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    §11.1  常数顶级数的概念和性质

    一、级数的定义

    若给定一个数列 ,由它构成的表达式

                                      (1)

    称之为常数项无穷级数,简称级数,记作

    亦即  

    其中第叫做级数的一般项

    上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义,它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来,因为,这一累加过程是无法完成的。

    为给出级数中无限多个数量相加的数学定义,我们引入部分和概念。

    作级数(1)的前项之和

                                         (2)

    为级数(1)的部分和。当依次取时,它们构成一个新数列

    称此数列为级数(1)的部分和数列

    根据部分和数列(2)是否有极限,我们给出级数(1)收敛与发散的概念。

    定义】当无限增大时,如果级数(1)的部分和数列(2)有极限,即

    则称级数(1)收敛,这时极限叫做级数(1)的,并记作

    如果部分和数列(2)无极限,则称级数(1)发散

    当级数(1)收敛时,其部分和是级数和的近似值,它们之间的差值

    叫做级数的余项

    注明】由级数定义发现,它对加法的规定是:依数列的序号大小次序进行逐项累加,因此,级数的敛散性与这种加法规定的方式有关

    著名反例

    (1)、若逐项相加,部分和为

    ,

    无极限,故级数发散。

    (2)、若每两项相加之后再各项相加,有

    【例1】讨论等比级数

    的敛散性。

    解:若,则部分和为

    (1)、当时,,故

     等比级数收敛,且和为

    (2)、当时,,从而

     等比级数发散;

    (3)、当时,

    ,则

    , 则

    不存在。

    即当时,等比级数发散。

    综合有

    【例2】研究下列伸缩型级数的敛散性

    1、

    2、

    解1、

     从而 

     因此,级数1是发散的。

    解2、

    从而 

    因此,级数2收敛于

    二、级数的基本性质

    性质一】如果级数

    收敛于和,则它的各项同乘以一个常数所得的级数

    也收敛,且和为

    【证明】设的部分和分别为,则

      

    于是,

    故级数收敛且和为

    由关系式 ,有

    如果没有极限,且,那未也没有极限。

    因此,我们得到如下重要结论

    级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的敛散性不变。

    【性质二】设有级数

    分别收敛于, 则级数

    也收敛,且和为

    【证明】设级数的部分和分别为, 则部分和

     

     

    故 

    这表明级数收敛且其和为

    据性质二,我们可得到几个有用的结论

    1、若收敛,则

            (分配律)

            (一种结合律)

    2、若收敛,而发散,则必发散。

    反证:假设收敛,则亦收敛,

    收敛,这与条件相矛盾。

    3、若均发散,那么可能收敛,也可有发散。

    如   ,  

    发散

    又如  ,  

          收敛

    【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项,不会影响级数的敛散性,不过在收敛时,一般来说级数的和是要改变的。

    【证明】将级数

    的前项去掉,得到新级数

    新级数的部分和为

    其中是原级数前项的部分和,而是原级数前项之和(它是一个常数)。故当时,具有相同的敛散性。在收敛时,其收敛的和有关系式

    其中 

    类似地,可以证明在级数的前面增加有限项,不会影响级数的敛散性。

    性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。

    证明】设有收敛级数

    它按照某一规律加括号后所成的级数为

    表示这一新级数的前项之和,它是由原级数中前项之和所构成的(),即有

    显然,当时,有,因此

    级数加括号与去括号之后所得新级数的敛散性较复杂,下列事实在解题中会常用到。

    1、如果级数加括号之后所形成的级数发散,则级数本身也一定发散

    显然,这是性质四的逆否命题。

    2、收敛的级数去括号之后所成级数一定收敛。

    例如,级数收敛于零,但去括号之后所得级数

     

    却是发散的。

    这一事实也可以反过来陈述:

    即使级数加括号之后收敛,它也不一定就收敛。

    三、级数收敛的必要条件

    对于级数

    它的一般项与部分和有关系式  

    假设该级数收敛于和,则

    于是,我们有如下级数收敛的必要条件

    定理】级数收敛的必要条件是

    必须指出,级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件

    【著名反例】讨论调和级数

    的敛散性。

    这里,,即调和级数的一般项趋近于零。

    考虑由轴所围成的曲边梯形的面积与这个阶梯形面积的关系。

    时,,从而,

    因此,调和级数发散到








    §11.2  常数项级数的审敛法

    一、正项级数及审敛法

    若级数中的各项都是非负的( 即),则称级数正项级数

    由于级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题,因此,正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。

    1、基本定理

    正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。

    【证明】设级数

                                   (1)

    是一个正项级数,它的部分和数列

     

    是单调增加的,即 

    若数列有上界,据单调有界数列必有极限的准则,级数(1)必收敛于和,且

    反过来,如果级数(1)收敛于和,即,据极限存在的数列必为有界数列性质可知,部分和数列是有界的。

    2、基本审敛法

    借助正项级数收敛的基本定理,我们来建立一系列具有实用性的正项级数审敛法。

    比较审敛法】给定两个正项级数

    (1)、若,而收敛,则亦收敛;

    (2)、若,而发散,则亦发散。

    这里,级数称作级数比较级数

    【证明】(1) 设收敛于

    的部分和满足

    即单调增加的部分和数列有上界。

    据基本定理知,收敛。

    (2) 设发散,于是它的部分和

    ,有

     

    从而  ,即发散。

    由于级数的每一项同乘以一个非零常数,以及去掉其有限项不会影响它的敛散性,比较审敛法可改写成如下形式

    推论】设为正数,为正整数,均为正项级数

    (1)、若,而收敛,则亦收敛;

    (2)、若,而发散,则亦发散。

    【例1】讨论 级数

    的敛散性,其中

    】1、若,则 ,而调和级数发散,

    故    亦发散;

    2、若,对于 ,有

    考虑比较级数  

    它的部分和  

     

    故 收敛,由比较审敛法, 收敛,

    由级数的性质,亦收敛。

    综上讨论,当 时,级数为发散的;

    当  时,级数是收敛的。

    级数是一个重要的比较级数,在解题中会经常用到。

    比较审敛法还可用其极限形式给出,而极限形式在运用中更显得方便。

    比较审敛法的极限形式

    为两个正项级数,如果极限

    则级数同时收敛或同时发散。

    证明】由极限的定义有

    ,存在着自然数,当时,有不等式

    再据比较审敛法的推论,即获得了要证的结论。

    极限审敛法】设为正项级数,

    (1)、若,则发散;

    (2)、若,则收敛。

    证明】若 

    故 与 具有相同的收敛性,亦即

    (1)、当时,收敛,故收敛;

    (2)、当时,发散,故发散;

    (3)

    (4)

    【例2】判别级数

    、  

    的敛散性。

    解:

    故级数发散;

    故级数收敛。

    比值审敛法

    若正项级数适合

    Ê时,级数收敛;

    Ë(也包括)时,级数发散;

    Ì时,级数的敛散性不详。

    证明

    Ê时,可取一适合小的正数,使得 

    据极限的定义,存在自然数,当时,

    有  

    ,…

    级数的各项小于收敛的等比级数()

    的对应项,故收敛,从而亦收敛;

    Ë时,

    存在充分小的正数,使得,据极限定义,当时,有

     ,

    因此,当时,级数的一般项是逐渐增大的,它不趋向于零,

    由级数收敛的必要条件,发散。

    Ì时,级数可能收敛,也可能发散。

    例如,对于级数,不论取何值,总有

    但是,级数在时收敛,而当时,它是发散。

    根值审敛法

    若正项级数适合

    Ê时,级数收敛;

    Ë(也包括)时,级数发散;

    Ì时,级数的敛散性不详。

    证明

    Ê时,可取一适合小的正数,使得 

    据极限的定义,存在自然数,当时,

    等比级数()是收敛的,因此亦收敛,

    故级数收敛。

    Ë时,

    存在充分小的正数,使得,据极限定义,当时,有

     ,

    因此,级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件,发散。

    Ì时,级数可能收敛,也可能发散。

    例如,级数是收敛,级数是发散的,而

    对于比值法与根值法失效的情形(),其级数的敛散性应加另寻它法加以判定,通常是构造更精细的比较级数

    【例3】判定下列级数的敛散性

    1、

    2、

    3、

    解:1、一般项为 

    由比值审敛法知,级数1是收敛的。

    2、一般项为 

    由根值审敛法知,级数2是收敛的。

    3、一般项为  

    这表明,用比值法无法确定该级数的敛散性。注意到

    而级数收敛,由比较判别法,级数3收敛。

    二、交错级数及其审敛法

    所谓交错级数是这样的级数,它的各项是正、负交错的,其形式如下

                        (1)

    或     

    其中均为正数。

    交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)

    如果交错级数(1)满足条件

    Ê 

    Ë 

    则交错级数(1)收敛,且收敛和,余项的绝对值

    证明

    1、先证存在。

    (1)式的前项的部分和写成如下两种形式

    及  

    由条件(1)  可知

    所有括号内的差均非负,第一个表达式表明:数列是单调增加的;而第二个表达式表明:,数列有上界。

    由单调有界数列必有极限准则,当无限增大时,趋向于某值,并且

    即  

    2、再证

    因 

    由条件(2)  可知,

    由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限,故级数(1)的部分和当时具有极限。这就证明了级数(1)收敛于,且

    3、最后证明

    余项可以写成 

    其绝对值为  

    此式的右端也是一个交错级数,它满足收敛的两个条件,故其和应小于它的首项,即 

    【例4】试证明交错级数

    是收敛的。

    证明

    且  

    故此交错级数收敛,并且和

    三、绝对收敛与条件收敛

    设有级数                           (2)

    其中为任意实数,该级数称为任意项级数

    下面,我们考虑级数(2)各项的绝对值所组成的正项级数

                                 (3)

    的敛散性问题。

    定义

    如果级数(3)收敛,则称级数(2)绝对收敛

    如果级数(3)发散,而级数(2)收敛,则称级数(2)条件收敛

    定理一】如果级数(3)收敛,则级数(2)亦收敛。

    证明】设级数收敛

    令 

    显然 , 且 

     收敛,由比较审敛法,正项级数收敛,

    从而亦收敛,另一方面,

    由级数性质,级数收敛。

    定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。

    【例6】判定任意项级数  的收敛性。

    因 

    收敛,故 亦收敛,

    据定理一,级数收敛。

    【例7】讨论级数  的收敛性。

     因调和级数发散,

    而交错级数收敛,

    故级数非绝对收敛,仅仅是条件收敛的。

    由定理一与例三,可总结出绝对收敛、条件收敛与收敛之间的关系。

    有限项相加的重要性质之一是其和与相加的次序无关(即加法具有交换律、结合律)。这样的性质可否搬到无穷级数呢?

    无穷级数一般不具备这样的性质,即使是条件收敛的级数也不具备有这样的性质。但如果级数绝对收敛,则级数中的各项可任意地改变位置(即交换律成立)、可任意地添加括号(即结合律成立)。

    定理二】如果级数

    绝对收敛,其和为,那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数

    仍绝对收敛,且其和仍为

    【典型例子】交错级数

    条件收敛,设它的收敛和为

    下面讨论它的几种新组合

    1、

    它的前项所作成的部分和为

    对级数的项作如下重排

       (4)

    它的前项所作成的部分和为

    , 

    这表明,重排之后的新级数收敛于

    2、对级数的项作如下重排

    它的前项部分和为

    而  

        

    故,重排之后的新级数收敛于

    1、2可知,级数重排后,改变了级数的收敛和。因此,非绝对收敛的级数不能进行项的重排。






    §11.4  幂级数

    一、函数项级数的一般概念

    设有定义在区间  上的函数列

    由此函数列构成的表达式

                        (1)

    称作函数项级数

    对于确定的值,函数项级数(1)成为常数项级数

                   (2)

    (2)收敛,则称点是函数项级数(1)收敛点

    (2)发散,则称点是函数项级数(1)发散点

    函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域

    函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域

    对于函数项级数收敛域内任意一点(1)收敛, 其收敛和自然应依赖于的取值,故其收敛和应为的函数,即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域,并记

    若将函数项级数(1)的前项之和(即部分和)记作,则在收敛域上有  

    若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上),则   。

    二、幂级数及其收敛域

    函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数,它的形式是

                            (3)

    或           (4)

    其中常数称作幂级数系数

    (4)式是幂级数的一般形式作变量代换可以把它化为(3)的形式。

    因此,在下述讨论中,如不作特殊说明,我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。

    1、幂级数的收敛域、发散域的构造

    先看一个著名的例子,考察等比级数( 显然也是幂级数 )

    的收敛性。

    时,该级数收敛于和

    时,该级数发散。

    因此,该幂级数的收敛域是开区间,发散域是,如果在开区间内取值,则

    由此例,我们观察到,这个幂级数的收敛域是一个区间。事实上,这一结论对一般的幂级数也是成立的。

    定理一(阿贝尔定理)

    时,幂级数收敛,则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛;

    时,幂级数发散,则适合不等式的一切均使幂级数发散。

    证明】先设是幂级数的收敛点, 即级数

    收敛,则 

    于是存在一个正数,使得

    从而

    时,,等比级数收敛,从而

     收敛,故幂级数绝对收敛;

    定理一的第二部分可用反证法证明

    假设幂级数时发散,而有一点适合使级数收敛。

    据定理一的第一部分,级数当时应收敛,这与定理的条件相矛盾,故定理的第二部分应成立。

    阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构

    对于幂级数

    若在处收敛,则在开区间之内,它亦收敛;

    若在处发散,则在开区间之外,它亦发散;

    这表明,幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间

    于是,我们可以这样来寻找幂级数的收敛域与发散域

    幂级数在数轴上既有收敛点(不仅仅只是原点,原点肯定是一个收敛点),也有发散点。

    Œ从原点出发,沿数轴向右方搜寻,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,设这两部分的界点为P,点P可能是收敛点,也可能是发散点;

    从原点出发,沿数轴向左方搜寻,情形也是如此,也可找到一个界点P两个界点在原点的两侧,由定理一知,它们到原点的距离是一样的。

    Ž位于点PP之间的点,就是幂级数的收敛域;位于这两点之外的点,就是幂级数的发散域。

    借助上述几何解释,我们就得到如下重要推论

    推论】如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数存在,它具有下列性质

    Œ时,幂级数绝对收敛;

    时,幂级数发散;

    Ž时,幂级数可能收敛,也可能发散。

    正数通常称作幂级数的收敛半径

    由幂级数在处的敛散性就可决定它在区间上收敛,这区间叫做幂级数的收敛区间

    特别地,如果幂级数只在处收敛,则规定收敛半径;如果幂级数对一切都收敛,则规定收敛半径

    2、幂级数的收敛半径的求法

    定理二】设有幂级数,且

     (是幂级数的相邻两项的系数)

    如果  Œ,则 

    ,则 

    Ž,则 

    证明】考察幂级数的各项取绝对值所成的级数

                    (*)

    该级数相邻两项之比为  

    若  存在,据比值审敛法,

    Œ

    时,级数(*)收敛,从而原幂级数绝对收敛;

    ,即时,级数(*)从某个开始,有

    从而不趋向于零,进而 也不趋向于零,因此原幂级数发散。

    于是,收敛半径 

    ,则对任何,有

    从而级数(*)收敛,原幂级数绝对收敛

    于是, 收敛半径 

    ƒ,则对任何,有

    依极限理论知,从某个开始有

    因此  

    从而  

    原幂级数发散。

    于是,收敛半径

    【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间

    1、

    2、

    解1:这里

    在左端点,幂级数成为

    它是发散的;

    在右端点,幂级数成为

    它是收敛的。

    收敛区间为

    解2.此幂级数缺少奇次幂项,可据比值审敛法的原理来求收敛半径

    ,即时,幂级数收敛;

    ,即时,幂级数发散;

    对于左端点,幂级数成为

    它是发散的;

    对于右端点,幂级数成为

    它也是发散的。

    故收敛区间为 

    【例2】求函数项级数的收敛域

    解:作变量替换 ,则函数项级数变成了幂级数

    因 

    故收敛半径为

    在左端点,幂级数成为

    它是发散的;

    在右端点,幂级数成为

    它也是发散的。

    故收敛区间为 

    即  

    亦即  

    三 幂级数的运算性质

    对下述性质,我们均不予以证明

    1.加,减运算

    设幂级数的收敛区间分别为,记,当时,有

    2.幂级数和函数的性质

    Ê幂级数的和函数在收敛区间内连续。

    Ë若幂级数在敛区的左端点收敛,则其和函数处右连续,即

    Ì若幂级数在敛区的右端点 处收敛,则其和函数处左连续,即

    注:这一性质在求某些特殊的数项级数之和时, 非常有用。

    3.逐项求导

    幂级数的和函数在收敛区间内可导,且有

    4.逐项求积分

    幂级数的和函数在收敛区间内可积,且有

    【例3】求数项级数  之和。

    解:

    时,幂级数成为

    是一收敛的交错级数。

    时,幂级数成为

    是发散的调和级数。

    故  

    且有  

    【例4】求的和函数。

    解:

    设  

    时,幂级数成为

    它是收敛的;

    时,幂级数成为

    它是收敛的;

    因此,当 时,有

    【例5】求 的和。

    解:考虑辅助幂级数  

    设  

     

     

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  • 跟前面的高通电路一样,也可以首先将C视为 1/ jwC的电阻,求出增益的一个表达式,进而定义时间常数 τ 和关键频率1/2πτ 得到增益和 f 频率的关系。最后就可以得到他的幅频特性和相频特性。 同样也可以得到这个电路...

    实际应用中,电子电路所处理的信号几乎都不是简单的单一频率信号,它们的幅度及相位通常都由固定比例关系的多频率分量组合而成,且具有一定的频谱。

    放大电路对不同频率信号的幅值放大不同。这样的失真称其为幅度失真

    放大电路对不同频率信号产生的相移不同,表现为时间延时不同。这样的失真称其为相位失真

    在这里插入图片描述
    ★ 非线性失真:信号进入器件的非线性区域,会产生新的频率分量。

    ★ 频率失真:对不同频率的信号响应不同而造成的失真,不产生新的频率分量。

    由于放大电路中存在电抗元件(如管子的极间电容,电路的负载电容、分布电容、耦合电容、射极旁路电容等),当信号频率较高或较低时,不但放大倍数会变小,而且会产生超前或滞后的相移,使得放大电路对不同频率信号分量的放大倍数和相移都不同。所以当放大电路静态工作点合适 ,且处于放大区的时候还会产生失真。

    放大电路的放大倍数是信号频率的函数,称之为频率响应频率特性

    放大电路中存在电抗性元件 耦合电容、旁路电容、变压器等

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    此时在看固定偏置共射放大电路,在前面中频段时,一直把电容C1 认为是理想元件对直流开路、对交流短路,但如果考虑频率对电抗的影响,当频率由底变高时(小于100Hz),电抗是由高变低的明显变化,当频率较低时,此时电抗较大在几百欧姆,通过观察电容和输入电路的关系就可以发现,此时电容C1 的电抗就和 rbe 是相当的,因此必将对输入回路的信号传输产生较大的影响,不能视其为短路;只有当信号频率较高时(大于100Hz以上),由于电抗的急剧减小,才能忽略对其输入回路的影响,视其为短路

    正是耦合电容的电抗对频率的敏感使得放大电路的传输也会受到频率的影响。当放大电路传输低频信号的时候,由于C1 电抗的影响,必然会对整个放大电路的放大性能带来影响。当频率降低时,C1 的电抗将会增大,就会使得晶体管的输入电流 ib 减小。 ib 的减小必会导致 ic 的减小。因此使得输出电压 Uo 在面对同样的信号源 Us 的时候,也会出现一个衰减,就会使得整个放大电路的前级放大倍数 Aus 下降。所以由于耦合电容 C1 的存在,使得放大电路在低频段将会增益的损失。

    晶体管的极间电容

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    晶体管的集电结和发射极都存在电容效应,电容的直接体现就是跨接在集电结和发射结的结电容,由于结电容的容量并不大,所以在信号低频的时候可以认为他的电抗非常大,视其为开路,不会对信号传输带来影响。

    随着信号频率逐渐升高,晶体管极间电容和分布电容、寄生电容等杂散电容的容抗减小,对信号的传输带来较大的影响。

    因此晶体管的结电容将会放大电路的高频响应产生较大影响 ,由于极间电容的存在使得放大电路在高频段的增益也会出现损失

    同时在之前一直用于中低频信号分析的 h 参数等效模型,由于没有考虑结电容的影响,因此将不再适用于高频段的电路分析,此时必须采用一个考虑结电容的高频小信号模型进行分析,所以当研究电路的高频响应时,三极管的低频小信号模型不再适用,而要采用高频小信号模型

    电路中客观存在着各类电抗器件是影响电路频率响应的主要因素

    当低频时,主要是耦合电容起作用,而晶体管的结电容可视为理想的开路
    当高频时,主要是晶体管结电容起作用,而耦合电容可视其为短路
    由于耦合电容和结电容的影响,使得放大电路的放大倍数在低频和高频都会产生损失;

    频率响应是衡量放大电路对不同频率输入信号适应能力的一项技术指标

    频率响应(频率特性)

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    利用图形化的方式描述放大电路的幅频特性和相频特性,下图就是一个放大电路的幅频特性和相频特性,通过对他定性的观察,就可以发现这样一个放大电路在低频段和高频段增益都出现了损失,和之前对耦合电容以及晶体管的结电容对增益的影响的结论是相符合的。同时,还可以通过相频特性发现,在低频段和高频段还会产生超前和滞后的附加相移。基于此图就可以定义几个非常重要的频率参数。首先在中频段放大电路所对应的增益是最大的,将其称为通带增益。实际上,他就是之前一直在利用 h参数等效模型所求取的电压放大倍数。而随着频率的降低和升高,增益都会出现下降。在工程上,规定当增益下降到通带增益的0.707倍时,所对应的两个频率分别称为下限频率和上限频率。0.707是 1 / 2 1/\sqrt{2} 1/2 。那么当放大电路的频率在上下限频率的下一个位置的时候,放大电路的功率将会下降一半,因此这样一条线也称为半功率线。将上下限频率所规定的中间的频率范围称为通频带,也就是带宽。显然,带宽是最重要的一个放大电路的频率参数。因为在这样一个带宽里,可以认为不同频率信号所获得的增益和附加相移是相同的。因此,当他们在输出端叠加的时候,就不会产生幅度和相位失真。

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    通过这样一个图,可以对一个电路的频率特性一目了然,了解它的上下限,频率和带宽等等重要参数。但是在使用这样一个电路的时候,也会遇到麻烦,因为我们所处理的信号的频率范围非常宽,通常可以从几赫兹到几百兆赫以上。而放大电路的增益,也可能从体内达到百万倍的量级,那如果用线性坐标去描述这样一个幅频特性和相频特性的话显然这个图就非常非常的大了。可以用对数坐标所描述的波特图来在有限的视野之内,全面的了解一个电路的幅频特性和相频特性。所谓的波特图就是在横坐标上改原来的线性增长为指数增长,以对数坐标来表示频率的一个变化,那此时每一个刻度就代表了十倍频;对于幅频特性(纵坐标)来说,以分贝的形式来表示幅度的一个增长。也就是说,以 20log|Au| 的幅值来描述原来的线性增长的幅值,这样就可以极大地来压缩坐标。同时我们可以看到,大部分系统的频率响应,在局部范围之内是比较有规律的,因此我们通常可以将曲线做直线化处理,得到近似的折线化波特图,更加清晰地反映幅频特性和相频特性。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这就刚才看到的放大电路的幅频特性和相频特性的波特图,显然此时的横轴仍然是频率,但是此处的频率已经是对数坐标下表示的了,也就是每一个刻度将是十倍频的关系。注意幅频特性的纵坐标已经变成了 20log 的这样一个分贝形式。所以可以看到在这样一个有限的视野之内,就可以对整个放大电路的频率特性一目了然,有效地压缩的坐标。这里需要强调的是,对于一个波特图来说,除了要标识出他的关键频率 fL 和fH 之外,还应该标示出这个折线化之后折线随频率变化的规律,例如每十倍频 -20dB的趋势。另外,还需要注意的是。在 fL 和 fH 处出现了一个拐点,在图中看上去这个拐点所处于的增益,仍然是通带增益 20log|A~usm|,但是实际的波特图中,在此处增益已经出现了下降,下降为原来的 0.707倍。这就是对上下限频率的定义,说明在这样的一个拐点处,增益较通带增益已经下降了3dB。因此通常也可以将上下限频率称为3dB频率。这一点是需要非常关注的。因此通过这样的一个波的图,可以非常全面的了解一个放大电路的频率特性。因此,得到这样的一个波的图,就是对放大电路进行匹配响应的一个主要目标。

    单时间常数RC电路的频率响应

    首先进行定性分析,看看频率对这个电路的影响。当信号频率较低时候,电容C的电抗较大,显然对信号的传输会产生较大的影响,而随着信号频率的逐渐增高,电容C的电抗迅速减小,甚至可以等效为短路,那此时信号就可以畅通无阻了。因此,可以看到,这个电路显然反映出一种阻低频,通高频的相应频率特性,将这样一种频率特性的电路称为高通电路。此外通过定性分析还不难发现,当电容C不在对信号的传输产生影响的时候,反应出输出Uo 应该等于 Ui ,所以电路的通带增益就1,这个电路的最大的增益,也就是通带增益。下面来定量的分析这个电路的频率特性增益的定义仍然是Uo 比上 Ui 。这里只需要将C视为 1/ jwC的电阻利用欧姆定律就可以得到这个电路的一个增益的表达式如下图。此时仍然定义RC为时间常数 τ,从而找到一个关键的频率 fL = 1/2πRC = 1/2πτ。将 fL 代入 Au 表达式,同时用2πf 来取代这里的 w 就可以得到一个关于 f 的增益表达式,此时就可以看到,这个电路增益就是一个频率的函数。取这样一个表达式的模和相角就得到电路的幅频特性和相频特性。

    在这里插入图片描述
    基于相频特性和幅频特性画出波特图

    对数幅频特性

    根据对数要求首先要将幅值做分贝化处理,20log形式,这里fL 和 f 是比值类的形式,那么就可以看看 fL和 f 的几种比较关系。当 f >> fL 时,显然这部分非常小,约等于 0,此时整个对数的幅频特性就等于 0dB,此时对应的就是通带增益幅值为 1 情况;随着频率的减小,当 f << fL 时,显然这一部分就会变得非常大,1 可以忽略不计,表达式就可写成 20lg f f   L   \frac{f}{f~L~} f L f,这反映出当信号小于 fL 时,幅频特性将以每十倍频20dB的速率来衰减;当 f = fL 时,将 fL 带入表达式就可发现,此时对数幅频特性为 -20lg 2 \sqrt{2} 2 ,就是 -3dB,这意味着增益较通带增益下降3dB。就是这个电路的截止频率,下限频率。

    在这里插入图片描述
    根据以上结论就可在对数坐标下画出这个电路折线化的幅频特性——波特图。

    可以看到当大于 fL 时电路的通带增益为 1 ,而随着频率减小将以每十倍频20dB的速率来衰减,频率越低增益的幅值就越小,反应出对低频信号较大的阻碍作用。对于此波特图需要特别强调的是在折线化的波特图中拐点出现在 fL 处,在此处虽然在折线化的波特图中是通带增益 1,但应该知道在此处增益已经下降 3dB。这3dB也是实际的幅频特性和折线化幅频特性的最大误差。

    在这里插入图片描述
    根据相频特性仍然考察 fL 和 f 的关系,当 f >> 10fL 时,显然这部分就约等于 0。那么附加相移就约为 0 °;而当 f << fL 时,此部分就趋于无穷大,此时附加相移就约为 90°;当 f = fL 时,附加相移是 45°。据此就可画出相频特性的波特图。

    在这里插入图片描述
    可以看出在高频段输入和输出信号相位是相同的,而随着信号频率的降低该电路将产生 0 ~ 90°的超前相移。对于这样的相频特性有两点需要注意;首先在相频特性中 fL 这样一个下线频率所对应的的附加相移不是 0°,而是有45°的超前,只有当频率达到了10fL 时候,附加相移才为 0°。其次和幅频特性一样实际的相频特性和折线化的相频特性最大误差也将出现在拐点处在 5.71°左右。

    在这里插入图片描述
    如果将电路中的电容和电阻位置互换,就可以得到他的对偶电路,不妨也来对他进行一个定性的分析。当信号的频率较低的时候,电容C的容抗较大,可以视为开路处理,信号可以畅通无阻地进行传输。随信号频率的增高,电容C的容抗逐渐减小,甚至可以等效为短路。显然,此时 Uo 就无法在响应Ui 的输入。所以可以发现这个电路显然是反映出通低频,阻高频的特性。所以是一个RC低通电路。同时通带增益也是为 1 。跟前面的高通电路一样,也可以首先将C视为 1/ jwC的电阻,求出增益的一个表达式,进而定义时间常数 τ 和关键频率1/2πτ 得到增益和 f 频率的关系。最后就可以得到他的幅频特性和相频特性。

    在这里插入图片描述
    同样也可以得到这个电路的幅频特性和相频特性的波特图。通过波特图,就不难发现,这个电路在频率特性方面的一些特点,首先当信号的频率较低的时候,小于fH 的时候反应出通带增益为 1 的这样的情况,信号的传输能够得以很好的保障。而随着频率的升高,增益的幅值将会以每十倍频 -20dB的速率衰减,表现出对高频信号的一个较强的阻碍作用。因此,这是一个通低频,阻高频的一个低通电路。而通过对 fH 这样一个关键频率的讨论可以发现,在 fH 频率点上电路的增益的幅值下降为通带增益的0.707%也就是衰减了3dB,因此他就是所定义的上限频率。在相频特性上就可以发现,在信号的频率较低的时候,可以保障输出和输入具有相同的相位,随着信号频率的增加,电路将会产生一个0 ~ 90° 的滞后的相移。

    在这里插入图片描述
    通过对一阶RC的高通和低通电路讨论可以得出以下一些结论:

    1、电路的截止频率也就是上限和下限,频率往往取决于电容所在回路的时间常数 τ。2、截止频率的表达式总可以写成 1 2 π τ \frac{1}{2πτ} 2πτ1的形式。这也就说如果能够在电路中找到这样一个电容回路,并且确定他的时间常数,就可以找到截止频率。

    3、对于一阶二阶电路来说,在截止频率处,增益的幅值将会下降3dB,而且会产生正负45°的附加相移。

    4、同时观察实际的波特图的特性,就可以发现。在局部区域内波特图是比较有规律的,因此,在分析中我们可以用折线化的近似波特图来描述电路的频率特性。

    RC低通和高通对比

    负45°的附加相移。

    4、同时观察实际的波特图的特性,就可以发现。在局部区域内波特图是比较有规律的,因此,在分析中我们可以用折线化的近似波特图来描述电路的频率特性。

    RC低通和高通对比

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    一、概念

    1.1、无穷级数的定义

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    1.2、收敛与发散的定义

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    1.3、等比级数 ∣ q ∣ < 1 , 收 敛 , ∣ q ∣ ≥ 1 , 发 散 |q|<1,收敛,|q| \geq1,发散 q<1,q1,

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    二、性质

    2.1、收敛、发散、与和的关系

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    2.2、基本性质

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    2.3、级数收敛的必要条件: 一般项 u n u_n un趋于零

    一般项 u n u_n un不趋于零,必定发散
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    2.3.1、注意不是收敛的充分条件

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    2.4、习题

    例1
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