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  • 常数项倒数
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    2019-09-30 08:19:39

    求前n项正整数的倒数和

      前n项正整数的和是一个发散的序列,学过高等数学的这个都知道。所以它没有一个精确的公式,但是近似的公式是有的:

        1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n ln n + γ,

        其中 γ 是欧拉常数, 值为 γ=0.577215,66490,15328,60606,51209,00824,02431,04215,93359,39923,59880,57672,34

    证明:

    根据Newton的幂级数有:
    ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
    于是:
    1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
    代入x=1,2,...,n,就给出:
    1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
    1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
    ......
    1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
    相加,就得到:
    1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
    后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
    1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + y

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/Duahanlang/p/3200372.html

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    0  的  美  

      ——天下万物生于有,有生于无

     文字|朱曼红    朗诵|语桐

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    0是渺小的,因为

    0是最小的自然数,

    0是最小的完全平方数,

    0是绝对值最小的实数,

    0是模最小的数,

    在加减法运算中,0的参与不会让任何实数实现增减,

    0可以在小数部分的尾数里出现,

    然而即使被省略,

    也依然无法撼动那个叫作小数值的小丘。

    0又是巨大的,因为

    任何实数乘以0都等于0,

    而0除以任何非零实数也都等于0,

    任何非零实数的0次幂都等于1,

    在表示数的精确度时,0是有发言权的,

    所有不可能事件的概率是0,

    但概率是0的事件并不一定是不可能事件,

    0的阶乘等于1化解了离散数学中组合数定义的尴尬,

    0向量的方向虽然不确定,却与任意向量平行,与任意向量共线,与任意向量垂直,

    0向量与任意向量的数量积为0,

    0是除它自己外任何无穷小的高阶无穷小,

    而高阶无穷小与低阶无穷小比值的极限是0,

    定积分中,积分上限和下限相等时,积分值始终为0,

    0的能量,是任何数字与运算都不敢小视的强悍。

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    0是孤单的,因为

    0没有倒数,也没有负倒数,

    0不能做分母、除法运算的除数、比的后项,

    0不能做对数的底数或真数,

    0是唯一一个无辐角定义的复数,

    0是唯一可以作为无穷小量的常数,

    在0的世界里,没有同类,可与它比肩。

    0是许多领域中不可或缺的存在,因为

    0在多位数中起占位作用,

    0不可作为多位数的最高位,

    却可以在编号中,在其他数字前面补全位数,

    在化学中,0价表示单质,0族表示稀有气体,

    在计算机应用中,

    1和0是计算机处理数据的基本单位,

    在航天控制台中,

    只有“0”号控制台,没有“1”号控制台,

    0是中国罕见姓氏,

    0的意义,有你无法估量的广远。

    0是一个固守本真的数,因为

    0的相反数是其本身,

    0的绝对值是其本身,

    0的平方根是其本身,

    0的立方根是其本身,

    0的任何数倍是其本身,

    0的正数次方是其本身,

    0不是质数,也不是合数,

    0不是正数,也不是负数,而是正数和负数的分界点,

    0就在那里,不动不摇,坚定而淡然。

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    0是一个与美好相牵的数,因为

    疫情的0增长,延续了生命的希望,

    圆圆的0形象,象征着幸福的相聚,

    归无的0心态,代表了崭新的开始。

    0有一颗充满期待的心,

    0的美好,我们看不见也摸不着!

    0的美好,我们做得到也守得住!

    7dad55ad14741c49383db72d84c3d7bc.png

    这首诗,是第一眼就爱上的,我惊诧于它的特别与庞杂,不仅从严谨的学术角度对我们常见的数字“0”进行了深入而广泛的剖析,还能让人不自觉地生出无数思绪来:关于人生,关于科学,关于世界。0很小,小到可以忽略不计,但我们却无法真正甩掉它,因为有时候,它甚至决定生死。0有时是我们用来追根溯源的数字,比如发生疫情的第一个病人,被称为“零号病人”。0也会是充满希望的数字,比如新冠疫情各种新闻中逐渐出现的“清零”。

    我喜欢这首诗,不仅仅是因为它给了我全新的认识,更因为它末尾朴素却会让人无限感慨的结语。一切都会慢慢好起来,因为,我们在很努力也很用心地去追寻这个数字——0。

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    相识作者

    朱曼红,执教数学,是一个温婉聪慧,理性与感性并存,用心爱着学生也被学生爱戴着的老师。作为同事,一直很欣赏这个看似柔弱实则坚强、说话永远温温柔柔的妹妹,这首诗是她的用心之作,希望您也喜欢!

    感谢您的阅读!欢迎再来!

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    展开全文
  • 由无穷小与“有极限的函数”的关系(如果函数可以表示成常数和一个无穷小之和,那么这个常数就是函数的极限。)可知,因为 ,所以 有极限且极限为 ,即 。 例题: 1. 解: 2. (分母极限不为零)。 解: 注:像例题...

    写在前面的话:

    国庆假期浪完啦~马上要上班了,大家也快开学了,祝福祖国,也祝福大家!

    这一讲主要讲的是函数极限的运算法则,当然也适用于数列极限咯~大家好好学习吧。

    如果有打错字的地方还请积极提出来,以方便大家阅读。如果你是新来的小伙伴,还请从头看我的专栏文章呦,重点理解极限的定义,打好基础,往后的学习过程才不会痛苦。

    我总结的最好的学习方法就是两个字:反复,反复琢磨。不要相信自己的记忆力,因为记了会忘。要相信自己的理解力,反复琢磨,大家都是可以的。

    以下运算法则对

    都成立:

    法则一:如果

    下面我们根据无穷小和极限的关系(戳我了解)来证明极限的运算法则,

    为极限推出
    等于
    加上一个无穷小量
    ;

    为极限推出
    等于
    加上一个无穷小量

    由于

    是无穷小,所以两个无穷小量之和
    自然也是无穷小;另外
    视为 常数
    和无穷小
    的乘积,是一个无穷小,所以
    也是无穷小。

    再由“有极限的函数”与无穷小的关系,可知

    有极限且极限是
    ,即
    。证毕!

    比如:

    法则二:如果

    证明:

    为极限推出
    等于
    加上一个无穷小量
    ;

    为极限推出
    等于
    加上一个无穷小量

    从而

    由无穷小的性质(戳我了解),

    都是无穷小,从而
    是无穷小,由“有极限的函数”与无穷小的关系可知,
    有极限且极限是
    ,即
    。证毕!

    比如:

    注:这个法则由两个推论:

    (1)如果

    为常数,则

    (2)如果

    为正整数,则

    法则三:如果

    ,则

    证明:

    为极限推出
    等于
    加上一个无穷小量
    ;

    为极限推出
    等于
    加上一个无穷小量

    ,等式两边同时减去

    由于

    ,根据函数极限的局部保号性(戳我了解),存在
    的某去心邻域,当
    在该邻域时,有
    ,从而

    ,所以
    是一个有界函数,而
    是一个无穷小量,因此
    是一个有界函数与一个无穷小量的乘积,结果也是无穷小。

    由无穷小与“有极限的函数”的关系(如果函数可以表示成常数和一个无穷小之和,那么这个常数就是函数的极限。)可知,因为

    ,所以
    有极限且极限为
    ,即

    例题:

    1.

    解:

    2.

    (分母极限不为零)。

    解:

    注:像例题2中,分子和分分母皆为一个多项式的函数,称为有理函数(戳我了解)。在有理函数中,当分母的极限不等于

    时,函数的极限就等于分子的极限除以分母的极限,而分子分母都是多项式,所以求极限的时候可以直接把
    直接代入自变量
    的位置。总结如下:

    ① 如果

    次多项式,即
    ,

    那么

    ② 若有理函数

    ,其中
    是多项式,则
    。如果

    3.

    (分母极限为零,分母可因式分解)

    思路:在极限的运算中,商的运算法则要求分母的极限不能为

    ,所以此题不能直接运用商的运算法则。故需恒等变换,将分母因式分解。

    解:

    4.

    (分母极限为零,分母不可因式分解)

    思路:分母极限为零,还是不可直接用商的运算法则。而分母为一个二次质因式(戳我了解),不能进一步因式分解。所以我们想办法,先求该式的倒数,看看结果如何。

    解:原式倒数

    ,我们知道,以
    为极限的函数是无穷小量,故
    时的无穷小,它的倒数是
    时的无穷大,即
    (亦即极限不存在)。

    5.

    (分子分母皆无极限)

    思路:我们知道,在运用和差积商运算法则的时候,要求分子分母极限皆存在,但是此题分子分母极限显然不存在,所以不可用商的运算法则。故需在四则运算之前对函数进行恒等变换:把分子和分母同时处以

    的最高次幂(即
    )。

    解:

    6.

    (分子分母皆无极限)

    解:

    7.

    (分子分母皆无极限)

    错解:

    正解:和例题4一样,先求倒数

    时的无穷小,所以它的倒数
    时的无穷大,故
    (亦即极限不存在)。

    对以上有理函数,当

    时,求极限我们进行如下总结


    8.

    解:此题分母极限为零,故不能直接运用商的运算法则,先进行因式分解。

    9.

    解:在此题中因为极限符号下标是“

    ”而非“
    ”所以
    是变量,把
    看作常量,这一点要搞清楚。因为分母极限为
    ,所以不能直接运用商的运算法则。先对分子进行恒等变换。

    10.

    解:我们说过函数极限的运算法则同样适用于数列。但是此题中分子分母皆无极限。所以先把分子分母同时除以

    的最高次幂

    11.

    解:此题中分子分母皆无极限,所以不能直接用商的运算法则。那么我们可不可以把分子拆开得到

    ,从而运用极限和的运算法则呢,显然不能,因为
    时,是无穷多项相加,而不是有限项相加。只有有限项极限相加才能运用和的运算法则!!所以,我们需用等差数列前
    项和的公式(戳我了解)对分子进行恒等变换。

    12.

    解:此题中分子分母皆无极限,所以不能用商的运算法则。所有需进行恒等变换。

    法则四:复合函数的极限运算法则:设

    ,且
    ,但在
    的某去心邻域内,
    。又
    ,则复合函数
    时有极限,且

    下面我们来证明该法则,我们要证明的是

    证明:由于

    ,根据极限定义,
    ,存在
    ,使当
    时,
    ;又因为
    ,对
    ,存在
    ,使当
    时,

    又根据条件:在

    的某去心邻域,即
    内,
    时,有
    ,从而
    。把带有下划线的文字连成一句话:对任意给定的
    ,存在
    ,使当
    时,
    。故证毕!如果文字还有不太明白的请看下面视频:
    知乎视频​www.zhihu.com

    法则五:如果

    ,而
    ,则

    (简单来说,如果函数大,自变量在同一个变化过程中,极限也大。)

    证明:设

    ,根据本文中的法则一(差的极限法则),可求
    的极限:
    ,有根据极限的保号性定理(戳我了解),因为
    ,所以
    ,即
    。证毕!
    展开全文
  • 括号内的另一部分必须与指数互为倒数,否则要想办法化成这种形式。变形完成之后,要保证指数部分仍然趋于∞。 当无法直接运用公式时,可以使用换元法,用另一个变量来表示原式。但要注意,新的变量趋向的值也可能...
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    面对近在眼前的高数考试

    你是否感到了一丝紧张

    别怕

    接下来的12天

    我们一起回顾《高等数学一》(I)

    让小牛助你一臂之力

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    高数专题安排表

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    话不多说,接下来,请大家拿出纸笔。我们即将进入高数专题的第一期——极限的计算

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    专题一:极限的计算

    对应章节:课本第一章3-5节

    约最高次幂法

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    当分子和分母的极限均为无穷大时,我们采用的方法是在分子、分母中同时除以x的最高次幂,然后再求极限。在这种情况下有如下规律:当分子、分母中x的最高次幂相同时,极限为分子、分母最高次幂的系数的比,是常数;当分子的次数高于分母的次数时,极限为无穷大;当分子的次数低于分母的次数时,极限为零。

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    例题

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    有理化法

    0238c25ee2a45978486f7e857f043547.png

    当原式无法直接求解极限,但出现了两个根式的和或差时,对其进行有理化,从而将其转化为可以求出极限的形式。

    b0ed453c1c26b971878e7b165b6c8231.png

    例题

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    公式法

    0238c25ee2a45978486f7e857f043547.png

    可以利用以下两个公式(重要极限)求极限的值。

    第一个公式用于求一些分子或分母中含有三角函数0/0型极限的值。在应用这个极限时,x的系数必须相同,如果不同,要想办法化成相同的。变形完成之后,要保证变量仍然趋近于0。

    第二个公式用于求指数型的极限。在应用这个极限时,括号内的符号必须是加号,如果不是加号,要想办法化成加号;括号内的常数部分必须是1,如果不是,要想办法化成1;括号内的另一项部分必须与指数互为倒数,否则要想办法化成这种形式。变形完成之后,要保证指数部分仍然趋于∞。

    当无法直接运用公式时,可以使用换元法,用另一个变量来表示原式。但要注意,新的变量趋向的值也可能发生改变。

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    例题

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    今天,你学会了吗?

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    撰稿 | 编辑:彭泓

    责任编辑:林晨雨

    初审:李洁明 滕飞

    审核发布:周晶

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  • 求数列通的不动点法求数列通的不动点法2015年10月31日meiyun数海拾贝求数列的通的基本方法有累加法和累乘法,等差数列与等比数列的通公式就分别由累加法与累乘法对应得到的.对于一般的递推公式,如果可以...
  • 线性代数:矩阵复习

    千次阅读 2021-12-12 20:29:57
    常数项都为0就是:n元齐次线性方程组(有一个不为0,就是非齐次线性方程组) 未知数前面的系数可以·组成:n阶矩阵 2.矩阵:m行n列:由m*n的数表组成的: 行数和列数都是n:叫做n阶矩阵或者n阶方阵 3.矩阵的运算: ...
  • print('Coefficients: \n', regr.coef_) #这就是w0,常数项 print("Residual sum of squares: %.2f" % np.mean((regr.predict(diabetes_X_test) - diabetes_y_test) ** 2)) #这个是预测与真实的差 print('Variance ...
  • 推导了强子-真空极化对μ子磁矩aμHVP,LO≡... 我们通过手性扰动理论中的倒数第二个阶来确定后者,发现它的贡献可以忽略不计,并且通过一个仅依赖于pion衰减常数的通用而起作用,所有其他低能常数都从积分中丢失。
  • 然后,为了消除交叉跟踪误差, 增加了比例控制, 其增益通过前向速度的倒数进行缩放。 然后控制器通过反tan函数, 该函数将比例控制信号映射到-π到π的角度范围。 最后,转向角指令保持在 最小和最大转向角度 δ...

空空如也

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常数项倒数