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  • 常数乘以无穷大等于多少
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    2020-12-31 03:34:28

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    无穷加减常数因无穷大或无穷小而异。

    因为:无穷大加或者减常数=无穷大,e5a48de588b63231313335323631343130323136353331333431353239如:正(或负)无穷大加(或减)3还等于正(或负)无穷大 无穷小加常数等于那个常数,如:0+3=3; 无穷小减常数等于常数的相反数,如:0-3=-3。

    设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数δ(或正数X)。

    只要x适合不等式0X,即x趋于无穷),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

    在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大。

    扩展资料:

    当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与0无限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

    把这些实数写成二进制,小数点后第n位为1,对应于n在子集中;为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应,因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。

    所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去,得到越来越大的无穷大。

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  • “无穷大量”和“无穷小量”在高等数学中都是趋于特定极限的变量的称呼,一个变量在某一极限过程中趋于无穷大(小),那么此变量称为“无穷大(小)量”。比如,当自然数 n 趋于无穷大时,则 n,n的平方(可以换为任意以n...

    实在受不了了,只好出来说两句。好歹也是数学这一行的,看她被你们

    糟蹋成这样实在不忍心。

    “无穷大量”和“无穷小量”在高等数学中都是趋于特定极限的变量的称呼,

    一个变量在某一极限过程中趋于无穷大(小),那么此变量称为“无穷大

    (小)量”。比如,当自然数 n 趋于无穷大时,则 n,n的平方(可以换为

    任意以n为底、指数为正实数的幂函数,或一般的多项式),对数函数

    log(n)(底数可换为任意大于1 的实数),指数函数exp(n)(底数可换为

    任意大于1的正实数)...它们统统叫作无穷大量。其中,自然数 n 是自

    变量,“自然数 n 趋于无穷大”是极限过程,而后面列举的这些函数都可

    以看作是关于 n 的变量。按照这个道理,当实数 x 趋于 0 时,1/x

    就是无穷大量。

    所以请注意,无穷大量有三个要素:

    第一,自变量(随便你用什么字);

    第二,极限过程(自变量的变化趋势---确切地说,趋于哪一个极限);

    第三,因变量(关于自变量有确定的对应关系)。

    三者缺一不可。

    特别地,极限过程不一样,所得是无穷大量还是无穷小量或别的什么

    完全可能不同。还是拿 1/x 为例,x 趋于无穷大时,它是无穷小量;

    x 趋于 0 时,它是无穷大量;而 x 趋于其它有限实数的时候,得到

    的是其它数值极限。

    无穷小量的定义类似。

    明白了定义,再看如何运算。这里所说的运算,当然也就不再是通常的

    简单四则运算,而是极限运算。所以两个无穷的量作运算,首先要求是

    在同一个极限过程中。比方说 n 和 x 都趋于无穷大时,它们本身也是

    无穷大量,但如果彼此没有任何联系,就无法比较和进行运算。

    其次,在同一个极限过程中,所求的其实是在这个极限过程中两个变量

    的四则运算或复合后的新变量的极限值。这首先可以通过观察得知,然

    后最基本的证明方法是用极限定义的“爱不死侬-德他”语言,其它更顺手

    的工具还有“骆必他”法则等等。所求结果也视具体情况而可以是无穷小

    到无穷大的各种极限值,甚至完全可能没有极限!

    总结:

    关东居说什么“lim(2/n),n→0”不是无穷小----错。

    路西南德说“a/b=无穷大;b/a=无穷小”这个式子是数学佯谬----错。

    无穷大量的倒数就是无穷小量,相当于说一个趋于无穷大的变量取

    倒数后趋于0,一个趋于0的变量取倒数后趋于无穷大。这完全正确。

    ---稍微要注意的是那个趋于0的量在极限过程中必须不取0这个值

    --仅仅是极限为0---否则这个极限过程都无法定义。

    胡扯的推论“两者相乘等于一”----还是胡扯。

    前面已经说得很清楚了,无穷大量与无穷大量不一样,无穷小量与

    无穷小量也不一样。一个确定的无穷大量的倒数当然是无穷小,并且

    乘以自身为1,但不等于其它的无穷小量也可以套进来这么做。

    浪人说什么“这就是当今数学上的定义谬误”,更是胡扯。

    想起弗洛伊德羡慕爱因斯坦的理由---因为没人敢于对自己不懂的物理

    胡说八道,而谁都可以对心理学品头论足。估计这个老头子看到上面的

    讨论,嫉妒之情可以减轻不少。

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  • 0乘以无穷大等于多少

    千次阅读 2020-12-22 11:32:17
    展开全部0乘以无穷大等于0,0乘任何数都e69da5e887aa3231313335323631343130323136353331333431363036等于0。1、0是最小的自然数。2、0能被任何非零整数整除。3、0不是奇数,而是偶数(一个非正非负的特殊偶数)。4、0...

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    0乘以无穷大等于0,0乘任何数都e69da5e887aa3231313335323631343130323136353331333431363036等于0。

    1、0是最小的自然数。

    2、0能被任何非零整数整除。

    3、0不是奇数,而是偶数(一个非正非负的特殊偶数)。

    4、0不是质数,也不是合数。

    5、0在多位数中起占位作用,如108中的0表示十位上没有,切不可写作18。

    6、0不可作为多位数的最高位。不过有些编号中需要前面用0补全位数。

    7、0既不是正数也不是负数,而是正数和负数的分界点。当某个数X大于0(即X>0)时,称为正数;反之,当X小于0(即X<0)时,称为负数;而这个数X等于0时,这个数就是0。

    8、0是介于-1和1之间的整数。

    9、0是最小的完全平方数。

    10、0的相反数是0,即,-0=0。

    扩展资料

    0是极为重要的数字,关于0这个数字概念在其它地区很早就有。公元前3000年,巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。

    中国古代的筹算数码中没有“零”,遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“┴ ╥ ”。数字中没有“零”,是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与“零”的出现有关。

    但在我国古代文字中,中文的“零”字出现很早。不过那时它不表示“空无所有”,而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零头”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是:在一百之外,还有一个零头五。但中国古代并没有0这个字体,只有中文的字体零来表示。

    随着阿拉数字的引进。“105”恰恰读作“一百零五”,“零”字与“0”恰好对应,“零”也就具有了“0”的含义。0在我国古代叫做金元数字。

    参考资料来源:百度百科-0

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  • 例题一、 面对这道题,用等价/高阶/低阶无穷小显得不能用(因为是趋近于无穷),但是,我们就要比谁更大,即寻找最大项(张帆老师把这个叫“大哥理论”),然后使用无穷大替换(即用最大项替换全部),在 的时候,...

    e6c17eb55d5153833107d56033dd4648.png

    感谢 @聚创考研 的张帆老师,给我上了一堂生动的课。特此总结一下课上求极限的方法(怕自己忘了)。

    关于求极限的考点

    1.普通求极限

    我们知道求极限的考点往往都是考分子分母型的,因为这样可以有效利用等价/高阶/低阶无穷小的理论,即使求极限是加减乘的类型,我们也尽可能要转化为除法的类型(这就是七种未定式),然而,知道这些还不够,因为考研是一项选拔性考试,不是水平考核性质的考试,学会将应对水平考试的态度和习惯转化为应对选拔性考试十分重要,在此基础上,要清楚的认识到,高数教科书上的题只是最基本的,要应付考研,需要有更深入的思维。在求极限方面也是一样(所以最基本的洛必达法则一般用不上)。

    例题一、

    面对这道题,用等价/高阶/低阶无穷小显得不能用(因为是趋近于无穷),但是,我们就要比谁更大,即寻找最大项(张帆老师把这个叫“大哥理论”),然后使用无穷大替换(即用最大项替换全部),在

    的时候,分子分母的最大项是
    幂次最高项,在
    的时候分子分母的最大项是
    幂次最低项,所以对这道题来说,我们应该寻找幂次最高项,对分子来说,
    是同一幂次的,所以,最大幂次是1,所以我们就把边上那个1和根式里面的
    忽略掉就行了,对于分母来说,最大幂次也是1,至于
    的幂次,因为
    始终是小于等于一的,所以可以把他的幂次当作是常数,也就是0,可以忽略掉,这样一来公式就变成了

    由于

    是趋向于
    负无穷的,所以原式等价于
    也就是1。

    例题二、

    基本操作,

    里的东西减去个1然后等价无穷小替换.

    变成了

    我们知道,等价/高阶/低阶无穷小替换的本质其实是转化为幂函数的形态,所以为了在0处能够把sinx和cosx转化为幂函数,在加减法的环境下应用等价无穷小,就要用到麦克劳林公式(平时老师说不能在加减法情况下应用等价无穷小是因为精度不够,应用了麦克劳林公式就能确保精度,那么到底要展开到哪几项呢?因为分子分母的最大项精度要保持一致才能互相消去,比如这道题就要分母上下可以同时展开到

    的一次幂就能互相消去。),其中
    的展开是
    的展开是
    ,所以
    保留最大项目
    保留1,而分子中的
    也可以展开为
    (这里用到了一个展开公式 (
    当然你直接用麦克劳林也行,只不过用公式会更快一点),由于分母最大项是1次幂,所以保留
    即可这样原式就变成了

    例题三、

    这道题需要用到一个小技巧,即

    ,则分母变为
    ,
    的时候接近于e,由于
    非零因式直接带入原则所以可以去掉,剩下来的用以上两个例题的技巧可以轻松解决(事实上,类似
    这样的式子有一个特点,那就是
    型,这一类型的极限一般是提取一个公共因子使得成为
    类型)。

    例题四、

    由于是

    所以可以用泰勒公式展开得到:

    例题五、

    这里要注意

    的时候分为
    两类,
    的时候

    ,先等价无穷小替换,得到
    以及
    原式变成

    的时候原式变成了
    这个时候要求趋向于无穷的时候,虽然幂函数不适用于这种情况,但幂函数找
    最大项的本质是 无穷大替换,所以我们可以用到 速度的阶的理论,在x趋向于无穷或者0的时候, 指数函数>>幂函数>>对数函数,这个式子里ln里的1完全可以被替换掉,因此原式就变成了

    同理,以下极限也可以应用这个理论,用一个因式替换全部:

    例题六、

    遇到有

    的式子,可以先想办法合并

    例题七、

    第一步先通分化为乘除法得到

    此时,分母无穷小替换得

    此时,我们可以想到,分子的最大项为次数最小的项,通过对分子进行麦克劳林展开可以发现,

    次数最小的项不是
    就是
    ,当然由于
    被消掉了,因此展开得到分子:

    注意,这里有些同学可能觉得分子化到

    就够了,没必要化到
    项,事实上,因为分母的最小项是
    ,所以分子务必也要化到
    来确保精度。

    例题八、

    遇到

    的时候要首先想到平方差公式来化简,如在这道题使用平方差公式化简后变成

    例题九、化幂指函数为对数

    这一类的题比较特殊,比如下面这道题会有同学将两个重要极限之一

    带入求得答案1,事实上,这个答案是错误的,正确的答案是1

    设函数

    的某领域内有定义,且
    ,求

    用同样方法化为对数做。

    例题十、

    某些函数等价无穷小也比较难替换,可以用拉格朗日中值定理来等价无穷小替换

    数列极限

    从而

    例题十、综合应用

    这一类较为繁琐,可能同时用到变限积分、泰勒、等价无穷小、洛必达,一般做题的顺序是先等价无穷小、再泰勒、最后用洛必达,中间化简的过程中遇到极限为常数的因子直接带常数。

    首先令

    化简变限积分得到
    提出
    得到

    使用等价无穷小替换

    并使用常数替换极限为常数的因子
    得到

    使用泰勒公式得到

    最后使用洛必达法则

    下面附上一些常用泰勒展开和等价无穷小,考试的时候务必要记住:

    其中 ①式减②式可以得到

    1减③式可以得到

    ④式减1可以得到

    ⑤式减1,可以得到

    还有一些要记住

    2.变限积分求极限

    一句话,变限积分求极限,一般用洛必达法则,既然应用了洛必达法则,那么变限积分的求导一定又是过不去的一道坎。这个我打算放到求导那章整理。

    此外,某些变限积分的极限化简可以用泰勒公式来简化.

    例1

    这道题常规做法是用洛必达化为

    实际上用泰勒展开也可以做

    例2

    原式

    例3

    这道题分母为1,不能用洛必达,又是趋于无穷不能用泰勒,只能用夹逼准则了。

    趋于0且单调递减

    故当

    时有

    由于

    可以被当作常数

    由于上式左右两端在

    时候的极限都为0

    故由夹逼准则

    3.数列求极限

    数列求极限的方法主要用到了夹逼准则、单调有界准则、化为定积分求解

    例题1:

    证明:(1)

    (2)设

    ,则数列极限存在

    解:

    (1)遇到有根式的分母,首先想到的是分子分母有理化,不等式左右两侧分母无法进一步有理化,只能分式中间开始有理化,同时乘以

    ,使用平方差公式得到:

    变形得到:

    上式很容易看出成立。

    (2)数列极限,要用到单调有界准则,至于怎么用,第一问给了提示。首先判断数列的单调性,让

    故数列单调递减,这样只要证明数列大于某个数就行了,由第一问的结果可以将数列放缩为:

    有界,则
    有极限。

    例题2:

    设数列

    满足:
    ,证明
    收敛,并求

    解:可以用拉格朗日证明数列的单调性

    由于

    单调,故
    单调递减

    由于

    的具体公式没有给出,而仅仅只给出了
    ,所以采用
    数学归纳法。

    时,

    假设

    故对所有

    都有

    由于

    单调有界,故有极限。

    这个时候,不妨设极限为一个常数

    故由

    得到

    求得

    ,故极限为0。

    例题3:

    求极限

    这个要用到夹逼准则,而这种无穷数列恰好又能化为定积分

    变形

    转化为积分

    从而得到极限为

    例题4:

    这题一开始想到夹逼准则,但是实际上不太行,正确思路是化为定积分

    原式=

    例题5:

    时,

    求极限

    我们知道,取对数可以解决的问题有两种,一种是

    的时候可以取对数,还有一种则是本例,把
    乘除化为加减

    由于

    故由夹逼准则得原式=


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