886d5f281770c958758.png是初值,ade024c1700bced5ded4597f20d8dfde.png表示在9291092b0b7d051b0681b81bc0869ad8.png点的观测量。f74ae6f2a0b8dc9391ae9bebe4cd5ff6.png时开环系统只有一个不稳定特征值:99e1afcddd69715fab71855324911e0e.png应用自抗扰控制方法,将扩张状态观测器设计为如下的动态补偿器:18033dd6156cbdb31eaa49ee04c264f7.png其中44002336bbb001c59092733587c259aa.png都是正常数。反馈控制律为

    91143db98b5fcbc129f217887b207401.png

    其中5694c5c832a6fa110d4b2764199907fe.png是控制器增益。这样就得到一个由波动方程(2.1)和补偿器(2.2)以及反馈控制律(2.3)组合而成的闭环系统:

    c27a7d891e6b1caa424a373562f1f2e8.png

    03

    分布参数系统的Nyquist判据

    由于闭环系统是无穷维系统,有无穷多个特征值,其中模趋于无穷大的高频特征值可以通过估计得到渐近表达式,然而对低频谱的估计却是一个难题。应用分布参数系统的Nyquist稳定性判据,可以验证闭环系统的全部特征值都位于复平面的某个左半平面。

    不稳定波动方程(2.1)和动态补偿器(2.2)的传递函数为:

    eef5fc11e23b59ca273f589a962b9d76.png定义一个辅助函数F(s)

    c951d18327213f3dc95fd1131c866cf1.png

    可以看出F(s)的零点就是闭环系统的特征值。因此系统(2.4)的稳定性可以通过验证F(s)在左半复平面222c2fd24e225af7bd032149821653f0.png之外是否有零点来确定,其中e29009f4224b149f4139ebd2cfd428c3.png为某个非负常数。

    下面是关于Nyquist判据的引理。

    Lemma 3.1. Nyquist 路径4f98a5e3e331de10569ce964874c0896.png被定义为环绕整个右半复平面b6b45e1b0b252597b20b1409147ae6e0.png的闭合路径,其中91210157629cdb599a3798ae3f5fd944.png为常数。Nyquist判据就可表示为如下公式:

    f27cfa2f9dff22f8266596cbba19b81a.png

    其中

    340c12f810ef73ee2599bb6fb925e499.png

    选取0bba56eb55bda775a62df35c9850ab0d.png的全部参数如下所示25c014805b0012680706ab57f81cb713.png

    c315b273edfc0a76ffc11cb06556970f.png。可以看到0bba56eb55bda775a62df35c9850ab0d.png在右半平面ab12b99ce4a05afd7a66e0122a4f1012.png内有两个极点:0261487985787c6c7a4f4647bb2700e56.pngP=2。在图1中,可以看到Nyquist曲线9920f6438f428a19c3e1a7094d73142b.png逆时针环绕驻点7c181d8fea673a1a87b49a9b462e419e.png两次,即N=-2。因此Z=0,闭环系统的特征值都位于左半平面c061932c6b637494d2549c78994f5140.png内。

    c3f68bbc163d0f7621902867cbbbc3e4.png

    图1 Nyquist曲线9920f6438f428a19c3e1a7094d73142b.png

    04

    闭环系统的指数稳定性

    对有穷维线性系统而言,如果系统的谱位于左半平面,系统就一定指数稳定。但对于无穷维系统,情况变得非常复杂。有例子表明:即使系统的谱全位于左半平面,系统却可以指数增长[2]。因此还要利用半群理论和Riesz基方法证明普确定增长条件成立。对于给定了参数的闭环系统(2.4)有如下的指数稳定性。

    Theorem 4.1.  闭环系统 (2.4)的谱确定增长条件成立,即闭环系统算子A的谱界等于半群b11d6fb1decf339c4971de69c4e3fd28.png的增长界:s(A)=w(A)。因此闭环系统(2.4)是指数稳定的,即存在两个正常数Mμ使得CO半群 b11d6fb1decf339c4971de69c4e3fd28.png满足

    2c14579cda05eb4ccf70036dce4ac86f.png

    05

    数值仿真

    采用有限差分法来逼近常微分方程和波动方程的解。图2展示了开环不稳定波动方程(2.1)的状态。图3至图5展示了闭环系统(2.4)的状态,可以看到(2.4)的全部状态都收敛到0,这验证了所设计的输出反馈控制律的有效性。

    528163249fab98f22a95b5a8235b83fa.png

    图2 不稳定波动方程(2.1)的状态w(x,t)

    c0d6c2de2c6d6373b17f5c91c5a712a9.png

    图3 闭环系统(2.4)的状态w(x,t)

    cd3a863e33df7e120485d0959928bb85.png

    图4 闭环系统(2.4)中常微分方程的状态d02346c8b28178a765b0693a4e44f3bc.png

    88cd6db3c69b29e6c44327955e650c12.png

    图5 闭环系统(2.4)中常微分方程的状态dd4a3658f8e14487fc51e2012d306e94.png

    06

    结论

    本文采用自抗扰控制技术实现了以常微分方程补偿波动方程的有限个低频不稳定极点,该方法也可以应用到其他不稳定偏微分方程的补偿控制中,例如不稳定热方程、反稳定波动方程、反稳定耦合波动方程等。

    Zhang Yu-Long, ZhuMin, Li Donghai, Wang Jun-Min, "Dynamic Feedback Stabilization ofan Unstable Wave Equation," Automatica, 2020, https://doi.org/10.1016/j.automatica.2020.109165.

    论文原文网址链接:

    https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0005109820303630

    参考文献

    [1]   Luo Zheng-Hua, GuoBao-Zhu, MorgulOmer. Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications. Communications and Control Engineering, Springer-Verlag, London,  1999.

    [2]   GuoBao-Zhu, WangJun-Min. Control of Wave and Beam PDEs: The Riesz Basis Approach. Communications and Control Engineering, Springer International Publishing, Cham, 2019.

    [3]   GuoBao-Zhu, JinFeng-Fei. Sliding Mode and Active Disturbance Rejection Control to Stabilization of One-Dimensional Anti-Stable  Wave Equations Subject to Disturbance in Boundary Input. IEEE Transactionson Automatic Control, 2013, 58(5), 1269-1274.

    [4]   GuoBao-Zhu, LiuJun-Jun. Sliding Mode Control and Active Disturbance Rejection Control to the Stabilization of One-Dimensional Schrödinger Equation Subject to Boundary Control Matched Disturbance. International Journal of Robustand Nonlinear Control, 2014, 24(16), 2194-2212.

    [5]    柴素娟, 李东海, 姚小兰. 几类无理传递函数的自抗扰控制. 23届中国过程控制会议论文, 中国厦门, 2012 8 .

    [6]   Zhao Dong, Li Donghai, Wang Youqing. A Novel Boundary Control Solution for Unstable Heat  Conduction Systems Based on Active Disturbance Rejection Control. Asian Journal of Control, 2016, 18(2), 595608.

    [7]   Zhang Yu-Long, Zhu Min,  Li Donghai,  Wang  Jun-Min. ADRC Dynamic Stabilization  of an Unstable Heat Equation. IEEE Transactions on Automatic Control, 2019, DOI:10.1109/TAC.2019.2957690.

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    转载:http://blog.sina.com.cn/s/blog_82662ce70100sh9h.html

    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程是控制系统常用到的几个方程,应用和计算比较广泛

    一、Lyapunov方程

    1、连续Lyapunov方程
    连续Lyapunov方程可以表示为

    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
    Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论,其中要求C为对称正定的n×n方阵,从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵,这类方程直接求解比较困难,不过有了Matlab中lyap()函数,就简单多了。
    >> A=[1 2 3;45 6;7 8 0]

       C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]

    >> X=lyap(A,C)

     

    2、Lyapunov方程的解析解

    利用Kroncecker乘积的表示方法,可以将Lyapunov方程写为
    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
    可见,方程有唯一解的条件并不局限与C对称正定,只要满足非奇异即可保证方程唯一解。同时也打破了传统观念,C必须对称正定的。

    function x=lyap2(A,C)
    %Lyapunov方程的符号解法
    n=size(C,1);
    A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);
    c=C(:);
    x0=-inv(A0)*c;
    x=reshape(x0,n,n)

    恩下面看一个示例,体会下符号解法:

    >>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
    >>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
    >>x=lyap2(sym(A),sym(C))

    x =

    [ -71/18,  35/9,   7/18]
    [   35/9, -25/9,   2/9]
    [  7/18,   2/9,   -1/9]

     

    3、离散Lyapunov方程
    离散Lyapunov方程的一般形式为:

    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解

    Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程:X=dlyap(A,Q)
    其实,如果A矩阵非奇异,则等式两边同时右乘 Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解得到:
    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
    就可以将其变换成连续的Sylvester方程
    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解

    Sylvester方程是广义Lyapunov方程,故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解:

    B=-inv(A’)
    C=Q*inv(A’)
    X=lyap(A,B,C)

    下面总结下我们上面的讲到的知识点:
    X=lyap(A,C)                      连续Lyapunov方程数值解法

    X=lyap2(A,C)                     连续Lyapunov方程符号解法
    X=lyap(A,B,C)                      广义Lyapunov方程,即Sylvester方程
    X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’))   离散Lyapunov方程

     

    二、Sylvester方程Matlab求解

    Sylvester方程的一般形式为
    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解

    该方程又称为广义的Lyapunov方程,式中A是n×n方阵,B是m×m方阵,X和C是n×m矩阵。Matlab控制工具箱提供了直接的求解该方程的lyap()函数:

    A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]
    B=[2 3;4 5]
    C=[1 2;3 4;5 6]
    X=lyap(A,B,C)

    同理,我们使用Kronecker乘机的形式将原方程进行如下变化:

    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
    故可以编写Sylvester方程的解析解函数:

    function X=lyap3(A,B,C)
    %Sylvester方程的解析解法
    %rewrited by dynamic
    %more information

    If nargin==2,C=B;B=A';end
    [nr,nc]=size(C);
    A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B');
    try
        C1=C';
       X0=-inv(A0)*C1(:);
       X=reshape(X0,nc,nr);
    catch
       error('Matlabsky提醒您:矩阵奇异!');
    end

    使用上面的数据,我们试验下该解析解法
    >>X=lyap3(sym(A),B,C)

    X =

    [  2853/14186,   557/14186,  -9119/14186]
    [ 11441/56744,   8817/56744,-50879/56744]

     

    三、Riccati方程的Matlab求解

    Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵形式,其一般形式为
    Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
    由于含有矩阵X的二次项,所有Riccati方程求解要Lyapunov方程更难Matlab控制工具箱提供了are()函数,可以直接求解该函数:

    A=[-2 1 -3;-1 0 -2;0 -1 -2]
    B=[2 2 -2;-1 5 -2;-1 1 2]
    C=[5 -4 4;1 0 4;1 -1 5]
    X=are(A,B,C)

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