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  • 从最小二乘法看方差定义
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    2018-04-25 11:41:41
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  • 期望和方差定义证明以及性质 \qquad分布函数是对随机变量概率性质最完整的刻画,而随机变量的数字特征则是对某些由随机变量的分布所决定的常数,它刻画了随机变量(或者说,刻画了其分布)的某一方面的性质。 ...


    1 背景

    分布函数是对随机变量的概率性质最完整的刻画,而随机变量的数字特征则是对某些由随机变量的分布所决定的常数,它刻画了随机变量(或者说,刻画了其分布)的某一方面的性质。我们在了解某一行业工人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均收入(即期望),这给了我们一个总体印象。另一类重要的数字特征,是衡量一个随机变量(或其分布)取值的散布程度(即方差)。

    2 数学期望

    2.1 定义

    离散型随机变量 X X X的分布律为
    P { X = x k } = p k ,   k = 1 , 2 , 3 ⋅ ⋅ ⋅ . P\{X=x_k\}=p_{k},\ k=1, 2, 3···. P{X=xk}=pk, k=1,2,3.
    若级数
    ∑ k = 1 ∞ x k p k \sum_{k=1}^{\infty}{x_kp_k} k=1xkpk
    绝对收敛(即 ∑ k = 1 ∞ ∣ x k ∣ p k < ∞ \sum_{k=1}^{\infty}{|x_k|p_k}<\infty k=1xkpk<),则称级数 ∑ k = 1 ∞ x k p k \sum_{k=1}^{\infty}{x_kp_k} k=1xkpk的和为随机变量 X X X的数学期望,记为 E ( X ) E(X) E(X),即
    E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k p k E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}{x_kp_k} E(X)=k=1xkpk
    连续型随机变量 X X X的概率密度为 f ( x ) f(x) f(x),若积分
    ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx} xf(x)dx
    绝对收敛,则称积分 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx} xf(x)dx的值为随机变量 X X X的数学期望,记为 E ( X ) E(X) E(X),即
    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx} E(X)=xf(x)dx

    2.2 性质

    假设所遇到的随机变量的数学期望存在,则其期望具有以下重要的性质

    性质1:设 C C C是常数,则有 E ( C ) = C . E(C)=C. E(C)=C.
    性质2:设 X X X是一个随机变量, C C C是常数,则有 E ( C X ) = C E ( X ) . E(CX)=CE(X). E(CX)=CE(X).
    性质3: 设 X , Y X,Y X,Y是俩个随机变量,则有 E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) . E(X+Y)=E(X)+E(Y). E(X+Y)=E(X)+E(Y).这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。
    性质4: 设 X , Y X,Y X,Y是相互独立的随机变量,则有 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) . E(XY)=E(X)E(Y). E(XY)=E(X)E(Y).这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。

    2.3 证明

    证明1: 设随机变量 X X X为常数 C C C,其概率密度为 f ( x ) f(x) f(x),则根据期望定义可得
    ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ C f ( x ) d x = C ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = C , \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx} &=\int_{-\infty}^{\infty}{Cf(x)dx}\\ &=C\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}\\ &=C, \end{aligned} xf(x)dx=Cf(x)dx=Cf(x)dx=C,证毕。

    证明2:设随机变量 X X X的概率密度为 f ( x ) f(x) f(x) C C C为常数,则根据期望定义可得
    E ( C X ) = ∫ − ∞ ∞ C x f ( x ) d x = C ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = C E ( X ) , \begin{aligned} E(CX)&=\int_{-\infty}^{\infty}{Cxf(x)dx}\\ &=C\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx}\\ &=CE(X), \end{aligned} E(CX)=Cxf(x)dx=Cxf(x)dx=CE(X),证毕。

    证明3:设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y).其边缘概率密度为 f X ( x ) , f Y ( y ) f_X{(x)},f_Y{(y)} fX(x),fY(y),由复合随机变量的期望可得
    E ( X + Y ) = ∫ − ∞ ∞ ( x + y ) f ( x + y ) d x d y = ∫ − ∞ ∞ x f ( x + y ) d x d y + ∫ − ∞ ∞ y f ( x + y ) d x d y = E ( X ) + E ( Y ) , \begin{aligned} E(X+Y)&=\int_{-\infty}^{\infty}{(x+y)f(x+y)dxdy}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x+y)dxdy}+\int_{-\infty}^{\infty}{yf(x+y)dxdy}\\ &=E(X)+E(Y), \end{aligned} E(X+Y)=(x+y)f(x+y)dxdy=xf(x+y)dxdy+yf(x+y)dxdy=E(X)+E(Y),证毕。
    证明4:接着证明3,又若 X 和 Y X和Y XY相互独立,
    E ( X Y ) = ∫ − ∞ ∞ x y f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ ∞ x y f X ( x ) f Y ( y ) d x d y = [ ∫ − ∞ ∞ x f X ( x ) d x ] [ ∫ − ∞ ∞ x f X ( x ) d x ] = E ( X ) E ( Y ) , \begin{aligned} E(XY)&=\int_{-\infty}^{\infty}{xyf(x,y)dxdy}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{xyf_X{(x)}f_Y{(y)}dxdy}\\ &=[\int_{-\infty}^{\infty}{xf_X{(x)}dx}][\int_{-\infty}^{\infty}{xf_X{(x)}}dx]\\ &=E(X)E(Y), \end{aligned} E(XY)=xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y)dxdy=[xfX(x)dx][xfX(x)dx]=E(X)E(Y),证毕。

    3 方差

    3.1 定义

    X X X是一个随机变量,若 E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{[X-E(X)]^2\} E{[XE(X)]2}存在,则称 E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{[X-E(X)]^2\} E{[XE(X)]2} X X X方差,记为 D ( X ) D(X) D(X) V a r ( X ) Var(X) Var(X),即
    D ( X ) = V a r ( X ) = E { [ X − E ( X ) ] 2 } . D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\}. D(X)=Var(X)=E{[XE(X)]2}.应用中还引入量 D ( X ) \sqrt{D(X)} D(X) ,记为 σ ( X ) \sigma(X) σ(X),称为标准差均方差

    对于离散型随机变量,有
    D ( X ) = ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p x , \begin{aligned} D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}{[x_k-E(X)]^2p_x}, \end{aligned} D(X)=k=1[xkE(X)]2px,其中 P { X = x k } = p x , k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ P\{X=x_k\}=p_x,k=1,2,··· P{X=xk}=px,k=1,2, X X X的分布律。

    对于连续型随机变量,有
    D ( X ) = ∫ − ∞ ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 f x , \begin{aligned} D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{[x_k-E(X)]^2f_x}, \end{aligned} D(X)=[xkE(X)]2fx,其中 f ( x ) f(x) f(x) X X X的概率密度。

    3.2 性质

    性质1:设 C C C是常数,则有 D ( C ) = 0. D(C)=0. D(C)=0.
    性质2:设 X X X是一个随机变量, C C C是常数,则有 D ( C X ) = C 2 D ( X ) , D ( X + C ) = D ( X ) . D(CX)=C^2D(X),D(X+C)=D(X). D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X).
    性质3: 设 X , Y X,Y X,Y是两个随机变量,则有 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 { ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) } . D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}. D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2{(XE(X))(YE(Y))}.特别地,若 X , Y X,Y X,Y相互独立,则有 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) . D(X+Y)=D(X)+D(Y). D(X+Y)=D(X)+D(Y).这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
    性质4 D ( X ) = 0 D(X)=0 D(X)=0的充要条件是 X X X以概率1取常数 E ( X ) E(X) E(X),即
    P X = E ( X ) = 1 P{X=E(X)}=1 PX=E(X)=1

    3.3 证明

    证明1 D ( C ) = E { [ C − E ( C ) 2 ] } = 0. D(C)=E\{[C-E(C)^2]\}=0. D(C)=E{[CE(C)2]}=0.
    证明2 D ( C X ) = E { [ C X − E ( C X ) ] 2 } = C 2 E { [ X − E ( X ) ] 2 } . D(CX)=E\{[CX-E(CX)]^2\}=C^2E\{[X-E(X)]^2\}. D(CX)=E{[CXE(CX)]2}=C2E{[XE(X)]2}.
    D ( X + C ) = E { [ X + C − E ( C + X ) ] 2 } = E { [ X − E ( X ) ] 2 } = D ( X ) . D(X+C)=E\{[X+C-E(C+X)]^2\}=E\{[X-E(X)]^2\}=D(X). D(X+C)=E{[X+CE(C+X)]2}=E{[XE(X)]2}=D(X).
    证明3
    D ( X + Y ) = E { [ X + Y − E ( X + Y ) ] 2 } = E { [ ( X − E ( X ) ) + ( Y − E ( Y ) ) ] 2 } = E { [ X − E ( X ) ] 2 } + E { [ Y − E ( Y ) ] 2 } + 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } = D ( X ) + D ( Y ) + 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] \begin{aligned} D(X+Y)&=E\{[X+Y-E(X+Y)]^2\} \\ &=E\{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]^2\} \\ &=E\{[X-E(X)]^2\} +E\{[Y-E(Y)]^2\}+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)] \}\\ &=D(X)+D(Y)+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)] \end{aligned} D(X+Y)=E{[X+YE(X+Y)]2}=E{[(XE(X))+(YE(Y))]2}=E{[XE(X)]2}+E{[YE(Y)]2}+2E{[XE(X)][YE(Y)]}=D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]
    上式右端第三项:
    2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] = 2 E { ( X Y ) − X E ( X ) − Y E ( X ) + E ( X ) E ( Y ) } = 2 { E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) − E ( Y ) E ( X ) + E ( X ) E ( Y ) } = 2 { E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) } . \begin{aligned} 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)] &=2E\{(XY)-XE(X)-YE(X)+E(X)E(Y)\}\\ &=2\{E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)\}\\ &=2\{E(XY)-E(X)E(Y)\}. \end{aligned} 2E{[XE(X)][YE(Y)]=2E{(XY)XE(X)YE(X)+E(X)E(Y)}=2{E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y)}=2{E(XY)E(X)E(Y)}.
    X , Y X,Y X,Y相互独立,由数学期望性质4可知上式右端为0,于是
    D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) . D(X+Y)=D(X)+D(Y). D(X+Y)=D(X)+D(Y).
    证明4
    充分性: 设 P { X = E ( X ) } = 1 P\{X=E(X)\}=1 P{X=E(X)}=1,则有 P { X 2 = [ E ( X ) ] 2 } = 1 P\{X^2=[E(X)]^2\}=1 P{X2=[E(X)]2}=1,于是 D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = 0 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0 D(X)=E(X2)[E(X)]2=0
    必要性:设 D ( X ) = 0 D(X)=0 D(X)=0,要证 P { X − E ( X ) } = 1 P\{X-E(X)\}=1 P{XE(X)}=1。用反证法,假设 P { X = E ( X ) } < 1 P\{X=E(X)\}<1 P{X=E(X)}<1,则对于某一个数 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,有 P { X − E ( X ) ≥ ε } > 0 P\{X-E(X)\ge\varepsilon\}>0 P{XE(X)ε}>0,但由切比雪夫不等式(可参见上一文章切比雪夫不等式证明及应用),对于任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0 σ = 0 \sigma=0 σ=0,可得 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } = 0 P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}=0 P{XE(X)ε}=0,但上下矛盾,于是 P { X = E ( X ) } = 1 P\{X=E(X)\}=1 P{X=E(X)}=1


    4 参考文献

    [1] 陈希孺. 概率论与数理统计[M]. 中国科学技术大学出版社, 2009.
    [2] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社, 2010.

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  • 编辑:机器学习研习院时间序列的定义一个时间序列过程(time series process)定义为一个随机过程,这是一个按时间排序的随机变量的集合,也就是将每一个时刻位置的点作为一个随机变...

    编辑:机器学习研习院

    时间序列的定义

    一个时间序列过程(time series process)定义为一个随机过程,这是一个按时间排序的随机变量的集合,也就是将每一个时刻位置的点作为一个随机变量。 是索引集合(index set), 决定定义时序过程以及产生观测值的一个时间集合 。其中假定

    • 随机变量 的取值是连续的。

    • 时间索引集合 是离散且等距的。

    在整个过程中,都采用以下符号

    • 随机变量(Random variables)用大写字母表示,即 ,同时随机变量的值是从一个分布中采样给出。而且可以为无限多个时间点 定义随机变量。

    • 观测(Observations)用小写字母表示,即 ,观测可以认为是随机变量的实现。但通常在实际中,我们的观测点是有限的,因此定义 个观测是 。

    时间序列分析的目标

    给定一组时间序列数据,通常会要求回答一个或多个有关它的问题。时间序列数据出现的主要问题类型取决于数据的上下文以及收集数据的原因,下面给出一些常见的目标:

    • 描述:描述时间序列的主要特征,例如:序列是递增还是递减;是否有季节性模式(例如,夏季较高,冬季较低);第二个解释变量如何影响时间序列的值?

    • 监控:检测时间序列行为何时发生变化,例如销售额突然下降,或者突然出现峰值。

    • 预测:从当前值预测时间序列的未来值,并量化这些预测中的不确定性,比如根据今天的气温预测未来几天的温度。

    • 回归:给定多个时间序列以及与这些序列对应的一个额外的值,找到其中的关系。

    • 分类:给定多个时间序列,将它们按照相似性进行分类。

    • ......

    时间序列的建模

    时间序列数据通常被分解为以下三个组成部分。

    • 趋势(Trend)- 趋势体现的是时间序列数据均值随时间的长期变化。如果趋势存在,它的形状通常会引起人们的兴趣,尽管它可能不是线性的。

    • 季节性影响(Seasonal effect)- 季节性影响是时间序列中以固定间隔重复的趋势。严格来说,季节性效应只是每年都会重复的效应,但在更一般的情况下,可以更广泛地使用该术语来表示任何定期重复的模式。

    • 无法解释的变化(Unexplained variation)- 无法解释的变化是在任何趋势和季节性变化被去除后时间序列中其余的变化。这种无法解释的变化可能是独立的,也可能表现出短期相关性。

    因此,时间序列数据的简单模型可以用两种方式表示,分别为

    加法模型(Additive):
    乘法模型(Multiplicative):

    其中 表示趋势, 表示季节, 表示无法解释的变化。在此教程中,给出了两个例子。即当趋势和季节性变化独立作用时,加法模型是合适的,而如果季节性效应的大小取决于趋势的大小,则需要乘法模型。当趋势和季节性变化独立作用时,加法模型是合适的,而如果季节性效应的大小取决于趋势的大小,则需要乘法模型,简单的示意图如下:

    • Example of additive model

    22ff32efc7b64b5149a606977a953460.png

    时间序列的特性

    (均值、方差、自协方差函数、自相关函数)

    给定一个时间序列过程 和观测 ,通常我们会使用以下属性描述其特征。

    • 均值(Mean function)

    对所有的 ,时间序列过程的均值函数(mean function)定义为

    对于真实的数据,通常我们假定均值为一个常数,因此可以估计均值为

    如果数据的平均值不是恒定的,例如由于趋势或季节性变化的存在,则应该用其他方法进行估计,这部分内容后面再讲。

    • 方差(Variance function)

    对所有的 ,时间序列过程的方差函数(variance function)定义为

    标准差函数定义为

    对于真实的数据,通常我们假定方差也为一个常数,因此可以估计方差为

    • 自协方差和自相关函数(Autocovariance and autocorrelation functions)

    回忆对任意的随机变量 和 ,协方差以及相关性测量通过以下定义给出

    协方差:

    相关性:

    相关性是介于 -1 和 1 之间的协方差的缩放表现,其中 1 表示强正相关,0 表示独立性,-1 表示强负相关,但通常相关性指的是线性的相关性。

    对于一个时间序列过程,定义随机变量 是在不同时间点的测量。它们之间的依赖关系由自协方差和自相关函数描述,添加“auto”前缀以表示两个随机变量测量具有相同的数量。

    对于所有的 ,自协方差函数(autocovariance function (ACVF))定义为:

    其中

    对于所有的 ,自相关函数(autocorrelation function (ACF))定义为:

    其中

    以上定义都是理想的情况,也就是在时刻 和时刻 均有若干个采样数据,这样才能计算  或者 ,而真实的场景下这一条件却很难实现,因为通常在某一个时间点,只能获得1个采样点的数据。

    为了计算真实数据的自协方差和自相关函数,通常假设数据中的依赖结构不随时间变化。也就是说我们假设

    也就是说在这个假设下,影响协方差的唯一因素是两个时间序列中随机变量的距离 ,这个距离通常称为滞后lag

    因此,唯一需要计算的是自协方差集合:

    在这种情况下,自相关函数变为

    以上计算方式的前提是假设数据中的依赖结构不随时间变化,协方差不依赖于具体的位置 ,只依赖于滞后 。

    Estimating the autocorrelation function

    对于时间序列数据,自协方差和自相关函数测量的是单个时间序列 与其滞后lag之间的协方差/相关性。这里给出,以及 时自协方差及自相关函数的计算过程。

    lag=0

    在滞后 0 (lag=0)处样本的自协方差函数定义为 ,它是 与 之间的协方差。根据上面的公式,计算方式为

    因此,滞后 0 处的样本自协方差函数是样本方差。类似地,滞后0处的自相关性为

    lag=1

    在滞后 1(lag=1)处的样本自协方差函数是时间序列 和 协方差。它是序列与自身移动一个时间点序列的协方差,根据以上公式,协方差和自相关系数计算方式为

    其中

    是前个观测值;

    是后 个观测值;

    在实际应用中,通常假设前 n-1 个观测值的均值和方差等于最后 n-1 个观测值的均值和方差,这样可以简化上述表达式。此外,对于协方差公式,使用除数 n 而不是无偏 n-2。显然,当 n 很大时,改变除数对计算几乎没有实际影响。

    lag=

    时间序列的样本自协方差函数 (ACVF)定义为:

    样本自相关函数 (ACF) 定义为

    以下链接中找到有助于理解自协方差和自相关函数的交互式示例。

    https://shiny.maths-stats.gla.ac.uk/gnapier/Time_Series_ACF/shiny.maths-stats.gla.ac.uk/gnapier/Time_Series_ACF/

    Correlogram图的解释

    Correlogram讲自相关函数的计算结果作为纵轴,将滞后 作为横轴的一种图。可以很直观的看出时间序列不同lag之间的相关性。Correlogram会告诉时间序列分析师很多关于时间序列的信息,包括趋势的存在、季节性变化和短期相关性。这里用一些例子来说明。

    Example - purely random data

    考虑由纯随机过程 生成的时间序列,它没有趋势、季节性或短期相关性。原始数据和自相关图如下所示:

    8951c3fcd28b2a7ba212904c88da6cae.png

    • 当 时, ,因为它是序列与其自身的相关性,通常忽略该值。

    • 对于没有相关性的纯随机序列,通常在滞后 0 处等于 1,但在其他滞后处没有明显的相关性证据。

    Example - short-term correlation

    没有趋势或季节性但具有短期相关性的时间序列数据如下图所示,并且在前几个滞后时具有显着正的自相关,随后在较大滞后时值接近零。

    2ce0747670aab9f1f9f4c27dfa971387.png

    Example - alternating data

    没有趋势或季节性但在大值和小值之间交替的时间序列数据显示下图中,并且在奇数滞后时具有负自相关,在偶数滞后时具有正自相关。随着滞后的增加,自相关越来越接近于零。

    c0253e4308909cb7b6dcb4c47c3be1c5.png

    Example - data with a trend

    具有趋势的时间序列数据如下图所示,并且在滞后偏大时仍然具有正自相关。如果趋势随时间下降,则会观察到相同的相关图。

    a315749eccad9b56425384bf8d891bbc.png

    Example - data with a seasonal effect

    具有季节性影响的时间序列数据如下图所示,并且在相关图中具有规则的季节性模式。

    608a5f5bb53ae0281e062cdf4776b9d9.png

    Example - data with a trend and a seasonal effect

    具有趋势和季节性影响的时间序列数据显示在下图中,并且在相关图中具有规则的季节性模式,由于趋势的存在,相关图通常具有正值。

    25b800386c6f3d515e373f6c377674d8.png

    平稳性分析

    严格平稳
    strictly stationary or strongly stationary

    严格平稳是一种非常苛刻的条件,给定时序过程 ,对于所有的 以及值 ,如果联合分布  与 相同,则该序列是严格平稳的。换句话说,换句话说,将序列的时间原点移动 对其联合分布没有影响。

    当 ,严格平稳意味着对于所有的 ,都有  。这也说明时间序列的均值和方差为常数,即

    和 , 当 ,严格平稳意味着对于所有的 ,都有

    联合分布只取决于滞后

    这反过来意味着理论协方差和相关函数只取决于滞后而不是原始位置。

    严格平稳是非常严格的,而真实过程很少符合。一般只有纯粹的随机过程严格平稳,因此使用的更多的是弱平稳。

    弱平稳

    weakly stationary

    给定时序过程  ,如果该时间序列过程是弱平稳的的,那么它需要满足以下条件:

    1. 均值是常数和有限的,即

    2. 方差是常数和有限的,即

    3. 自协方差和自相关函数仅取决于滞后 ,即 以及

    严格平稳性和弱平稳性之间的区别在于,后者仅假设前两个矩(均值和方差)随时间是恒定的,而前者假设较高的矩也是恒定的。

    Example

    定义一个随机游走过程 ,,且

    其中 是均为为 0 且方差为 的随机过程。那么 是非平稳的。因为

    这说明方差是随时间 变化的。

    作者:daydaymoyu
    来源:https://zhuanlan.zhihu.com/p/424609116
    参考:https://bookdown.org/gary_a_napier/time_series_lecture_notes/ChapterOne.html#time-series-modelling

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  • 方差|初中方差的计算公式

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    教学设计示例1

    第一课时

    素质教育目标

    (一)知识教学点

    使学生了解方差、标准差的意义,会计算一组数据的方差与标准差.

    (二)能力训练点

    1.培养学生的计算能力.

    2.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.

    (三)德育渗透点

    1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

    2.渗透数学来源于实践,又反过来作用于实践的观点.

    (四)美育渗透点

    通过本节课的教学,渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美,激发学生对美好事物的追求,提高学生对数学美的鉴赏力.

    重点·难点·疑点及解决办法

    1.教学重点:方差概念.

    2.教学难点:方差概念.

    3.教学疑点:学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小,为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢?为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值,而将其平方呢?对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.

    4.解决办法:教师要讲清方差,标准差的意义,即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的仅是这两组数据的个数相等,平均数相等或比较接近时的情况.

    教学步骤

    (一)明确目标

    前面我们学习了平均数、众数及中位数,它们都是描述一组数据的集中趋势的量,这节课我们将进一步学习衡量样本(或一组数据)和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.

    这种开门见山式引入课题,能迅速将学生的注意力集中起来,进入新课讲解.

    (二)整体感知

    对于一组数据来说,我们除了关心它的集中趋势以外,还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数,就是方差和标准差.

    (三)教学过程

    1.请同学们看下面的问题:(用幻灯出示)

    两台机床同时生产直径是40毫米的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽出10件进行测量,结果如下(单位:毫米)

    机床甲

    40

    39.8

    40.1

    40.2

    39.9

    40

    40.2

    39.8

    40.2

    39.8

    机床乙

    40

    40

    39.9

    40

    39.9

    40.2

    40

    40.1

    40

    39.9

    上面表中的数据如图所示

    教师引导学生观察表格中的数据和图,提出问题:怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面,哪个机床做得好呢?

    对于这个问题,学生会马上想到计算它们的平均数.教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板计算)

    计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米.这时教师引导学生思考,这能说明两个机床做的一样好吗?不能!我们再观察上图(给学生充分的时间观察,找出左右两图的区别)从图中看到,机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大,偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小,比较集中在40毫米线的附近.这

    说明,在使所生产的10个零件的直径符合规定方面,机床乙比机床甲要好.

    教师说明:从上面看到,对于一组数据,除需要了解它们的平均水平外,还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).

    通过引例的学习,使学生理解为什么要研究数据波动的大小,为提出方差概念做好了准

    备.

    2.方差概念

    教师讲解,为了描述一组数据的波动大小,可以采用不止一种办法,例如,可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值,再取其平均数,用这个平均数来衡量这组数据的波动大小,通常,采用的是下面的做法:

    设在一组数据 中,各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ,那么我们用它们的平均数,即用

    来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差.一组数据方差越大,说明这组数据波动越大.教师要剖析公式中每一个元素的意义,以便学生理解和掌握.

    在学生理解方差概念时,可能会提出疑问:为什么要这样定义方差?(教师说明,在表示各数据与其平均数的倔离程度时,为了防止正偏差与负偏差的相互抵消)为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值,而要将它们平方?(教师说明,这主要是因为在很多问题里,含有绝对值的式子不便于运算,且在衡量一组数据波动大小的“功能”上,方差更强些)为什么要除以数据个数n?(是为了消除数据个数的影响).

    在学生理解了方差概念之后,再回到了引例中,通过计算机床甲、乙两组数据的方差,再根据理论说明哪个机床做得更好.

    教师范解

    从 知道,机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

    这样做使学生深刻体会到数学来源于实践,又反过来作用实践,不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣,而且培养了学生应用数学的意识.

    3.例1 (用幻灯出示)已知两组数据:

    甲:9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

    乙:10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

    分别计算这两组数据的方差.

    让学生自己动手计算,求平均数时激发学生用简化公式计算,找一名好学生到黑板计算.

    解:根据公式②(取 ),有

    从 知道,乙组数据比甲组数据波动大.

    4.标准差概念

    在有些情况下,需要用到方差的算术平方根

    并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

    教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系:

    计算标准差要比计算方差多开一次平方,但它的度量单位与原数据一致,有时用它比较方便.

    课堂练习  教材P165中(1)、(2)

    (四)总结、扩展

    知识小结:通过这节课的学习,使我们知道了对于一组数据,有时只知道它的平均数还不够,还需要知道它的波动大小;而描述一组数据的波动大小的量不止一种,最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.

    方法小结:求一组数据方差的方法;先求平均数,再利用③求方差,求一组数据标准差的方法:先求这组数据的方差,然后再求方差的算术平方根.

    布置作业

    教材P173中1,2(1)(2)

    板书设计

    14.3  方差(一)

    方差公式③     引例     例1

    标准差公式④

    教学设计示例2

    一、教学目的

    1.使学生了解方差、标准差的意义,会计算一组数据的方差与标准差.

    2.使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的意义.

    二、教学重点、难点

    重点:方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义.

    难点:样本方差、样本标准差的计算.

    三、教学过程

    复习提问

    计算一组数据的平均数有哪些方法?

    引入新课

    在很多实际问题中,只知道一组数据的平均数是不够的,还需要知道这组数据的波动大小.如何了解数据的波动大小?这正是我们要解决的问题.

    新课

    引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件.为了检验产品质量,从产品中抽出10件进行测量,结果如下(单位:毫米):

    表中数据表成如下形式:

    可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好,这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适).当学生算出如下平均数:

    让学生思考,两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时,甲、乙两机床性能是否都一样好?提出问题让学生议议后,再引导学生看图1,让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大,偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小,比较集中在40毫米线的附近.”这说明,在使所生产的10个零件的直径符合规定方面,机床乙比机床甲要好.

    这反映出,对一组数据,除需要了解它们的平均水平以外,还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).

    在此处要告诉学生:描述一组数据的波动大小,可以采用不止一种办法.本课介绍“方差”即是一种方法.即:

    来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差.

    要强调“一组数据方差越大,说明这组数据波动越大”.条件许可时,还可介绍③式可表示为:

    接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差.

    从0.026>0.008可以比较出,机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.(接下来教师再给出如下例题.)

    例1 已知两组数据:

    分别计算这两组数据的方差.

    讲此例后,要强调求解步骤为:

    (1)求平均数;(2)求方差;(3)比较方差得出结论.

    此后接前面问题说,用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差,即

    公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量.

    在本节引例中,两组数据的标准差,可让学生算一下,得出:

    说明:计算标准差要比计算方差多开一次平方,但它的度量单位与原数据一致,有时用它比较方便.

    小结

    1.本课学了计算一组数据的方差的公式③.

    2.本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④.

    练习:选用课本练习题.

    作业:选用课本习题.

    四、教学注意问题

    要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式.

    教学设计示例3

    一、教学目的

    1.使学生进一步理解方差、标准差的意义.

    2.使学生掌握利用简化公式计算一组数据的方差的方法.

    3.使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.

    二、教学重点、难点

    重点:简化计算一组数据的方差公式.

    难点:利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.

    三、教学过程

    复习提问

    1.什么是一组数据的方差、标准差?

    2.一组数据的方差和标准差应如何计算?

    引入新课

    我们看到,用公式③计算一组数据的方差比较麻烦.那么,有否较简便的计算方法呢?

    新课

    教师应在黑板上进行如下推导:

    推导上述公式后,可让学生仿①~④四个公式的方法归纳推理出如下结论:

    一般地,如果一组数据的个数是n,那么它们的方差可以用下面的公式计算:

    在这时,教师要强调:当一组数据中的数较小时,用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步,因此比较方便.

    例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位):

    3 -1 2 1 -3 3

    教师可让学生共同来完成此例.

    接下来教师按教材指出,当一组数据较大时,可按下述公式计算方差:

    其中x"1=x1-a,x"2=x2-a,…,x"n=xn-a,x1,x2,…,xn是原已知的n个数据,a是接近这组数据的平均数的一个常数.

    为使学生对公式⑥加深印象,可让学生用公式⑥解下例.

    例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位:分):

    哪个小组学生的成绩比较整齐?

    解后,指出解题步骤有如下三步:

    (3)代入公式⑥计算方差并比较得解.

    小结

    1.本课介绍了当一组数据中的数值较小时,用以计算方差的简化计算公式⑤.

    2.本课又学习了当一组数据中的数值较大时,用以计算方差的简化公式⑥.

    练习:选用课本练习题.

    作业:选用课本习题.

    补充作业

    2.甲、乙两组数据的方差之和为13,标准差之和为5,且甲的波动比乙的波动大,求它们各自的标准差.(答案:S甲=3,S乙=2.)

    3.在某次数学考试中,甲、乙两校各8个班,不及格的人数分别如下:

    分别计算这两组数据的平均数与方差.

    四、教学注意问题

    要注意给学生讲如下三点:

    1.方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数.

    2.用简化计算公式求方差较为方便.

    3.对同类问题的两组数据,方差小的波动小、方差大的波动大.

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