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  • 常数1的傅里叶变换详解过程

    千次阅读 多人点赞 2020-07-24 22:08:18
    昨日好友突然问我一个关于信号相关问题—— 常数1(或者说时域信号 x(t)= 1)用傅里叶变换后在频域中表示为\delta 。问题不难,是一个关于信号知识最基础问题但是这个问题在baidu上面都没有正确且详细...

    昨日好友突然问我一个关于信号相关的问题—— 常数 11(或者说时域信号 xt=1x(t)= 1)用傅里叶变换后在频域中的表示为δ(t)\delta(t) 中的 2π2\pi 从何而来(如下) 。问题不难,这是一个关于信号与系统中的最基础的问题,但是这个问题在网络上面都没有正确且详细的证明。

    δ(t)1 \delta(t) \longleftrightarrow 1
    12πδ(ω) 1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega)

    首先来看一下傅里叶变换的正反两个公式
    X(ω)=+x(t)ejωtdtX(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t
    x(t)=12π+X(ω)ejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {X(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega

    δ(t)\delta(t) 带入正变换公式,
    X(ω)=+δ(t)ejωtdt=1X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\delta(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t=1
    由delta函数的特性可以得到δ(t)\delta(t)只有在t=0t=0的时候才有取值,故令t=0t=0,可得傅里叶变换结果为1.

    再看其反变换

    x(t)=12π+ejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega
    该式子并不能直接求解并不能完全像以前一样进行微分、积分运算(为广义积分)。(由于正负无穷的上下限)
    又因为同样的原因,从时域上的1到频域进行傅里叶变换也不行但是 从频域的delta函数到时域却行得通。

    不妨用字母W来表示\infty,这个也把时域的(信号的函数)图像具象化为了总长度为2W,中点在原点的矩形,当W趋于无穷时,图像为一条平行于时间轴的直线,
    x(t)=12πWWejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega
    x(t)=12πWWejωtdω=sinWtπt x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega=\frac{sinWt}{\pi t}
    这个函数(被称为抽样函数)好像我们仍然不能解答,那就回到delta函数的原始定义中去
    δ(t)=limk+kπSa(kt)=limk+sin(kt)πt \delta(t)=\lim_{k \to +\infty} \frac{k}{\pi}Sa(kt)=\lim_{k \to +\infty} \frac{sin(kt)}{\pi t}
    当k=W,结果恰好为预期的δ(t)\delta(t)
    同理,从时域上的 常量信号1傅里叶变换到频域也会遇到类似问题,用一样的方法解决。

    除了这样直接求解还可以用傅里叶变换的对称性对
    12πδ(ω) 1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega)
    进行正向的求解
    若已知
    f(t)F(ω) f(t) \longleftrightarrow F (\omega)

    Ft2πf(ω) F(t) \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega)
    证明如下,
    已知
    F(ω)=+f(t)ejωtdtF(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t
    f(t)=12π+F(ω)ejωtdωf(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega
    f(t)=12π+F(ω)ejωtdωf(-t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}\omega
    将 t 和ω\omega变量互换
    f(ω)=12π+F(t)ejωtdtf(-\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(t) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t
    所以
    Ft2πf(ω) F(t) \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega)
    对于delta函数的具体运算就省略吧,代入就能解决。

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  • 学习阶段:大学数学,积分变换。前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换​zhuanlan....1. 线性性设 , 为常数,则 傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同周期函数...

    8a34438a387e3f9a63e2b24474585f25.png

    学习阶段:大学数学,积分变换。

    前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换

    tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com
    b8ddea71488f030e4a24ec17a34e76a6.png

    我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我会换一种方式,用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。

    1. 线性性

    为常数,则

    傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数(频域)线性表示原始函数(时域),必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

    线性性质可用图1来概括。先变换再求和,与先求和再变换,结果是一致的。

    e70b91e5e5ebccb925060c2a799fe53c.png
    图1 线性性质概括

    2. 位移性

    为常数,则

    把时域的函数向右平移了

    ,相当于时间起点改到了
    ,那么频域的相位也要相应地退回。分量
    在时刻
    的值
    的值作为起点,因此
    乘上了该量。

    把频域的函数向右平移了

    ,相当于把每个分量
    的频率都减慢为了
    ,那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
    补乘上
    ,就能还原回原来的频率,因此
    乘上了该量。

    3. 放缩/相似性

    为非零常实数,则

    ,那么
    . 取
    ,则
    ,显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化,让
    除以2,但同时分量的系数也成比例变了,如图2所示:

    8c5e2100ad7aa75da1fb6993cb681ef4.png
    图2 系数成比例变化

    除以
    ,会让分量
    变为
    的同时,其系数也变为了
    倍。因此,最终
    要再除以
    .

    对于上述例子,利用

    函数的放缩性,易得

    4. 对称性

    ,则

    对圆周运动的典型分量

    做两次变换观察一下,如图3所示:

    5c7f706578be2619914caca1f9ec3d38.png
    图3 e^(it)做两次傅氏变换

    首先对

    进行各种频率的反向旋转,
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,得到
    ,这是第一次变换。再对
    做第二次变换,变换的结果是把每个频率的起点都改为
    ,最终
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,正好时域上构成一冲激强度为
    的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周,时域脉冲对应频域圆周,这构成了对称性。

    实际上,函数

    既可以用一系列圆周函数
    线性表示为
    ,又可以用一系列冲激函数
    线性表示为
    ,这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
    变为脉冲,脉冲翻转后变为圆周,因此具有
    的关系。大致示意图如图4所示:

    5f88b46893d2e712d4f337d0519eb8c7.png
    图4 对称性示意图

    5. 微分关系

    ,只要相关的导数存在,则

    对于复值函数

    的含义是复值速度,其中实部表示沿实轴方向的速度,虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对
    求导会让起点逆时针旋转
    并伸缩至
    倍,但不改变频率,如图5所示:

    1b0aba0b508eb6b9ed56833d33f1c1be.png
    图5 对e^(iωt)求导

    根据求导公式也容易直接写出

    对t的n阶导数是
    .

    因此

    对t求n阶导时,频谱只需要简单地把每个分量
    乘上
    ,即
    乘上
    .

    求导时,考虑将
    分解为冲激函数,且时域的
    分量对应频域的
    分量。
    求n阶导数得到
    ,那么
    的每个分量
    也只需要简单地乘上
    即可。
    只会在
    时影响到整体的值,故求和之后得到的是
    .

    6. 积分关系

    ,则

    这与微分关系是一致的,取

    即可。

    由于

    ,这个任意常数
    会在频谱中带来一个冲激函数
    ,而
    无意义,因此这个公式不考虑
    的情况。

    7. 帕萨瓦尔(Parseval)定理

    ,则

    这个定理充分体现了

    这些基底在
    内积下的正交性。
    中的一个分量
    分别乘以
    中的每一个分量
    并对
    做积分,在
    时积分结果为0,在
    时积分结果为1. 也就是说,两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。

    中分量
    的系数近似为
    ,同理
    的系数近似为
    ,那么两者乘积的
    的系数即可近似为
    . 如图6所示:

    180f572c26b874144c6a63195304185a.png
    图6 对应点系数相乘

    因为

    算的是
    ,那么
    分量算出的是
    ,最后把所有
    求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。

    特别地,若取

    ,则可得到

    8. 卷积与卷积定理

    8.1 卷积

    冲激函数的筛选性质

    非常重要,我们称这个运算是
    的卷积。一般地,定义
    卷积(convolution)为

    视第二个函数为冲激函数的线性组合,即

    ,那么它的
    分量的系数可近似为
    ,而
    卷积得到
    ,相当于把
    向右平移了
    个单位。因此,卷积的含义是:
    的起点平移到
    处,就把函数值放缩为原来的
    倍。对于任意的
    ,把所有这些平移且放缩过的
    函数叠加的结果。如图7所示:

    34826fb98eb35ef492a62c275972a7aa.png
    图7 卷积的示意图

    概括来说,卷积就是

    的滑动加权和,权重由
    决定。

    同时,如果只考虑

    的一个冲激函数分量,则在卷积中会生成一个滑动加权的
    ,且由
    控制。也就是说,卷积具有
    交换律。如图8所示:

    f2bb58d9fae928ac32a7f2d5afc830ed.png
    图8 卷积交换律的示意图

    实际上,卷积还满足结合律和分配律,这里不再详述。

    8.2 时域卷积定理

    ,则

    按照8.1节对卷积的理解,将

    拆成各种
    分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,相当于平移后加权。根据第2节的位移性,易得频谱函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .

    8.3 频域卷积定理

    ,则

    这里我们把

    拆成各种
    的分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,也是平移后加权。根据第2节的位移性,易得时域函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .
    展开全文
  • 学习阶段:大学数学,积分变换。前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换​zhuanlan....1. 线性性设 , 为常数,则 傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同周期函数...

    0e8fee38df6fa127e50272d096bda0f5.png

    学习阶段:大学数学,积分变换。

    前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换

    tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com
    2795dbf848be30db172139fdac43e11b.png

    我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我会换一种方式,用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。

    1. 线性性

    为常数,则

    傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数(频域)线性表示原始函数(时域),必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

    线性性质可用图1来概括。先变换再求和,与先求和再变换,结果是一致的。

    f9acc3608b17d8df9e10c110bd689206.png
    图1 线性性质概括

    2. 位移性

    为常数,则

    把时域的函数向右平移了

    ,相当于时间起点改到了
    ,那么频域的相位也要相应地退回。分量
    在时刻
    的值
    的值作为起点,因此
    乘上了该量。

    把频域的函数向右平移了

    ,相当于把每个分量
    的频率都减慢为了
    ,那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
    补乘上
    ,就能还原回原来的频率,因此
    乘上了该量。

    3. 放缩/相似性

    为非零常实数,则

    ,那么
    . 取
    ,则
    ,显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化,让
    除以2,但同时分量的系数也成比例变了,如图2所示:

    749a5a7c32895a0693b15a35b5421041.png
    图2 系数成比例变化

    除以
    ,会让分量
    变为
    的同时,其系数也变为了
    倍。因此,最终
    要再除以
    .

    对于上述例子,利用

    函数的放缩性,易得

    4. 对称性

    ,则

    对圆周运动的典型分量

    做两次变换观察一下,如图3所示:

    ad44dbdabb703fd405268f714ae9fb2e.png
    图3 e^(it)做两次傅氏变换

    首先对

    进行各种频率的反向旋转,
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,得到
    ,这是第一次变换。再对
    做第二次变换,变换的结果是把每个频率的起点都改为
    ,最终
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,正好时域上构成一冲激强度为
    的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周,时域脉冲对应频域圆周,这构成了对称性。

    实际上,函数

    既可以用一系列圆周函数
    线性表示为
    ,又可以用一系列冲激函数
    线性表示为
    ,这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
    变为脉冲,脉冲翻转后变为圆周,因此具有
    的关系。大致示意图如图4所示:

    1d02741fc306f548b4ccd03ea49ee459.png
    图4 对称性示意图

    5. 微分关系

    ,只要相关的导数存在,则

    对于复值函数

    的含义是复值速度,其中实部表示沿实轴方向的速度,虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对
    求导会让起点逆时针旋转
    并伸缩至
    倍,但不改变频率,如图5所示:

    ac02689a281896c24a4ad8b1176bc245.png
    图5 对e^(iωt)求导

    根据求导公式也容易直接写出

    对t的n阶导数是
    .

    因此

    对t求n阶导时,频谱只需要简单地把每个分量
    乘上
    ,即
    乘上
    .

    求导时,考虑将
    分解为冲激函数,且时域的
    分量对应频域的
    分量。
    求n阶导数得到
    ,那么
    的每个分量
    也只需要简单地乘上
    即可。
    只会在
    时影响到整体的值,故求和之后得到的是
    .

    6. 积分关系

    ,则

    这与微分关系是一致的,取

    即可。

    由于

    ,这个任意常数
    会在频谱中带来一个冲激函数
    ,而
    无意义,因此这个公式不考虑
    的情况。

    7. 帕萨瓦尔(Parseval)定理

    ,则

    这个定理充分体现了

    这些基底在
    内积下的正交性。
    中的一个分量
    分别乘以
    中的每一个分量
    并对
    做积分,在
    时积分结果为0,在
    时积分结果为1. 也就是说,两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。

    中分量
    的系数近似为
    ,同理
    的系数近似为
    ,那么两者乘积的
    的系数即可近似为
    . 如图6所示:

    f08bae152b16c316ce1e3a4a53efacda.png
    图6 对应点系数相乘

    因为

    算的是
    ,那么
    分量算出的是
    ,最后把所有
    求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。

    特别地,若取

    ,则可得到

    8. 卷积与卷积定理

    8.1 卷积

    冲激函数的筛选性质

    非常重要,我们称这个运算是
    的卷积。一般地,定义
    卷积(convolution)为

    视第二个函数为冲激函数的线性组合,即

    ,那么它的
    分量的系数可近似为
    ,而
    卷积得到
    ,相当于把
    向右平移了
    个单位。因此,卷积的含义是:
    的起点平移到
    处,就把函数值放缩为原来的
    倍。对于任意的
    ,把所有这些平移且放缩过的
    函数叠加的结果。如图7所示:

    ca99808b8461799fe40d4a9fa799f954.png
    图7 卷积的示意图

    概括来说,卷积就是

    的滑动加权和,权重由
    决定。

    同时,如果只考虑

    的一个冲激函数分量,则在卷积中会生成一个滑动加权的
    ,且由
    控制。也就是说,卷积具有
    交换律。如图8所示:

    4d0122056960f41c0ee60f67c52dfca9.png
    图8 卷积交换律的示意图

    实际上,卷积还满足结合律和分配律,这里不再详述。

    8.2 时域卷积定理

    ,则

    按照8.1节对卷积的理解,将

    拆成各种
    分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,相当于平移后加权。根据第2节的位移性,易得频谱函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .

    8.3 频域卷积定理

    ,则

    这里我们把

    拆成各种
    的分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,也是平移后加权。根据第2节的位移性,易得时域函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .
    展开全文
  • 1.冲激信号及其傅里叶变换分析通过仿真图我们可以得出一下结论:冲激频谱是一条直线,幅值为常数1,频率范围为无穷,即包好所有频率成分。我们可以使用冲激函数去刺激系统,然后看系统对那些频率比较敏感,这样...

    学习数字信号处理的时候,会遇到许多的变换,搞得大家晕头转向的,同时作为一位学生深有体会大家的苦脑,所以给大家总结了一些常见的信号的变换,帮助大家梳理一下。

    1.冲激信号及其傅里叶变换分析

    696bea2cbe9f7e5ec1f3024a6ca745db.png

    通过仿真图我们可以得出一下结论:

    冲激的频谱是一条直线,幅值为常数1,频率范围为无穷,即包好所有的频率成分。

    我们可以使用冲激函数去刺激系统,然后看系统对那些频率比较敏感,这样我们就可以将系统的性能给求出来,因为冲激信号和任意函数的卷积都等于任意函数的本身,所以系统的冲激响应就可以近似代表系统的本身。

    2.门信号及其傅里叶变换分析

    我们可以猜想,冲激信号的时间宽度趋于零,而门信号的时间宽度假设为T/2,则我们推测门信号的频谱包含了许多成分,但不至于像冲激函数的频谱那么“雨露均沾”。仿真结果如图所示:

    a7bbce98069d75a6da55688852141cda.png

    仿真结果分析:

    结论:(1)门信号的傅里叶变换为Sa(t)函数,Sa(t)函数的表达式为

    1fe09cd24caffdf5d0cd711ce41d65b0.png

    。可以推导,当t趋近于零时,也就是说根据极限可得sa(t)=1,所以sa(w)=sin(2pi/w)/(2pi/w)=1,因此更加验证了冲激信号正确性。

    (2)sa函数是偶函数,又叫抽样函数在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减,当t =

    d22201180f04d3468839f9d387c5d8af.png

    时,函数值等于零,这是由于sin函数的性质决定的。

    3.方波及其傅里叶变换分析

    方波由正弦波的奇次谐波构成,如下图,证明方法是傅里叶级数展开,此处不再证明。

    391a23169da71f2aff97703fb8a13da7.png

    4矩形波及其傅里叶变换分析

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    427e4ea908c0d98d072c569bed114577.png

    结论分析:周期连续信号的傅里叶变换是离散的,离散的信号的傅里叶变换是连续的,这点可以由上面的分析证明。

    5.常数1的傅里叶变换分析:

    可以由门信号进行推导,当门信号的时间趋于无穷大时,则信号为常数1,则sa函数收缩为冲激信号。

    展开全文
  • 傅里叶变换

    2020-06-13 10:24:26
    6.2 傅里叶变换 常数项级数 函数项级数:函数列 收敛点,发散点 收敛域,发散域 一致收敛性 傅里叶级数 时域 -》 幅度-频率 -》 初始相位-频率 正弦函数叠加 所有周期函数都可以由三角函数叠加而得 三角函数系...
  • 1.冲激信号及其傅里叶变换分析通过仿真图我们可以得出一下结论:冲激频谱是一条直线,幅值为常数1,频率范围为无穷,即包好所有频率成分。我们可以使用冲激函数去刺激系统,然后看系统对那些频率比较敏感,这样...
  • 实验中采用了对光子能量和方位角作双傅里叶变换,及同步旋转检偏和起偏器(RAP)方法,根据傅里叶变换的四个余弦交流分量,计算相应光学常数。经过对实验系统各误差来源分析和纠正,提高了实验精度,使误差控制...
  • 采用傅里叶变换轮廓术(FTP)进行三维面形测量时,变形条纹图零频分量扩展对FTP 测量范围和精度存在影响。消除变形条纹图零频分量后,FTP 测量范围可以提高3 倍。根据希尔伯特(Hilbert)变换具有90°相移和使...
  • 傅里叶变换的性质 傅里叶对 总结 傅里叶变换的性质 让我们继续看看空间域和频域之间关系。这是傅里叶变换的一些简单性质。我们从一个我们已经讨论过问题开始。一切都是线性因为我们只是做求和和乘法(如图...
  • 快速傅里叶变换

    2018-05-27 12:56:29
    分类 缩写 全称 作用 ... 离散傅立叶变换 ... 快速傅立叶变换 ... O(大常数+nlog2n)O(大常数+nlog2n)O(大常数+nlog_2n) NTT/FNTT 快速数论变换 模意义下时频域转换 O(小常数+n...
  • 傅里叶变换 FFT傅里叶变换的性质让我们继续看看空间域和频域之间关系。这是傅里叶变换的一些简单性质。我们从一个我们已经讨论过问题开始。一切都是线性因为我们只是做求和和乘法(如图),对吧?我们刚才描述...
  • 傅里叶变换矩阵

    2020-10-10 16:31:08
    1. matlab fft()函数是没有归一化DFT matlab 得到归一化DFT矩阵 function F=DFT(N) %xn为序列 n = [0:N-1]; %n行向量,为1*N矩阵 ... %将常数Wn与nk进行点幂运算,为N*N矩阵,此处发生了N*N次点幂
  • 冲激信号及其傅里叶变换分析冲激信号及其傅里叶变换通过仿真图我们可以得出一下结论:1.冲激频谱是一条直线,幅值为常数1,频率范围为无穷,即包好所有频率成分。2.我们可以使用冲激函数去刺激系统,然后看系统...
  • (1)加深对离散傅里叶变换(DFT)基本性质理解。(2)了解有限长序列傅里叶变换(DFT)性质研究方法。(3)掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换性质分析时程序编写方法。二、实验原理1.线性性质 如果两个有限长序列...
  • 这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的...如此一来,对于常规的$sin$,$cos$,常数函数等则无法进行傅里叶变换,因此,我们需要一个更鲁棒的傅里叶变换,使之能处理这些常规函数。 原本的傅里叶变换之所以...
  • 根据周期函数定义,常数函数是周期函数,其周期是任意实数,所以,对于y=C,C∈Ry=C,C\in Ry=C,C∈R这样的常数函数,分解里面要添加一个常数项与之对应。 1.2.2 其他部分通过sin(x),cos(x)sin(x),cos(x)sin(x),cos...
  • FFT快速傅里叶变换

    2019-10-07 19:14:54
    FFT太玄幻了,不过我要先膜拜HQM,实在太强了 ...其中多项式中不含字母项叫做常数项。 2)多项式表达 我们可以用一些不同表达方式来表示一个多项式 \[f(x)=\sum_{i=0}^{i=n}a_i\cdot x^i\...
  • 傅里叶变换(FFT)学习笔记 一、多项式乘法: 我们要明白是:FFT利用分治,处理多项式乘法,达到O(nlogn)复杂度。(虽然常数大)FFT=DFT+IDFTDFT:本质是把多项式系数表达转化为点值表达。因为点值表达,y...
  • 傅里叶变换与波动方程色散关系 介电常数与电导 介电函数与电导率关系 介电函数与折射率 散度定理 电子迁移率 电磁波波动方程 自由电子气介电函数 自由电子气介电函数推导 相速度...
  • (三)奇异信号频谱 常见奇异信号有单位冲激信号、单位直流信号、符号函数以及单位阶跃信号,它们往往是组成复杂信号基本信号。...所以单位冲激信号频谱为常数1,即 δ(t)↔F1 \delta(t) \overset
  • 【模板】多项式乘法...注意:虽然本题开到3s,但是建议程序在1s内可以跑完,本题需要一定程度的常数优化。 题目描述 给定一个nnn次多项式F(x)F(x)F(x),和一个mmm次多项式G(x)G(x)G(x)。 请求出F(x)F(x...
  • (还是可以由常数项叠加正弦波组成,只不过叠加正弦波间隔频率变小。) 周期趋于无限大,则谱线间隔趋于无限小,这样,离散频谱就变成连续频谱了。同时,由于周期T趋于无限大,谱线长度趋于零。也就是说,由...
  • 题目背景这是一道FFT模板题注意:虽然本题开到3s,但是建议程序在1s内可以跑完,本题需要一定程度的常数优化。题目描述给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x)。请求出F(x)和G(x)卷积。输入输出格式输入格式...
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空空如也

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常数的傅里叶变换