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  • 10 函数的极限一 x-&...∞ 时 f(x) 是无穷小2 无穷大 无穷大 注意: 1、不能够把无穷大和一个很大常数混为一谈2 、 无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大证明: 无穷大时,f(x)...
    10 函数的极限
    
    一 x->x0 f(x)的极限
    二 x->∞ , f(x)的极限
    三 无穷小、无穷大量
    1 无穷小, limf(x) = 0 (x->x0 或 x->∞) 称 当x->x0 或 x->∞ 时 f(x) 是无穷小
    2 无穷大,


    无穷大 
    注意: 1、不能够把无穷大和一个很大常数混为一谈
    2 、 无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大


    证明: 无穷大时,f(x) 一定是无界函数。11m
    如何证明的没太看明白 28m


    3 、 无穷小、与无穷大的关系
    定理》 如果当x->x0 ( 或 x -> ∞) ,f(x)是无穷大, 则1/f(x) 是无穷小;
    如果当 x ->x0(x->∞) 是无穷小, 且 f(x)不等于0, 则1/f(x) 是无穷大


    证明: x->x0 的情形。


    四 、 海涅定理
    连续自变量的函数x的函数f(x)的极限limf(x) x->x0 或 x->∞ 存在 《==》
    对于任意数列 {Xn|Xn->X0,Xn 不等于X0}
    其所对应的数列 {f(Xn)}有同一极限。
    证明:当x->0, f(x)=sin 1/x 的极限不存在 1h



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  • 称之为常数无穷级数,简称级数,记作。 亦即  其中第项叫做级数的一般项。 上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义,它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来...

    §11.1  常数顶级数的概念和性质

    一、级数的定义

    若给定一个数列 ,由它构成的表达式

                                      (1)

    称之为常数项无穷级数,简称级数,记作

    亦即  

    其中第叫做级数的一般项

    上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义,它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来,因为,这一累加过程是无法完成的。

    为给出级数中无限多个数量相加的数学定义,我们引入部分和概念。

    作级数(1)的前项之和

                                         (2)

    为级数(1)的部分和。当依次取时,它们构成一个新数列

    称此数列为级数(1)的部分和数列

    根据部分和数列(2)是否有极限,我们给出级数(1)收敛与发散的概念。

    定义】当无限增大时,如果级数(1)的部分和数列(2)有极限,即

    则称级数(1)收敛,这时极限叫做级数(1)的,并记作

    如果部分和数列(2)无极限,则称级数(1)发散

    当级数(1)收敛时,其部分和是级数和的近似值,它们之间的差值

    叫做级数的余项

    注明】由级数定义发现,它对加法的规定是:依数列的序号大小次序进行逐项累加,因此,级数的敛散性与这种加法规定的方式有关

    著名反例

    (1)、若逐项相加,部分和为

    ,

    无极限,故级数发散。

    (2)、若每两项相加之后再各项相加,有

    【例1】讨论等比级数

    的敛散性。

    解:若,则部分和为

    (1)、当时,,故

     等比级数收敛,且和为

    (2)、当时,,从而

     等比级数发散;

    (3)、当时,

    ,则

    , 则

    不存在。

    即当时,等比级数发散。

    综合有

    【例2】研究下列伸缩型级数的敛散性

    1、

    2、

    解1、

     从而 

     因此,级数1是发散的。

    解2、

    从而 

    因此,级数2收敛于

    二、级数的基本性质

    性质一】如果级数

    收敛于和,则它的各项同乘以一个常数所得的级数

    也收敛,且和为

    【证明】设的部分和分别为,则

      

    于是,

    故级数收敛且和为

    由关系式 ,有

    如果没有极限,且,那未也没有极限。

    因此,我们得到如下重要结论

    级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的敛散性不变。

    【性质二】设有级数

    分别收敛于, 则级数

    也收敛,且和为

    【证明】设级数的部分和分别为, 则部分和

     

     

    故 

    这表明级数收敛且其和为

    据性质二,我们可得到几个有用的结论

    1、若收敛,则

            (分配律)

            (一种结合律)

    2、若收敛,而发散,则必发散。

    反证:假设收敛,则亦收敛,

    收敛,这与条件相矛盾。

    3、若均发散,那么可能收敛,也可有发散。

    如   ,  

    发散

    又如  ,  

          收敛

    【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项,不会影响级数的敛散性,不过在收敛时,一般来说级数的和是要改变的。

    【证明】将级数

    的前项去掉,得到新级数

    新级数的部分和为

    其中是原级数前项的部分和,而是原级数前项之和(它是一个常数)。故当时,具有相同的敛散性。在收敛时,其收敛的和有关系式

    其中 

    类似地,可以证明在级数的前面增加有限项,不会影响级数的敛散性。

    性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。

    证明】设有收敛级数

    它按照某一规律加括号后所成的级数为

    表示这一新级数的前项之和,它是由原级数中前项之和所构成的(),即有

    显然,当时,有,因此

    级数加括号与去括号之后所得新级数的敛散性较复杂,下列事实在解题中会常用到。

    1、如果级数加括号之后所形成的级数发散,则级数本身也一定发散

    显然,这是性质四的逆否命题。

    2、收敛的级数去括号之后所成级数一定收敛。

    例如,级数收敛于零,但去括号之后所得级数

     

    却是发散的。

    这一事实也可以反过来陈述:

    即使级数加括号之后收敛,它也不一定就收敛。

    三、级数收敛的必要条件

    对于级数

    它的一般项与部分和有关系式  

    假设该级数收敛于和,则

    于是,我们有如下级数收敛的必要条件

    定理】级数收敛的必要条件是

    必须指出,级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件

    【著名反例】讨论调和级数

    的敛散性。

    这里,,即调和级数的一般项趋近于零。

    考虑由轴所围成的曲边梯形的面积与这个阶梯形面积的关系。

    时,,从而,

    因此,调和级数发散到








    §11.2  常数项级数的审敛法

    一、正项级数及审敛法

    若级数中的各项都是非负的( 即),则称级数正项级数

    由于级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题,因此,正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。

    1、基本定理

    正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。

    【证明】设级数

                                   (1)

    是一个正项级数,它的部分和数列

     

    是单调增加的,即 

    若数列有上界,据单调有界数列必有极限的准则,级数(1)必收敛于和,且

    反过来,如果级数(1)收敛于和,即,据极限存在的数列必为有界数列性质可知,部分和数列是有界的。

    2、基本审敛法

    借助正项级数收敛的基本定理,我们来建立一系列具有实用性的正项级数审敛法。

    比较审敛法】给定两个正项级数

    (1)、若,而收敛,则亦收敛;

    (2)、若,而发散,则亦发散。

    这里,级数称作级数比较级数

    【证明】(1) 设收敛于

    的部分和满足

    即单调增加的部分和数列有上界。

    据基本定理知,收敛。

    (2) 设发散,于是它的部分和

    ,有

     

    从而  ,即发散。

    由于级数的每一项同乘以一个非零常数,以及去掉其有限项不会影响它的敛散性,比较审敛法可改写成如下形式

    推论】设为正数,为正整数,均为正项级数

    (1)、若,而收敛,则亦收敛;

    (2)、若,而发散,则亦发散。

    【例1】讨论 级数

    的敛散性,其中

    】1、若,则 ,而调和级数发散,

    故    亦发散;

    2、若,对于 ,有

    考虑比较级数  

    它的部分和  

     

    故 收敛,由比较审敛法, 收敛,

    由级数的性质,亦收敛。

    综上讨论,当 时,级数为发散的;

    当  时,级数是收敛的。

    级数是一个重要的比较级数,在解题中会经常用到。

    比较审敛法还可用其极限形式给出,而极限形式在运用中更显得方便。

    比较审敛法的极限形式

    为两个正项级数,如果极限

    则级数同时收敛或同时发散。

    证明】由极限的定义有

    ,存在着自然数,当时,有不等式

    再据比较审敛法的推论,即获得了要证的结论。

    极限审敛法】设为正项级数,

    (1)、若,则发散;

    (2)、若,则收敛。

    证明】若 

    故 与 具有相同的收敛性,亦即

    (1)、当时,收敛,故收敛;

    (2)、当时,发散,故发散;

    (3)

    (4)

    【例2】判别级数

    、  

    的敛散性。

    解:

    故级数发散;

    故级数收敛。

    比值审敛法

    若正项级数适合

    Ê时,级数收敛;

    Ë(也包括)时,级数发散;

    Ì时,级数的敛散性不详。

    证明

    Ê时,可取一适合小的正数,使得 

    据极限的定义,存在自然数,当时,

    有  

    ,…

    级数的各项小于收敛的等比级数()

    的对应项,故收敛,从而亦收敛;

    Ë时,

    存在充分小的正数,使得,据极限定义,当时,有

     ,

    因此,当时,级数的一般项是逐渐增大的,它不趋向于零,

    由级数收敛的必要条件,发散。

    Ì时,级数可能收敛,也可能发散。

    例如,对于级数,不论取何值,总有

    但是,级数在时收敛,而当时,它是发散。

    根值审敛法

    若正项级数适合

    Ê时,级数收敛;

    Ë(也包括)时,级数发散;

    Ì时,级数的敛散性不详。

    证明

    Ê时,可取一适合小的正数,使得 

    据极限的定义,存在自然数,当时,

    等比级数()是收敛的,因此亦收敛,

    故级数收敛。

    Ë时,

    存在充分小的正数,使得,据极限定义,当时,有

     ,

    因此,级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件,发散。

    Ì时,级数可能收敛,也可能发散。

    例如,级数是收敛,级数是发散的,而

    对于比值法与根值法失效的情形(),其级数的敛散性应加另寻它法加以判定,通常是构造更精细的比较级数

    【例3】判定下列级数的敛散性

    1、

    2、

    3、

    解:1、一般项为 

    由比值审敛法知,级数1是收敛的。

    2、一般项为 

    由根值审敛法知,级数2是收敛的。

    3、一般项为  

    这表明,用比值法无法确定该级数的敛散性。注意到

    而级数收敛,由比较判别法,级数3收敛。

    二、交错级数及其审敛法

    所谓交错级数是这样的级数,它的各项是正、负交错的,其形式如下

                        (1)

    或     

    其中均为正数。

    交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)

    如果交错级数(1)满足条件

    Ê 

    Ë 

    则交错级数(1)收敛,且收敛和,余项的绝对值

    证明

    1、先证存在。

    (1)式的前项的部分和写成如下两种形式

    及  

    由条件(1)  可知

    所有括号内的差均非负,第一个表达式表明:数列是单调增加的;而第二个表达式表明:,数列有上界。

    由单调有界数列必有极限准则,当无限增大时,趋向于某值,并且

    即  

    2、再证

    因 

    由条件(2)  可知,

    由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限,故级数(1)的部分和当时具有极限。这就证明了级数(1)收敛于,且

    3、最后证明

    余项可以写成 

    其绝对值为  

    此式的右端也是一个交错级数,它满足收敛的两个条件,故其和应小于它的首项,即 

    【例4】试证明交错级数

    是收敛的。

    证明

    且  

    故此交错级数收敛,并且和

    三、绝对收敛与条件收敛

    设有级数                           (2)

    其中为任意实数,该级数称为任意项级数

    下面,我们考虑级数(2)各项的绝对值所组成的正项级数

                                 (3)

    的敛散性问题。

    定义

    如果级数(3)收敛,则称级数(2)绝对收敛

    如果级数(3)发散,而级数(2)收敛,则称级数(2)条件收敛

    定理一】如果级数(3)收敛,则级数(2)亦收敛。

    证明】设级数收敛

    令 

    显然 , 且 

     收敛,由比较审敛法,正项级数收敛,

    从而亦收敛,另一方面,

    由级数性质,级数收敛。

    定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。

    【例6】判定任意项级数  的收敛性。

    因 

    收敛,故 亦收敛,

    据定理一,级数收敛。

    【例7】讨论级数  的收敛性。

     因调和级数发散,

    而交错级数收敛,

    故级数非绝对收敛,仅仅是条件收敛的。

    由定理一与例三,可总结出绝对收敛、条件收敛与收敛之间的关系。

    有限项相加的重要性质之一是其和与相加的次序无关(即加法具有交换律、结合律)。这样的性质可否搬到无穷级数呢?

    无穷级数一般不具备这样的性质,即使是条件收敛的级数也不具备有这样的性质。但如果级数绝对收敛,则级数中的各项可任意地改变位置(即交换律成立)、可任意地添加括号(即结合律成立)。

    定理二】如果级数

    绝对收敛,其和为,那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数

    仍绝对收敛,且其和仍为

    【典型例子】交错级数

    条件收敛,设它的收敛和为

    下面讨论它的几种新组合

    1、

    它的前项所作成的部分和为

    对级数的项作如下重排

       (4)

    它的前项所作成的部分和为

    , 

    这表明,重排之后的新级数收敛于

    2、对级数的项作如下重排

    它的前项部分和为

    而  

        

    故,重排之后的新级数收敛于

    1、2可知,级数重排后,改变了级数的收敛和。因此,非绝对收敛的级数不能进行项的重排。






    §11.4  幂级数

    一、函数项级数的一般概念

    设有定义在区间  上的函数列

    由此函数列构成的表达式

                        (1)

    称作函数项级数

    对于确定的值,函数项级数(1)成为常数项级数

                   (2)

    (2)收敛,则称点是函数项级数(1)收敛点

    (2)发散,则称点是函数项级数(1)发散点

    函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域

    函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域

    对于函数项级数收敛域内任意一点(1)收敛, 其收敛和自然应依赖于的取值,故其收敛和应为的函数,即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域,并记

    若将函数项级数(1)的前项之和(即部分和)记作,则在收敛域上有  

    若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上),则   。

    二、幂级数及其收敛域

    函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数,它的形式是

                            (3)

    或           (4)

    其中常数称作幂级数系数

    (4)式是幂级数的一般形式作变量代换可以把它化为(3)的形式。

    因此,在下述讨论中,如不作特殊说明,我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。

    1、幂级数的收敛域、发散域的构造

    先看一个著名的例子,考察等比级数( 显然也是幂级数 )

    的收敛性。

    时,该级数收敛于和

    时,该级数发散。

    因此,该幂级数的收敛域是开区间,发散域是,如果在开区间内取值,则

    由此例,我们观察到,这个幂级数的收敛域是一个区间。事实上,这一结论对一般的幂级数也是成立的。

    定理一(阿贝尔定理)

    时,幂级数收敛,则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛;

    时,幂级数发散,则适合不等式的一切均使幂级数发散。

    证明】先设是幂级数的收敛点, 即级数

    收敛,则 

    于是存在一个正数,使得

    从而

    时,,等比级数收敛,从而

     收敛,故幂级数绝对收敛;

    定理一的第二部分可用反证法证明

    假设幂级数时发散,而有一点适合使级数收敛。

    据定理一的第一部分,级数当时应收敛,这与定理的条件相矛盾,故定理的第二部分应成立。

    阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构

    对于幂级数

    若在处收敛,则在开区间之内,它亦收敛;

    若在处发散,则在开区间之外,它亦发散;

    这表明,幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间

    于是,我们可以这样来寻找幂级数的收敛域与发散域

    幂级数在数轴上既有收敛点(不仅仅只是原点,原点肯定是一个收敛点),也有发散点。

    Œ从原点出发,沿数轴向右方搜寻,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,设这两部分的界点为P,点P可能是收敛点,也可能是发散点;

    从原点出发,沿数轴向左方搜寻,情形也是如此,也可找到一个界点P两个界点在原点的两侧,由定理一知,它们到原点的距离是一样的。

    Ž位于点PP之间的点,就是幂级数的收敛域;位于这两点之外的点,就是幂级数的发散域。

    借助上述几何解释,我们就得到如下重要推论

    推论】如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数存在,它具有下列性质

    Œ时,幂级数绝对收敛;

    时,幂级数发散;

    Ž时,幂级数可能收敛,也可能发散。

    正数通常称作幂级数的收敛半径

    由幂级数在处的敛散性就可决定它在区间上收敛,这区间叫做幂级数的收敛区间

    特别地,如果幂级数只在处收敛,则规定收敛半径;如果幂级数对一切都收敛,则规定收敛半径

    2、幂级数的收敛半径的求法

    定理二】设有幂级数,且

     (是幂级数的相邻两项的系数)

    如果  Œ,则 

    ,则 

    Ž,则 

    证明】考察幂级数的各项取绝对值所成的级数

                    (*)

    该级数相邻两项之比为  

    若  存在,据比值审敛法,

    Œ

    时,级数(*)收敛,从而原幂级数绝对收敛;

    ,即时,级数(*)从某个开始,有

    从而不趋向于零,进而 也不趋向于零,因此原幂级数发散。

    于是,收敛半径 

    ,则对任何,有

    从而级数(*)收敛,原幂级数绝对收敛

    于是, 收敛半径 

    ƒ,则对任何,有

    依极限理论知,从某个开始有

    因此  

    从而  

    原幂级数发散。

    于是,收敛半径

    【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间

    1、

    2、

    解1:这里

    在左端点,幂级数成为

    它是发散的;

    在右端点,幂级数成为

    它是收敛的。

    收敛区间为

    解2.此幂级数缺少奇次幂项,可据比值审敛法的原理来求收敛半径

    ,即时,幂级数收敛;

    ,即时,幂级数发散;

    对于左端点,幂级数成为

    它是发散的;

    对于右端点,幂级数成为

    它也是发散的。

    故收敛区间为 

    【例2】求函数项级数的收敛域

    解:作变量替换 ,则函数项级数变成了幂级数

    因 

    故收敛半径为

    在左端点,幂级数成为

    它是发散的;

    在右端点,幂级数成为

    它也是发散的。

    故收敛区间为 

    即  

    亦即  

    三 幂级数的运算性质

    对下述性质,我们均不予以证明

    1.加,减运算

    设幂级数的收敛区间分别为,记,当时,有

    2.幂级数和函数的性质

    Ê幂级数的和函数在收敛区间内连续。

    Ë若幂级数在敛区的左端点收敛,则其和函数处右连续,即

    Ì若幂级数在敛区的右端点 处收敛,则其和函数处左连续,即

    注:这一性质在求某些特殊的数项级数之和时, 非常有用。

    3.逐项求导

    幂级数的和函数在收敛区间内可导,且有

    4.逐项求积分

    幂级数的和函数在收敛区间内可积,且有

    【例3】求数项级数  之和。

    解:

    时,幂级数成为

    是一收敛的交错级数。

    时,幂级数成为

    是发散的调和级数。

    故  

    且有  

    【例4】求的和函数。

    解:

    设  

    时,幂级数成为

    它是收敛的;

    时,幂级数成为

    它是收敛的;

    因此,当 时,有

    【例5】求 的和。

    解:考虑辅助幂级数  

    设  

     

     

    故,当  时,有

    令 ,得





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  • 1. 1e9+7 这里的"e"是乘方的意思,所以他的准确值就是10^9+7,也就是1000000007。这个整数在int范围内,而且它是一个很的质数,所以是...它加上一个常数没有超过int范围,乘以2也没有超过int范围。但是它最好的地方

    1. 1e9+7

    这里的"e"是乘方的意思,所以他的准确值就是10^9+7,也就是1000000007。这个整数在int范围内,而且它是一个很大的质数,所以是很多初学者常用的一个数。

    用法:

    const int maxn=1e9+7;

    2.1e9+9

    这个和上面一个差不多,也是一个质数,但是不常用。

    3.0x3f3f3f3f

    这是16进制中的一个数,等于1061109567,和1e9+7一个数量级,都是十的九次方。它加上一个常数没有超过int范围,乘以2也没有超过int范围。但是它最好的地方在于和memset搭配使用。因为memset他是一个字节一个字节赋值的,而0x3f3f3f3f正好可以满足这个需求:它每一个字节都是0x3f。是不是杠杠的。。。

    const int maxn=0x3f3f3f3f;
    memset(dp,0x3f,sizeof dp);

    4.0x7fffffff

    这个也是16进制,但他不能满足加上一个常数没有超过int范围,乘以2也没有超过int范围。所以它正在慢慢被0x3f3f3f3f以及1e9+7所取代。

    顺便补充一下,无穷小是0xc0c0c0c0,或者是负的无穷大-1。

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  • §1.5 无穷小与无穷大 一、无穷小 1、无穷小的描述性定义 如果函数当(或) 时的极限为零,那么,称函数为(或) 时的无穷小。 2、无穷小的精确定义 ,(或),当(或)时,有 成立,则称函数为当(或)时的...

    §1.5  无穷小与无穷大

    一、无穷小

    1、无穷小的描述性定义

    如果函数(或) 时的极限为零,那么,称函数(或) 时的无穷小。

    2、无穷小的精确定义

    (或),当(或)时,有

    成立,则称函数为当(或)时的无穷小,记作

    无穷小并不是一个全新的概念,仅仅是在自变量的变化过程中,函数以零为极限。只是由于这类极限在高等数学中具有其特殊的地位,我们宁愿赋予它这一术语

    3、函数极限与无穷小的关系

    【定理】

    在自变量的同一变化过程 (或  )中,具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;

    反之,如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式, 则该常数就是函数的极限。

    【证明】设, 依函数极限的定义有:

    令 , 则 是 时的无穷小,且

    等于它的极限  与一个无穷小  之和。

    反过来,

    设 , 其中  是常数, 是 时的无穷小。

    因 时的无穷小, 依无穷小的定义有:

    从而有      。

    即  是当  时的极限。

    类似地可证明 时的情形 )

    二、无穷大

    1、无穷大的描述性定义

    如果函数(或)时,其绝对值无限地增大,那么称函数 (或) 时的无穷大。

    2、无穷大的精确化定义

    (或 ),当 (或)时,有

    成立,则称函数为当 (或 )时的无穷大

    无穷大是一个全新的概念,对它的理解应注意如下几点:

    (1)、据函数极限定义,若函数当(或)时为无穷大,那么函数的极限实际上是不存在的。但是为了描述函数的这一特别有用的性态,我们宁愿称函数的极限是无穷大,并记作

    (2)、若将定义中换成,就记作

    3、无穷小与无穷大的关系

    【定理】

    在自变量的同一变化过程(或  )中,如果为无穷大,则为无穷小;

    反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。

    这一定理所陈述的事实是显然的, 证明从略。

    【例】试证明: 

    证明:,欲使,只需 

    可取,当 时,有

     

    成立,故

    这一极限具有十分显著的几何特征,它表明:

    直线是曲线的一条铅直渐近线。

    用matlab作出该函数在区间[0,1]上的图形(事实上是[0,0.995])上的图形,可以清楚地看出这一点。

    不难将这一事实推广到一般

    ,则直线  是曲线 的一条铅直渐近线。







    §1.6  极限运算法则

    极限语言只能证明极限,不能求极限。对于简单函数的极限问题,可以先用观察法看出其极限,再用极限语言加以证明,但对于一些形式复杂的函数,就不太容易观察出它的极限。

    因此,研究函数极限的运算法则,便十分的必要。

    【声明】

    1、在下面的讨论中,只给出函数极限的运算法则,这些法则可相应地移植到数列极限。

    2、在下面的讨论中,若下面未标明自变量的变化趋势,表明对均成立的。

    【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。

    【证明】考虑两个无穷小之和的情形。

    设 及  均是当 时无穷小, 而 

    依无穷小的定义, 有:

    只要取,有

    这表明 是当  时的无穷小。

    必须指出:  无限个无穷小之和不一定是无穷小。

    【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

    【证明】设函数 在 的某一邻域 内有界

    设  是当 时的无穷小。

    下面证明  是  时的无穷小

    依函数有界的定义,有:

    依无穷小的定义, 有:

    取  , 从而

    这表明, 是  时的无穷小。

    【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。

    【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。

    有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?

    表面上,这一问题的答案是显然的,即:是无穷小。 其实却不然,因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算

    【定理三】(极限运算的分配律)

    若 ,则 存在,且

    【证明】因 , , 由极限存在与无穷小的关系定理有:

         (  是无穷小 )

    于是      

    由定理1,是无穷小;

    由定理2的推论1, 是无穷小,

    再由定理1,是无穷小;

    总之,是无穷小。

    利用极限与无穷小的关系有

    高等数学中还有许多类似的性质,为此,我们对这一性质专门给出几点注解。

    (1)、均存在,则 存在。

    (2)、若存在,不存在,则不存在。

    【反证法】记 , 假设  存在

    而   或  

    由于  与  均存在,据【定理三】有:

     亦存在。 这与条件产生矛盾,故 不存在。

    (3)、 与  均不存在, 则 可能存在, 也可能不存在。

    【反例】设  , ,显然, 均不存在

    但是                    存在,

    而                        不存在

    【定理四】

    ,则  存在,且

    定理四也有与定理三完全相同的四点注解,它还有两个重要的推论。

    【推论一】

    存在,为常数, 则 

    【推论二】

     存在,为正整数,则

    【定理五】

    ,且,则 存在,且

    对商的极限运算法则, 应注意条件:

    (1)、极限  均存在。

    (2)、作分母的函数  的极限 

    当这两个条件中有一个不满足时, 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。

    【定理六】

    如果 , 而  、, 则 

    【证明】 作函数 , 且 

    由极限的保号性有:         , 即

    故   

    必须指出:即使不等式  严格成立, 结论仍然是,不可以认为是 

    例如:表示圆的内接、外接正n边形的面积, 而表示圆的面积。

    显然, ,但 

    运用上述结论,可帮助我们求大量的函数极限,大大地提高了求极限的能力,也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然,这些结论的获得得益于极限的精确语言。

    首先,我们证明一个最基础,也最有用的结论:

    设  是任意实数,则 

    【例1】

    此极限可作一般性的推广:

    【例2】    

    可对此例作一般性的推广:

    设  是有理分式函数, 与 的多项式,若 , 则

    【证明】由定理5与例1, 有

    【例3】 求  

    【例4】  

    对于有理分式函数,当时,不能使用商的极限法则来求极限。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法:













    §1.7  极限存在准则、两个重要极限

    一、两边夹准则

    如果数列满足下列条件:

    (1)、

    (2)、

    那末数列的极限存在,且

    【证明】因 ,据数列极限定义,有

     

     对于上述, 故可取

    则当  时,有  同时成立,亦即:

    从而有     

    亦即             成立

    这就是说, 

    准则一还可推广到函数极限的情况:

    如果函数满足下列条件:

    (1)、(且  ),(或 )时,有

    成立;

    (2)、

    那么, 存在,且等于  。

    二、重要极限之一 

     证明: 记  , 由于 , 我们不妨只究 这一情形加以证明,如下图所示:

    从几何图形上可清楚地看出:

    于是有两边夹的不等式     

    而  事实上, 当 , 有:

    据两边夹准则, 我们有: 

    而  是偶函数, 故 

    由函数的左右极限的性质知, 

    下面, 我们给出当从1开始,以 为步长减少而趋近于时, 的图象的动画演示

    【例1】用两边夹法则证明:半径为的圆面积为

    正多边形的面积公式为 是正多边形的周长,是边心距。

    如下图所示,考虑圆的内接与外接正多边形的面积,n表示正多边形的边数。

    显然有:,而


    我们可得到圆的面积公式

    至此,利用两边夹法则与1极限,用刘徽割圆术推导出了面圆积公式。借助计算机程序gs0103.m,可给出内外接正多边形夹逼圆面积的数值试验。

     

    【例2】试证明:圆的周长与圆的直径之比为常数

    我们知道, 时,(圆的周长), ,故

    三、单调有界准则

    单调有界数列必有极限。

    这一准则在几何上是非常显然的。例如:设数列单调增加且有上界A。在数轴上将数列的各项画出来, 它们严格地依次从左向右延伸, 且前方有点 A 挡住去路, 因此,这些点必在某点处产生“凝聚”,即:数列  收敛。

    四、重要极限之二  

    记  利用二项展开式, 我们有:

    这表明数列  有界, 它位于(0,3)之间。

    另一方面, 仿上面的形式, 不难写出:

    这说明,数列是单调增加的。

    据准则二, 存在,记作: 

    的展开式有:,因此, 常数

    由   有

    运行matlab程序gs0104.m,可得出时,对应的数列项的近似值。

    极限还可推广到更一般的情形:

    利用变量替换  ,则 ,原极限可变成一种新的形式:          

    【例3】求 

    解: , 令 , 而 

    且         

    原式 = 

    【例4】求极限 

    解: 令  , 

    通过四个例子,可总结出如下求极限技巧。


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常数乘以无穷大等于多少