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  • 另一方面,我们也可以从另一个角度看待变化的宇宙常数模型Λ∝α-6,即它可以等同于包含“暗能量”和“温暖暗物质”的模型,但是它们之间没有相互作用。 。 我们发现这也与对温暖暗物质的观测约束完全一致。
  • 气体包括: 乙炔二氧化碳一氧化碳乙烷乙烯氦氢甲烷氮氧
  • 全站仪加乘常数检定:21段法组合加乘常数计算手簿。包括加乘常数结果、相应中误差计算、综合标准差a、b计算。为避免误改、误删。相应计算公式添加保护状态
  • 我们用包括普朗克2015 CMB完整数据,BICEP2和凯克阵列CMB B模式数据,BAO数据以及H0的直接测量在内的观测数据来约束标量和张量扰动的原始功率谱。 为了减轻哈勃常数的局部确定与其他天体观测之间的压力,我们考虑了...
  • 关于ENCUT和k点密度的(离子对静态介电常数+的贡献)的收敛性测试,通过密度泛函扰动理论(DFPT)计算得出。 使用( LOPTICS = True )方法计算的相对于NBANDS的(光学/高频介电常数)收敛测试。 安装 安装非常简单...
  • 使用 AD Rakic 等人引用的 Brendel-Bormann 方法计算各种常见金属在所有可能的光波长上的相对复介电常数。 al.,应用程序。 选择,卷。 37,没有。 1998 年 22 月。 支持的金属: - 银 (Ag) - 金 (Au) - 铜 (Cu) - ...
  • 大家好,我是大老李,今天跟大家聊一个常数:费根鲍姆(第一)常数。这个常数是以其发现者美国数学家:米切尔·费根鲍姆命名的。费根鲍姆于不久前,2019年6月30日去世,享年75岁,因此本期节目也算一个小小的纪念。(上...

    大家好,我是大老李,今天跟大家聊一个常数:费根鲍姆(第一)常数。这个常数是以其发现者美国数学家:米切尔·费根鲍姆命名的。费根鲍姆于不久前,2019年6月30日去世,享年75岁,因此本期节目也算一个小小的纪念。

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    (上图:米切尔·费根鲍姆(Mitchell J. Feigenbaum),1944-2019)

    要理解费根鲍姆常数,我们需要从了解一个生物种群数量变动模型开始。很关心,科学家就很关心生物种群数量的变动模型问题。因为包括我们人类本身也是一种生物种群,人类未来人口数量是增加还是减少,如何变动,当然是一个非常重要的问题。

    1845年,比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒(Pierre François Verhulst,1904-1849)提出了这样一个人口变动模型:他假设地球或者一个特定的相对封闭的生物群落,存在一个理想的人口数量,称其为“可维持人口数”。一旦人口超过这个数量,那么由于资源的匮乏和紧张,人口就要减少。如果人口低于这个可维持人口数,则因为资源充裕,人口就会增加。

    另外,人口的变化当然还与平均生育率或者说繁殖率相关。韦吕勒提出了这么一个公式:如果把“当前人口数/可维持人口数”这个比值记为x,繁殖率记为r,则:

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    可以看出,如果当前人口超过可维持人口,那么x就会大于1, 以上公式的取值就会小于0,也就是人口会减少。如果比值小于1,则人口增加。

    以上这个模型看上去是有点道理,不过这个模型在生物学上是否有用,有何意义对今天节目来说是完全无关紧要的。我们只需要知道有这个模型。

    韦吕勒把以上的人口变动模型公式命名为:Logistic Map。这个名字是有点让人迷惑的,Map是映射的意思,Logistic字典里说是后勤保障的意思。那Logistic Map就是“后勤映射”?这个翻译听上去太奇怪了。有道词典上给这个Logistic Ma的翻译是“逻辑斯谛映射”,这个翻译太糟糕了,翻译了等于没翻译。

    维基百科上给了一个翻译叫“单峰映射”,这个翻译好一点。但这个翻译是从曲线形状来的,因为1cb561dea31a92b7cc918625e5bd3715.png是一个二次函数,二次函数在图像上一般只有一个最大或最小值,图像上就是”一座峰“,所以叫单峰映射。

    但这个翻译完全与英文原文无关了。大老李考证了一下Logistic Map名称的来历,终于发现维基百科上有注释原来这个Logsitic其实是来自于法语中的Logistique一词,因为韦吕勒是比利时人,比利时的官方语言之一是法语。而法语中的的Logistique一词,又是来源于古希腊语中的同根词,在古希腊语中,这个词有“居住,住宿的意思“,比如,英语里有logding一词,就是来源同一词源。

    既然与“居住”,“住宿“有关,那么Logistic Map以下我就翻译为”生存空间映射”了。以上有点扯远,但是考证一下这个词的意思还是挺有意思的,看来不光是中国人看不懂,英语为母语的人也没太搞懂韦吕勒发明的这个术语。

    接下来要聊聊费根鲍姆了。费根鲍姆1944年生于美国费城,父母是分别来自波兰和乌克兰的犹太裔移民。少年时代的费根鲍姆对电气工程很感兴趣,曾希望成为电气工程师,因此他选择进入纽约城市大学的电气工程专业学习。但他后来才发现收音机中用到的知识只是物理理论里很小的一部分。

    因此,他从纽约城市大学毕业后,考入了麻省理工大学攻读物理博士学位。1970年,26岁的费根鲍姆取得了物理学的博士学位。1974年,他进入洛斯阿拉莫斯实验室,成为一个专职研究员,当时他的研究领域是流体中的湍流现象。尽管完整的湍流理论至今还有待建立,但是这方面的研究使他接触到了“混沌映射”(chaotic map)理论,这在当时还属于新兴研究领域。


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    (上图:当层流遇到障碍物时转变为湍流。湍流(英语:turbulence),也稱為紊流(大陆地区的旧称),是流体的一种流动状态。当流速很小时,流体分层流动,互不混合,称为层流,或称为片流;逐渐增加流速,流体的流线开始出现波浪状的摆动,摆动的频率及振幅随流速的增加而增加,此种流况称为过渡流;当流速增加到很大时,流线不再清楚可辨,流场中有许多小漩涡,称为湍流。)


    而之前提到的“生存空间映射”就是“混沌映射”的一种,费根鲍姆开始考虑这样一个问题:“生存空间映射”中,如果给定一个固定的繁殖率参数r,取不同的x,进行反复迭代,将上一次的计算结果,作为下一次的参数x进行计算,那么最终结果会如何? 是否x会变为0,也就是物种灭绝,还是出现某种循环状态等等?

    虽然这个问题用现在的个人电脑可以轻易地编写出程序,很快地对各种可能参数进行模拟,但1970年代的计算机还非常昂贵,不是你想用就能用的。所以费根鲍姆就搞来了一台当时很时髦的HP-65计算器(也是之前节目中提到过,康威用来计算大魔群用的计算器),手动开始进行”生存空间映射”的模拟计算。

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    上图:HP-65计算器,1974年上市,当时售价约800美元

    各位听众如果手头有一台科学计算器,那么你大可以拿出计算器,感受下这一计算过程。现在,我们的目标是考察“生存空间映射”:75be1d7fcde45c75d4c79ce1d6505c27.png在不同的r值下,反复迭代后的最终表现。

    那我们先随便取一个繁殖率参数r的值,比如0.6,x的初值含义是当前人口除以“可维持人口”的比值。但在我们这个纯数学讨论中,这个值可以取任何值。且好在费根鲍姆已经帮我们计算过了,我们知道最终的结论是对绝大多数r,x初值并不重要,最终还是会回归到某种稳定情况。所以,我推荐各位x的初值就取0.5,这样你可以比较快得看到收敛。

    那么我们把r=0.6,x=0.5代入,得:

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    因为要计算迭代过程,所以我们把上一次计算的结果0.15代入公式,计算下一代的人口变化,也就是计算:

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    (上图:善用“ANS”键的功能,可以大大加速迭代计算。)


    那么之前我们得到最新值是0.0765,当你把这个值继续作为x代入,不断反复迭代计算后,你会发现计算结果越来越小,直到超过计算器的指数存储上限,计算器最终会显示0。

    所以,我们知道,当繁殖率参数为0.6是,种群最终消亡了。但这只是繁殖率为0.6的情况,费根鲍姆尝试了非常多的r值,以及不同初始x值的组合,最终有了惊人发现。在节目里,我就不对其他数字做具体说明了,只简单汇报下,不同的繁殖率参数产生的不同结果。

    首先,当繁殖率参数在0到1之间时,种群数量最终趋向于0。这是符合直觉的,因为繁殖率太低了。

    当繁殖率在1到2之间时,物种就不灭绝了,而是最终稳定在d70fe3331d7e00f7314431c4d39010b5.png这个值上,且不依赖于x初值。比如当r=1.5时,x会稳定在⅓,即种群数量稳定在单个数值上。这一点请各位用计算器自行验证。

    当繁殖率在2-3之间时,x最终仍然稳定在d70fe3331d7e00f7314431c4d39010b5.png这个值上,但这次,在收敛到这个终值前,函数值会在这个收敛值的上下摆动很长一段时间,尤其是当r=3的时候。也就是,你计算器要按非常非常多的时间。我自己尝试了一下,当r=3时,理论上映射应该稳定在643f4b6120770c37dacc29be58e57596.png这个值上。但我计算器迭代了上百次,按到手指酸了,仍然没有稳定在这个值上,虽然是越来越接近了,但收敛非常缓慢。这很有意思,虽然r在1到2,和2到3,映射的收敛情况是一样的,但是收敛速度相差非常大。

    当繁殖率在3到约3.44949之间时,几乎所有的x初值都能使函数最终稳定在两个值之间的震荡状态中,也就是A-B-A-B,来回摆动。而A,B的值是与繁殖率相关的。

    当繁殖率在3.44949到3.54409时,最终的结果是在四个数字中来回震荡了。

    而当繁殖率3.54409到3.56695这样一个狭小范围内,你也许能猜到,函数值会在不同位置,在8个,16,32个等等数字之间来回震荡。

    而当r等约于3.56695时,这个位置是一个混沌起始点。不管初值如何,都无法观察到函数最终稳定在有限的几个数字上。而且微小的初值变化,可以使最终结果发生巨大的不同。

    当r大于3.56695时,情况类似,几乎都是混沌局域。但是神奇的时,还是会有那么一些不怎么混沌的区域,比如74f558e1364dc233d18425eb5f271ba3.png附近。当r在这个值附近是,函数又会出现周期性的震荡,而且这次是在三个值之间震荡。74f558e1364dc233d18425eb5f271ba3.png附近的这个范围现在就被称为“稳定岛”(stable island),因为它是在一大片混沌区域中,相对安全的一个“岛屿”。

    以上大致介绍了一下,不同的繁殖率r值时,“生存空间”映射迭代后的最终表现,总结就是从很有规律的收敛到1个值,到逐渐复杂,变为在2个,4个,8个值之间来回震荡等等,再到混沌。到混沌之后,又出现了神奇的一小片一小片的“稳定岛”。

    以上我说的简单,但是要在计算器上按出这些结果,不但需要毅力而且需要很强大的观察力和想象力。费根鲍姆当初就在思考,这些结果到底有什么含义呢?能否用根直观的方法体现出来?

    确实有,费根鲍姆想到了用坐标图来使以上结果“可视化”。最终画出的这幅图现在被称为“分叉图”(Bifurcation diagram),它几乎会出现在每一本讲述混沌理论的书。这幅图我也放在了节目介绍里:

    9f35fad0641f9b57485b1f1467d53a91.png 这幅图是这样解读的:横坐标是繁殖率参数r,纵坐标是x。如果对某个r,最终x稳定在单个值上,那么就在对应的(r,x)位置画一点。如果是在两个值a,b之间震荡,则就在图中对(r,a)和(r,b)两个点画上颜色,依此类推。那么整幅图中,如果某区域点比较多,颜色比较深,就是x在非常多的值之间震荡或者混沌的区域。而颜色比较浅的区域,就是比较有规律,不怎么混沌的区域。所以在这幅图中,你可以清晰的看到在r=3之后,函数值开始在两个值之间震荡,在3.44949位置,分为4个叉等等。而右边比深色区域中的狭长浅色区域就是“稳定岛”。

    这幅图非常直观,但还没完,费根鲍姆还观察到,图上映射图像发生分叉的位置,也就是1分2,2分4,4分8的位置是有规律的。这个规律就是前两次分叉之间的距离除以后两次分叉之间的距离的比值极限约为常数4.6692…。

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    (上图:费根鲍姆(第一)常数的定义,93072161f41c1225de2ffb2265a1662c.png是第n次分叉发生位置的横坐标)

    而这个4.6692的比值,就是这就是费根鲍姆常数!1975年,费根鲍姆发现了这个常数。1986年,费根鲍姆获得了物理学的沃尔夫奖。此后,费根鲍姆也在多个数学物理领域作出了贡献。

    洛克菲勒大学教授,费根鲍姆的密切合作者和好友Eric D Siggia回忆费根鲍姆说:“Mitchell Feigenbaum是一位具有伟大创意和博学的数学物理学家,他给那些遇见他的人留下了难忘的印象… 尽管他对非线性动力学的研究做出了最为深远的贡献,但他的独特观察能力使他能够转向引人注目的非常规主题 - 制图,反假冒,天文学,光学,视觉,艺术,哲学等等。”

    费根鲍姆常数发现至今已44年。虽然猜测它是超越数,但是至今未能证明。另外也有人考察是否能用已知常数表示费根鲍姆常数。就像很早之前,人们就知道自然数的平方倒数和约等于1.64等等,但直到欧拉的发现,人们才知道这其实就是de283b2da5e45b9ec748d78049bad7a4.png

    对费根鲍姆常数,有一个很有意思也很神秘的近似值:

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    它可以与费根鲍姆常数吻合到小数点后6位,但可惜不是精确吻合。所以这个式子有没有意义就不知道了。

    另外费根鲍姆常数并不仅仅出现在“生存空间”映射中。数学家还研究了其他的一些映射,比如复数平面上的的74f3f830af841acc0298e17bbe339ce0.pnga15e46ea4b4dfbc5fdf94d7b68842e8e.png等等。这些二维平面下的映射,根据不同的c值,也会出现从规律性的震荡到混沌的现象,而且从这些映射的分叉图中,也观察到了费根鲍姆常数,由此证明了费根鲍姆常数的在混沌现象中的普适作用,这凸显了这个常数在混沌领域中重要性。

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    (上图:cx(1-x^2)和csinx的分叉图,其中都能观察到在“生存空间映射“中出现的相同的模式)

    以上,差不多粗浅介绍了费根鲍姆常数的来历,它是确实是一个按计算器按出来的常数。费根鲍姆曾说,正是在反复按计算器,观察输出结果的过程中,给了他将结果画在坐标图上的灵感。如果使用现代计算机,虽然可以一下次产生海量的数值结果,但他可能会迷失在数据海洋中,而无法找到其中的规律。

    所以,各位听众如果想研究些数学问题,无需迷信计算机,不同的问题有不同的研究方法。很多问题也许用纸笔研究更好。而混沌问题又是一个数学中神秘而有趣的领域,有无穷的秘密等待人类探索。这期节目到这里,如果你喜欢大老李的节目,务必请订阅转发,下期再见!

    参考链接:

    https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

     https://hypertextbook.com/chaos/universality/

    https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%96%AE%E5%B3%B0%E6%98%A0%E8%B1%A1#cite_note-1

    http://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/68535061

    http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html

    http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html
    https://www.rockefeller.edu/news/26289-mitchell-feigenbaum-physicist-pioneered-chaos-theory-died/

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  • 在verilog-2001标准里面,常数(constant numbers)分为整数(integer constants)和实数(real constants)两种类型。 整数可以是十进制(decimal)、十六进制(hexadecimal)、八进制(octal)以及二进制(binary...

    博主的微信公众号:FPGA动力联盟

    博主的个人微信:fpga_start

    博客原文链接:verilog之常数终极使用规则

    在verilog-2001标准里面,常数(constant numbers)分为整数(integer constants)和实数(real constants)两种类型。

    整数可以是十进制(decimal)、十六进制(hexadecimal)、八进制(octal)以及二进制(binary)格式,实数则可以是十进制记数格式或者科学记数格式。

    实际上,实数在我们FPGA实践中几乎不用,verilog-2001标准对实数的描述也不多。但整数常数却处处可见,处处在用。所以我们必须对整数常数的定义和使用规则了然于胸,这样使用起来才会得心应手,减少代码的bug。

    下面,博主先给出几个整数常数应用的例子,如果您都能理解,说明您verilog掌握的非常棒,当然也比博主强,就不用浪费时间看博主接下来的夸夸其谈了~但是如果您还有疑惑,请继续往下滑动手机,接下来的内容值得您花十分钟学习与思考,绝对收获满满!

    示例 1 - 未定位宽size的常数

    659 // 是十进制数

    'h 837FF // 是一个十六进制数

    'o7460 // 是一个八进制数

    4af // 是非法的(十六进制格式需要 'h)

    示例 2 - 位宽size固定的数字

    4’b1001 // 是一个 4 位二进制数

    5 'D 3 // 是一个 5 位十进制数

    3’b01x // 是一个 3 位数字,最低位未知

    12’hx // 是一个 12 位的未知数

    16’hz // 是一个 16 位的高阻数

    示例 3 - 对常量使用符号

    8 'd -6 // 这是非法的语法

    -8 'd 6 // 这定义了 6 的二进制补码,保存在 8 位中,相当于 -(8’d 6)

    4 'shf // 这表示 4 位数字‘1111’,被解释为二进制补码或“-1”,这相当于 -4'h 1

    -4 'sd15 // 这相当于 -(-4'd 1) 或 '0001'。

    示例 4 - 自动左填充

    reg [11:0] a, b, c, d;

    initial begin

    a = 'h x; // 产生 xxx

    b = 'h 3x; // 产生 03x

    c = 'h z3; // 产生 zz3

    d = 'h 0z3; // 产生 0z3

    end

    reg [84:0] e, f, g;

    e = 'h5; // 产生 {82{1'b0},3'b101}

    f = 'hx; // 产生 {85{1'hx}}

    g = 'hz; // 产生 {85{1'hz}}

    示例 5 - 在数字中使用下划线字符

    27_195_000

    16’b0011_0101_0001_1111

    32’h 12ab_f001

    27_195_000

    16’b0011_0101_0001_1111

    32’h 12ab_f001

    下面我们研究一下verilog-2001标准里面常数的完整定义,其中方括号“[]”里面的定义是可选的,花括号“{}”表示可以多次复制当中的内容,“|”表示或的含义:(标准初看可能一头雾水,稍后博主会用白话慢慢道来)

    constant number分为:integer constants和real constants。

    integer constants的表示方法则分为:

    十进制常数:decimal_number

    八进制常数:octal_number

    二进制常数:binary_number

    十六进制常数:hex_number

    real constants的表示方法则分为:

    十进制记数法:

    unsigned_number . unsigned_number

    科学记数法:

    unsigned_number [ . unsigned_number ] exp [ sign ] unsigned_number

    其中exp的含义为e 或 E(大小写均可)。

    十进制常数decimal_number的具体表示格式则有以下4种形式:

    unsigned_number

    [ size ] decimal_base unsigned_number

    [ size ] decimal_base x_digit { _ }

    [ size ] decimal_base z_digit { _ }

    二进制常数binary_number的具体表示格式则有以下1种形式:

    [ size ] binary_base binary_value

    八进制常数octal_number的具体表示格式则有以下1种形式:

    [ size ] octal_base octal_value

    十六进制常数hex_number的具体表示格式则有以下1种形式:

    [ size ] hex_base hex_value

    常数的符号sign则有正(+)和负(-)两种表示。注意:这里我们不要理解成加号和减号(二元运算符)了,这里的正负号只是一元运算符,仅表示常数的正负极性。

    size 则定义为非零的十进制无符号数non_zero_unsigned_number。

    non_zero_unsigned_number的格式为

    non_zero_decimal_digit { _ | decimal_digit},中间不能含空格。

    unsigned_number的格式为decimal_digit { _ | decimal_digit },中间不能含空格。

    binary_value的格式为binary_digit { _ | binary_digit },中间不能含空格。

    octal_value的格式为octal_digit { _ | octal_digit },中间不能含空格。

    hex_value的格式为 hex_digit { _ | hex_digit },中间不能含空格。

    十进制基底decimal_base的格式为'[s|S]d | '[s|S]D,中间不能含空格。

    二进制基底binary_base的格式为'[s|S]b | '[s|S]B,中间不能含空格。

    八进制基底octal_base的格式为 '[s|S]o | '[s|S]O,中间不能含空格。

    十六进制基底hex_base的格式为 '[s|S]h | '[s|S]H,中间不能含空格。

    non_zero_decimal_digit 的数字包含:1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

    decimal_digit 的数字包含:0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

    binary_digit 的数字包含:x_digit | z_digit | 0 | 1

    octal_digit的数字包含:x_digit | z_digit | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

    hex_digit 的数字包含:x_digit | z_digit | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9| a | b | c | d | e | f | A | B | C | D | E | F

    x_digit 的含义为x | X

    z_digit 的含义为z | Z | ?

    integer constants详解

    上面说过,整数常量可以指定为十进制、十六进制、八进制或二进制格式,并且也有两种形式来表示整数常量。

    第一种形式的整数常量是一个简单的十进制数,可选择以“+”或“-”符号开头。

    第二种形式的整数常量由三个部分组成:第一部分size是一个可选的位宽常量、第二部分base_format是一个单引号后跟一个基本格式字符,第三个部分是代表数值的数字。

    第一部分指定整数常数的位宽,是一个非零的无符号十进制数。 例如,两个十六进制数字的位宽是 8,因为一个十六进制数字需要 4 位。 高位未知(X 或 x)或三态(Z 或 z)的无位宽、无符号常量会将x或z扩展到包含该常量的表达式的位宽,但在verilog-1995中,x或z只能扩展到32bit。

    第二部分base_format应由一个不区分大小写的字母组成,用来指定数字的基数。基数为 d、D、h、H、o、O、b 或 B,分别表示基数为十进制、十六进制、八进制和二进制,基数之前是一个可选的单个字符 s(或 S),以表示为有符号数(当常数为无符号数时,该字符可以省略),基数前面是单引号字符(’),且单引号字符和基数之间不能含有空格。

    第三部分则是一个无符号数,应由对应基数的数字组成。 该无符号数字格式可选地以空格开头。 如果该无符号数为十六进制,则数字 a 到 f 不区分大小写。

    没有位宽size和base_format的简单十进制数会被当作有符号整数integer处理,而如果包含 s/S 标志符,则用base_format指定的数字应被视为有符号整数,如果仅使用base_format,则应视为无符号整数。这里我们要注意: s/S 标志符不影响每一bit的值,只影响综合软件判定其是否为有符号数!

    常数第一部分前面的“+”或“-”运算符是一元运算符,用来表示常数是正数还是负数。如果是负数,则综合软件以二进制补码表示。

    x/X 表示十六进制、八进制和二进制常量中的未知值,z 代表高阻抗值。x 应将十六进制基数中的 4 位设置为未知、八进制基数中设置 3 位、二进制基数中设置 1 位。 同理,z 应分别设置 4 位、3 位和 1 位为高阻值。

    如果第三部分的无符号数值的位宽小于常量指定的位宽,则无符号数应在左侧填充零来满足指定的位宽。如果无符号数中最左边的位是 x 或 z,则应分别使用 x 或 z 向左填充。

    除第一个字符外,下划线字符 (_) 在第三部分数值中的任何位置都是合法的。下划线字符被忽略。 此功能可用于拆分长数字以提高可读性。

    除了上述常数的关键要点外,还有以下3点我们要注意:

    1. 有位宽size定义的负常数(比如-5’d2)或者有位宽size定义的有符号常数(5’sd2)被assign赋值给reg或wire型变量时,无论该变量是有/无符号数,常数都做有符号位扩展。
    2. 用于指定integer constants的三个部分中的每一个部分都可以被宏定义替换。
    3. 没有指定第一部分size的integer constants(简单的十进制数或没有位宽指定的数)的位宽至少都是32bit。

    实数(real constants)

    实数是按照IEEE双精度浮点数标准(IEEE Std 754-1985 [B1])的描述来表示的。

    实数可以用十进制记数法(例如,14.72)或科学记数法(例如,39e8,表示 39 乘以 10 的八次方)来指定,其中用小数点表示的实数应在小数点的每一侧至少有一位。

    例子:

    1.2//十进制记数法

    0.1//十进制记数法

    2394.26331//十进制记数法

    1.2E12(指数符号可以是e或E)//科学记数法

    1.30e-2//科学记数法

    0.1e-0//科学记数法

    23E10//科学记数法

    29E-2//科学记数法

    236.123_763_e-12//科学记数法(下划线被忽略)

    以下是错误的实数形式,因为小数点的每一侧都没有至少一个数字:

    .12

    9.

    4.E3

    .2e-7

    参考文献:

    1,IEEE verilog-2001标准

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    c++ 常数乘以矩阵

    In the last post I introduced variables in C.

    在上一篇文章中,我介绍了C语言中的变量

    In this post I want to tell you everything about constants in C.

    在这篇文章中,我想告诉您有关C常量的所有信息。

    A constant is declared similarly to variables, except it is prepended with the const keyword, and you always need to specify a value.

    常量的声明与变量的声明类似,不同之处在于const带有const关键字,并且您始终需要指定一个值。

    Like this:

    像这样:

    const int age = 37;

    This is perfectly valid C, although it is common to declare constants uppercase, like this:

    这是完全有效的C语言,尽管通常将常量声明为大写,如下所示:

    const int AGE = 37;

    It’s just a convention, but one that can greatly help you while reading or writing a C program as it improves readability. Uppercase name means constant, lowercase name means variable.

    这只是一个约定,但是可以提高您的可读性,因此在读或写C程序时可以极大地帮助您。 大写名称表示常量,小写名称表示变量。

    A constant name follows the same rules for variable names: can contain any uppercase or lowercase letter, can contain digits and the underscore character, but it can’t start with a digit. AGE and Age10 are valid variable names, 1AGE is not.

    常量名称遵循与变量名称相同的规则:可以包含任何大写或小写字母,可以包含数字和下划线字符,但不能以数字开头。 AGEAge10是有效的变量名, 1AGE不是。

    Another way to define constants is by using this syntax:

    定义常量的另一种方法是使用以下语法:

    #define AGE 37

    In this case, you don’t need to add a type, and you don’t also need the = equal sign, and you omit the semicolon at the end.

    在这种情况下,您不需要添加类型,也不需要=等号,并且最后省略了分号。

    The C compiler will infer the type from the value specified, at compile time.

    C编译器将在编译时根据指定的值推断类型。

    翻译自: https://flaviocopes.com/c-constants/

    c++ 常数乘以矩阵

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