线性回归是一种简单又强大的统计模型，可用于检测两个或者多个变量之间的线性关系。常用统计软件包括R，Python，SPSS等都有相应模块帮助我们轻松建立线性回归模型。但面对软件给出的一长串统计结果时，很多朋友不知道如何解释这些数字，从而无法对模型的有效性给出合理诊断。

通过阅读本文，你将能理解报告中核心数字所代表含义，更精确的阐释回归分析结果。

一般来说，回归分析报告主要包含以下三个部分：

1.模型摘要

摘要告诉我们模型的拟合性如何。表中的

2.方差分析

方差分析的本质是检测

3.回归系数

回归系数表格列出了输出模型的偏回归系数估计值（本例只有自变量

非标准化系数表示各变量的拟合系数，比如

综上，我们可建立回归方程

特别说明：纳入哪些自变量进行回归预测是由研究者根据专业和经验结合统计结果决定，而不是单单根据统计结果来决定。当自变量较多需要进行筛选自变量时，不同的筛选方法、不同的纳入剔除标准，也会得到完全不同的结果，入选的不一定是最好的，没有纳入的也未必没有统计学意义。

回答这个问题，我们先从定义出发，然后再结合个实际例子去理解。从定义来看，多元线性回归方程定义如下：

这里的 a 为常数项， 为随机误差项，且服从标准正态分布（ ）,或者我们把它称作白噪声（white noise）。通过图像，我们可以很好理解常数项和随机误差的含义：

<img src="https://pic4.zhimg.com/50/v2-b3543732f4855d372e37c747e332362e_hd.jpg" data-rawwidth="419" data-rawheight="240" class="content_image" width="419"> 图一，一元线性回归示例

上图是多元线性回归回归的一个特例，即一元线性回归。多元就是在一元的基础上，用更多的自变量对因变量进行解释。我们以一元为例，来看常数项和随机误差的含义。从图中可以看出，常数项是拟合的一元回归直线在因变量（Y）轴上的截距；误差是实际的点和回归直线之间的差，而随机则表示的是这个误差不是固定的，有大有小，没有特定的规律，服从标准正态分布。具体来说，常数项表示的是未被自变量解释的且长期存在（非随机）的部分，即信息残留。而随机误差是在自变量解释空间内，预测值和去掉常数项的实际值的误差。下图是从一个多元线性回归模型的视角去看问题：因变量（Y）代表需要解释的全体信息，模型里的Xi构成的空间是自变量解释空间，随机误差存在于自变量解释空间中。在自变量解释空间外，如果还有恒定的信息残留，那么这部分信息构成常数项。

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/v2-68beb4a4bd82ac547341ae0d5f123009_hd.jpg" data-rawwidth="283" data-rawheight="285" class="content_image" width="283"> 图二，多元线性回归模型解释因变量示意图

记得有一个笑话，法国课改后，大人问一年级小朋友，1+2等于几呀？小朋友回答，不知道，但是1+2=2+1，因为加法是个阿贝尔群。当然这回答不错。如果问，一个苹果加两个梨等于几？那么你必须像小朋友那样回答，等于两个梨加一个苹果；而不能回答“三个水果”，那样就失去了关于水果种类的一切信息，进而等式“一个苹果加两个梨等于三个水果”从右到左是不成立的。如果把所有苹果的集合当作线性空间的一个子空间，而把所有梨当作线性空间的另一个子空间，这个问题的答案就呼之欲出了：你当然不能把线性空间的两个独立分量直接数值相加。

在生活中我们常会用到一些单位来描述物理量：长度，质量，时间，力，功率，能量，压强……我们怎么确定，哪些物理量是最基本的呢？比如说，力，牛顿第二定律指出，一个质点所受合力等于它的质量乘上加速度，而质量的单位是千克，加速度的单位是米每二次方秒，从而力的单位是千克米每二次方秒。经典力学中的所有结论都是从牛顿定律导出来的，而牛顿定律中出现的物理量只有长度，质量和时间，从而我们可以说，经典力学中的一切物理量的单位，都可以用米，千克，秒这三者来描述。

1960年，第十一届国际计量大会公布了国际单位制（SI, Système international d'unités），确立了六个基本物理量：长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、发光强度，分别对应六个标准单位：metre（m，米）、kilogram（kg，千克）、second（s，秒）、Ampère（A，安培）、Kelvin（K，开尔文）、candela（cd，坎德拉）。1971年又新增一个基本物理量：物质的量，单位是mole（mol，摩尔）。一切已知的物理量的单位都是这七个标准单位的组合。这七个最基本物理量，就像是苹果、梨、香蕉、桃子一样，虽然他们都是水果，但却是完全不相干的水果。

现在，我们把长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、物质的量、发光强度分别简记作

例1
速度的单位是

，那么它的量纲是

；

力的单位是

，其中

指Newton（牛顿）。它的量纲是

；

功的单位是Joule（

, 焦耳），由定义

，它的单位是

，量纲是

；

电阻的单位是Ohm（

, 欧姆），由欧姆定律的推论

，得电阻的单位是

，量纲是

；

弧度的单位是

，由定义，一个角度所对应的圆弧长就是它的弧度，即

，其中

是圆的半径，

是在圆这个光滑流形上作线积分。从而弧度的单位应该是

，即它的量纲是

。

我们把物理量的量纲

一个物理量

我们说两个物理量是独立的，若它们对应的量纲向量是线性无关的。

例2
速度、加速度和力是独立物理量。因为在

下速度的量纲向量

，加速度的量纲向量

和力的量纲向量

是线性无关的。

既然速度、加速度和力的量纲向量是线性无关的，那么其他所有经典力学的物理量的单位都可以用这三者的组合来表示。

公理 若有两个相同量纲的物理量

和 ，此二者仅依赖于一组有限数量的基本物理量，并且这组物理量仅是一个量纲下的（即 和 都只有长度量纲，或者都只有时间量纲，等等），那么当这量纲的单位的大小变化 倍时，比值 不变。

这是量纲理论的基本假设。让我们来举一个例说明它。

例3
三角形的面积是三条边长的函数。当长度的单位大小变化时，面积的数值变化，但两个三角形的面积的比值显然还是不变的。

这假设说明比值

命题

代入定义就可验证上式。在这恒等式两边对

例4
对一个直角三角形的面积

，其中

和

是垂直的两边，有

。若把标准单位

变成

，那么

，

，

。

我们可以对多组变量的函数

现在考察一般的形式

定理(Buckingham) 依赖于前

个独立物理量的 满足 。

这个结论是所谓的

例5
质量为

的质点在有心力

作用下做轨道半径为

的圆周运动。这个运动的一切信息都包含在这三个变量里，从而我们可以写运动周期

是质量、有心力、轨道半径的函数

。在

下，周期的单位是

，量纲是

，量纲向量是

。而质量的量纲向量是

，有心力的量纲向量是

，轨道半径的量纲向量是

。易验证它们是线性无关的，从而可以把周期的量纲向量表示成这三个向量的线性组合，即

，那么根据

定理的推论，立刻能得到

。只要再做一次实验，确定常数

就得到完整的关系式。当然，从牛顿第二定律

出发就可求得

。

当年牛顿发现，两个天体之间的引力大小与二者的质量之积成正比，并且还和

负相关，即

。引入一个常数

，记

。设有质量

的天体围绕固定的质量

的天体做圆周运动，那么周期平方

。在此之上，结合1618年开普勒根据大量观测数据发现的定律，天体圆周运动周期的平方比上轨道半径的立方是常数，那么得

。

需要注意的是，一般对数和指数函数等函数只能把无量纲量作为自变量。因为把这样的函数进行幂级数展开，会得到包含不同幂次的项。例如，Planck为了凑实验数据而猜出来的黑体辐射公式