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  • 常用实验数据处理方法
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    2020-12-06 12:48:27

    一、描述统计

    描述性统计是指运用制表和分类,图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。

    1、缺失值填充:常用方法:剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策树法。

    2、正态性检验:很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布,所以之前需要进行正态性检验。常用方法:非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W检验、动差法。

    二、假设检验

    1、参数检验

    参数检验是在已知总体分布的条件下(一股要求总体服从正态分布)对一些主要的参数(如均值、百分数、方差、相关系数等)进行的检验 。

    1)U验 使用条件:当样本含量n较大时,样本值符合正态分布

    2)T检验 使用条件:当样本含量n较小时,样本值符合正态分布

    A 单样本t检验:推断该样本来自的总体均数μ与已知的某一总体均数μ0 (常为理论值或标准值)有无差别;

    B 配对样本t检验:当总体均数未知时,且两个样本可以配对,同对中的两者在可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似;

    C 两独立样本t检验:无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。

    2、非参数检验

    非参数检验则不考虑总体分布是否已知,常常也不是针对总体参数,而是针对总体的某些一股性假设(如总体分布的位罝是否相同,总体分布是否正态)进行检验。

    适用情况:顺序类型的数据资料,这类数据的分布形态一般是未知的。

    A 虽然是连续数据,但总体分布形态未知或者非正态;

    B 体分布虽然正态,数据也是连续类型,但样本容量极小,如10以下;

    主要方法包括:卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。

    三、信度分析

    检査测量的可信度,例如调查问卷的真实性。

    分类:

    1、外在信度:不同时间测量时量表的一致性程度,常用方法重测信度

    2、内在信度;每个量表是否测量到单一的概念,同时组成两表的内在体项一致性如何,常用方法分半信度。

    四、列联表分析

    用于分析离散变量或定型变量之间是否存在相关。

    对于二维表,可进行卡方检验,对于三维表,可作Mentel-Hanszel分层分析。

    列联表分析还包括配对计数资料的卡方检验、行列均为顺序变量的相关检验。

    五、相关分析

    研究现象之间是否存在某种依存关系,对具体有依存关系的现象探讨相关方向及相关程度。

    1、单相关: 两个因素之间的相关关系叫单相关,即研究时只涉及一个自变量和一个因变量;

    2、复相关 :三个或三个以上因素的相关关系叫复相关,即研究时涉及两个或两个以上的自变量和因变量相关;

    3、偏相关:在某一现象与多种现象相关的场合,当假定其他变量不变时,其中两个变量之间的相关关系称为偏相关。

    六、方差分析

    使用条件:各样本须是相互独立的随机样本;各样本来自正态分布总体;各总体方差相等。

    分类

    1、单因素方差分析:一项试验只有一个影响因素,或者存在多个影响因素时,只分析一个因素与响应变量的关系

    2、多因素有交互方差分析:一顼实验有多个影响因素,分析多个影响因素与响应变量的关系,同时考虑多个影响因素之间的关系

    3、多因素无交互方差分析:分析多个影响因素与响应变量的关系,但是影响因素之间没有影响关系或忽略影响关系

    4、协方差分祈:传统的方差分析存在明显的弊端,无法控制分析中存在的某些随机因素,使之影响了分祈结果的准确度。协方差分析主要是在排除了协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析,是将线性回归与方差分析结合起来的一种分析方法,

    七、回归分析

    分类:

    1、一元线性回归分析:只有一个自变量X与因变量Y有关,X与Y都必须是连续型变量,因变量y或其残差必须服从正态分布。

    2、多元线性回归分析

    使用条件:分析多个自变量与因变量Y的关系,X与Y都必须是连续型变量,因变量y或其残差必须服从正态分布 。

    1)变呈筛选方式:选择最优回归方程的变里筛选法包括全横型法(CP法)、逐步回归法,向前引入法和向后剔除法

    2)横型诊断方法:

    A 残差检验: 观测值与估计值的差值要艰从正态分布

    B 强影响点判断:寻找方式一般分为标准误差法、Mahalanobis距离法

    C 共线性诊断:

    诊断方式:容忍度、方差扩大因子法(又称膨胀系数VIF)、特征根判定法、条件指针CI、方差比例

    处理方法:增加样本容量或选取另外的回归如主成分回归、岭回归等

    3、Logistic回归分析

    线性回归模型要求因变量是连续的正态分布变里,且自变量和因变量呈线性关系,而Logistic回归模型对因变量的分布没有要求,一般用于因变量是离散时的情况

    分类:

    Logistic回归模型有条件与非条件之分,条件Logistic回归模型和非条件Logistic回归模型的区别在于参数的估计是否用到了条件概率。

    4、其他回归方法 非线性回归、有序回归、Probit回归、加权回归等

    八、聚类分析

    样本个体或指标变量按其具有的特性进行分类,寻找合理的度量事物相似性的统计量。

    1、性质分类:

    Q型聚类分析:对样本进行分类处理,又称样本聚类分祈 使用距离系数作为统计量衡量相似度,如欧式距离、极端距离、绝对距离等

    R型聚类分析:对指标进行分类处理,又称指标聚类分析 使用相似系数作为统计量衡量相似度,相关系数、列联系数等

    2、方法分类:

    1)系统聚类法: 适用于小样本的样本聚类或指标聚类,一般用系统聚类法来聚类指标,又称分层聚类

    2)逐步聚类法 :适用于大样本的样本聚类

    3)其他聚类法 :两步聚类、K均值聚类等

    九、判别分析

    1、判别分析:根据已掌握的一批分类明确的样品建立判别函数,使产生错判的事例最少,进而对给定的一个新样品,判断它来自哪个总体

    2、与聚类分析区别

    1)聚类分析可以对样本逬行分类,也可以对指标进行分类;而判别分析只能对样本

    2)聚类分析事先不知道事物的类别,也不知道分几类;而判别分析必须事先知道事物的类别,也知道分几类

    3)聚类分析不需要分类的历史资料,而直接对样本进行分类;而判别分析需要分类历史资料去建立判别函数,然后才能对样本进行分类

    3、进行分类 :

    1)Fisher判别分析法 :

    以距离为判别准则来分类,即样本与哪个类的距离最短就分到哪一类, 适用于两类判别;

    以概率为判别准则来分类,即样本属于哪一类的概率最大就分到哪一类,适用于

    适用于多类判别。

    2)BAYES判别分析法 :

    BAYES判别分析法比FISHER判别分析法更加完善和先进,它不仅能解决多类判别分析,而且分析时考虑了数据的分布状态,所以一般较多使用;

    十、主成分分析

    将彼此梠关的一组指标变适转化为彼此独立的一组新的指标变量,并用其中较少的几个新指标变量就能综合反应原多个指标变量中所包含的主要信息 。

    十一、因子分析

    一种旨在寻找隐藏在多变量数据中、无法直接观察到却影响或支配可测变量的潜在因子、并估计潜在因子对可测变量的影响程度以及潜在因子之间的相关性的一种多元统计分析方法

    与主成分分析比较:

    相同:都能够起到済理多个原始变量内在结构关系的作用

    不同:主成分分析重在综合原始变适的信息.而因子分析重在解释原始变量间的关系,是比主成分分析更深入的一种多元统计方法

    用途:

    1)减少分析变量个数

    2)通过对变量间相关关系探测,将原始变量进行分类

    十二、时间序列分析

    动态数据处理的统计方法,研究随机数据序列所遵从的统计规律,以用于解决实际问题;时间序列通常由4种要素组成:趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。

    主要方法:移动平均滤波与指数平滑法、ARIMA横型、量ARIMA横型、ARIMAX模型、向呈自回归横型、ARCH族模型

    十三、生存分析

    用来研究生存时间的分布规律以及生存时间和相关因索之间关系的一种统计分析方法

    1、包含内容:

    1)描述生存过程,即研究生存时间的分布规律

    2)比较生存过程,即研究两组或多组生存时间的分布规律,并进行比较

    3)分析危险因素,即研究危险因素对生存过程的影响

    4)建立数学模型,即将生存时间与相关危险因素的依存关系用一个数学式子表示出来。

    2、方法:

    1)统计描述:包括求生存时间的分位数、中数生存期、平均数、生存函数的估计、判断生存时间的图示法,不对所分析的数据作出任何统计推断结论

    2)非参数检验:检验分组变量各水平所对应的生存曲线是否一致,对生存时间的分布没有要求,并且检验危险因素对生存时间的影响。

    A 乘积极限法(PL法)

    B 寿命表法(LT法)

    3)半参数横型回归分析:在特定的假设之下,建立生存时间随多个危险因素变化的回归方程,这种方法的代表是Cox比例风险回归分析法

    4)参数模型回归分析:已知生存时间服从特定的参数横型时,拟合相应的参数模型,更准确地分析确定变量之间的变化规律

    十四、典型相关分析

    相关分析一般分析两个变里之间的关系,而典型相关分析是分析两组变里(如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标)之间相关性的一种统计分析方法。

    典型相关分析的基本思想和主成分分析的基本思想相似,它将一组变量与另一组变量之间单变量的多重线性相关性研究转化为对少数几对综合变量之间的简单线性相关性的研究,并且这少数几对变量所包含的线性相关性的信息几乎覆盖了原变量组所包含的全部相应信息。

    十五、R0C分析

    R0C曲线是根据一系列不同的二分类方式(分界值或决定阈).以真阳性率(灵敏度)为纵坐标,假阳性率(1-特异度)为横坐标绘制的曲线

    用途:

    1、R0C曲线能很容易地査出任意界限值时的对疾病的识别能力

    用途

    2、选择最佳的诊断界限值。R0C曲线越靠近左上角,试验的准确性就越高;

    3、两种或两种以上不同诊断试验对疾病识别能力的比较,一股用R0C曲线下面积反映诊断系统的准确性。

    十六、其他分析方法

    多重响应分析、距离分祈、项目分祈、对应分祈、决策树分析、神经网络、系统方程、蒙特卡洛模拟等。

    End.

    作者:anxixiaomu

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  • 常用数据处理方法: 文章目录常用数据处理方法:一、人口模型和数据拟合1.1 指数型人数模型1.2 阻滞型人口模型二、神经网络方法1. 多层向前神经网络原理介绍2. Matlab相关函数介绍3.神经网络实验三、灰色模型及...

    常用的数据处理方法:

    一、人口模型和数据拟合

    1.1 指数型人数模型

    马尔萨斯模型

    设时刻t时人口为 x ( t ) x(t) x(t),单位时间内的人口增长率为r,则 Δ t \Delta t Δt时间内增长的人口为:
    x ( t + Δ t ) − x ( t ) = x ( t ) × r × Δ t x(t+\Delta t)-x(t)=x(t)\times r\times \Delta t x(t+Δt)x(t)=x(t)×r×Δt
    Δ t → 0 \Delta t \rightarrow 0 Δt0,得到微分方程:
    d x d t = r x , x ( 0 ) = x 0 \frac{dx}{dt}=rx,x(0)=x_0 dtdx=rx,x(0)=x0
    则: x ( t ) = x 0 e r t x(t)=x_0e^{rt} x(t)=x0ert

    代求参数 x 0 , r x_0,r x0,r

    为了便于求解,两边取对数有: y = a + r t y=a+rt y=a+rt,其中 y = ln ⁡ x , a = ln ⁡ x 0 y=\ln x,a=\ln x_0 y=lnx,a=lnx0,该模型化即为线性求解

    1.2 阻滞型人口模型

    s型曲线

    信息的传播,汽车数量的增长速度

    用的时候就把模型简单介绍,然后把数据代入画图就行了

    设时刻t时人口为 x ( t ) x(t) x(t),环境允许的最大人口数量为 x m x_m xm,人口净增长率岁人口数量的增加而线性减少,即
    r ( t ) = r ( 1 − x x m ) r(t)=r(1-\frac{x}{x_m}) r(t)=r(1xmx)
    由此建立阻滞型人口微分方程:

    咋积分的??

    d x d t = r ( 1 − x x m ) x , x ( 0 ) = x 0 \frac{dx}{dt}=r(1-\frac{x}{x_m})x,x(0)=x_0 dtdx=r(1xmx)x,x(0)=x0

    则:
    x ( t ) = x m 1 + ( x m x 0 − 1 ) e − r t x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-rt}} x(t)=1+(x0xm1)ertxm
    带求参数: x 0 , x m , r x_0,x_m,r x0,xm,r。此即Logistic函数

    x = x m 2 x=\frac{x_m}{2} x=2xm时,x增长最快,即 d x d t \frac{dx}{dt} dtdx最大

    image-20220111215842703

    实例1:美国人口数据处理

    38:23左右开始讲

    太拉了,整个就念代码

    regress:线性回归函数

    image-20220111230906786

    nlintfit:非线性拟和函数

    b e t a : [ x 0 , r , x m ] beta:[x_0,r,x_m] beta:[x0,r,xm]

    b e t a 0 beta0 beta0是需要给的初始值,给个大概范围就可以

    image-20220111222135972

    其中logisfun是自己编写的函数

    image-20220111222352677

    image-20220111222337911

    二、神经网络方法

    1. 多层向前神经网络原理介绍

    多层前向神经网络(MLP)是神经网络中的一种,它由一些最基本的神经元即节点组成,下图就是这样一个网络。这种网络的结构如下:网络由分为不同层次的节点集合组成,每一层的节点输出到下一层节点,这些输出值由于连接不同而被放大、衰减或抑制。除了输入层外,每一节点的输入为前-一层所有节点输出值的和。每- - 节点的激励输出值由节点输入、激励函数及偏置量决定。
    下图中,输入模式的各分量作为第i层各节点的输入,这一节点的输出,或者完全等于它们的输入值,或由该层进行归一化处理,使该层的输出值都在+1或-1之间。

    image-20220112190140583

    在第j层,节点的输入值为:
    n e t i = ∑ w j i o i + θ j net_i=\sum w_{ji}o_i+\theta _j neti=wjioi+θj
    式中的 θ j \theta _j θj为阈值,正阈值的作用将激励函数沿x轴向左平移,节点的输出值为:
    o j = f ( n e t j ) o_j=f(net_j) oj=f(netj)
    事中f为节点的激励函数,通常选择如下Sigmoid函数:
    f ( x ) = 1 1 + e x p ( − x ) f(x)=\frac{1}{1+exp(-x)} f(x)=1+exp(x)1
    在第k层的网络节点的输入为:
    n e t k = ∑ w k j o j + θ k net_k=\sum w_{kj}o_j+\theta_k netk=wkjoj+θk
    而输出为:
    o k = f ( n e t k ) o_k=f(net_k) ok=f(netk)
    在网络学习阶段,网络输入为模式样本 x p = x p i x_p= {x_{pi}} xp=xpi,网络要修正自己的权值及各节点的阀值,使网络输出不断接近期望值 t p k t_{pk} tpk,每做一次调整后,换一对输入与期望输出,再做一次调整,直到满足所有样本的输入与输出间的对应。一般说来,系统输出值 o p k {o_{pk}} opk与期望输出值 t p k {t_{pk}} tpk是不相等的。对每一个输入的模式样本,平方误差 E p E_p Ep为:
    E p = 1 2 ∑ k ( t p k − o p k ) 2 E_p=\frac{1}{2}\sum _k(t_{pk}-o_{pk})^2 Ep=21k(tpkopk)2
    而对于全部学习样本,系统的总误差为:
    E p = 1 2 p ∑ p ∑ k ( t p k − o p k ) 2 E_p=\frac{1}{2p}\sum _p \sum _k(t_{pk}-o_{pk})^2 Ep=2p1pk(tpkopk)2
    在学习过程中,系统将调整链接权和阈值,使得 E p E_p Ep尽可能快地下降

    2. Matlab相关函数介绍

    (1)网络初始化函数

    n e t = n e w f f ( [ x m , x M ] , [ h 1 , h 2 , . . . , h k ] , { f 1 , f 2 , . . . , f k } ) net=newff([x_m,x_M],[h_1,h_2,...,h_k],\{f_1,f_2,...,f_k\}) net=newff([xm,xM],[h1,h2,...,hk],{f1,f2,...,fk})
    其中, x m x_m xm x M x_M xM分别为列向量,存储各个样本输入数据的最小值和最大值(即各个特征的最小值和最大值);第二个输入变量是一个行向量,输入各层节点数(从隐层开始);第三个输入变量是字符串,代表该层的传输函数(从隐层开始)。

    常用tansiglogsig函数。其中

    t a n s i g ( x ) = 1 − e − 2 x 1 + e − 2 x       将 所 有 值 映 射 到 [ − 1 , + 1 ] l o g s i g ( x ) = 1 1 + e − x       将 所 有 值 映 射 到 [ 0 , + 1 ] \begin{aligned} &tansig(x)=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} \ \ \ \ \ &将所有值映射到[-1,+1] \\ &logsig(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} \ \ \ \ \ &将所有值映射到[0,+1] \end{aligned} tansig(x)=1+e2x1e2x     logsig(x)=1+ex1     [1,+1][0,+1]
    除了上面方法给网络赋值外,还可以用下面格式设定参数。

    N e t . t r a i n P a r a m . e p o c h s = 1000 Net.trainParam.epochs=1000 Net.trainParam.epochs=1000 设置迭代次数

    N e t . t r a i n F c n = ′ t r a i n g m ′ Net.trainFcn='traingm' Net.trainFcn=traingm 设定带动量的梯度下降算法

    (2)网络训练函数
    [ n e t , t r , Y 1 , E ] = t r a i n ( n e t , X , Y ) [net,tr,Y1,E]=train(net,X,Y) [net,tr,Y1,E]=train(net,X,Y)
    其中X为 n × M n \times M n×M矩阵,n为输入变量的个数,M为样本数,Y为 m × M m\times M m×M矩阵,m为输出变量的个数。X,Y分别存储样本的输入输出数据。net为返回后的神经网络对象,tr为训练跟踪数据, t r . p r e f tr.pref tr.pref为各步目标函数值。Y1位网络的最后输出,E1为训练误差向量

    (3)网络泛化函数
    Y 2 = s i m ( n e t , X 1 ) Y2=sim(net,X1) Y2=sim(net,X1)
    其中X1位输入数据矩阵,各列为样本数据,Y2位对应输出值

    3.神经网络实验

    神经网络主要用来函数拟合,插值,目标分类,模式识别

    (1)函数仿真实验

    产生下列函数在 [ 0 , 10 ] [0,10] [0,10]区间上间隔0.5的数据,然后用神经网络进行学习,并推广到 [ 0.10 ] [0.10] [0.10]上间隔为0.1上各店的函数值。并分别做出图形
    y = 0.2 e − 0.2 x + 0.5 × e − 0.15 x . s i n ( 1.25 x )      0 ≤ x ≤ 10 y=0.2e^{-0.2x}+0.5\times e^{-0.15x} . sin(1.25x) \ \ \ \ 0\le x\le 10 y=0.2e0.2x+0.5×e0.15x.sin(1.25x)    0x10
    Matlab程序:

    x=0:0.5:10;
    y=0.2*exp(-0.2*x)+0.5*exp(-0.15*x).*sin(1.25*x);
    plot(x,y); %画出原始图
    
    net.trainParam.epochs=5000; % 设定迭代次数
    net=newff([0,10],[6,1],{'tansig','tansig'}); %初始化网络
    net=train(net,x,y); %进行网络训练
    
    x1=0:0.1:10;
    y1=sim(net,x1); %数据泛化
    plot(x,y,'*',x1,y1,'r');
    

    image-20220112200256691

    (2)目标分类

    MCM89A蠓的分类

    image-20220112200416243

    这里,我们可用三层神经网络进行判别。

    输入为15个二维向量,输出也为15个二维向量。其中Af对一个的目标向两位(1,0),Apf对应的目标向量为(0,1)

    Matlab程序:

    x=[1.24,1.36,1.38,1.38,1.38,1.40,1.48,1.54,1.56,1.13,1.18,1.20,1.26,1.28,1.30;
        1.72,1.74,1.64,1.82,1.90,1.70,1.82,1.82,2.08,1.78,1.96,1.86,2.0,2.0,1.96];
    y=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
        0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1];
    
    net.trainParam.epochs=2500; %设定迭代次数
    XM=minmax(x); %求最小值与最大值
    net=newff(XM,[5,2],{'logsig','logsig'}); %初始化网络
    net=train(net,x,y); %进行网络训练
    x1=[1.24,1.28,1.40;
        1.80,1.84,2.04]; %待分类样本
    y1=sim(net,x1) %数据泛化
    plot(x(1,1:9),x(2,1:9),'*',x(1,10:15),x(2,10:15),'o',x1(1,:),x1(2,:),'p') %画原始数据图
    

    image-20220112201822946

    注意,在这里每次运行结果都可能不一样,也就是说每一只可能在两次运行中被分到的类中都不一样

    以两个分量越靠近就判断为哪一类。 从该结果看,三个样本都为Apf。但由于每次训练初始参数的随机性,而待判的3个样本在两类的临界区,导致不同的训练结果会有差异,这也正常。

    三、灰色模型及预测

    灰色系统理论建模要求原始数据必须等时间间距。首先对原始数据进行累加生成,目的是弱化原始时间序列数据的随机因素,然后建立生成数的微分方程。GM(1.1)模型是灰色系统理论中的单序列一阶灰色微分方程,它所需信息较少,方法简便。

    设一直序列为 x ( 0 ) ( 1 ) , x ( 0 ) ( 2 ) , . . . , x ( 0 ) ( n ) x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n) x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n),做一个累加AGO(Acumulated Generating Operation)生成新序列:
    x ( 1 ) ( 1 ) , x ( 1 ) ( 2 ) , . . . x ( 1 ) ( n ) x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...x^{(1)}(n) x(1)(1),x(1)(2),...x(1)(n)
    其中
    x ( 1 ) ( 1 ) = x ( 0 ) ( 1 ) , x ( 1 ) ( 2 ) = x ( 0 ) ( 1 ) + x ( 0 ) ( 2 ) , . . . x^{(1)}(1)=x^{(0)}(1),x^{(1)}(2)=x^{(0)}(1)+x^{(0)}(2),... x(1)(1)=x(0)(1),x(1)(2)=x(0)(1)+x(0)(2),...

    x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i )     k = 1 , 2 , . . . , n x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^kx^{(0)}(i)\ \ \ k=1,2,...,n x(1)(k)=i=1kx(0)(i)   k=1,2,...,n
    生成均值序列(均值是为了解决毛刺):
    z ( 1 ) ( k ) = α x ( 1 ) ( k ) + ( 1 − α ) x ( 1 ) ( k − 1 )      k = 2 , 3 , . . . , n (1) z^{(1)}(k)=\alpha x^{(1)}(k)+(1-\alpha)x^{(1)}(k-1) \ \ \ \ k=2,3,...,n \tag 1 z(1)(k)=αx(1)(k)+(1α)x(1)(k1)    k=2,3,...,n(1)
    其中 0 ≤ α ≤ 1 0\le \alpha \le 1 0α1。通常可取 α = 0.5 \alpha=0.5 α=0.5,建立灰微分方程(离散微分方程):

    假设符合这样的规律,然后再去验证

    x ( 0 ) ( k ) + a x ( 1 ) ( k ) = b     k = 2 , 3 , . . . , n (2) x^{(0)}(k)+ax^{(1)}(k)=b \ \ \ k=2,3,...,n \tag2 x(0)(k)+ax(1)(k)=b   k=2,3,...,n(2)

    响应的GM(1.1)白化微分方程(连续微分方程)为:
    d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) ( t ) = b (3) \frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}(t)=b \tag3 dtdx(1)+ax(1)(t)=b(3)
    将方程(2)变形为:
    − a z ( 1 ) ( k ) + b = x ( 0 ) ( k ) (4) -az^{(1)}(k)+b=x^{(0)}(k) \tag4 az(1)(k)+b=x(0)(k)(4)
    其中a,b为待定模型参数

    将方程组(4)采用矩阵形式表达为:

    image-20220112204741912

    即:
    X β = Y (6) X\beta = Y \tag6 Xβ=Y(6)
    解方程(6)的到最小二乘解为(可以求出来a,b):
    β ^ = ( a , b ) T = ( X T X ) − 1 X T Y (7) \hat{\beta}=(a,b)^T=(X^TX)^{-1}X^TY \tag7 β^=(a,b)T=(XTX)1XTY(7)
    求解微分方程(3)得到GM(1,1)模型的离散解:
    x ^ ( 1 ) ( k ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − b a ] e − α ( k − 1 ) + b a     k = 2 , 3 , . . . , n (8) \hat x^{(1)}(k)=[x^{(0)}(1)-\frac b a]e^{-\alpha(k-1)}+\frac b a \ \ \ k=2,3,...,n \tag8 x^(1)(k)=[x(0)(1)ab]eα(k1)+ab   k=2,3,...,n(8)
    还原为原始数列,预测模型为:
    x ^ ( 0 ) ( k ) = x ^ ( 1 ) ( k ) − x ^ ( 1 ) ( k − 1 )       k = 2 , 3 , . . . , n (9) \hat x^{(0)}(k)=\hat x^{(1)}(k)-\hat x^{(1)}(k-1) \ \ \ \ \ k=2,3,...,n \tag9 x^(0)(k)=x^(1)(k)x^(1)(k1)     k=2,3,...,n(9)
    将式(8)代入式(9)得
    x ^ ( 0 ) ( k ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − b a ] e − a ( k − 1 ) ( 1 − e a )     k = 2 , 3 , . . . , n (10) \hat x^{(0)}(k)=[x^{(0)}(1)-\frac b a]e^{-a(k-1)}(1-e^a) \ \ \ k=2,3,...,n \tag{10} x^(0)(k)=[x(0)(1)ab]ea(k1)(1ea)   k=2,3,...,n(10)
    GM(1.1)模型与统计模型相比,具有两个显著优点:一是灰色模型即使在少量数据情况下建立的模型,精度也会很高,而统计模型在少量数据情况下,精度会相对差一些;二是灰色模型从其机理上讲,越靠近当前时间点精度会越高,因此灰色模型的预测功能优于统计模型。灰色系统建模实际上是一种以数找数的方法,从系统的一个或几个离散数列中找出系统的变化关系,试图建立系统的连续变化模型。

    例子

    2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响,特别是对部分疫情严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的。经济影响分为直接经济影响和间接影响。很多方面难以进行定量评估。现就某市SARS疫情对商品零售业的影响进行定量的评估分析。

    image-20220112210137896

    解答:

    SARS发生在2003年4月。因此我们可根据1997年到2002年的数据,预测2003年的各月的零售额,并与实际的零售额进行。从而判断2003年倒底哪几个月受到SARS影响,并给出影响大小的评估。

    将1997–2002年的数据记作矩阵 A 6 × 12 A_{6\times 12} A6×12,代表6年的72个数据

    计算各年平均值
    x ( 0 ) ( i ) = 1 12 ∑ j = 1 12 a i j      i = 1 , 2 , . . . , 6 x^{(0)}(i)=\frac 1 {12} \sum ^{12} _{j=1} a_{ij} \ \ \ \ i=1,2,...,6 x(0)(i)=121j=112aij    i=1,2,...,6
    得到
    x ( 0 ) = ( 87.6167 , 98.5000 , 108 , 4750 , 118.4167 , 132.8083 , 145.4083 ) x^{(0)}=(87.6167,98.5000,108,4750,118.4167,132.8083,145.4083) x(0)=(87.6167,98.5000,108,4750,118.4167,132.8083,145.4083)
    计算累加序列
    x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i )      k = 1 , 2... , 6 x^{(1)}(k)=\sum ^k _{i=1}x^{(0)}(i) \ \ \ \ k=1,2...,6 x(1)(k)=i=1kx(0)(i)    k=1,2...,6
    得到
    x ( 1 ) = ( 87.6167 , 186.1167 , 294.5917 , 413.0083 , 545.8167.691.2250 ) x^{(1)}=(87.6167, 186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167.691.2250) x(1)=(87.6167,186.1167,294.5917,413.0083,545.8167.691.2250)
    生成均值序列:

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  • 9种常用数据分析方法

    万次阅读 2020-08-17 11:09:23
    对比法就是用两组或两组以上的数据进行比较,是最通用的方法。 我们知道孤立的数据没有意义,有对比才有差异。比如在时间维度上的同比和环比、增长率、定基比,与竞争对手的对比、类别之间的对比、特征和属性对比等...

    一、公式拆解

    所谓公式拆解法就是针对某个指标,用公式层层分解该指标的影响因素。
    举例:分析某产品的销售额较低的原因,用公式法分解

     

    图片.png

    二、对比分析

    对比法就是用两组或两组以上的数据进行比较,是最通用的方法。

    我们知道孤立的数据没有意义,有对比才有差异。比如在时间维度上的同比和环比、增长率、定基比,与竞争对手的对比、类别之间的对比、特征和属性对比等。对比法可以发现数据变化规律,使用频繁,经常和其他方法搭配使用。

    下图的AB公司销售额对比,虽然A公司销售额总体上涨且高于B公司,但是B公司的增速迅猛,高于A公司,即使后期增速下降了,最后的销售额还是赶超。

     

    图片.png

    三、A/Btest

    A/Btest,是将Web或App界面或流程的两个或多个版本,在同一时间维度,分别让类似访客群组来访问,收集各群组的用户体验数据和业务数据,最后分析评估出最好版本正式采用。A/Btest的流程如下:

    (1)现状分析并建立假设:分析业务数据,确定当前最关键的改进点,作出优化改进的假设,提出优化建议;比如说我们发现用户的转化率不高,我们假设是因为推广的着陆页面带来的转化率太低,下面就要想办法来进行改进了

    (2)设定目标,制定方案:设置主要目标,用来衡量各优化版本的优劣;设置辅助目标,用来评估优化版本对其他方面的影响。

    (3)设计与开发:制作2个或多个优化版本的设计原型并完成技术实现。

    (4)分配流量:确定每个线上测试版本的分流比例,初始阶段,优化方案的流量设置可以较小,根据情况逐渐增加流量。

    (5)采集并分析数据:收集实验数据,进行有效性和效果判断:统计显著性达到95%或以上并且维持一段时间,实验可以结束;如果在95%以下,则可能需要延长测试时间;如果很长时间统计显著性不能达到95%甚至90%,则需要决定是否中止试验。

    (6)最后:根据试验结果确定发布新版本、调整分流比例继续测试或者在试验效果未达成的情况下继续优化迭代方案重新开发上线试验。
    流程图如下:

     

    image.png

    四、象限分析

    通过对两种及以上维度的划分,运用坐标的方式表达出想要的价值。由价值直接转变为策略,从而进行一些落地的推动。象限法是一种策略驱动的思维,常与产品分析、市场分析、客户管理、商品管理等。比如,下图是一个广告点击的四象限分布,X轴从左到右表示从低到高,Y轴从下到上表示从低到高。

     

    image.png

     

    高点击率高转化的广告,说明人群相对精准,是一个高效率的广告。高点击率低转化的广告,说明点击进来的人大多被广告吸引了,转化低说明广告内容针对的人群和产品实际受众有些不符。高转化低点击的广告,说明广告内容针对的人群和产品实际受众符合程度较高,但需要优化广告内容,吸引更多人点击。低点击率低转化的广告,可以放弃了。还有经典的RFM模型,把客户按最近一次消费(Recency)、消费频率(Frequency)、消费金额 (Monetary)三个维度分成八个象限。

     

    image.png


    象限法的优势:
    (1)找到问题的共性原因

    通过象限分析法,将有相同特征的事件进行归因分析,总结其中的共性原因。例如上面广告的案例中,第一象限的事件可以提炼出有效的推广渠道与推广策略,第三和第四象限可以排除一些无效的推广渠道;

    (2)建立分组优化策略
    针对投放的象限分析法可以针对不同象限建立优化策略,例如RFM客户管理模型中按照象限将客户分为重点发展客户、重点保持客户、一般发展客户、一般保持客户等不同类型。给重点发展客户倾斜更多的资源,比如VIP服务、个性化服务、附加销售等。给潜力客户销售价值更高的产品,或一些优惠措施来吸引他们回归。

    五、帕累托分析

    帕累托法则,源于经典的二八法则。比如在个人财富上可以说世界上20%的人掌握着80%的财富。而在数据分析中,则可以理解为20%的数据产生了80%的效果需要围绕这20%的数据进行挖掘。往往在使用二八法则的时候和排名有关系,排在前20%的才算是有效数据。二八法是抓重点分析,适用于任何行业。找到重点,发现其特征,然后可以思考如何让其余的80%向这20%转化,提高效果。

    一般地,会用在产品分类上,去测量并构建ABC模型。比如某零售企业有500个SKU以及这些SKU对应的销售额,那么哪些SKU是重要的呢,这就是在业务运营中分清主次的问题。

    常见的做法是将产品SKU作为维度,并将对应的销售额作为基础度量指标,将这些销售额指标从大到小排列,并计算截止当前产品SKU的销售额累计合计占总销售额的百分比。

    百分比在 70%(含)以内,划分为 A 类。百分比在 70~90%(含)以内,划分为 B 类。百分比在 90~100%(含)以内,划分为 C 类。以上百分比也可以根据自己的实际情况调整。

    ABC分析模型,不光可以用来划分产品和销售额,还可以划分客户及客户交易额等。比如给企业贡献80%利润的客户是哪些,占比多少。假设有20%,那么在资源有限的情况下,就知道要重点维护这20%类客户。

    image.png

    六、漏斗分析

    漏斗法即是漏斗图,有点像倒金字塔,是一个流程化的思考方式,常用于像新用户的开发、购物转化率这些有变化和一定流程的分析中。

     

    image.png

    上图是经典的营销漏斗,形象展示了从获取用户到最终转化成购买这整个流程中的一个个子环节。相邻环节的转化率则就是指用数据指标来量化每一个步骤的表现。所以整个漏斗模型就是先将整个购买流程拆分成一个个步骤,然后用转化率来衡量每一个步骤的表现,最后通过异常的数据指标找出有问题的环节,从而解决问题,优化该步骤,最终达到提升整体购买转化率的目的。

    整体漏斗模型的核心思想其实可以归为分解和量化。比如分析电商的转化,我们要做的就是监控每个层级上的用户转化,寻找每个层级的可优化点。对于没有按照流程操作的用户,专门绘制他们的转化模型,缩短路径提升用户体验。

    还有经典的黑客增长模型,AARRR模型,指Acquisition、Activation、Retention、Revenue、Referral,即用户获取、用户激活、用户留存、用户收益以及用户传播。这是产品运营中比较常见的一个模型,结合产品本身的特点以及产品的生命周期位置,来关注不同的数据指标,最终制定不同的运营策略。

    从下面这幅AARRR模型图中,能够比较明显的看出来整个用户的生命周期是呈现逐渐递减趋势的。通过拆解和量化整个用户生命周期各环节,可以进行数据的横向和纵向对比,从而发现对应的问题,最终进行不断的优化迭代。

     

    image.png

    七、路径分析

    用户路径分析追踪用户从某个开始事件直到结束事件的行为路径,即对用户流向进行监测,可以用来衡量网站优化的效果或营销推广的效果,以及了解用户行为偏好,其最终目的是达成业务目标,引导用户更高效地完成产品的最优路径,最终促使用户付费。如何进行用户行为路径分析?

    (1)计算用户使用网站或APP时的每个第一步,然后依次计算每一步的流向和转化,通过数据,真实地再现用户从打开APP到离开的整个过程。
    (2)查看用户在使用产品时的路径分布情况。例如:在访问了某个电商产品首页的用户后,有多大比例的用户进行了搜索,有多大比例的用户访问了分类页,有多大比例的用户直接访问的商品详情页。
    (3)进行路径优化分析。例如:哪条路径是用户最多访问的;走到哪一步时,用户最容易流失。
    (4)通过路径识别用户行为特征。例如:分析用户是用完即走的目标导向型,还是无目的浏览型。
    (5)对用户进行细分。通常按照APP的使用目的来对用户进行分类。如汽车APP的用户可以细分为关注型、意向型、购买型用户,并对每类用户进行不同访问任务的路径分析,比如意向型的用户,他进行不同车型的比较都有哪些路径,存在什么问题。还有一种方法是利用算法,基于用户所有访问路径进行聚类分析,依据访问路径的相似性对用户进行分类,再对每类用户进行分析。

    以电商为例,买家从登录网站/APP到支付成功要经过首页浏览、搜索商品、加入购物车、提交订单、支付订单等过程。而在用户真实的选购过程是一个交缠反复的过程,例如提交订单后,用户可能会返回首页继续搜索商品,也可能去取消订单,每一个路径背后都有不同的动机。与其他分析模型配合进行深入分析后,能为找到快速用户动机,从而引领用户走向最优路径或者期望中的路径。
    用户行为路径图示例:

     

    image.png

    八、留存分析

    用户留存指的是新会员/用户在经过一定时间之后,仍然具有访问、登录、使用或转化等特定属性和行为,留存用户占当时新用户的比例就是留存率。留存率按照不同的周期分为三类,以登录行为认定的留存为例:
    第一种 日留存,日留存又可以细分为以下几种:
    (1)次日留存率:(当天新增的用户中,第2天还登录的用户数)/第一天新增总用户数
    (2)第3日留存率:(第一天新增用户中,第3天还有登录的用户数)/第一天新增总用户数
    (3)第7日留存率:(第一天新增用户中,第7天还有登录的用户数)/第一天新增总用户数
    (4)第14日留存率:(第一天新增用户中,第14天还有登录的用户数)/第一天新增总用户数
    (5)第30日留存率:(第一天新增用户中,第30天还有登录的用户数)/第一天新增总用户数

    第二种 周留存,以周度为单位的留存率,指的是每个周相对于第一个周的新增用户中,仍然还有登录的用户数。

    第三种 月留存,以月度为单位的留存率,指的是每个月相对于第一个周的新增用户中,仍然还有登录的用户数。留存率是针对新用户的,其结果是一个矩阵式半面报告(只有一半有数据),每个数据记录行是日期、列为对应的不同时间周期下的留存率。正常情况下,留存率会随着时间周期的推移而逐渐降低。下面以月留存为例生成的月用户留存曲线:

     

    image.png

    九、聚类分析

    聚类分析属于探索性的数据分析方法。通常,我们利用聚类分析将看似无序的对象进行分组、归类,以达到更好地理解研究对象的目的。聚类结果要求组内对象相似性较高,组间对象相似性较低。在用户研究中,很多问题可以借助聚类分析来解决,比如,网站的信息分类问题、网页的点击行为关联性问题以及用户分类问题等等。其中,用户分类是最常见的情况。

    常见的聚类方法有不少,比如K均值(K-Means),谱聚类(Spectral Clustering),层次聚类(Hierarchical Clustering)。以最为常见的K-means为例,如下图:

    image.png

    可以看到,数据可以被分到红蓝绿三个不同的簇(cluster)中,每个簇应有其特有的性质。显然,聚类分析是一种无监督学习,是在缺乏标签的前提下的一种分类模型。当我们对数据进行聚类后并得到簇后,一般会单独对每个簇进行深入分析,从而得到更加细致的结果。



    作者:数据蝉
    链接:https://www.jianshu.com/p/d27563e492a0
    来源:简书
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    常用数据科学方法 【未经允许,不得转载】 ...

                                           常用数据科学方法

                                                     【未经允许,不得转载】

                                                                                                                                                                                                                                                ——沂水寒城

    一、数据缺失值处理

    对于数据挖掘和分析人员来说,数据准备(Data Preparation,包括数据的抽取、清洗、转换和集成)常常占据了70%左右的工作量。而在数据准备的过程中,数据质量差又是最常见而且令人头痛的问题,诸如数据缺失值、特殊值等问题,都需要专门的处理方法才行,本文档整理了常用的序列数据的处理方法,为数据挖掘、机器学习等工作提供数据处理基础。

    我们所说的缺失值,不仅包括数据库中的NULL值,也包括用于表示数值缺失的特殊数值(比如,在系统中用-999来表示数值不存在)。如果我们仅有数据库的数据模型,而缺乏相关说明,常常需要花费更多的精力来发现这些数值的特殊含义。而如果我们漠视这些数值的特殊性,直接拿来进行挖掘,那么很可能会得到错误的结论。

    还有一种数值缺失的情况,是因为我们要求统计的时间窗口并非对所有数据都适合。例如,我们希望计算出“客户在以前六个月内的最大存款余额”,对于那些建立账户尚不满六个月的客户来说,统计出来的数值与我们想要得到的就可能存在差距。

    一般来说,对缺失值的填充方法有多种,用某个常数来填充常常不是一个好方法。最好建立一些模型,根据数据的分布来填充一个更恰当的数值。(例如根据其它变量对记录进行数据分箱,然后选择该记录所在分箱的相应变量的均值或中位数,来填充缺失值,效果会更好一些)

    数据缺失的原因

    在各种使用的数据库中,属性值缺失的情况经常发全甚至是不可避免的。因此,在大多数情况下,信息系统是不完备的,或者说存在某种程度的不完备。

    缺失值的产生的原因多种多样,主要分为机械原因和人为原因。机械原因是由于机械原因导致的数据收集或保存的失败造成的数据缺失,比如数据存储的失败,存储器损坏,机械故障导致某段时间数据未能收集(对于定时数据采集而言)。人为原因是由于人的主观失误、历史局限或有意隐瞒造成的数据缺失,比如,在市场调查中被访人拒绝透露相关问题的答案,或者回答的问题是无效的,数据录入人员失误漏录了数据

    造成数据缺失的原因是多方面的,主要可能有以下几种:

    1)有些信息暂时无法获取。例如在医疗数据库中,并非所有病人的所有临床检验结果都能在给定的时间内得到,就致使一部分属性值空缺出来。又如在申请表数据中,对某些问题的反映依赖于对其他问题的回答。

    2)有些信息是被遗漏的。可能是因为输入时认为不重要、忘记填写了或对数据理解错误而遗漏,也可能是由于数据采集设备的故障、存储介质的故障、传输媒体的故障、一些人为因素等原因而丢失了。

    3)有些对象的某个或某些属性是不可用的。也就是说,对于这个对象来说,该属性值是不存在的,如一个未婚者的配偶姓名、一个儿童的固定收入状况等。

    4)有些信息(被认为)是不重要的。如一个属性的取值与给定语境是无关的,或训练数据库的设计者并不在乎某个属性的取值(称为dont-care value)。

    5)获取这些信息的代价太大。

    6)系统实时性能要求较高,即要求得到这些信息前迅速做出判断或决策。

    数据缺失机制

    在对缺失数据进行处理前,了解数据缺失的机制和形式是十分必要的。将数据集中不含缺失值的变量(属性)称为完全变量,数据集中含有缺失值的变量称为不完全变量,Little 和 Rubin定义了以下三种不同的数据缺失机制:

    1)完全随机缺失(Missing Completely at Random,MCAR)。数据的缺失与不完全变量以及完全变量都是无关的。

    2)随机缺失(Missing at Random,MAR)。数据的缺失仅仅依赖于完全变量。

    3)非随机、不可忽略缺失(Not Missing at Random,NMAR,or nonignorable)。不完全变量中数据的缺失依赖于不完全变量本身,这种缺失是不可忽略的。

    从缺失值的所属属性上讲,如果所有的缺失值都是同一属性,那么这种缺失成为单值缺失,如果缺失值属于不同的属性,称为任意缺失。另外对于时间序列类的数据,可能存在随着时间的缺失,这种缺失称为单调缺失。

    空值语义

    对于某个对象的属性值未知的情况,我们称它在该属性的取值为空值(null value)。空值的来源有许多种,因此现实世界中的空值语义也比较复杂。总的说来,可以把空值分成以下三类:

    1)不存在型空值。即无法填入的值,或称对象在该属性上无法取值,如一个未婚者的配偶姓名等。

    2)存在型空值。即对象在该属性上取值是存在的,但暂时无法知道。一旦对象在该属性上的实际值被确知以后,人们就可以用相应的实际值来取代原来的空值,使信息趋于完全。存在型空值是不确定性的一种表征,该类空值的实际值在当前是未知的。但它有确定性的一面,诸如它的实际值确实存在,总是落在一个人们可以确定的区间内。一般情况下,空值是指存在型空值。

    3)占位型空值。即无法确定是不存在型空值还是存在型空值,这要随着时间的推移才能够清楚,是最不确定的一类。这种空值除填充空位外,并不代表任何其他信息。

    空值处理的重要性和复杂性

    数据缺失在许多研究领域都是一个复杂的问题。对数据挖掘来说,空值的存在,造成了以下影响:

    第一,系统丢失了大量的有用信息;

    第二,系统中所表现出的不确定性更加显著,系统中蕴涵的确定性成分更难把握;

    第三,包含空值的数据会使挖掘过程陷入混乱,导致不可靠的输出。

    数据挖掘算法本身更致力于避免数据过分适合所建的模型,这一特性使得它难以通过自身的算法去很好地处理不完整数据。因此,空缺的数据需要通过专门的方法进行推导、填充等,以减少数据挖掘算法与实际应用之间的差距。

    常用缺失值处理方法的分析比较

    处理不完备数据集的方法主要有以下三大类:

    (一)删除元组

    也就是将存在遗漏信息属性值的对象(元组,记录)删除,从而得到一个完备的信息表。这种方法简单易行,在对象有多个属性缺失值、被删除的含缺失值的对象与信息表中的数据量相比非常小的情况下是非常有效的,类标号(假设是分类任务)缺少时通常使用。然而,这种方法却有很大的局限性。它是以减少历史数据来换取信息的完备,会造成资源的大量浪费,丢弃了大量隐藏在这些对象中的信息。在信息表中本来包含的对象很少的情况下,删除少量对象就足以严重影响到信息表信息的客观性和结果的正确性;当每个属性空值的百分比变化很大时,它的性能非常差。因此,当遗漏数据所占比例较大,特别当遗漏数据非随机分布时,这种方法可能导致数据发生偏离,从而引出错误的结论。

    (二)数据补齐

    这类方法是用一定的值去填充空值,从而使信息表完备化。通常基于统计学原理,根据决策表中其余对象取值的分布情况来对一个空值进行填充,譬如用其余属性的平均值来进行补充等。

    数据挖掘中常用的有以下几种补齐方法:

    (1)人工填写(filling manually

    由于最了解数据的还是用户自己,因此这个方法产生数据偏离最小,可能是填充效果最好的一种。然而一般来说,该方法很费时,当数据规模很大、空值很多的时候,该方法是不可行的。

    (2)特殊值填充(Treating Missing Attribute values as Special values

    将空值作为一种特殊的属性值来处理,它不同于其他的任何属性值。如所有的空值都用“unknown”填充。这样将形成另一个有趣的概念,可能导致严重的数据偏离,一般不推荐使用。

    (3)平均值填充(Mean/Mode Completer

    将信息表中的属性分为数值属性和非数值属性来分别进行处理。如果空值是数值型的,就根据该属性在其他所有对象的取值的平均值来填充该缺失的属性值;如果空值是非数值型的,就根据统计学中的众数原理,用该属性在其他所有对象的取值次数最多的值(即出现频率最高的值)来补齐该缺失的属性值。另外有一种与其相似的方法叫条件平均值填充法(Conditional Mean Completer)。在该方法中,缺失属性值的补齐同样是靠该属性在其他对象中的取值求平均得到,但不同的是用于求平均的值并不是从信息表所有对象中取,而是从与该对象具有相同决策属性值的对象中取得。这两种数据的补齐方法,其基本的出发点都是一样的,以最大概率可能的取值来补充缺失的属性值,只是在具体方法上有一点不同。与其他方法相比,它是用现存数据的多数信息来推测缺失值。

    (4)热卡填充(Hot deck imputation,或就近补齐)

    对于一个包含空值的对象,热卡填充法在完整数据中找到一个与它最相似的对象,然后用这个相似对象的值来进行填充。不同的问题可能会选用不同的标准来对相似进行判定。该方法概念上很简单,且利用了数据间的关系来进行空值估计。这个方法的缺点在于难以定义相似标准,主观因素较多。

    (5)K最近距离邻法(K-means clustering

    先根据欧式距离或相关分析来确定距离具有缺失数据样本最近的K个样本,将这K个值加权平均来估计该样本的缺失数据。同均值插补的方法都属于单值插补,不同的是,它用层次聚类模型预测缺失变量的类型,再以该类型的均值插补。假设X=(X1,X2…Xp)为信息完全的变量,Y为存在缺失值的变量,那么首先对X或其子集行聚类,然后按缺失个案所属类来插补不同类的均值。如果在以后统计分析中还需以引入的解释变量和Y做分析,那么这种插补方法将在模型中引入自相关,给分析造成障碍。

    (6)使用所有可能的值填充(Assigning All Possible values of the Attribute

    这种方法是用空缺属性值的所有可能的属性取值来填充,能够得到较好的补齐效果。但是,当数据量很大或者遗漏的属性值较多时,其计算的代价很大,可能的测试方案很多。另有一种方法,填补遗漏属性值的原则是一样的,不同的只是从决策相同的对象中尝试所有的属性值的可能情况,而不是根据信息表中所有对象进行尝试,这样能够在一定程度上减小原方法的代价。

    (7)组合完整化方法(Combinatorial Completer

    这种方法是用空缺属性值的所有可能的属性取值来试,并从最终属性的约简结果中选择最好的一个作为填补的属性值。这是以约简为目的的数据补齐方法,能够得到好的约简结果;但是,当数据量很大或者遗漏的属性值较多时,其计算的代价很大。另一种称为条件组合完整化方法(Conditional Combinatorial Complete),填补遗漏属性值的原则是一样的,不同的只是从决策相同的对象中尝试所有的属性值的可能情况,而不是根据信息表中所有对象进行尝试。条件组合完整化方法能够在一定程度上减小组合完整化方法的代价。在信息表包含不完整数据较多的情况下,可能的测试方案将巨增。

    (8)回归(Regression

    基于完整的数据集,建立回归方程(模型)。对于包含空值的对象,将已知属性值代入方程来估计未知属性值,以此估计值来进行填充。当变量不是线性相关或预测变量高度相关时会导致有偏差的估计。

    (9)期望值最大化方法(Expectation maximizationEM

    在缺失类型为随机缺失的条件下,假设模型对于完整的样本是正确的,那么通过观测数据的边际分布可以对未知参数进行极大似然估计(Little and Rubin)。这种方法也被称为忽略缺失值的极大似然估计,对于极大似然的参数估计实际中常采用的计算方法是期望值最大化(Expectation Maximization,EM)。该方法比删除个案和单值插补更有吸引力,它一个重要前提:适用于大样本。有效样本的数量足够以保证ML估计值是渐近无偏的并服从正态分布。但是这种方法可能会陷入局部极值,收敛速度也不是很快,并且计算很复杂。

    EM算法是一种在不完全数据情况下计算极大似然估计或者后验分布的迭代算法。在每一迭代循环过程中交替执行两个步骤:E步(Excepctaion step,期望步),在给定完全数据和前一次迭代所得到的参数估计的情况下计算完全数据对应的对数似然函数的条件期望;M步(Maximzation step,极大化步),用极大化对数似然函数以确定参数的值,并用于下步的迭代。算法在E步和M步之间不断迭代直至收敛,即两次迭代之间的参数变化小于一个预先给定的阈值时结束。该方法可能会陷入局部极值,收敛速度也不是很快,并且计算很复杂。

    (10)多重填补(Multiple ImputationMI

    多值插补的思想来源于贝叶斯估计,认为待插补的值是随机的,它的值来自于已观测到的值。具体实践上通常是估计出待插补的值,然后再加上不同的噪声,形成多组可选插补值。根据某种选择依据,选取最合适的插补值。

    多重填补方法分为三个步骤:;为每个空值产生一套可能的填补值,这些值反映了无响应模型的不确定性;每个值都被用来填补数据集中的缺失值,产生若干个完整数据集合。;每个填补数据集合都用针对完整数据集的统计方法进行统计分析。;对来自各个填补数据集的结果进行综合,产生最终的统计推断,这一推断考虑到了由于数据填补而产生的不确定性。该方法将空缺值视为随机样本,这样计算出来的统计推断可能受到空缺值的不确定性的影响。该方法的计算也很复杂。

    多重插补方法分为三个步骤:①为每个空值产生一套可能的插补值,这些值反映了无响应模型的不确定性;每个值都可以被用来插补数据集中的缺失值,产生若干个完整数据集合。②每个插补数据集合都用针对完整数据集的统计方法进行统计分析。③对来自各个插补数据集的结果,根据评分函数进行选择,产生最终的插补值。

    假设一组数据,包括三个变量Y1,Y2,Y3,它们的联合分布为正态分布,将这组数据处理成三组,A组保持原始数据,B组仅缺失Y3,C组缺失Y1和Y2。在多值插补时,对A组将不进行任何处理,对B组产生Y3的一组估计值(作Y3关于Y1,Y2的回归),对C组作产生Y1和Y2的一组成对估计值(作Y1,Y2关于Y3的回归)。

    当用多值插补时,对A组将不进行处理,对B、C组将完整的样本随机抽取形成为m组(m为可选择的m组插补值),每组个案数只要能够有效估计参数就可以了。对存在缺失值的属性的分布作出估计,然后基于这m组观测值,对于这m组样本分别产生关于参数的m组估计值,给出相应的预测即,这时采用的估计方法为极大似然法,在计算机中具体的实现算法为期望最大化法(EM)。对B组估计出一组Y3的值,对C将利用 Y1,Y2,Y3它们的联合分布为正态分布这一前提,估计出一组(Y1,Y2)。

    上例中假定了Y1,Y2,Y3的联合分布为正态分布。这个假设是人为的,但是已经通过验证(Graham和Schafer于1999),非正态联合分布的变量,在这个假定下仍然可以估计到很接近真实值的结果。

    多重插补和贝叶斯估计的思想是一致的,但是多重插补弥补了贝叶斯估计的几个不足:

    (1)贝叶斯估计以极大似然的方法估计,极大似然的方法要求模型的形式必须准确,如果参数形式不正确,将得到错误得结论,即先验分布将影响后验分布的准确性。而多重插补所依据的是大样本渐近完整的数据的理论,在数据挖掘中的数据量都很大,先验分布将极小的影响结果,所以先验分布的对结果的影响不大。

    (2)贝叶斯估计仅要求知道未知参数的先验分布,没有利用与参数的关系。而多重插补对参数的联合分布作出了估计,利用了参数间的相互关系。

    (11) C4.5方法

    通过寻找属性间的关系来对遗失值填充。它寻找之间具有最大相关性的两个属性,其中没有遗失值的一个称为代理属性,另一个称为原始属性,用代理属性决定原始属性中的遗失值。这种基于规则归纳的方法只能处理基数较小的名词型属性。

    (三)不处理

    补齐处理只是将未知值补以我们的主观估计值,不一定完全符合客观事实,在对不完备信息进行补齐处理的同时,我们或多或少地改变了原始的信息系统。而且,对空值不正确的填充往往将新的噪声引入数据中,使挖掘任务产生错误的结果。因此,在许多情况下,我们还是希望在保持原始信息不发生变化的前提下对信息系统进行处理。这就是第三种方法:

    直接在包含空值的数据上进行数据挖掘。这类方法包括贝叶斯网络和人工神经网络等。

    贝叶斯网络是用来表示变量间连接概率的图形模式,它提供了一种自然的表示因果信息的方法,用来发现数据间的潜在关系。在这个网络中,用节点表示变量,有向边表示变量间的依赖关系。贝叶斯网络仅适合于对领域知识具有一定了解的情况,至少对变量间的依赖关系较清楚的情况。否则直接从数据中学习贝叶斯网的结构不但复杂性较高(随着变量的增加,指数级增加),网络维护代价昂贵,而且它的估计参数较多,为系统带来了高方差,影响了它的预测精度。当在任何一个对象中的缺失值数量很大时,存在指数爆炸的危险。

    人工神经网络可以有效的对付空值,但人工神经网络在这方面的研究还有待进一步深入展开。人工神经网络方法在数据挖掘应用中的局限性

    缺失值填充方法总结分析:

    就几种基于统计的方法而言,删除元组法和平均值法差于hot deck、EM和MI;回归是比较好的一种方法,但仍比不上hot deck和EM;EM缺少MI包含的不确定成分。值得注意的是,这些方法直接处理的是模型参数的估计而不是空缺值预测本身。它们合适于处理无监督学习的问题,而对有监督学习来说,情况就不尽相同了。譬如,你可以删除包含空值的对象用完整的数据集来进行训练,但预测时你却不能忽略包含空值的对象。另外,C4.5和使用所有可能的值填充方法也有较好的补齐效果,人工填写和特殊值填充则是一般不推荐使用的。

    大多数数据挖掘系统都是在数据挖掘之前的数据预处理阶段采用第一、第二类方法来对空缺数据进行处理。并不存在一种处理空值的方法可以适合于任何问题。无论哪种方式填充,都无法避免主观因素对原系统的影响,并且在空值过多的情形下将系统完备化是不可行的。从理论上来说,贝叶斯考虑了一切,但是只有当数据集较小或满足某些条件(如多元正态分布)时完全贝叶斯分析才是可行的。而现阶段人工神经网络方法在数据挖掘中的应用仍很有限。值得一提的是,采用不精确信息处理数据的不完备性已得到了广泛的研究。不完备数据的表达方法所依据的理论主要有可信度理论、概率论、模糊集合论、可能性理论,D-S的证据理论等。

    二:数据平滑处理

    在实际应用中,由于数据质量参差不齐对于数据挖掘工作的影响不能够忽略不计,往往70%-80%左右的时间都需要花在数据准备的阶段里面,上面的部分简单介绍和总结了一下常用的缺失值处理方法,这部分介绍一下常用的数据平滑处理方法。

    数据平滑最根本的目的就是:降低高概率,提高低概率。

    常用的数据平滑处理方法包括:拉普拉斯数据平滑(Laplace Smoothing)、古德-图灵(Good-Turing)平滑和简单移动平均平滑。

    (一)拉普拉斯数据平滑

    拉普拉斯平滑(Laplace Smoothing)又被称为加 1 平滑,是比较常用的平滑方法。平滑方法的存在时为了解决零概率问题。所谓零概率问题,就是在计算新实例的概率时,如果某个分量在训练集中从没出现过,会导致整个实例的概率计算结果为0,。针对文本分类问题就是当一个词语在训练集中没有出现过,那么该词语的概率就为0,使用连乘法计算文本出现的概率时,整个文本出现的概率也为0,这显然是不合理的,因为不能因为一个事件没有观测到就判断该事件的概率为0.

    拉普拉斯计算方法总结:分子加1,分母加K,K代表类别数目

    (二)古德-图灵(Good-Turing)平滑

    在统计语言模型章节中,我们谈到了N元语法模型不可避免的一个问题,就是数据稀疏,其原因是大规模语料统计与有限语料的矛盾。根据齐普夫(Zipf)法则,我们能够推测知零概率问题不可避免。数据稀疏问题的解决办法就是进行平滑处理。平滑处理的算法有很多,本文将介绍众多算法中的佼佼者:古德-图灵(Good-Turing)平滑算法。

    古德-图灵(Good-Turing)估计法是很多平滑技术的核心,于1953年有古德(I.J.Good)引用图灵(Turing)的方法而提出来的。其基本思想是:利用频率的类别信息来平滑频率。对于任何发生r次数的n元语法,都假设它发生了r*次。

    其中,nr是训练语料中正好发生r次的N元组的个数。也就是说,发生r次的N元组的调整由发生r次的N元组与发生r+1次的N元组两个类别共同决定。统计数为r*次的N元组,其概率为:

    我们注意到: 也就是说,N等于这个分布中最初的统计。那样,样本中所有事件的概率之和为

    因此,可以这样说我们把你n1/N的概率剩量分配给未见事件。为了更好地理解古德-图灵(Good-Turing)估计法,以一个例子来讲解。

    训练集合:T={<s>what is it what is small?}|T|=8

    验证集合:V={what is it small ? <s> flying birds are a bird.}, |V|=12

    在训练集合上,我们得到:p(<s>)=p(it)=p(small)=p(?)=0.125, p(what)=p(is)=0.25,其他为0

    如果不经过平滑处理,则验证集上两句子的概率分别为:p(what is it?)=(0.25*2)*(0.125*2)≈0.001  p(it is flying.)=0.125*0.25*(0*2)=0

    现在用古德-图灵算法进行平滑处理,如下:

    首先计算,各发生r次N元组类别的数目,依次为 N(0)=6,N(1)=4,N(2)=2,N(i)=0 ,i>2:

    其次,重新估计各概率值。

    对于发生0次的事件概率:Pr(.)=p(flying)=p(birds)=p(are)=p(bird)=p(a)= (0+1)*N(0+1)/(8*N(0))=1*4/(8*6)≈0.083

    对于发生1次的时间概率:Pr(it)=p(<s>)=p(small)=p(?)=(1+1)*N(1+1)/(8*N(1))=2*2 /(8*4)=0.125

    对于发生两次的时间概率:Pr(what)=Pr(is)=(2+1)*N(2+1)/(8*N(2))=3*0/(8*2)=0: 保持原值0.25

    归一化处理,6*P0+4*P1+2*P2=1.5。.

    所以,归一化处理后,p’(it)=p’(<s>)=p’ (small)=p’(?)= 0.125/1.5 ≈0.08,  p’(what)=p’(is)= 0.25/1.5 ≈0.17, 

    p’(.)=p’(birds)=p’(are)=p’(bird)=p’(a) = 0.083/1.5  ≈0.06

    因此:p’(what is it?)=(0175*2)*(0.08*2)≈0.0002   p’(it is flying.) ≈ 0.08*0.17*(0.06*2)≈0.00004

    (三)简单移动平均平滑

    简单移动平均平滑是计算与等权重的指示函数的卷积,也可以不等权重.

    数据平滑示意图如下图所示:

        其中,蓝线是原始的数据曲线,绿线是经过数据平滑处理后的曲线。

    1.用ones函数创建一个元素均为1的数组,然后对整个数组除以N,得到等权重.

    2.使用权值,调用convolve函数.

    3.从convolve函数分安徽的数组中取出中间的长度为N的部分(即两者作卷积运算时完全重叠的区域.)

    4.使用matplotlib绘图

    二:常见概率分布

        概率基础是机器学习、深度学习等众多智能领域的核心基础,了解常用的一些概率分布对于了解模型内在的工作机理是很有帮助的。

    (一)长尾效应

    长尾分布,或者说长尾理论是一个与互联网发展分不开的概念。说到这里就不得不先提一下传统商业中的帕累托法则(Pareto principle),又称为二八定律。比如80%的财富集中在20%的人手里,图书馆里20%的书可以满足80%的顾客。于是大家往往只关注在PDF图中最左面的20%的顾客,以期满足80%,如下图绿色的部分,来实现效益的最大化。

    根据维基百科,长尾(The Long Tail)这一概念是由“连线”杂志主编克里斯·安德森(Chris Anderson)在2004年十月的“长尾” 一文中最早提出,用来描述诸如亚马逊和Netflix之类网站的商业和经济模式。“长尾”实际上是统计学中幂律(Power Laws)和帕累托分布(Pareto)特征的一个口语化表达。简单的长尾分布如下图所示:

        举例说明:卖一辆大众汽车利润只有几万元,卖一辆兰博基尼利润则达到几十万,翻了几十倍!然而买大众汽车的人却比买兰博基尼的人多百倍、千倍!这样一来,大众的成功便不难解释了。

    Google和阿里巴巴的成功,也在于他们找到了一条长尾,把许许多多的小市场拼合在一起,成就了一个大市场。阿里巴巴从那些不被其他商家关注的中小企业、小微企业入手,把网下的贸易搬到了网上,以较低的门槛吸引他们在网上展开贸易,而这些处于长尾的小微企业,也通过阿里巴巴找到了更多的机会和财富,这些长长的尾巴聚集起来,也就铸造了阿里巴巴的成功,铺就了马云的财富金路。

    产品的“二八”市场呈现“长尾”分布,二者对比如下:

    长尾理论是蓝海战略的延续,长尾理论的基本原理是聚沙成塔,创造市场规模。 长尾价值重构目的是满足个性需求,通过创意和网络,提供一些更具价值内容,更个性化的东西,二者对比如下:

    (二)肥尾分布(Fat-tailed distribution

    从建模的角度来看,肥尾分布就是针对那些罕见事件虽然发生的概率低,但也必须要考虑到的情况。比如一个保险公司考虑灾害的发生和保险的定价,那么像自然灾害这种情况,如果不考虑的话就可能面临真的发生时要赔很多的情况。因为正如肥尾分布的名字所体现的,即使在远离峰值的远端,那些罕见事件还是有相当的概率会发生的。虽然我们常常用正态分布对很多时间进行建模,但当一个事件的本质是肥尾分布而我们误用了正态分布或指数分布时,就存在着对“小概率事件真的发生”这种危险的低估。据说美国股市历史上的黑色星期五,千禧年的互联网泡沫破灭,以及2008年前后的金融危机都是这种错误的真实案例(来源:Wikipedia, Fat-tailed distribution)。

    肥尾分布的数学定义为:

    limx→∞Pr[X>x]∼x−α,α>0

    也就是说,在 x较大的地方,肥尾分布趋于0的速度是明显慢于指数分布和正态分布的。柯西分布(Cauchy distribution)就是一类有名的肥尾分布。关于柯西分布,有几个有趣的性质,首先它是稳定的(stable),也有着显式的PDF和CDF,但是它的均值和方差确是无法定义的(undefined)。于是中心极限定理在这里就不适用了。如果试着做一下仿真,我们也可以发现,随着实验次数的增大,样本的均值并不会逐渐收敛到某个值上,而出现这种情况的原因就是时不时出现的“异常大值”会明显改变样本的均值。

    (三)重尾分布(Heavy-tailed distribution

    指数分布在 x→∞的时候是以指数的速度趋近于0,那么以指数分布为分界线,我们把 x→∞时下降速度更快的称为 Thin-tailed distribution,比如正态分布。也就是说,在远离峰值的尾部区域,时间发生的概率更低一些。所以正态分布用来对那些主流事件发生较多,非主流事件发生较少的情况进行建模更为合适。与此相对的,把 x→∞时下降速度慢于指数分布的成为重尾分布(Heavy-tailed distribution)。其数学定义为:

    limx→∞eλxF¯(x)=∞,for all λ>0

    其中,F¯(x)≡Pr(X>x)F¯(x)≡Pr(X>x) 是所谓的尾分布函数。

    重尾分布更适用于对那些离峰值较远的稀有事件也会有相当的概率发生的情况。重尾分布作为一个大的类别,还包含三个重要的子类别,分别是肥尾分布(Fat-tailed distribution),长尾分布(Long-tailed distribution)和次指数分布(Subexponential distribution)。

    (四)随机游走(Random walk

    所谓随机游走,是统计学中一个很广泛的概念,包含了很多内容。我没能找到一个统一的数学模型来描述随机游走,但大意就是在任意维度的空间里,一个点随机地向任意方向前进随机长度的距离,然后重复这一步骤的过程。有一个有名的醉汉回家问题就是一个典型的一维随机游走的问题。

    Lévy flight 是随即游走的一种,它的每一步方向完全随机而各向同性,但步长的分布是重尾分布(heavy-tailed)。Brownian motion(好像)也算是随即游走的一种,它的步长的分布取正态分布。下面两张图来自Wikipedia,分别描述了1000次的基于柯西分布的 Lévy flight (左)和基于正态分布的Brownian motion(右)。

    从这张图上也可以比较明显地看出 Lévy flight 出现大跨步的频率确实要比 Brownian motion 要多一些。已经有相当多的研究表明很多动物的移动模式可以用 Lévy flight 来描述。而近些年通过对人类的移动数据(通话记录、出租车等)的挖掘,我们惊奇地发现人类的移动模式也和 Lévy flight 高度吻合。也就是说,虽然我们每个人急功近利地去追求自己的目标,但在宏观的尺度上,我们和山里的猴子没什么区别。

    (五)连续型随机分布

    统计学中连续型随机分布主要包括:正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、Gamma分布、瑞利分布和韦伯分布。

    1)正态分布(Normal Distribution

    正态分布应该是实际使用中,接触最多,也是假设或者使用最多的一种连续型数据分布形态了,通常又称为高斯分布。

    2)均匀分布(Uniform Distribution

        均匀分布应该是最简单的一种概率分布函数了,概率分布函数f(x)曲线如下图所示:

    X落在(a,b)中任意等长度的子区间内的概率都是相同的,即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度,而与子区间的位置无关。

       常见应用情形:

       1、在数值计算中,由于四舍五入,小数点后某一位小数引入的误差;

       2、公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间,即:乘客的候车时间。(等等)

    3)指数分布(Exponential Distribution

        指数分布的使用也是很广泛的,在实际的应用中,往往采用指数分来来对时间特性进行描述。

    常见应用情形:

    主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多“寿命”都可以用指数分布来进行描述。如:电子元件的寿命、动物的寿命、电话的童话时间、服务系统地服务时间等。

    4)对数分布(Log Distribution

    如果一个随机变量的对数服从正态分布,那么就称该随机变量服从于对数正态分布。

    常见应用情形:

    金融保险业、投资收益计算等。

    5)柯西分布(Cauchy Distribution

    柯西分布被称为是正态分布的孪生兄弟,它和正态分布的曲线是极为相似的也是很容易混淆的。

    常见应用情形:

    主要应用于物理学中,是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中,它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线的形状。

    6Gamma分布

    Gamma分布又称为伽马分布,多用于描述随机事件的发生时间间隔。

    常见应用情形:

    用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等待的时间。

    7)瑞利分布(Rayleigh Distribution

    当一个随二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布。

    常见应用情形:

    常用与描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。

    8)韦伯分布(Weibull Distribution

    韦氏分布或者威布尔分布,是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

    常见应用情形:

    可靠性和失效分析、极值理论。

    (六)离散型随机分布

          统计学中的常用离散型随机分布主要包括:二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布。

    1)二项分布(Bernoulli Distribution

    2)负二项分布(Negative Bernoulli Distribution

    2)几何分布(Geometric Distribution

    3)超几何分布(Geometric Distribution

    4)泊松分布(Poisson Distribution

    (七)三大抽样分布

          统计学中包含的三大抽样分布分别为:卡方分布、F分布和t分布。

    1)卡方分布

    2F分布

    2t分布

    分布之间的关系:

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