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  • 信息及其度量

    2020-03-19 23:30:26
    信息(information)比消息(message)更具有普遍性,消息是指某个事件(event)发生了,消息中有效内容是信息量。 2.事件、消息和信息关系: 一个事件的信息量与发生该事件概率成反比,用表示消息中所含...

    1.信息与消息的区别:

    信息(information)比消息(message)更具有普遍性,消息是指某个事件(event)发生了,消息中有效的内容是信息量。


    2.事件、消息和信息量的关系:
    一个事件的信息量与发生该事件的概率成反比,用I表示消息中所含的信息量,改消息出现的概率用P(x)表示。由于二者必须满足:

                   a.信息量与该消息出现的概率P(x)成反比关系。
                   b.信息量必须可加可减,如图普通的量一样。

    故定义为
                   

    信息量单位与底数a的关系
    a = 2 bit(比特)  常用
    a = e 奈特(nat)
    a = 10 哈莱特

     

    3.离散消息的平均信息量:熵 

                                    

    等概率时熵最大

                                  

     

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  • 消息的定义:是指包含信息的语言,文字和图像等,可表达客观事物和主观思维活动的状态 信号:是把消息变换成电信号,声信号等适合信道传输的物理量 那什么是信息呢? 1)指事物中包含的内容 2)是事物在运动状态或...

    一、基础介绍

    1.1 基本概念

    物质、能量和信息是构成客观世界的三要素

    1.2 消息、信息、信号的区别

    消息的定义:是指包含信息的语言,文字和图像等,可表达客观事物和主观思维活动的状态
    信号:是把消息变换成电信号,声信号等适合信道传输的物理量

    那什么是信息呢?
    1)指事物中包含的内容
    2)是事物在运动状态或存在形式上的不确定性的描述(即不确定性越大,信息越多)

    信息与消息的关系是什么?
    消息是信息的载体,包含关系

    消息与信号的联系是什么?
    信号是把消息转换成电信号等,然后在信道上面传输,所以信号是消息的运载工具。

    1.3 信息论主要研究对象

    在这里插入图片描述

    1.4 香农信息定义

    1)信息:是事物运动状态或存在形式的不确定性的描述。同学系统中接受信息的过程就是消除不确定性。
    2)过程:不确定的清除就获得了信息,信息量与不确定性的程度有关
    3)信息的度量:信息熵

    二、信息的度量

    2.1.1 自信息

    在这里插入图片描述

    2.1.2 互信息

    在这里插入图片描述

    2.2 平均自信息(信息熵,信源熵,熵)

    在这里插入图片描述

    2.3 条件熵、联合熵

    都是在联合概率空间下进行计算
    在这里插入图片描述
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    2.4 平均互信息

    在这里插入图片描述

    2.6 各种熵之间的关系

    在这里插入图片描述

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  • 度量是管理 基础 ,将度量方 法引入需求变更管理 ,并基 于 CMMI提 出了信 息系统需求变更度量框架,从 而指导信 息 系统开发 中需求变更管理和控制 。 为了确保所构建的信息系统需求变更度量框架 合理性 ,...
  • 信息是指消息中所包含有效内容,或者说是预先不知道而待知内容。 比如说1949年新中国成立,这对于我来说是已知,那么它对我来说就没有信息量。再比如,明天会下雨,这对我来说就有一定的信息量。 那么如何...

    信息及其度量

    通信的根本目的在于传输消息所包含的信息。

    信息是指消息中所包含的有效内容,或者说是预先不知道而待知的内容。
    度量消息中信息的方法(1)与消息的种类无关(2)与消息的重要程度无关(3)消息所表达的事件越不可能发生,越不可预测,信息量就越大。
    比如说1949年新中国成立,这对于我来说是已知的,那么它对我来说就没有信息量。再比如,明天会下雨,这对我来说就有一定的信息量。
    那么如何度量消息中所含的信息量?

    可见,消息中所含的信息量与 不可预测性或不确定性有关
    根据概率论知识,事件的不确定性可用事件出现的概率来描述。
    故若用P(x)表示发生信息的概率,I表示消息中所含的信息量,则易知:
    (1)消息中所含的信息量是该消息出现的概率的函数,即:I=I [P(x)]
    (2)P(x)越小,I越大,P(x)越大,I越小。且当P(x)=1的时候,I=0;P(x)=0,I=∞
    (3)若干相互独立事件构成的消息,所含信息量等于各独立事件信息量之和,也就是说,信息具有相加性。
    即:I[P(x1)P(x2)…]=I[P(x1)]+I[P(x2)]+……
    故综合易得:
    ### 一、离散消息的信息量x为在这里插入图片描述
    通常一般广泛使用的单位为比特
    比如求二进制信源(0,1)等概独立发送符号时,每个符号的信息量
    因为等概独立,故发送每个符号的概率为1/2,根据公式易得每个符号的信息量为1bit。
    ### 二、离散消息的平均信息量
    平均信息量即信源中每个符号所含信息量的统计平均值
    在这里插入图片描述
    等概时,熵最大,Hmax=㏒₂(1/P(x))

    # 通信系统性能指标
    从研究信息传输的角度来说,有效性和可靠性是通信系统的主要性能指标
    ### 一、有效性
    (1)对于模拟通信系统,传输同样的信源信号,所传输的传输带宽越小,频带利用率越高,有效性越好。信号带宽与调制方式有关。
    (2)数字通信系统有效性的指标
    1)码元传输速率RB(传码率、波特率)
    1.定义:每秒传送的码元个数
    2.单位:波特(Baud)
    3.计算:若一个码元的时间长度为Ts秒
    则RB=1/Ts

    2)信息传输速率Rb(传信率、比特率)
    1.定义:每秒传输比特数(信息量)
    2.单位:bit/s,可简记为b/s或bps
    3.RB与Rb转换:Rb=RB*H

    3)频带利用率—把带宽和传输速率联系起来
    1.定义:单位带宽内的传输速率
    在这里插入图片描述
    ### 二、可靠性
    (1)对于模拟通信系统,通常用接收端输出信号与噪声功率比(S/N)来度量,它反映了信号经传输后的保真程度和抗噪声能力
    (2)对于
    数字通信系统
    的可靠性可用差错概率来衡量。差错概率常用误码率和误信率来衡量。

    在这里插入图片描述

    小结

    通信的目的是传输消息中所包含的信息。消息是传输信息的物理表现形式,信息是消息的有效内容。
    信号是消息的传输载体。根据携载消息的信号参量是连续取值还是离散取值,信号分为模拟信号和数字信号。
    通信系统有不同的分类方法。按照信道中传输的是模拟信号还是数字信号,相应的把通信系统分成模拟通信系统和数字通信系统。
    数字通信已经成为当前通信技术的主流。与模拟通信技术相比,数字通信系统具有抗干扰能力强,差错可控,保密性好等优点。缺点是占用带宽大,同步要求高。
    按消息传递的方向和时间关系,通信方式可以分为单工、半双工及全双工通信。按数据码先排列的顺序可分为并行传输和串行传输。
    信息量是对消息发生概率(不确定性)的度量。一个二进制码元含1b的信息量;一个M进制码元含log2M比特的信息量。等概发送的时候,信源熵最大值。
    有效性和可靠性是通信系统的两个主要指标。两者相互矛盾而又对立统一,且可以互换。在模拟通信系统模型中,有效性可用带宽衡量,可靠性可用输出信噪比衡量。在数字通信系统中,有效性用频带利用率表示,可靠性用误码率、误信率来表示。
    信息速率是每秒发送的比特数;码元速率是每秒发送的码元个数。码元速率在数值上小于等于信息速率。码元速率决定了发送信号所需的带宽。

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  •   “信源”,指的是消息来源。若信源输出消息以取值离散符号形式出现,其不同符号数有限个,或为可列无限个,则此信源称为离散信源。若输出消息取值连续,则称其为连续信源。按输出符号之间...

    1.1自信息

      信源,指的是消息的来源。若信源输出的消息是以取值离散的符号形式出现,其不同符号数是有限个,或为可列无限个,则此信源称为离散信源。若输出的消息的取值是连续的,则称其为连续信源。按输出符号之间的依赖关系,也可将信源分为无记忆信源有记忆信源

      离散信源通常用随机变量XX表示,XX的可能取值,即信源的可能输出的不同符号用集合χ\chi表示。如若将抛硬币这一随机试验看做一个信源的话,其取值集合即为χ={}\chi=\{正,反\}

      要解决信息的度量问题,我们将信源发出某个信号x0χx_0\in\chi后所提供的信息量的多少定义为x0x_0自信息,记为I(x0)I(x_0)。自信息度量的是信号x0x_0的不确定性(发生的可能性)。如果用概率p(x0)p(x_0)表示x0x_0发生的概率,则I(x0)I(x_0)应该为p(x0)p(x_0)的一个函数,且满足如下公理:

    1. 非负:I(x0)0.I(x_0)\ge0.
    2. p(x)=0p(x)=0,则I(x).I(x)→∞.
    3. p(x)=1p(x)=1,则I(x)=0.I(x)=0.
    4. 严格单调性:如果p(x)>p(y)p(x)>p(y),则I(x)<I(y).I(x)<I(y).
    5. 如果p(x,y)=p(x)p(y)p(x,y)=p(x)p(y),则I(x,y)=I(x)+I(y).I(x,y)=I(x)+I(y).

      若自信息I(x)I(x)满足上述公理,则I(x)=c log1p(x)I(x)=c\ log\frac{1}{p(x)}其中cc为常数。

      定义:若xχx\in\chi有概率p(x)p(x),则xx的自信息为I(x)=log1p(x)I(x)=log\frac{1}{p(x)}


    1.2 熵、联合熵、条件熵

    1.2.1 熵

      如果用随机变量代表一个信源,则为其平均不确定性的度量。

      设随机变量XX的概率分布函数为p(x)=Pr{X=x},xχp(x)=P_r\{X=x\},x\in\chip(x)p(x)p(y)p(y)(或PX(x)P_X(x)PY(y)P_Y(y))分别表示随机变量XXYY的概率分布函数。则离散随机变量XX的熵定义为H(X)=xχp(x) log p(x)H(X)=-\sum_{x\in\chi}p(x)\ log\ p(x)
    针对对数函数不同的底,熵有如下不同的单位:

    1. 底为22 比特(bit)(bit).
    2. 底为ee 奈特(nat)(nat).
    3. 底为1010 哈特(hartley)(hartley).

    注:熵仅为概率分布的函数,与XX的取值并无关系.

      若用EpE_p表示概率分布pp的期望,Epg(X)=xχg(x)p(x)E_pg(X)=\sum_{x\in\chi}g(x)p(x)则熵可表示为随机变量log1p(x)log\frac{1}{p(x)}的期望,H(X)=Ep log 1p(x)H(X)=E_p\ log\ \frac{1}{p(x)}由此可见,熵是自信息的概率加权平均值

    熵的性质如下:

    1. H(X)0H(X)\ge0,当且仅当XX有退化分布*时等号成立.(*退化分布指的是P(X=c)=1P(X=c)=1

    1.2.2 联合熵

    设一对随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布为p(x,y)=Pr{X=x,Y=y},xX,yYp(x,y)=Pr\{X=x,Y=y\},x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}则定义(x,y)(x,y)的联合熵H(X,Y)H(X,Y)H(X,Y)=xXyYp(x,y) log p(x,y)H(X,Y)=-\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\ log\ p(x,y)或以期望形式H(X,Y)=E log p(X,Y)H(X,Y)=-E\ log\ p(X,Y)
    联合熵的概念可进一步推广至nn维随机变量。设nn维随机向量(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)的联合分布为p(x1,x2,...,xn)=Pr{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn},x1X1,x2X2,...,xnXnp(x_1,x_2,...,x_n)=P_r\{X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n\},x_1\in\mathcal{X_1},x_2\in\mathcal{X_2},...,x_n\in\mathcal{X_n},则联合熵为H(X1,X2,...,Xn)H(X_1,X_2,...,X_n)=x1X1x2X2...xnXnp(x1,x2,...,xn) log p(x1,x2,...,xn)=-\sum_{x_1\in\mathcal{X_1}}\sum_{x_2\in\mathcal{X_2}}...\sum_{x_n\in\mathcal{X_n}}p(x_1,x_2,...,x_n)\ log\ p(x_1,x_2,...,x_n)

    1.2.3 条件熵

      设随机变量对(X,Y)(X,Y)有联合分布p(x,y)p(x,y),用p(yx)=Pr{Y=yX=x},xX,yY p(y|x)=Pr\{Y=y|X=x\},x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}表示条件概率分布,则给定X=xX=x条件下YY的熵定义为H(YX=x)=yYp(yx) log p(yx)H(Y|X=x)=-\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(y|x)\ log\ p(y|x)H(YX)H(Y|X)来表示H(YX=x)H(Y|X=x)关于XX的平均值,则有H(YX)=E log p(YX)H(Y|X)=-E\ log\ p(Y|X)

    1.2.4 链法则

      随机变量对的联合熵、单个随机变量的熵以及两变量的条件熵具有如下关系:

      (链法则)H(X,Y)=H(X)+H(YX)H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)

      推广至多元随机变量:

      设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n的联合分布为p(x1,x2,...,xn)p(x_1,x_2,...,x_n),则H(X1,X2,...,Xn)=i=1nH(XiXi1,...,X1)H(X_1,X_2,...,X_n)=\sum^n_{i=1}H(X_i|X_{i-1},...,X_1)


    1.3 相对熵和互信息

    1.3.1 相对熵

      相对熵是两个概率分布差异性的一种度量。定义在同一字母集合X\mathcal{X}上的两个概率分布p(x)p(x)q(x)q(x)的相对熵定义为:D(pq)=xXp(x) log p(x)q(x)=Ep log p(x)q(x)D(p||q)=\sum_{x\in\mathcal{X}}p(x)\ log\ \frac{p(x)}{q(x)}=E_p\ log\ \frac{p(x)}{q(x)}在此,我们规定0log 0q=0,plog p0=0·log\ \frac{0}{q}=0,p·log\ \frac{p}{0}=∞,一般地,D(pq)D(qp)D(p||q)\neq D(q||p),且D(pq)0D(p||q)\ge0(等号成立的充要条件为对所有的xXx\in\mathcal{X}都有p(x)=q(x)p(x)=q(x)

    1.3.2 互信息

      互信息是一个随机变量包含的关于另一个随机变量的信息量的度量。设两个随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布为p(x,y)p(x,y),边际分布分别为p(x)p(x)p(y)p(y),定义互信息I(X,Y)I(X,Y)为联合分布p(x,y)p(x,y)与乘积分布p(x)p(y)p(x)·p(y)的相对熵,即I(X;Y)=xXyYp(x,y) logp(x,y)p(x)p(y)I(X;Y)=\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\ \log\frac{p(x,y)}{p(x)·p(y)}=Ep(x,y)logp(X,Y)p(X)p(Y)=E_{p(x,y)} \log\frac{p(X,Y)}{p(X)·p(Y)}由定义可知,互信息关于X,YX,Y对称,即I(X;Y)=I(Y;X)I(X;Y)=I(Y;X),同时我们也可知互信息I(X;Y)I(X;Y)、熵H(X)H(X)H(Y)H(Y)、联合熵H(X,Y)H(X,Y)、条件熵H(XY)H(X|Y)H(YX)H(Y|X)具有如下关系I(X;Y)=H(X)+H(Y)H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)=H(X)H(XY)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)H(YX)=H(Y)-H(Y|X)=I(Y;X)               =I(Y;X)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I(X,X)=H(X)                                  I(X,X)=H(X)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
    当然,互信息具有非负性,I(X,Y)0I(X,Y)\ge0,当且仅当XXYY相互独立时等号成立.

    两个随机变量互信息与熵的关系图:
    两个随机变量互信息与熵的关系图
    由图可知由以下不等式成立,

    H(XY)H(X)H(X|Y)\le H(X)及其推广H(XiXi1,...,X1)H(Xi)H(X_i|X_{i-1},...,X_1)\le H(X_i)H(X,Y)H(X)+H(Y)H(X,Y)\le H(X)+H(Y)及其推广H(X1,...,Xn)i=1nH(Xi)H(X_1,...,X_n)\le \sum_{i=1}^nH(X_i)上述不等式表明:条件增加,随机变量的不确定性下降,对应的熵减少。

    1.3.3 条件互信息

    设随机变量X,Y,ZX,Y,Z的联合分布为p(x,y,z)p(x,y,z),则给定ZZ条件下XXYY的条件互信息为I(X;YZ)=zZp(z)xXyYp(x,yz)logp(x,yz)p(xz)p(yz)I(X;Y|Z)=\sum_{z\in\mathcal{Z}}p(z)\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y|z)\log \frac{p(x,y|z)}{p(x|z)p(y|z)}

    性质

    同样具有以下关系:I(X;YZ)=H(XZ)+H(YZ)H(X,YZ)I(X;Y|Z)=H(X|Z)+H(Y|Z)-H(X,Y|Z)=H(XZ)H(XY,Z)=H(X|Z)-H(X|Y,Z)=H(YZ)H(YX,Z)=H(Y|Z)-H(Y|X,Z)=I(Y;XZ)                    =I(Y;X|Z)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

    非负性:I(X;YZ)0I(X;Y|Z)\ge0,当且仅当ZZ条件下XXYY互相独立.

    类似于熵的链法则:I(X1,X2,...,Xn)=i=1nI(Xi;YXi1,Xi2,...,X1)I(X_1,X_2,...,X_n)=\sum^n_{i=1}I(X_i;Y|X_{i-1},X_{i-2},...,X_{1})

    马氏链

      设随机变量X,Y,ZX,Y,Z的联合分布为p(x,y,z)p(x,y,z),则当p(x,yz)=p(xz)p(yz)p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)对任意xX,yY,zZx\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y},z\in\mathcal{Z}成立时,称在ZZ条件下XXYY相互独立,记为XYZX\perp Y|Z,此时X,Z,YX,Z,Y构成马氏链,记为XZY.X→Z→Y.

    易证如下不等式成立,

    1. 如果XZYX→Z→Y为马氏链,则I(X;Y)I(X;Z)I(X;Y)\le I(X;Z)I(X;Y)I(Z;Y).I(X;Y)\le I(Z;Y).

    2. 如果UXYVU→X→Y→V构成马氏链,则I(U;V)I(X;Y).I(U;V)\le I(X;Y).

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