一、概念
 
1.1、无穷级数的定义
 
 
1.2、收敛与发散的定义
 
 
1.3、等比级数 $|q|<1,收敛，|q|\ge 1,发散$
 
 
二、性质
 
2.1、收敛、发散、与和的关系
 
 
2.2、基本性质
 
 
2.3、级数收敛的必要条件： 一般项$u_n$趋于零
 
一般项$u_n$不趋于零，必定发散
 
 
2.3.1、注意不是收敛的充分条件
 
 
2.4、习题
 
例1
 

如何理解线性回归中的常数项
 
线性模型
 
线性模型（linear model）试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即：
 
f(x)=w1x1+w2x2+…+wdxd+b+e
 
很容易理解，b是常数项，代表的是截距，而e是误差。
 

 以上图像代表的是一元线性模型，而多元线性模型则使用更多的自变量去描述因变量。
 从一元线性模型入手，我们可以发现：
 1）误差是实际的数据点和我们回归模型之间的差值，并不一定，有大有小，符合正态分布的规律。
 2）常数项解释的是，不被自变量所解释的，长期稳定存在的非随机部分，也可称为信息残留。
 
常数项的存在帮助我们解决了一个问题：当所有的自变量为0的时候，因变量是什么？然而这样的解释仅具有数学意义。
 所谓的拟合过程，追求的是残差项的均值为0，且残差项的平方和最小。以此规则计算得出的各项参数，可以使得一条拟合曲线在我们的数据点中浮动，并最终找到一个位置，是的残差项的均值为0。此时，我们的截距就是常数项。可以说这是对解释变量留下的偏误进行线性修正。本身并不具备可以理解的现实意义。
 另外，常数项也被这样解读，它是一个恒为1的虚拟变量的参数。这帮助我们利用了本可能被忽略的因素。
 而且，残差项未必总是按标准正态分布，如果它们的均值不为0，而存在一个期望，事实上这个期望会被包括在常数项之中。帮助我们修正这正太分布的均值，使之为0。

作者：flyerye

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回答这个问题，我们先从定义出发，然后再结合个实际例子去理解。从定义来看，多元线性回归方程定义如下：
 

 
这里的 a 为常数项，  为随机误差项，且服从标准正态分布（  ）,或者我们把它称作白噪声（white noise）。通过图像，我们可以很好理解常数项和随机误差的含义：
<img src="https://pic4.zhimg.com/50/v2-b3543732f4855d372e37c747e332362e_hd.jpg" data-rawwidth="419" data-rawheight="240" class="content_image" width="419">
 图一，一元线性回归示例
 
上图是多元线性回归回归的一个特例，即一元线性回归。多元就是在一元的基础上，用更多的自变量对因变量进行解释。我们以一元为例，来看常数项和随机误差的含义。从图中可以看出，常数项是拟合的一元回归直线在因变量（Y）轴上的截距；误差是实际的点和回归直线之间的差，而随机则表示的是这个误差不是固定的，有大有小，没有特定的规律，服从标准正态分布。具体来说，常数项表示的是未被自变量解释的且长期存在（非随机）的部分，即信息残留。而随机误差是在自变量解释空间内，预测值和去掉常数项的实际值的误差。下图是从一个多元线性回归模型的视角去看问题：因变量（Y）代表需要解释的全体信息，模型里的Xi构成的空间是自变量解释空间，随机误差存在于自变量解释空间中。在自变量解释空间外，如果还有恒定的信息残留，那么这部分信息构成常数项。
<img src="https://pic1.zhimg.com/50/v2-68beb4a4bd82ac547341ae0d5f123009_hd.jpg" data-rawwidth="283" data-rawheight="285" class="content_image" width="283">
 图二，多元线性回归模型解释因变量示意图
 

 

  作者：徐惟能
  
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一言以蔽之，在计量经济学的线性回归模型中，常数项在很多情况下并无实际的解释意义。
   
要论含义，常数项的数学含义是，平均来讲，当所有解释变量的值为0的时候，被解释变量的值是几？但是在计量经济学的实证模型中，这通常是无意义的，原因很简单，因为在很多时候，解释变量的定义域并不一定包括0，比如人的身高、体重等等。可是，即便所有的解释变量都可以同时取0，常数项依然是基本无意义的。我们回到线性回归的本质上来讲的话，所有参数的确定都为了一个目的：让残差项的均值为0，而且残差项的平方和最小。所以，想象一下，当其他的参数都确定了以后，常数项的变化在图像上表现出来的就是拟合曲线的上下整体浮动，当曲线浮动到某一位置，使得在该位置上，残差项的均值为0，曲线与y轴所确定的截距即为常数项。因此，可以理解为常数项是对其他各个解释变量所留下的偏误（bias）的线性修正。但是要说常数项具体的值所代表的解释意义，在通常情况下是无意义的。
   
写到这里，有人可能会问，既然无意义，我们何不去掉常数项？答案是否定的，原因是，如果去除了常数项，就等于强制认定当所有解释变量为0时，被解释变量为0。如果这个断定不符合实际意义，而你执意去除常数项的话，你的线性估计将是有偏的。
   
随机误差项的理解相对简单，在线性回归模型中，每一个观测值都有一个残差项，也叫随机误差项，它刻画的是模型的估计值和真实观测值之间的偏差。
  
 
 

  

   说实在的，区别不太大，而且有的时候去掉常数项各变量t值会有上升。
   
平狄克的「econometrics」书中提到过「可以将常数项看作是值恒为1的一个虚拟变量的系数」（上述原话为英文，但是是这个意思）也就是说，它可能包含了一些你忽视掉的虚拟变量。
   
而且带常数项的模型其实是对随机误差项的优化，我们在做OLS时总是假定随机误差项是标准正态分布的，但这很难满足。假设随机误差项的均值不是0，而是一个常数，那么加入常数项的模型就会使得随机误差项又变成了标准正态分布，它的期望就被含在常数项里了。总而言之，这样的模型更为靠谱。
  
  

  
作者：邹日佳
  
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线性回归是一种简单又强大的统计模型，可用于检测两个或者多个变量之间的线性关系。常用统计软件包括R，Python，SPSS等都有相应模块帮助我们轻松建立线性回归模型。但面对软件给出的一长串统计结果时，很多朋友不知道如何解释这些数字，从而无法对模型的有效性给出合理诊断。
 
通过阅读本文，你将能理解报告中核心数字所代表含义，更精确的阐释回归分析结果。
 
一般来说，回归分析报告主要包含以下三个部分：
 
1.模型摘要
 

 

  
 
 
摘要告诉我们模型的拟合性如何。表中的 
 

   叫相关系数， 
 
 

   叫决定系数，Adjusted 
 
 

  叫校正决定系数，这三个指标统计意义相似，通常情况下只看
 
 

   就好了。比如 
 
 

   表示回归模型可以解释因变量（ 
 
 

   ）的方差的 
 
 

   ，拟合性还是不错的。
 
 
2.方差分析
 

 

  
 
 
方差分析的本质是检测 
 

   是否显著大于0。重点在表格最后两列的F统计值和
 
 

   （表示对应 
 
 

   值）。上表中 
 
 

   ， 假设检验有效，表明 
 
 

   显著大于0，也就是说至少有一个自变量和 
 
 

  存在显著的线性关系，因此我们的回归模型有统计学意义。
 
 
3.回归系数
 

 

  
 
 
回归系数表格列出了输出模型的偏回归系数估计值（本例只有自变量 
 

   和常数项 
 
 

   ）。表格给出了非标准化系数（Unstandardized Coefficients），标准化系数（Standardized Coefficients），以及各偏回归系数（是否为0）的t检验结果。
 
 
非标准化系数表示各变量的拟合系数，比如 
 

   的系数为 
 
 

   ，表示
 
 

  每增加一个单位， 
 
 

   将减小 
 
 

   个单位。 
 
 

   表示 
 
 

   取0时，
 
 

   的预测值为
 
 

   。最后两列分别为 
 
 

   值和 
 
 

   值，我们只要看非常数项的 
 
 

   值就好了， 
 
 

  表示该偏回归系数统计有效，否则统计无效。
 
 
综上，我们可建立回归方程
 

 

  
 
 
特别说明：纳入哪些自变量进行回归预测是由研究者根据专业和经验结合统计结果决定，而不是单单根据统计结果来决定。当自变量较多需要进行筛选自变量时，不同的筛选方法、不同的纳入剔除标准，也会得到完全不同的结果，入选的不一定是最好的，没有纳入的也未必没有统计学意义。