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常数1的傅里叶变换详解过程
2020-07-24 22:08:18昨日好友突然问我一个关于信号相关的问题—— 常数1(或者说时域信号 x(t)= 1)用傅里叶变换后在频域中的表示为\delta 。问题不难,是一个关于信号知识的最基础的问题但是这个问题在baidu上面都没有正确且详细的...昨日好友突然问我一个关于信号相关的问题—— 常数 (或者说时域信号 )用傅里叶变换后在频域中的表示为 中的 从何而来(如下) 。问题不难,这是一个关于信号与系统中的最基础的问题,但是这个问题在网络上面都没有正确且详细的证明。
首先来看一下傅里叶变换的正反两个公式
将 带入正变换公式,
由delta函数的特性可以得到只有在的时候才有取值,故令,可得傅里叶变换结果为1.再看其反变换
该式子并不能直接求解并不能完全像以前一样进行微分、积分运算(为广义积分)。(由于正负无穷的上下限)
又因为同样的原因,从时域上的1到频域进行傅里叶变换也不行但是 从频域的delta函数到时域却行得通。不妨用字母W来表示,这个也把时域的(信号的函数)图像具象化为了总长度为2W,中点在原点的矩形,当W趋于无穷时,图像为一条平行于时间轴的直线,
这个函数(被称为抽样函数)好像我们仍然不能解答,那就回到delta函数的原始定义中去
当k=W,结果恰好为预期的 。
同理,从时域上的 常量信号1傅里叶变换到频域也会遇到类似问题,用一样的方法解决。除了这样直接求解还可以用傅里叶变换的对称性对
进行正向的求解
若已知
则
证明如下,
已知
将 t 和变量互换
所以
对于delta函数的具体运算就省略吧,代入就能解决。 -
两个冲击函数相乘的傅里叶变换_积分变换(3)——傅里叶变换的性质
2020-11-23 03:00:41学习阶段:大学数学,积分变换。前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan....1. 线性性设 , 为常数,则 傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数...学习阶段:大学数学,积分变换。
前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换
tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我会换一种方式,用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。
1. 线性性
设
,
为常数,则
傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数(频域)线性表示原始函数(时域),必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。
线性性质可用图1来概括。先变换再求和,与先求和再变换,结果是一致的。
图1 线性性质概括 2. 位移性
设
,
为常数,则
把时域的函数向右平移了
,相当于时间起点改到了
,那么频域的相位也要相应地退回。分量
在时刻
的值
的值作为起点,因此
乘上了该量。
把频域的函数向右平移了
,相当于把每个分量
的频率都减慢为了
,那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
补乘上
,就能还原回原来的频率,因此
乘上了该量。
3. 放缩/相似性
设
,
为非零常实数,则
取
,那么
. 取
,则
,显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化,让
除以2,但同时分量的系数也成比例变了,如图2所示:
图2 系数成比例变化 除以
,会让分量
变为
的同时,其系数也变为了
倍。因此,最终
要再除以
.
对于上述例子,利用
函数的放缩性,易得
4. 对称性
设
,则
对圆周运动的典型分量
做两次变换观察一下,如图3所示:
图3 e^(it)做两次傅氏变换 首先对
进行各种频率的反向旋转,
时平均为0,
时叠加出无穷大,得到
,这是第一次变换。再对
做第二次变换,变换的结果是把每个频率的起点都改为
,最终
时平均为0,
时叠加出无穷大,正好时域上构成一冲激强度为
的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周,时域脉冲对应频域圆周,这构成了对称性。
实际上,函数
既可以用一系列圆周函数
线性表示为
,又可以用一系列冲激函数
线性表示为
,这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
变为脉冲,脉冲翻转后变为圆周,因此具有
的关系。大致示意图如图4所示:
图4 对称性示意图 5. 微分关系
设
,只要相关的导数存在,则
对于复值函数
,
的含义是复值速度,其中实部表示沿实轴方向的速度,虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对
求导会让起点逆时针旋转
并伸缩至
倍,但不改变频率,如图5所示:
图5 对e^(iωt)求导 根据求导公式也容易直接写出
对t的n阶导数是
.
因此
对t求n阶导时,频谱只需要简单地把每个分量
乘上
,即
乘上
.
对
求导时,考虑将
分解为冲激函数,且时域的
分量对应频域的
分量。
对
求n阶导数得到
,那么
的每个分量
也只需要简单地乘上
即可。
只会在
时影响到整体的值,故求和之后得到的是
.
6. 积分关系
设
,则
这与微分关系是一致的,取
即可。
由于
,这个任意常数
会在频谱中带来一个冲激函数
,而
时
无意义,因此这个公式不考虑
的情况。
7. 帕萨瓦尔(Parseval)定理
设
,则
这个定理充分体现了
这些基底在
内积下的正交性。
中的一个分量
分别乘以
中的每一个分量
并对
做积分,在
时积分结果为0,在
时积分结果为1. 也就是说,两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。
中分量
的系数近似为
,同理
中
的系数近似为
,那么两者乘积的
的系数即可近似为
. 如图6所示:
图6 对应点系数相乘 因为
算的是
,那么
中
分量算出的是
,最后把所有
求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。
特别地,若取
,则可得到
8. 卷积与卷积定理
8.1 卷积
冲激函数的筛选性质
非常重要,我们称这个运算是
与
的卷积。一般地,定义
与
卷积(convolution)为的
视第二个函数为冲激函数的线性组合,即
,那么它的
分量的系数可近似为
,而
与
卷积得到
,相当于把
向右平移了
个单位。因此,卷积的含义是:
的起点平移到
处,就把函数值放缩为原来的
倍。对于任意的
,把所有这些平移且放缩过的
函数叠加的结果。如图7所示:
图7 卷积的示意图 概括来说,卷积就是
的滑动加权和,权重由
决定。
同时,如果只考虑
的一个冲激函数分量,则在卷积中会生成一个滑动加权的
,且由
交换律。如图8所示:控制。也就是说,卷积具有
图8 卷积交换律的示意图 实际上,卷积还满足结合律和分配律,这里不再详述。
8.2 时域卷积定理
若
,则
按照8.1节对卷积的理解,将
拆成各种
分量,且系数近似为
. 那么
对于一个分量的卷积,相当于平移后加权。根据第2节的位移性,易得频谱函数变为
,对
求和就得到了
.
8.3 频域卷积定理
若
,则
这里我们把
拆成各种
的分量,且系数近似为
. 那么
对于一个分量的卷积,也是平移后加权。根据第2节的位移性,易得时域函数变为
,对
求和就得到了
.
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傅里叶变换性质证明卷积_积分变换(3)——傅里叶变换的性质
2021-01-04 09:33:56学习阶段:大学数学,积分变换。前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan....1. 线性性设 , 为常数,则 傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数...学习阶段:大学数学,积分变换。
前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换
tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我会换一种方式,用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。
1. 线性性
设
,
为常数,则
傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数(频域)线性表示原始函数(时域),必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。
线性性质可用图1来概括。先变换再求和,与先求和再变换,结果是一致的。
图1 线性性质概括 2. 位移性
设
,
为常数,则
把时域的函数向右平移了
,相当于时间起点改到了
,那么频域的相位也要相应地退回。分量
在时刻
的值
的值作为起点,因此
乘上了该量。
把频域的函数向右平移了
,相当于把每个分量
的频率都减慢为了
,那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
补乘上
,就能还原回原来的频率,因此
乘上了该量。
3. 放缩/相似性
设
,
为非零常实数,则
取
,那么
. 取
,则
,显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化,让
除以2,但同时分量的系数也成比例变了,如图2所示:
图2 系数成比例变化 除以
,会让分量
变为
的同时,其系数也变为了
倍。因此,最终
要再除以
.
对于上述例子,利用
函数的放缩性,易得
4. 对称性
设
,则
对圆周运动的典型分量
做两次变换观察一下,如图3所示:
图3 e^(it)做两次傅氏变换 首先对
进行各种频率的反向旋转,
时平均为0,
时叠加出无穷大,得到
,这是第一次变换。再对
做第二次变换,变换的结果是把每个频率的起点都改为
,最终
时平均为0,
时叠加出无穷大,正好时域上构成一冲激强度为
的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周,时域脉冲对应频域圆周,这构成了对称性。
实际上,函数
既可以用一系列圆周函数
线性表示为
,又可以用一系列冲激函数
线性表示为
,这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
变为脉冲,脉冲翻转后变为圆周,因此具有
的关系。大致示意图如图4所示:
图4 对称性示意图 5. 微分关系
设
,只要相关的导数存在,则
对于复值函数
,
的含义是复值速度,其中实部表示沿实轴方向的速度,虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对
求导会让起点逆时针旋转
并伸缩至
倍,但不改变频率,如图5所示:
图5 对e^(iωt)求导 根据求导公式也容易直接写出
对t的n阶导数是
.
因此
对t求n阶导时,频谱只需要简单地把每个分量
乘上
,即
乘上
.
对
求导时,考虑将
分解为冲激函数,且时域的
分量对应频域的
分量。
对
求n阶导数得到
,那么
的每个分量
也只需要简单地乘上
即可。
只会在
时影响到整体的值,故求和之后得到的是
.
6. 积分关系
设
,则
这与微分关系是一致的,取
即可。
由于
,这个任意常数
会在频谱中带来一个冲激函数
,而
时
无意义,因此这个公式不考虑
的情况。
7. 帕萨瓦尔(Parseval)定理
设
,则
这个定理充分体现了
这些基底在
内积下的正交性。
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分别乘以
中的每一个分量
并对
做积分,在
时积分结果为0,在
时积分结果为1. 也就是说,两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。
中分量
的系数近似为
,同理
中
的系数近似为
,那么两者乘积的
的系数即可近似为
. 如图6所示:
图6 对应点系数相乘 因为
算的是
,那么
中
分量算出的是
,最后把所有
求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。
特别地,若取
,则可得到
8. 卷积与卷积定理
8.1 卷积
冲激函数的筛选性质
非常重要,我们称这个运算是
与
的卷积。一般地,定义
与
卷积(convolution)为的
视第二个函数为冲激函数的线性组合,即
,那么它的
分量的系数可近似为
,而
与
卷积得到
,相当于把
向右平移了
个单位。因此,卷积的含义是:
的起点平移到
处,就把函数值放缩为原来的
倍。对于任意的
,把所有这些平移且放缩过的
函数叠加的结果。如图7所示:
图7 卷积的示意图 概括来说,卷积就是
的滑动加权和,权重由
决定。
同时,如果只考虑
的一个冲激函数分量,则在卷积中会生成一个滑动加权的
,且由
交换律。如图8所示:控制。也就是说,卷积具有
图8 卷积交换律的示意图 实际上,卷积还满足结合律和分配律,这里不再详述。
8.2 时域卷积定理
若
,则
按照8.1节对卷积的理解,将
拆成各种
分量,且系数近似为
. 那么
对于一个分量的卷积,相当于平移后加权。根据第2节的位移性,易得频谱函数变为
,对
求和就得到了
.
8.3 频域卷积定理
若
,则
这里我们把
拆成各种
的分量,且系数近似为
. 那么
对于一个分量的卷积,也是平移后加权。根据第2节的位移性,易得时域函数变为
,对
求和就得到了
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矩形波的傅里叶变换_冲激信号、门信号、方波、矩形波的傅里叶变换总结
2021-01-28 06:04:221.冲激信号及其傅里叶变换分析通过仿真图我们可以得出一下结论:冲激的频谱是一条直线,幅值为常数1,频率范围为无穷,即包好所有的频率成分。我们可以使用冲激函数去刺激系统,然后看系统对那些频率比较敏感,这样...学习数字信号处理的时候,会遇到许多的变换,搞得大家晕头转向的,同时作为一位学生深有体会大家的苦脑,所以给大家总结了一些常见的信号的变换,帮助大家梳理一下。
1.冲激信号及其傅里叶变换分析
通过仿真图我们可以得出一下结论:
冲激的频谱是一条直线,幅值为常数1,频率范围为无穷,即包好所有的频率成分。
我们可以使用冲激函数去刺激系统,然后看系统对那些频率比较敏感,这样我们就可以将系统的性能给求出来,因为冲激信号和任意函数的卷积都等于任意函数的本身,所以系统的冲激响应就可以近似代表系统的本身。
2.门信号及其傅里叶变换分析
我们可以猜想,冲激信号的时间宽度趋于零,而门信号的时间宽度假设为T/2,则我们推测门信号的频谱包含了许多成分,但不至于像冲激函数的频谱那么“雨露均沾”。仿真结果如图所示:
仿真结果分析:
结论:(1)门信号的傅里叶变换为Sa(t)函数,Sa(t)函数的表达式为
。可以推导,当t趋近于零时,也就是说根据极限可得sa(t)=1,所以sa(w)=sin(2pi/w)/(2pi/w)=1,因此更加验证了冲激信号正确性。
(2)sa函数是偶函数,又叫抽样函数在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减,当t =
时,函数值等于零,这是由于sin函数的性质决定的。
3.方波及其傅里叶变换分析
方波由正弦波的奇次谐波构成,如下图,证明方法是傅里叶级数展开,此处不再证明。
4矩形波及其傅里叶变换分析
结论分析:周期连续信号的傅里叶变换是离散的,离散的信号的傅里叶变换是连续的,这点可以由上面的分析证明。
5.常数1的傅里叶变换分析:
可以由门信号进行推导,当门信号的时间趋于无穷大时,则信号为常数1,则sa函数收缩为冲激信号。
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傅里叶变换
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三角波的傅里叶变换公式_冲激信号、门信号、方波、矩形波的傅里叶变换总结...
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