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  • 常用微分方程

    2020-05-02 21:02:11
    常用微分方程,可快去查阅使用 欧拉型常微分方程 下面这个是已知一个解,求另一个解

    常用的微分方程,可快去查阅使用
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    欧拉型常微分方程
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    下面这个是已知一个解,求另一个解在这里插入图片描述

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  • Matlab常用微分方程模型07 常用微分方程模型1Matlab 求解微分方程1.1 求微分方程通解调用格式:y=dsolve(‘微分方程’,’x’)1.2 求满足初始条件的微分方程特解调用格式为:y=dsolve(‘微分方程’,’初始条件’,’x...

    Matlab常用微分方程模型

    07 常用微分方程模型

    1Matlab 求解微分方程

    1.1 求微分方程通解

    调用格式:y=dsolve(‘微分方程’,’x’)

    1.2 求满足初始条件的微分方程特解

    调用格式为:y=dsolve(‘微分方程’,’初始条件’,’x’)

    1.3 求解微分方程组通解,此时默认变量为 t

    调用格式为:[x,y]=dsolve(‘微分方程 1’,‘微分方程 2’)

    1.4 求满足初始条件的微分方程组的解,此时默认变量为 t

    调用格式为:[x,y]=dsolve(‘微分方程 1’,‘微分方程 2’,‘初始条件 1’,‘初始条件 2’)

    例 1求二阶微分方程的解

    y' ' ? cos? y, y(0) ? 0

    【matlab 命令】

    y=dsolve('D2y=cos(x)-y','y(0)=0','x'); [y,how]=simple(y)

    【输出结果】

    y =

    1/2*sin(x)*(2*C2+x)

    how =

    simplify

    例 2求微分方程组的解

    ? f ' ?

    ?

    f ? g

    ? g' ?

    ?

    f ? g

    ? f (0) ? 0

    ?? g(0) ? 1

    [f,g]=dsolve('Df=f+g','Dg=f-g','f(0)=0','g(0)=1'); [f,how]=simple(f)

    [g,how]=simple(g)

    【输出结果】

    f =

    1/4*2^(1/2)*(exp(2^(1/2)*t)-exp(-2^(1/2)*t))

    how =

    simplify

    g =

    1/2*exp(2^(1/2)*t)+1/2/exp(2^(1/2)*t)-1/4*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/4*2^(1/2)/exp(2^(1/2)*t)

    how =

    expand

    例 3对于引例中的衰变模型,其微分方程模型是:

    ? dR

    ?

    ? dt

    ? ?kR ,

    用 matlab 求镭质量的变化规律.

    【matlab 命令】

    R=dsolve('DR=-k*R','R(t0)=R0','t'); R=simplify(R)

    【输出结果】

    R =

    R0*exp(-k*(-t0+t))

    ??R |t ?t 0 ? R0

    例 4对于引例中的冷却模型,其微分方程模型是:

    ? dT

    用 matlab 求解.

    ? dt

    ?

    ?

    ?

    ?

    ? ?k (T ? 20)

    T (0) ? 100,

    T (20) ? 60

    T=dsolve('DT=-k*(T-20)','T(0)=100','t')

    【输出结果】

    T =

    20+80*exp(-k*t)

    上述结果表示瓶内水温的变化规律:T ? 20 ? 80e ? kt . 由条件T (20) ? 60 ,求出 k 的值.

    【matlab 命令】

    syms k T=60; t=20;

    s=-T+20+80*exp(-k*t);

    k=solve(s)

    vpa(k,6)

    【输出结果】

    .346574e-1

    2习题

    1.解微分方程

    dy

    (1)? xy 2 ? y

    ? dy

    ?

    ? dx

    ? xy 2 ?

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  • 第03讲 一阶线性常微分方程解法Linear First Order ODE's: Definition and Examples[微分方程][MIT]麻省理工公开课 (3)​v.youku.com一阶线性微分方程这一讲的主要内容是一阶线性常微分方程 。所谓的“线性”是指导...

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    第03讲 一阶线性常微分方程解法

    Linear First Order ODE's: Definition and Examples

    [微分方程][MIT]麻省理工公开课 (3)v.youku.com
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    • 一阶线性微分方程

    这一讲的主要内容是一阶线性常微分方程

    。所谓的“线性”是指导函数y¢和解函数y之间呈线性关系,可以类比线性方程
    。如果
    c=0,则称为齐次方程。

    一阶线性常微分方程的标准线性形式为

    ,这一表达式突出了“线性”。还有一种常用写法是
    ,这以表达式只突出了“一阶”,两者在
    p(x)的符号上有差异,要注意分别,弄错了会完全搞错解函数的性质。Mattuck教授只使用第一种形式。

    一阶线性常微分方程之所以重要,一方面是它总是可解的,而另一方面则是它在建模中应用广泛。

    • 数学模型

    几种重要的微分方程模型:

    温度—浓度模型

    混合模型

    放射性衰变模型

    银行利率模型

    运动模型

    下面介绍“温度—浓度模型”,它又可以称为“传导—扩散模型”,其内涵都是相同的,只是应用领域有差异,传导是针对温度变化,而扩散是对应浓度变化。

    传导模型:在液体池内部悬浮一个金属块,其外壁部分隔热。金属块的温度T与液体的温度Te并不相等,温度变化符合“牛顿冷却定律”

    ,其中热导常数
    ,初值为

    扩散模型:在盐水池内部有一内部空间,其中盐浓度C与外部盐浓度Ce有所差异,两者之间有半透膜可以完成盐分的扩散过程,扩散方程为扩散率等于常数乘以浓度差,

    将传导模型写成标准格式为

    。而更一般形式的方程是导热常数
    k和外部温度都可以随着时间改变。
    • 解微分方程

    微分方程

    ,方程可以用积分因子法求解。将积分因子u(x)乘到微分方程两侧得到
    。若左侧是某个函数的导函数,则将方程两侧同时对
    x积分就可以得到解函数,因此努力将等式左侧拼凑成导数的形式。注意到等式左侧第一项就是两函数之乘积uy的导函数的第一项
    ,因此很容易想到
    可以凑成
    ,只要
    就行了。可得
    ,即
    。当然这个积分因子不止一个,但是只要求出一个就可以了,因此不用在积分上添加常数项。

    小结:微分方程

    (0) 写成如上式的标准形式,这样可以避免p(x)带符号因其的计算错误。

    (1) 计算积分因子

    (2) 将方程两侧同时乘以积分因子

    (不要忘记右侧也要乘)。

    (3) 对等式两侧积分。

    例1

    (0) 写标准形式

    (1) 计算积分因子

    (2) 将方程两侧同时乘以积分因子

    (3) 对等式

    两侧积分得到
    。得到

    例2

    (0) 写标准形式

    (1) 计算积分因子

    ,因此

    (2) 将方程两侧同时乘以积分因子

    (呵呵,这就是原方程)。

    (3) 对等式

    两侧积分得到
    。得到

    如果给定了微分方程的初值条件为

    ,则将
    x=0代入上面的解析式求出常数C。得到解函数为
    • 线性常系数微分方程

    传导模型

    。积分因子为
    。方程两边同时乘以积分因子得到
    。两侧积分可得到
    。得到:

    最好写成定积分的形式

    。若初值条件为
    ,则有
    。因为
    ,所以
    随时间变化趋向于0,解函数的前半部分就是所谓的“稳态解”,在
    t趋近于无穷时候,稳态解表示了T 的状态;而后一项
    则是暂态解,在
    t趋近于无穷的时候会消失。这告诉我们,从长远来看,初值对于最终的结果没有影响。
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  • Matlab偏微分方程的数值解法常用程序-偏微分方程的数值解法_程序.rar 包括解决一些解偏微分方程常用程序,希望对大家有用,欢迎下载!!:)
  • 常用的偏微分方程

    万次阅读 2019-02-02 12:32:59
    微分方程通常包含两个以上的自变量。若自变量同时间相关(或者无关),称其为发展型(或者稳态)的。下面,我们罗列出一些典型的偏微分方程,如:热传导方程、一阶双曲守恒律方程、二阶波动方程、椭圆型偏微分方程...

    偏微分方程通常包含两个以上的自变量。若自变量同时间相关(或者无关),称其为发展型(或者稳态)的。下面,我们罗列出一些典型的偏微分方程,如:热传导方程、一阶双曲守恒律方程、二阶波动方程、椭圆型偏微分方程等。

    • 抛物型偏微分方程通常刻画⼀个物理系统的扩散现象。典型的模型方程是热传导方程ut=Δuuxx+uyy+uzz,u_t=\Delta u\equiv u_{xx}+u_{yy}+u_{zz},该式描述了在各向同性介质中热量的理想传播现象。
    • 双曲型偏微分方程刻画了一个物理系统中的流动现象。
      一阶双曲守恒律方程ut+f(u)x=0u_t+f(u)_x=0描述了一个物理系统中的单向流动现象,例如水流、气流或者交通流等现象。当f(u)=auf(u)=au时,其中aa是给定的常数,相应的双曲守恒律方程也称为对流方程。
      二阶波动方程utt=Δu,u_{tt}=\Delta u, 描述了在各向同性介质中声波的传播现象,不是单向流动。该方程也称为声波方程。
    • 椭圆型偏微分方程是⼀个典型的稳态偏微分方程。它可以广泛地用于一个物理系统中的静力分析。
      二阶 Poisson 方程Δu=f\Delta u=f常见于静电学、机械工程和理论物理中。当 f=0f = 0 时,它称为 Laplace 方程,在数学理论研究中也具有非常重要的地位。例如,调和分析中的 Cauchy-Riemann 方程就是 Laplace 方程。
      四阶双调和方程ΔΔu=f\Delta\Delta u = f常见于连续介质力学,描述了先行塑性材料的扭曲变形规律。
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  • 博主在这段时间将不断更新有限差分法在偏微分方程中的应用,并以python为工具讲解三类偏微分方程的有限差分法实现。 直通链接: ... 未完待续 有限差分法的引入与介绍 ========== 微分方程(model)是描述现实...
  • 注:本文是刘然对常微分方程模型的简介什么是常微分方程模型常用的回归分析聚焦于直接建立响应变量和协变量之间的关系,之后根据建立的模型进行分析和预测,比如常见的线性回归模型:。而如果我们感兴趣的变量是随...
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  • 微分方程解法总结

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  • 它包括以下程序:Euler 方法、改进或修改的 Euler 方法和 Runge-Krutta 方法。 RK 方法包括一阶(欧拉法)、二阶... *图片由 Dennis Zill 和 Michael Cullen 在他们的书中提供:具有边界值问题的微分方程(第 7 版)*
  • 这是上海某大学的计算机仿真课作业,共享了~
  • 大三时候在跳蚤市场闲逛,从一位数学院的学长那里买了一些闲书,最近翻出来刚好有李荣华、刘播老师的《微分方程数值解法》和王仁宏老师的《数值逼近》,结合周善贵老师的《计算物理》课程,整理一下笔记。...
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  • 微分方程

    2020-08-28 21:16:48
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  • 微分方程 笔记

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    微分方程 笔记 概述 定义 自变量唯一的微分方程 阶 定义:微分方程未知函数的最高阶导数或微分的阶数 一般形式:F(x,y,dydx,…,dnydxn)=0F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n})=0F(x,y,dxdy​,…,...
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  • 常用的常微分方程模型,涉及多个领域,其中包括算法和论文。有matlab程序文件和C语言编写的程序。
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  • 摘要:本文主要通过了解常微分方程有关概念,认识龙格-库塔(Runge-Kutta)方法求解常微分方程的设计思想;运用标准的四阶龙格-库塔法,对数学上以及现实中的微分方程初值问题进行数值求解,并利用数学软件编程进行...

空空如也

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常用微分方程