昨日好友突然问我一个关于信号相关的问题—— 常数 $1$（或者说时域信号 $x（t）= 1$）用傅里叶变换后在频域中的表示为$\delta(t)$ 中的 $2\pi$ 从何而来（如下）  。问题不难，这是一个关于信号与系统中的最基础的问题，但是这个问题在网络上面都没有正确且详细的证明。
$\delta(t) \longleftrightarrow 1$

$1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega)$
首先来看一下傅里叶变换的正反两个公式

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t$

$x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {X(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega$
将$\delta(t)$ 带入正变换公式，

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\delta(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t=1$

由delta函数的特性可以得到$\delta(t)$只有在$t=0$的时候才有取值，故令$t=0$,可得傅里叶变换结果为1.
再看其反变换
$x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega$

该式子并不能直接求解并不能完全像以前一样进行微分、积分运算（为广义积分）。（由于正负无穷的上下限）

又因为同样的原因，从时域上的1到频域进行傅里叶变换也不行但是 从频域的delta函数到时域却行得通。
不妨用字母W来表示$\infty$,这个也把时域的（信号的函数）图像具象化为了总长度为2W，中点在原点的矩形，当W趋于无穷时，图像为一条平行于时间轴的直线，

$x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega$

$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega=\frac{sinWt}{\pi t}$

这个函数（被称为抽样函数）好像我们仍然不能解答，那就回到delta函数的原始定义中去

$\delta(t)=\lim_{k \to +\infty} \frac{k}{\pi}Sa(kt)=\lim_{k \to +\infty} \frac{sin(kt)}{\pi t}$

当k=W，结果恰好为预期的$\delta(t)$ 。

同理，从时域上的 常量信号1傅里叶变换到频域也会遇到类似问题，用一样的方法解决。
除了这样直接求解还可以用傅里叶变换的对称性对

$1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega)$

进行正向的求解

若已知

$f(t) \longleftrightarrow F (\omega)$

则

$F（t） \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega)$

证明如下，

已知

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t$

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega$

$f(-t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}\omega$

将 t 和$\omega$变量互换

$f(-\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(t) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t$

所以

$F（t） \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega)$

对于delta函数的具体运算就省略吧，代入就能解决。

学习阶段：大学数学，积分变换。
前置知识：微积分、复变函数、傅里叶变换
tetradecane：积分变换（2）——连续傅里叶变换​zhuanlan.zhihu.com
我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明，教科书上很容易找到。我会换一种方式，用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。
1. 线性性
设 
 ， 
 为常数，则
傅里叶变换的本质，就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。
线性性质可用图1来概括。先变换再求和，与先求和再变换，结果是一致的。
2. 位移性
设 
 ， 
 为常数，则
把时域的函数向右平移了 
 ，相当于时间起点改到了 
 ，那么频域的相位也要相应地退回。分量 
 在时刻 
 的值 
 的值作为起点，因此 
 乘上了该量。
把频域的函数向右平移了 
 ，相当于把每个分量 
 的频率都减慢为了 
 ，那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量 
 补乘上 
 ，就能还原回原来的频率，因此 
 乘上了该量。
3. 放缩/相似性
设 
 ， 
 为非零常实数，则
取 
 ，那么 
 . 取 
 ，则 
 ，显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化，让 
 除以2，但同时分量的系数也成比例变了，如图2所示：
 除以 
 ，会让分量 
 变为 
 的同时，其系数也变为了 
 倍。因此，最终 
 要再除以 
 . 
对于上述例子，利用 
 函数的放缩性，易得
4. 对称性
设 
 ，则
对圆周运动的典型分量 
 做两次变换观察一下，如图3所示：
首先对 
 进行各种频率的反向旋转， 
 时平均为0， 
 时叠加出无穷大，得到 
 ，这是第一次变换。再对 
 做第二次变换，变换的结果是把每个频率的起点都改为 
 ，最终 
 时平均为0， 
 时叠加出无穷大，正好时域上构成一冲激强度为 
 的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周，时域脉冲对应频域圆周，这构成了对称性。
实际上，函数 
 既可以用一系列圆周函数 
 线性表示为 
 ，又可以用一系列冲激函数 
 线性表示为 
 ，这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周 
 变为脉冲，脉冲翻转后变为圆周，因此具有 
 的关系。大致示意图如图4所示：
5. 微分关系
设 
 ，只要相关的导数存在，则
对于复值函数 
 ， 
 的含义是复值速度，其中实部表示沿实轴方向的速度，虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对 
 求导会让起点逆时针旋转 
 并伸缩至 
 倍，但不改变频率，如图5所示：
根据求导公式也容易直接写出 
 对t的n阶导数是 
 . 
因此 
 对t求n阶导时，频谱只需要简单地把每个分量 
 乘上 
 ，即 
 乘上 
 . 
对 
 求导时，考虑将 
 分解为冲激函数，且时域的 
 分量对应频域的 
 分量。 
 对 
 求n阶导数得到 
 ，那么 
 的每个分量 
 也只需要简单地乘上 
 即可。 
 只会在 
 时影响到整体的值，故求和之后得到的是 
 . 
6. 积分关系
设 
 ，则
这与微分关系是一致的，取 
 即可。
由于 
 ，这个任意常数 
 会在频谱中带来一个冲激函数 
 ，而 
 时 
 无意义，因此这个公式不考虑 
 的情况。
7. 帕萨瓦尔（Parseval）定理
设 
 ，则
这个定理充分体现了 
 这些基底在 
 内积下的正交性。 
 中的一个分量 
 分别乘以 
 中的每一个分量 
 并对 
 做积分，在 
 时积分结果为0，在 
 时积分结果为1. 也就是说，两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。
 中分量 
 的系数近似为 
 ，同理 
 中 
 的系数近似为 
 ，那么两者乘积的 
 的系数即可近似为 
 . 如图6所示：
因为 
 算的是 
 ，那么 
 中 
 分量算出的是 
 ，最后把所有 
 求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。
特别地，若取 
 ，则可得到
8. 卷积与卷积定理
8.1 卷积
冲激函数的筛选性质 
 非常重要，我们称这个运算是 
 与 
 的卷积。一般地，定义 
 与 
 的
卷积（convolution）为
视第二个函数为冲激函数的线性组合，即 
 ，那么它的 
 分量的系数可近似为 
 ，而 
 与 
 卷积得到 
 ，相当于把 
 向右平移了 
 个单位。因此，卷积的含义是： 
 的起点平移到 
 处，就把函数值放缩为原来的 
 倍。对于任意的 
 ，把所有这些平移且放缩过的 
 函数叠加的结果。如图7所示：
概括来说，卷积就是 
 的滑动加权和，权重由 
 决定。
同时，如果只考虑 
 的一个冲激函数分量，则在卷积中会生成一个滑动加权的 
 ，且由 
 控制。也就是说，卷积具有
交换律。如图8所示：
实际上，卷积还满足结合律和分配律，这里不再详述。
8.2 时域卷积定理
若 
 ，则
按照8.1节对卷积的理解，将 
 拆成各种 
 分量，且系数近似为 
 . 那么 
 对于一个分量的卷积，相当于平移后加权。根据第2节的位移性，易得频谱函数变为 
 ，对 
 求和就得到了 
 . 
8.3 频域卷积定理
若 
 ，则
这里我们把 
 拆成各种 
 的分量，且系数近似为 
 . 那么 
 对于一个分量的卷积，也是平移后加权。根据第2节的位移性，易得时域函数变为 
 ，对 
 求和就得到了 
 . 

学习阶段：大学数学，积分变换。
前置知识：微积分、复变函数、傅里叶变换
tetradecane：积分变换（2）——连续傅里叶变换​zhuanlan.zhihu.com
我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明，教科书上很容易找到。我会换一种方式，用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。
1. 线性性
设 
 ， 
 为常数，则
傅里叶变换的本质，就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。
线性性质可用图1来概括。先变换再求和，与先求和再变换，结果是一致的。
2. 位移性
设 
 ， 
 为常数，则
把时域的函数向右平移了 
 ，相当于时间起点改到了 
 ，那么频域的相位也要相应地退回。分量 
 在时刻 
 的值 
 的值作为起点，因此 
 乘上了该量。
把频域的函数向右平移了 
 ，相当于把每个分量 
 的频率都减慢为了 
 ，那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量 
 补乘上 
 ，就能还原回原来的频率，因此 
 乘上了该量。
3. 放缩/相似性
设 
 ， 
 为非零常实数，则
取 
 ，那么 
 . 取 
 ，则 
 ，显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化，让 
 除以2，但同时分量的系数也成比例变了，如图2所示：
 除以 
 ，会让分量 
 变为 
 的同时，其系数也变为了 
 倍。因此，最终 
 要再除以 
 . 
对于上述例子，利用 
 函数的放缩性，易得
4. 对称性
设 
 ，则
对圆周运动的典型分量 
 做两次变换观察一下，如图3所示：
首先对 
 进行各种频率的反向旋转， 
 时平均为0， 
 时叠加出无穷大，得到 
 ，这是第一次变换。再对 
 做第二次变换，变换的结果是把每个频率的起点都改为 
 ，最终 
 时平均为0， 
 时叠加出无穷大，正好时域上构成一冲激强度为 
 的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周，时域脉冲对应频域圆周，这构成了对称性。
实际上，函数 
 既可以用一系列圆周函数 
 线性表示为 
 ，又可以用一系列冲激函数 
 线性表示为 
 ，这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周 
 变为脉冲，脉冲翻转后变为圆周，因此具有 
 的关系。大致示意图如图4所示：
5. 微分关系
设 
 ，只要相关的导数存在，则
对于复值函数 
 ， 
 的含义是复值速度，其中实部表示沿实轴方向的速度，虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对 
 求导会让起点逆时针旋转 
 并伸缩至 
 倍，但不改变频率，如图5所示：
根据求导公式也容易直接写出 
 对t的n阶导数是 
 . 
因此 
 对t求n阶导时，频谱只需要简单地把每个分量 
 乘上 
 ，即 
 乘上 
 . 
对 
 求导时，考虑将 
 分解为冲激函数，且时域的 
 分量对应频域的 
 分量。 
 对 
 求n阶导数得到 
 ，那么 
 的每个分量 
 也只需要简单地乘上 
 即可。 
 只会在 
 时影响到整体的值，故求和之后得到的是 
 . 
6. 积分关系
设 
 ，则
这与微分关系是一致的，取 
 即可。
由于 
 ，这个任意常数 
 会在频谱中带来一个冲激函数 
 ，而 
 时 
 无意义，因此这个公式不考虑 
 的情况。
7. 帕萨瓦尔（Parseval）定理
设 
 ，则
这个定理充分体现了 
 这些基底在 
 内积下的正交性。 
 中的一个分量 
 分别乘以 
 中的每一个分量 
 并对 
 做积分，在 
 时积分结果为0，在 
 时积分结果为1. 也就是说，两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。
 中分量 
 的系数近似为 
 ，同理 
 中 
 的系数近似为 
 ，那么两者乘积的 
 的系数即可近似为 
 . 如图6所示：
因为 
 算的是 
 ，那么 
 中 
 分量算出的是 
 ，最后把所有 
 求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。
特别地，若取 
 ，则可得到
8. 卷积与卷积定理
8.1 卷积
冲激函数的筛选性质 
 非常重要，我们称这个运算是 
 与 
 的卷积。一般地，定义 
 与 
 的
卷积（convolution）为
视第二个函数为冲激函数的线性组合，即 
 ，那么它的 
 分量的系数可近似为 
 ，而 
 与 
 卷积得到 
 ，相当于把 
 向右平移了 
 个单位。因此，卷积的含义是： 
 的起点平移到 
 处，就把函数值放缩为原来的 
 倍。对于任意的 
 ，把所有这些平移且放缩过的 
 函数叠加的结果。如图7所示：
概括来说，卷积就是 
 的滑动加权和，权重由 
 决定。
同时，如果只考虑 
 的一个冲激函数分量，则在卷积中会生成一个滑动加权的 
 ，且由 
 控制。也就是说，卷积具有
交换律。如图8所示：
实际上，卷积还满足结合律和分配律，这里不再详述。
8.2 时域卷积定理
若 
 ，则
按照8.1节对卷积的理解，将 
 拆成各种 
 分量，且系数近似为 
 . 那么 
 对于一个分量的卷积，相当于平移后加权。根据第2节的位移性，易得频谱函数变为 
 ，对 
 求和就得到了 
 . 
8.3 频域卷积定理
若 
 ，则
这里我们把 
 拆成各种 
 的分量，且系数近似为 
 . 那么 
 对于一个分量的卷积，也是平移后加权。根据第2节的位移性，易得时域函数变为 
 ，对 
 求和就得到了 
 . 

学习数字信号处理的时候，会遇到许多的变换，搞得大家晕头转向的，同时作为一位学生深有体会大家的苦脑，所以给大家总结了一些常见的信号的变换，帮助大家梳理一下。
1.冲激信号及其傅里叶变换分析
通过仿真图我们可以得出一下结论：
冲激的频谱是一条直线，幅值为常数1，频率范围为无穷，即包好所有的频率成分。
我们可以使用冲激函数去刺激系统，然后看系统对那些频率比较敏感，这样我们就可以将系统的性能给求出来，因为冲激信号和任意函数的卷积都等于任意函数的本身，所以系统的冲激响应就可以近似代表系统的本身。
2.门信号及其傅里叶变换分析
我们可以猜想，冲激信号的时间宽度趋于零，而门信号的时间宽度假设为T/2，则我们推测门信号的频谱包含了许多成分，但不至于像冲激函数的频谱那么“雨露均沾”。仿真结果如图所示：
仿真结果分析：
结论：（1）门信号的傅里叶变换为Sa(t)函数，Sa(t)函数的表达式为
。可以推导，当t趋近于零时，也就是说根据极限可得sa(t)=1，所以sa(w)=sin(2pi/w)/(2pi/w)=1，因此更加验证了冲激信号正确性。
（2）sa函数是偶函数，又叫抽样函数在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当t =
时，函数值等于零，这是由于sin函数的性质决定的。
3.方波及其傅里叶变换分析
方波由正弦波的奇次谐波构成，如下图，证明方法是傅里叶级数展开，此处不再证明。
4矩形波及其傅里叶变换分析
结论分析：周期连续信号的傅里叶变换是离散的，离散的信号的傅里叶变换是连续的，这点可以由上面的分析证明。
5.常数1的傅里叶变换分析：
可以由门信号进行推导，当门信号的时间趋于无穷大时，则信号为常数1，则sa函数收缩为冲激信号。