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  • Matlab求常微分方程组的数值解

    千次阅读 多人点赞 2020-03-08 09:50:50
    上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解方法:博客地址 微分方程组复杂时,无法求出解析解时,就需要求其数值解,这里来介绍。 以下内容按照Matlab官方文档提供方程来展开(提议多看官方文档) 介绍一下...

    上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法:博客地址
    微分方程组复杂时,无法求出解析解时,就需要求其数值解,这里来介绍。
    以下内容按照Matlab官方文档提供的方程来展开(提议多看官方文档)

    介绍一下核心函数ode45()

    一般形式:[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0) 其中 tspan = [t0 tf]
    功能介绍:求微分方程组 y′=f(t,y) 从 t0 到 tf 的积分,初始条件为 y0。解数组 y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应。

    1. 一阶微分方程求解(简单调用即可)

    方程:y’=2*t
    代码

    tspan=[1 6]; %定义自变量x的取值空间为1-6
    y0=0;%定义因变量的初值,当x=1(x取值空间的第一个数)时,y0=0
    [t,y]=ode45(@(t,y) 2*t,tspan,y0); %定义函数y'=2*t,使用ode45求解
    plot(t,y,'-o'); %绘制求得的数值曲线
    

    说明:简单的odefun参数就是这个形式,@(x,y) fun 中间是空格,不能用逗号
    结果
    在这里插入图片描述

    2. 二阶微分方程求解(引入函数文件)

    方程:范德波尔方程 y1’’-u(1-y1²)*y1’+y1=0;(这里设u=1)
    代码
    定义输入的方程,以函数形式定义

    function dydt=odefun(t,y)
    %二阶方程为y1''-(1-y1²)*y1'+y1=0;
    %降阶为两个方程:y1'=y2; 
    %               y2'=(1-y1²)*y2-y1;
    %t虽然没有使用,但必须要作为参数写入
    dydt=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
    

    求解作图

    tspan=[0 20]; %定义自变量x的取值空间为0-20
    y0=[2;0];%定义因变量的初值,当x=0时,y1=2,y2=y1'=0;
    [t,y]=ode45(@odefun,tspan,y0); %使用ode45求解
    %%下面为作图过程,不解释
    plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
    title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE45');
    xlabel('Time t');
    ylabel('Solution y');
    legend('y_1','y_2')
    

    说明:先进行降阶,使y2=y1’,这时候y2’=y1’’,然后把两个方程写成列向量形式就行了
    结果
    在这里插入图片描述

    3. 求解微分方程组(和2类似)

    这里就和求解二阶方程类似的,只不过不需要降阶,仍旧需要一个函数来定义方程组。我们这里不用官方文档的例子,用同学的循坏摆问题来进行演示。
    方程在这里插入图片描述
    给定的初值(w接近0,但实际上不能设置为0):
    在这里插入图片描述
    代码
    定义输入的方程

    function dRvw=func(t,Rvw)
    %% 函数功能:为ode45提供微分方程
    %输入:t:时间序列,就是θ;Rvw:因变量,Rvw(1)代表R,Rvw(2)代表v,Rvw(3)代表w
    %输出:dRvw:因变量的一阶微分,dRvw(1)代表dR,dRvw(2)代表dv,dRvw(3)代表dw
    %% 初始化因变量的一阶微分,3×1的向量
    dRvw=zeros(3,1);
    %% 参数初始化
    r=0.01;u=0.1;g=9.8;M=10;m=1;
    %% 输入微分方程式
    dRvw(1)=-Rvw(2)/Rvw(3)-r;
    dRvw(2)=(M*g-(m*Rvw(3)^2*Rvw(1)+m*g*sin(t)) *exp(u*(t+pi/2)))/(Rvw(3)*(M+m));
    dRvw(3)=Rvw(3)*r/Rvw(1)+2*Rvw(2)/Rvw(1)+g*cos(t)/(Rvw(3)*Rvw(1));
    

    求解作图

    %% 参数初始化 start_Theta是θ的初始值 end_Theta是θ的结束值
    %R是半径初值;v是线速度初值;w是角速度初值
    start_Theta=0;end_Theta=2*pi;R=1;v=0;w=1e-5;
    %% 使用ode45方法计算微分方程组func的数值解
    %func是带有方程组的函数 
    %[start_Theta end_Theta]是自变量范围
    %[R;v;w]是方程初值
    %T是自变量的数组,Rvw是对应的因变量的数值。Rvw(:,1)=R;Rvw(:,2)=v;Rvw(:,3)=w;
    [T,Rvw]=ode45(@func,[start_Theta end_Theta],[R;v;w]);
    %% 组合自变量和因变量。TRvw(:,1)=θ;TRvw(:,2)=R;TRvw(:,3)=v;Trvw(:,4);
    TRvw=[T,Rvw];
    %% 绘制自变量-因变量图像.figure1是R-θ,figure2是v-θ,figure3是w-θ
    plot(T,Rvw(:,1),'-o',T,Rvw(:,2),'-o',T,Rvw(:,3),'-o')
    title('自变量-因变量图像');
    xlabel('Angle θ');
    ylabel('Solution');
    legend('R','v','w')
    

    说明:注释的应该是比较清楚的,把三个方程写成列向量的形式就行

    PS:有些人和我说不能运行,然后我看了他们出错的原因,有点儿哭笑不得。出错的基本上都是运行上面的dRvw=func(t,Rvw)这个函数的。说明一下,这是有参数的函数,不给参数不能直接运行的。下面的求解作图脚本才是需要运行的哈,它调用了函数,才得到的结果。如果大家还发现什么问题,欢迎私戳或评论。

    PS+ 有了PS之后,还是很多人问我参数的问题,我在这里直接把文件给大家:cupt.zip
    提取码:6k8n。
    解压后,有两个文件,大家直接运行cupt.m即可。

    结果
    在这里插入图片描述

    4. 更多形式

    讲到这里,大部分我们用到的微分方程形式都可以求解了,Matlab还支持带有时变项和额外参数的微分方程求解,这里不再赘述,大家可以自行参阅官方文档。

    展开全文
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    实验10 常微分方程组---导弹跟踪问题仿真实验

    成绩

    实验类型:○验证性实验  ●综合性实验  ○设计性实验

    实验目的:  使学生在应用数学知识建立数学模型方面得到训练,使学生能够对由实际问题建立起的数学模型提出求解的算法,进而能进行计算机编程、计算得到实际问题的解,学生也可以结合计算过程以图形方式直观仿真动态过程,从而使得学生对计算机仿真有初步认识。

    实验内容:某军的一导弹基地发现正北方向120 km处海面上有敌艇一艘以90 km/h的速度向正东方向行驶. 该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇, 导弹速度为450 km/h,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇.试问导弹在何时何处击中敌艇?

    0806894b93c93843310890d8d72e26dd.png

    实验原理:微分方程组建模,微分方程组数值算法(EULER法、预报校正法—改进欧拉法、龙格库塔法),计算机仿真

    实验说明:首先建立坐标系、分析并建立数学模型----常微分方程组;选定常微分方程组数值算法;用Matlab编写程序、运行并仿真动态过程。查阅有关计算机仿真的资料,分析仿真方法与常微分方程组欧拉(EULER)算法的异同。如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即由仪器发觉. 假定敌艇为一高速快艇,它即刻以135 km/h的速度与导弹方向垂直的方向逃逸,问导弹何时何地击中敌舰? 若导弹的追踪过程中,飞行角度每秒钟改变ae4534b0f1de8f08c7168374c115fbd7.png时,其速度衰减2%,问导弹何时何地击中敌舰?(导弹和敌艇自身有长度可认为距离为1米时即为 击中)

    实验步骤

    1 要求上机实验前先编写出程序代码

    2 编辑录入程序

    3 调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程

    4 经反复调试后,运行程序并验证程序运行是否正确。

    5 记录运行时的输入和主要中间计算结果和最终结果输出。

     6 要求在A4纸上手工计算并和计算机程序计算的主要中间结果进行比较,验证手工解算和机器解算是否一致。

    实验报告 根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。

    实验总结 (学会了......; 掌握了......; 训练了......; 发现了......; 今后学习中......有待提高。)

    程序代码(MATLAB程序)

    电子报告word文件命名规:专业班级-学号后两位-实验X-姓名.doc, 如信息123班学号为201212030315的郭海涛同学实验10报告word文件命名则应是:信息123-15-实验10-郭海涛.doc, 其中 .doc是Word文件扩展名。特别提醒:电子报告文件命名不规范的报告将不予接收。

    一、实验内容

    1欧拉方法

    问题分析:t = 0时,导弹位于原点O敌方舰艇位于(0H),H = 120km时刻t导弹位于P(x(t),y(t))敌方舰艇位于(90t,H)

    导弹速度可由水平速度垂直速度合成:

    eb51e984e6430889131fa9d34018fe06.png                  (1)

    导弹方向指向敌方舰艇,导弹轨迹倒数就是切线,所以

    40daa575202e7e4984e28002b82bc102.png                 (2)

    并且fd2323be437f1e5e1a14718f58a4f26d.png

    由此建立数学模型

    daf799855d5a318c78f0e979ef292e47.png

    以上微分方程组,该方程组初始条件为x(0)=0,y(0)=0

    程序代码:

    clear;

    clc

    h = 0.0001;%时间步长

    k = 1;

    L = 120; Vs = 90; Vm = 450;

    t(1) = 0;  x(1) = 0;  y(1) = 0;%初始值

    while y <= L

        x(k+1) = x(k) + Vm*h / sqrt(1+((L-y(k))/(Vs*t(k)-x(k)))^2);

        y(k+1) = y(k) + Vm*h / sqrt(1+((Vs*t(k)-x(k))/(L-y(k)))^2);

        t(k+1) = h*k;

        k = k+1;

    end

    plot(x,y,x(1):0.05:x(end),L)

    t = t(end),x = x(end),y = y(end)

    运行结果:

    t =

        0.2778

    x =

       25.0058

    y =

      120.0031

    可知导弹经过0.2778小时(25.0058,120.0031)击中敌方舰艇。

    输出图:

    9f1981832087ae779deae0e22336e82a.png

    敌方舰艇高速快艇只需将上述模型Vs135即可,运行结果如下:

    t =

        0.2931

    x =

       39.5821

    y =

      120.0005

    结果如下

    e4a4d4f4df4f04a4989b7151d2fccfbc.png

    2仿真方法

    导弹敌方舰艇初始时刻分别位于1854c538bef1c2764e7053b14b1c8594.png7ed9be14ea5352e6ec93d19f39db0171.png此时导弹指向67f2901f7d65037cb6bd0d2da4b2ef5c.png而在f7394bbbc793877987ecfdb544b15d0d.png时,导弹位置e2c7b504f80811d2d4005d9a6a9fc546.png其中33595b8018dfad9d887ccff86904ea14.pngc00740ffa3b63fc168037634dd85ef01.png敌方舰艇位置879e5d682ba3b3e3f1adabbb9fca3b6a.png这时导弹沿着b590f5888471819aa37475e52bedf1eb.png方向飞行,b590f5888471819aa37475e52bedf1eb.png倾角0dfd74dd5f52c03963023c0acc682693.png 导弹位置e6c1fc26898be6119db94b26f3ac6767.png

    以此faeecf540a370253736330038cbb53ab.png时,导弹位置0eb4ea152c15da0ad4fa23ac3144969b.png其中

    1e00e480571fcef9f361e3d6c7c84f54.png

    敌方舰艇位置90579ff384a12be7388450c7197d28de.png

    如之前一样8e3f27291888f8c145e7a0be945da416.png仿真停止。此时

    bb3b5f3302e5544c6aee9bf1215e4aa9.png

    程序代码:

    function fangzhen(h)

    L = 120;Vs = 90;Vm = 450;

    x(1) = 0;y(1) = 0;

    for i = 1:1e6

        M = sqrt(((i - 1)*Vs*h - x(i)).^2 + (L - y(i)).^2);

        ctheta = ((i - 1)*Vs*h - x(i))./M;

        stheta = (L - y(i))./M;

        x(i+1) = x(i) + Vm*h*ctheta;

        y(i+1) = y(i) + Vm*h*stheta;

        if y(i+1) >= L

            break;

        end

    end

    plot(x,y,x(1):0.05:x(end),L)

    x = x(end)

    y = y(end)

    t = x / Vs

    运行结果:

    >> h = 0.0001

    h =

       1.0000e-04

    >> fangzhen(h)

    x =

       25.0058

    y =

      120.0031

    t =

    0.2778

    运行函数图:

    9f1981832087ae779deae0e22336e82a.png

    由上可知道仿真方法欧拉方法迭代效果一样的。

    二、实验总结

        通过本次实验学会了实际问题建立模型,然后借助数值计算方法求解模型进而解决实际问题;掌握了欧拉方法仿真方法借助求解微分方程组技能;训练了实际问题建模能力使用数值计算方法解决实际问题能力;发现自己建立模型过程一些不足;今后思考问题能力实际问题建立数学模型能力有待提高。

    展开全文
  • Matlab求常微分方程组的解析

    千次阅读 2020-03-07 21:53:14
    最近同学毕设需要求解循坏摆微分方程,我在帮忙过程中学习了一下常微分方程的解析解和数值解的求法,在此分享。 以下讲解遵循Matlab官方文档提供方程和写法。 一阶常微分方程求解(无初值) 方程:dy/dt=ay ...

    最近同学毕设需要求解循坏摆的微分方程,我在帮忙过程中学习了一下常微分方程的解析解和数值解的求法,在此分享。
    以下讲解遵循Matlab官方文档提供的方程和写法。
    (强烈建议大家有问题多看官方文档,非常有用)

    介绍一下核心函数

    常用形式:S = dsolve(eqn,cond)
    功能介绍:解微分方程eqn,其中eqn是一个符号方程,cond是初值条件(边界条件)。使用diff和==表示微分方程。例如,diff(y,x)==y表示方程dy/dx=y。通过将eqn指定为这些方程的向量来求解微分方程组。

    1. 一阶常微分方程求解(无初值)

    方程:dy/dt=ay
    代码

    syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量(可有可无)。y(t)表示y是关于t的函数,求解t。 
    eqn=diff(y,t)==a*y; %diff(y,t)即dy/dt,默认为1阶。
    S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    说明:首先定义方程所用变量和未知常量,然后列出微分方程,最后dsolve()求解。
    结果

    S =
    C2*exp(a*t)
    

    分析:C2为未定的常数项,需要提供一个初值,才能确定。

    2. 二阶常微分方程求解(无初值)

    方程:dy²/dt²=ay
    代码

    syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数,求解t。 
    eqn=diff(y,t,2)==a*y; %diff(y,t,2)即dy²/dt²,第三个参数表示阶数,更高阶数一样。
    S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    结果

    S =
    C3*exp(a^(1/2)*t) + C4*exp(-a^(1/2)*t)
    

    分析:无初值情况下,C3,C4未定,更高阶数解法类推,修改diff()第三个参数即可。

    3. 二阶微分方程求解(有初值)

    方程:dy²/dt²=ay
    代码

    syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数,求解t。 
    eqn=diff(y,t,2)==a*y; %定义diff(y,t,2)即dy²/dt²,第三个参数表示阶数。
    Dy=diff(y,t); %定义方程Dy为dy/dt;
    cond=[y(0)==5,Dy(0)==1]; %定义初值,t=0时,y=5,dy/dt=1;
    S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    说明:一阶微分方程求解时,不需要定义Dy,二阶方程有dy/dt的初值时,需要定义
    结果

    S =
    (exp(a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) + 1))/(2*a^(1/2)) + (exp(-a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) - 1))/(2*a^(1/2))
    

    分析:有初值情况下,无未定常数项

    4. 一阶微分方程组求解(有初值)

    方程:dy/dt=z;
    dz/dt=-y
    代码

    syms y(t) z(t); %syms 定义方程用的变量 
    eqn=[diff(y,t)==z,diff(z,t)==-y]; %定义方程组dy/dt=z,dz/dt=-y
    cond=[y(0)==1,z(1)==1]; %定义初值,t=0时,y=5;t=1时,y=1;
    [ySol zSol]=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    解释:老套路,只不过要定义俩方程,给俩初值
    结果

    ySol =
    cos(t - 1)/(2*cos(1)) - cos(t + 1)/(2*cos(1)) + cos(t - atan(1/cos(1)))*(1/cos(1)^2 + 1)^(1/2)
    zSol =
    sin(t + 1)/(2*cos(1)) - sin(t - 1)/(2*cos(1)) + (cos(t + atan(cos(1)))*(cos(1)^2 + 1)^(1/2))/cos(1)
    

    5. 无法求解情况

    方程:dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
    代码

    syms y(t) %syms 定义方程用的变量和常量
    eqn=diff(y,2)==(1-y^2)*diff(y)-y; %定义方程dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
    cond=y(0)==1; %定义初值,t=0时,y=1
    S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    解释:方程本身看起来不复杂,但是无法求解
    结果

    警告: Explicit solution could not be found. 
    > In dsolve (line 201) 
    S =
    [ empty sym ]
    

    分析:特定解无法求出,结果是空的方程

    6. 无法求解解决方案

    遇到无法求解的情况,dsolve就束手无策了,但是Matlab依旧强大,提供了求数值解的方法,非常有效。
    我会在另一篇博文里面讲解如何对复杂的微分方程进行数值求解,这才是我解决同学毕设问题的方案。(已写,点击此处查看)
    这里先把同学的题目放在这里,大家可以编写解析解求解方案试一下,反正我求解不出来。
    循环摆微分方程如下:
    在这里插入图片描述
    给定的初值(w接近0,但实际上不能设置为0):
    在这里插入图片描述
    我的求解代码如下:

    syms R(t) v(t) w(t);
    eqns=[diff(R,t)==-v/w-0.01,...
        diff(v,t)==(10*9.8-(w^2*R+9.8*sin(t))*exp(0.1*(t+pi/2)))/(w*11),...
        diff(w,t)==w*0.01/R+2*v/R+9.8*cos(t)/(w*R)];
    cond=[R(0)==1,v(0)==0,w(0)==1e3];
    S=dsolve(eqns,cond);
    

    7. 加油!

    展开全文
  • 常微分方程的数值解,MATLAB的命令格式为: [t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)其中solver选择ode45等函数名,odefun为根据待解方程或方程组编写的m文件名,tspan为自变量的区间[t0,tf],即准备在那个...

    常微分方程数值求解的命令:

    求常微分方程的数值解,MATLAB的命令格式为:

    [t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)
    其中solver选择ode45等函数名,odefun为根据待解方程或方程组编写的m文件名,tspan为自变量的区间[t0,tf],即准备在那个区间上求解,y0表示初始值,options用于设定误差限制。命令格式为:

    options=odeset('reltol',rt,'abstol',at)
    rt输入相对误差,at输入绝对误差。


    常用的函数:

    函数名 简介 适用对象
    ode45 单步,4/5阶龙格库塔法 大部分ODE
    ode23 单步,2/3阶龙格库塔法 快速、精度不高的求解
    0de113 多步,Adams算法 误差要求严格或计算复杂
    注:上述函数仅适用于非刚性方程(组)。

    函数名 简介 适用对象
    ode23t 采用梯形算法 具有一定的刚性特点
    ode15s 多步,反向数值积分法 ode45失效时可以使用
    ode23s 单步,2阶Rosebrock算法 精度设定较低时,速度快
    ode23tb 采用梯形算法 精度设定较低时,速度快

    例1:

    函数的M文件:

    function dx=human(t,x)
    dx=0.05*x;
    使用命令:

    >> [t,x]=ode45('human',[0,100],1000);
    >> plot(t,x)
    >> hold on
    >> x=1000*exp(0.05*t);
    >> plot(t,x,'*')
    绘图比较真实解和数值解。


    例2:

    函数的M文件:

    function dx=compete(t,x)
    dx=zeros(2,1);
    dx(1)=0.01*x(1)*(1-x(1)/50000-0.1*x(2)/60000);
    dx(2)=0.02*x(2)*(1-0.2*x(1)/50000-x(2)/60000);
    使用命令:

    >> [t,x]=ode45('compete',[0,500],[10,10]);
    >> plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
    >> plot(x(:,1),x(:,2))





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常微分方程组的数值解