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目录
一、点云特征的基本要求
二、点云特征的分类
三、点云的基本特征描述
- 二维情况
- 三维情况
四、PCA(Princile Components Analysis)主成分分析
4.1 谱定理(Spectral Theorem)
4.2 Rayleigh Quotients
4.3 SVD分解的物理意义
矩阵M经过SVD分解，分解成两个正交矩阵UV和对角阵 \(\sigma\),因此一个高维向量乘以M矩阵就相当于对向量在高维空间进行了旋转和拉伸。
- 使用的核心算法是矩阵的特征值分解。
- 基于矩阵特征值或者SVD分解求:
- 法向量方向
- 对应(等效)椭球体的最短轴方向
- 对应点云坐标的协方差矩阵的最小特征值对应的特征向量
- 数据集在某个基上的投影值(也是在这个基上的坐标值)越分散，方差越大，这个基保留的信息也就越多
- 信息量保存能力最大的基向量一定是的协方差矩阵的特征向量,并且这个特征向量保存的信息量就是它对应的特征值.
4.4 点云的PCA步骤
- 找到点\(x_i\)周围半径\(R\)范围内的所有点\(X\),计算均值：
\[\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \]
- 计算样本方差：
\[S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \]
- 计算样本协方差：
\[\begin{array}{l} \operatorname{Cov}(X, X)=E[(X-E(X))^T(X-E(X))] \\ \quad=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^T(x_i-\bar{x}))\end{array}\]
- 计算协方差矩阵：
\[\frac{1}{n}(X-\bar{x})^T(X-\bar{x}) \]
- 特征分解：
\[V\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} & \\ && \lambda_{3} \end{array}\right) V^{T}\]
\[\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq 0 \]
4.5 应用：PCA – Dimensionality Reduction
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