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  • 连续型变量 如:正态分布 离散型变量 如:二项分布、泊松分布 三者之间的关系 二项分布(Binomial distribution) 二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布,记作。伯努利试验是...

    变量类型:

    1. 连续型变量         如:指数分布、正态分布
    2. 离散型变量         如:二项分布、泊松分布

    三者之间的关系

    二项分布(Binomial distribution)

    二项分布(Binomial distribution)n重伯努利试验成功次数的离散概率分布,记作B(n,\pi )伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验。

    伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如,抛一次硬币是正面向上吗?刚出生的小孩是个女孩吗?等等

    • 如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
    • 进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(0<=p<=1),失败(X=0)概率为1-p,则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布,伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布。

    二项分布的三个特点:

    • 每次实验结果,只能是两个互斥的结果之一。
    • 各次实验独立,各次的实验结果互不影响。。
    • 相同的实验条件下,每次实验中事件A的发生具有相同的概率\pi

    二项分布的概率函数P(X)可用公式

    P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}

    其中,C_{n}^{X}=\frac{n!}{X!(n-X)!}

    对于任何二项分布,总有\sum_{X=0}^{n}P(X)=1

    例1.如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中恰好有10人感染钩虫的概率有多大?

    分析: 
    (1)钩虫感染只有两个互斥的结果,即感染与非感染;
    (2)每个人被钩虫感染的概率相同;
    (3)人与人之间钩虫感染可假设为相互独立的,所以感染钩虫的人数 X 可认为服从 n = 150,π = 0.13的二项分布。

    P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}

    P(X=10)=\frac{150!}{10!(150-10)!}\times (0.13^{10}\times 0.87^{(150-10)})=0.0055

    二项分布的特征

    • n,\pi是二项分布的两个参数,所以二项分布的形状取决于n,\pi(阳性率)。
    • \pi =0.5时分布对称,近似对称分布。
    • \pi ≠0.5时,分布呈偏态,特别是 n 较小时,\pi 偏离0.5越远,分布的对称性越差,但只要不接近1和0时,随着n的增大,分布逐渐逼近正态。
    • \pi1-\pi 不太小,而 n足够大,通常 n\pin(1-\pi )大于或等于5,我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。

    二项分布的正态近似

    • 根据中心极限定理,在n较大,n\pin(1-\pi )均大于或等于5时,二项分布接近与正态分布。
    • n无穷大时,二项分布B(n,\pi)的极限分布是总体均数为\mu =n\pi,总体标准差为\sigma =\sqrt{n\pi (1-\pi )}的正态分布N(n\pi ,n\pi (1-\pi )),此时可用该正态分布进行估计。

    二项分布的均数和标准差

    对于任何一个二项分布B(n,\pi ),如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为\pi,则在 n 次独立重复实验中:

    1、出现  X 次阳性结果

    总体均数(出现阳性结果的次数X的均值):\mu_{X} =n\pi

    标准差(出现阳性结果的次数X的标准差):\sigma_{X} =\sqrt{n\pi (1-\pi )}

    2、阳性结果的频率记做为P=\frac{X}{n}

    P的总体均数(出现阳性结果频率P的均值):\mu_{P} =\pi

    标准差(出现阳性结果频率P的标准差):\sigma_{P} =\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}}

    \sigma_{P}是频率P的标准误,反映阳性频率的抽样误差的大小。

    泊松分布(Poisson distribution)

    泊松分布是二项分布在阳性率特别小时的一种情形,用于描述单位时间、空间、面积等的罕见事件发生次数的概率分布,如:

    • 每毫升水中的大肠杆菌数
    • 单位时间(如1分钟)内放射性质点数
    • 每1000个新生儿中某出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件出现的例数

    泊松分布的三个特点:

    泊松分布是二项分布当中的一种特殊情况,则泊松分布也遵循二项分布的三个特点:

    • 观察结果相互独立
    • 每次试验只有两个结果
    • 发生的概率\pi不变

    如,人群中传染性疾病首例出现后便成为传染源,会增加后续病例出现的概率,因此病例数的分布不能看作是Poisson分布。

    又如,污染的牛奶中细菌成集落存在,单位容量牛奶中细菌数不能认为服从Poisson分布。 

    泊松分布分布一般记作P(\lambda ),其概率函数为: 

    P(X)=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}

    式中,\lambda=n\pi为Poisson分布的总体均数(\pi表示概率);X 为观察单位内某稀有事件的发生次数;e 为自然对数的底,为常数,约等于2.71828,自然对数的底数e是由一个重要极限给出的:当n趋于无限时,\lim_{n \to +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=e

    泊松定理(泊松分布是二项分布当中的一种特殊情况)

    设随机变量X(X=1,2,3,...)服从二项分布,即P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}。其中,\pi(0<\pi <1)是与n有关的数,且设n\pi =\lambda >0是常数,则有\lim_{X \to \propto }P(X)=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}X=1,2,3,...

    证明:依题设有\pi =\frac{\lambda }{n},代入P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}中,有

    \begin{align}P(X) &=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-X+1)}{X!}(\frac{\lambda }{n})^{X}(1-\frac{\lambda }{n})^{n-X} \\&=\frac{\lambda ^{X}}{X!}[\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}...\cdot \frac{n-X+1}{n}]\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{n}\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{-X} \\&=\frac{\lambda ^{X}}{X!}[1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot(1- \frac{2}{n})...\cdot (1-\frac{X-1}{n})]\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{n}\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{-X} \end{align}

    对于固定的X,有

    \lim_{n \to +\propto }1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot(1- \frac{2}{n})...\cdot (1-\frac{X-1}{n})=1

    \lim_{n \to +\propto }(1-\frac{\lambda }{n}) ^{n}=\lim_{n \to +\propto }(1-\frac{\lambda }{n}) ^{(-\frac{n}{\lambda })\cdot (-\lambda) }=e^{-\lambda }(根据\lim_{n \to +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=e

    \lim_{n \to +\propto }(1-\frac{\lambda }{n}) ^{-X}=1

    所以\lim_{X \to \propto }P(X)=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}X=1,2,3,...

    可见,二项分布的极限分布是泊松分布,当n很大,\pi很小时,可用e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}近似代替C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}(n\pi =\lambda ),一般n\geq 20,\pi \leq 0.05时,可采用上次近似公式代替。

    泊松分布的特征

    • 随着\lambda的增大,Poisson分布逐渐趋于对称分布。
    • \lambda>20时,Poisson分布可视为近似正态分布。

    下图表示出了\lambda对泊松分布的影响,\lambda表示泊松分布的均值。当\lambda变大时,不仅整个分布模式向右移动,数据也更加分散,方差随之变大。

    泊松分布的特性

    • 总体均数与总体方差相等:均为\lambda
    • 可加性:从总体均数分别为\lambda1 和\lambda2 的两个Poisson分布总体中各自随机抽出一份样本,其中稀有事件的发生次数分别为X_{1}X_{2} ,则合计发生数T=X_{1}+X_{2 }也服从Poisson分布,总体均数为\lambda1 +\lambda2 。

    可加性的运用:分5次,每次都是监测5毫升的水样,得到的\lambda都比20小,但是5次\lambda相加的之后形成的\lambda比20大的话,我们就可以10毫升水样当中的细菌数的分布用正态近似法了

    例:某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布,平均为  360个,试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。

    \begin{align} P(X>400) & = 1-P(X\leq 400)\approx 1-\Phi (\frac{400+0.5-360}{\sqrt{360}}) \\ & = 1-\Phi(2.135)=0.0164 \end{align}

    其中,0.5表示连续型校正,表示处理离散型变量,应用到连续型的正态分布的时候,效果更佳的一种修正。

    注意:泊松分布不具备可乘性。

    指数分布

    设随机变量X的分布密度函数为

    f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\leq 0 \end{matrix}\right.

    其中\lambda >0为常数,我们称X服从参数为\lambda的指数分布,记作X\sim E(\lambda ),其相应的分布函数为

    F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x>0 \\ 0,x\leq 0 \end{matrix}\right.

    f(x)F(x)的图形见下图。

    指数分布的特性

    • 总体均数E(X)=\frac{1}{\lambda},总体方差D(X)=\frac{1}{\lambda ^{2}}

    指数分布通常用作各种“寿命”的分布。例如,无线电元件的寿命,动物的寿命等,另外电话问题的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可以认为服从指数分布,因此,它在排队论和可靠性理论等领域中有广泛的应用。

    例、某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量,其概率密度为

    f(x)=\left\{\begin{matrix} k e^{-\frac{x}{100}},x>0\\ 0,x\leq 0 \end{matrix}\right.

    (1)确定常数k

    (2)求寿命超过100小时的概率

    (3)已知该元件已经正常使用200小时,求它至少还能正常使用100小时的概率。

    解:

    (1)由概率密度函数性质2知

    \int_{0}^{+\propto }ke^{-\frac{x}{100}}dx=[-100ke^{-\frac{x}{100}}]|_{0}^{+\propto}=100k=1,得k=0.01

    (2)寿命超过100小时的概率为

    P(X>100)=1-F(100)=1-(1-e^{-0.01\times 100})=e^{-1}\approx 0.3679

    (3)条件概率

    \begin{align} P(X>300|X>200) &=\frac{P(X>300,X>200)}{P(X>200)}\\&=\frac{P(X>300)}{P(X>200)}\\&=\frac{e^{-3}}{e^{-2}}=e^{-1}\approx 0.3679 \end{align}

    由(2),(3)可知,该元件寿命超过100小时的概率等于已使用200小时的条件下至少还能使用100小时的概率,这个性质称为指数分布的“无记忆性”。

    若随机变量X对任意的s>0,t>0都有P(X>s+t|X>s)=P(X>t),则称X的分布具有无记忆性。

    因此,指数分布具有无记忆性,若某元件或动物的寿命服从指数分布,则上式表明,如果已知寿命长于s年,则再“活”t年的概率与s无关,即对过去的s时间没有记忆,也就是说只要在某时刻s仍“活”着,它的剩余寿命的分布和原来的寿命分布相同,所以人们也戏称指数分布是“永远年轻的”。

    正态分布(Normal distribution)

    正态分布的概率密度函数(即纵向的曲线高度)

    f(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{X-\mu }{\sigma })^{2}}-\infty < X< +\infty

    \sigma规定了曲线的形状,\mu反应了其在横轴上的位置不同。

    正态分布的特征

    • 关于x=\mu对称,即正态分布以均数为中心,左右对称。
    • x=\mu处取得概率密度函数的最大值,在x=\mu\pm \sigma处有拐点,表现为 钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。
    • 正态分布有两个参数,即均数\mu和标准差\sigma\mu是位置参数,\sigma是变异度参数(形状参数)。常用N(\mu ,\sigma ^{2})表示均数为\mu,标准差为\sigma的正态分布;用N(0 ,1)表示标准正态分布。
    • 正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于1(也常写作100%)。

    正态方程的积分式(概率分布函数):

    概率分布函数即为正态概率密度曲线下的面积 。

    F(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{X}e^{-\frac{1}{2}(\frac{X-\mu }{\sigma })^{2}}dX

    F(X)为正态变量X的累计分布函数,反映正态曲线下,横轴尺度自-\inftyX的面积,即下侧累计面积。

    标准正态分布

    均数为0,标准差为1的正态分布,这种正态分布称为标准正态分布

    对于任意一个服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})的随机变量,可作如下的标准化变换,也称Z(z-score)变换

    其中,Z=\frac{X-\mu }{\sigma },标准正态分布的概率密度函数:f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}

    标准正态分布方程积分式(概率分布函数):

    \Phi (Z)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{Z}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ

    \Phi (Z)为标准正态变量Z的累计分布函数,反映标准正态曲线下,横轴尺度自-\inftyZ的面积,即下侧累计面积,如下图所示。 

    标准正态分布表

    用查表代替计算必须注意:

    • 表中曲线下面积为-\inftyZ的面积。
    • \mu,\sigmaX已知时,先求出Z值, Z=\frac{X-\mu }{\sigma },再用Z值查表,得所求区间占总面积的比例。
    • \mu\sigma未知时,要用样本均数\overline{X}和样本标准差S来估计Z值,Z=\frac{X-\overline{X} }{S}
    • 曲线下对称于0的区间,面积相等。 
    • 曲线下横轴上的面积为1 (即100% )。

    正态分布是一种对称分布,其对称轴为直线X=\mu,即均数位置。

    理论上:

    • \mu \pm 1\sigma范围内曲线下的面积占总面积的68.27%
    • \mu \pm 1.96\sigma范围内曲线下的面积占总面积的95%
    • \mu \pm 2.58\sigma范围内曲线下的面积占总面积的99% 

    实际上:

    • \overline{X} \pm 1S范围内曲线下的面积占总面积的68.27%
    • \overline{X} \pm 1.96S范围内曲线下的面积占总面积的95%
    • \overline{X} \pm 2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99% 

    实际应用中,我们一般将1.96看似成2,2.58看似成3。

    标准正态分布的\mu=0,\sigma=1,则 

    • \mu \pm 1\sigma相当于区间(­1,1)
    • \mu \pm 1.96\sigma相当于区间(­1.96,1.96)
    • \mu \pm 2.58\sigma相当于区间(­2.58,2.58)
    • 区间(­1,1)的面积:1-2\Phi (-1)=1­-2×0.1587=0.6826=68.26% 
    • 区间(­1.96,1.96)的面积:1-2\Phi (-1.96 )=1­-2×0.0250=0.9500=95.00%
    • 区间(­2.58,2.58)的面积:1-2\Phi (-2.58)=1­-2×0.0049=0.9902=99.02% 

    例: 已知某地1986年120名8岁男童身高均数 \overline{X}=123.02cmS=4.79cm,估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比;(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例;(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围?

    (1)先做标准化转换:

    Z=\frac{X-\overline{X} }{S}=\frac{130-123.02}{4.79}=1.46

    \Phi (-Z)=\Phi (-1.46)=0.0721         根据标准正态分布的对称性

    理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。

    (2)

    Z_{1}=\frac{X_{1}-\overline{X} }{S}=\frac{120-123.02}{4.79}=-0.63      \Phi (Z_{1})=\Phi (-0.63)=0.2643

    Z_{2}=\frac{X_{2}-\overline{X} }{S}=\frac{128-123.02}{4.79}=1.04         \Phi (Z_{2})=1-\Phi (-1.04)=0.8508

    \Phi (Z_{2})-\Phi (Z_{1})=0.8508-0.2643=0.5865

    (3)

    查标准正态分布界值表,标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为­1.28,所以80%的8岁男孩身高值集中在\overline{X} \pm 1.28S区间内,即116.9cm~129.2cm

    正态分布的应用

    制定参考值范围的步骤:

    • 选择足够数量的正常人作为调查对象。
    • 样本含量足够大。
    • 确定取单侧还是取双侧正常值范围。

    有些指标过高过低都是异常的,我们需要制定双侧的正常值范围

    有些指标过低才是异常的,比如肺活量,我们只要制定单侧的正常值范围

    • 选择适当的百分界限。

    在实际操作当中,我们一般将正常人中的5%排除在外,计算95%参考值范围。

    • 选择适当的计算方法。

    正态近似法:适用于正态分布或近似正态分布的资料。

    例1  某地调查120名健康女性血红蛋白,直方图显示,其分布近似于正态分布,得均数为117.4g/L,标准差为10.2g/L  ,试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。

    分析:正常人的血红蛋白过高过低均为异常,要制定双侧正常值范围。

     \overline{X} \pm 1.96S=117.4\pm 1.96\times 10.2 = 97.41\sim 137.39

    该指标的95%医学参考值范围为97.41~137.39(g/L) 

    百分位数法:适用于偏态分布资料。 

    例2 某年某市调查了200例正常成人血铅含量(μg/100g)  如下,试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。

    分析:血铅的分布为偏峰分布,且血铅含量只以过高为异常,要用百分位数法制定单侧上限。

    P_{95}=L+\frac{i}{f_{x}}(n\cdot x \%-\sum f_{L})=38+\frac{5}{7}(200\times 95\%-189)=38.7\mu g /100g

     

     

     

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  • 0. 标准正态分布表常用值 Z-score 是非标准正态分布标准化后的 x即 z=x−μσz=x−μσ 表头的横向表示小数点后第二位,表头的纵向则为整数部分以及小数点后第一位;两者联合作为完整的 x,坐标轴的横轴 ...

    0. 标准正态分布表与常用值


    这里写图片描述

    • Z-score 是非标准正态分布标准化后的 x即 z=xμσz=x−μσ
    • 表头的横向表示小数点后第二位,表头的纵向则为整数部分以及小数点后第一位;两者联合作为完整的 x,坐标轴的横轴
    • 表中的值为图中红色区域的面积,也即 cdf,连续分布的累积概率函数,记为 Φ(x)Φ(x)
    • cdf 的逆,记为 Φ1(x)Φ−1(x),如 Φ1(3/4)Φ−1(3/4),表示 x 取何值时,阴影部分的面积为 0.75,查表可知,x 介于 0.66 和 0.67 之间;

    1. cdf 与 ppf(分位函数)

    from scipy.stats import norm
    • Φ(x)Φ(x) 为 累积概率密度函数,也即 cdf:

      >> from scipy.stats import norm
      >> norm.cdf(0)
      0.5
    • Φ1(x)Φ−1(x),通过 norm(x) 进行计算:

      >> from scipy.stats import norm
      >> norm.ppf(3/4)
      0.6744897501960817

    标准正态分布表

    转载于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9420972.html

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  • 0. 标准正态分布表常用值 Z-score 是非标准正态分布标准化后的 x即z = x − μ σ z = \frac{x-\mu}{\sigma}z=σx−μ​ 表头的横向表示小数点后第二位,表头的纵向则为整数部分以及小数点后第一位;...

    0. 标准正态分布表与常用值

    这里写图片描述

    • Z-score 是非标准正态分布标准化后的 x即 z = x − μ σ z = \frac{x-\mu}{\sigma}z=σx−μ​

    • 表头的横向表示小数点后第二位,表头的纵向则为整数部分以及小数点后第一位;两者联合作为完整的 x,坐标轴的横轴

    • 表中的值为图中红色区域的面积,也即 cdf,连续分布的累积概率函数,记为 Φ ( x ) \Phi(x)Φ(x)

    • cdf 的逆,记为 Φ − 1 ( x ) \Phi^{-1}(x)Φ−1(x),如 Φ − 1 ( 3 / 4 ) \Phi^{-1}(3/4)Φ−1(3/4),表示 x 取何值时,阴影部分的面积为 0.75,查表可知,x 介于 0.67 和 0.68 之间;

      >> from scipy.stats import norm
      >> norm.ppf(3/4)
      0.6744897501960817
      

     

    1. cdf 与 ppf(分位函数)

    from scipy.stats import norm
    

     

    覆盖的概率范围:

    在这里插入图片描述

    >> norm.cdf(1) - norm.cdf(-1)
    0.6826894921370859
    >> norm.cdf(2) - norm.cdf(-2)
    0.9544997361036416
    >> norm.cdf(3) - norm.cdf(-3)
    0.9973002039367398
    

    Φ ( x ) \Phi(x)Φ(x) 为 累积概率密度函数,也即 cdf:

    >> from scipy.stats import norm
    >> norm.cdf(0)
    0.5
    

     

    Φ − 1 ( x ) \Phi^{-1}(x)Φ−1(x),通过 norm(x) 进行计算:

    >> from scipy.stats import norm
    # Q3 分位点;
    >> norm.ppf(3/4)
    0.6744897501960817
    # Q1 分位点
    >> norm.ppf(1/4)
    -0.6744897501960817
    

    标准正态分布表

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  • 本分布是可靠性工程中最常用的分布之一,虽然其概率密度形式较复杂,但可由标准正态分布推出。 设有v个相互独立的随机变量X1,X2,…… Xv,它们服从于标准正态分布N(0,1)。记x2 =X12 + X22 +…Xv2 ,x2读作...
  • 概率分布对视觉数据的建模显然是有用的,例如分类分布和正态分布。然而,其他分布往往并非如此,例如,狄利克雷分布存在总和为1的K个正数,视觉数据通常不采用这种形式。解释如下:当拟合数据的概率模型时,需...

    第3章

    常用概率分布

    第2章介绍了概率运算的抽象规则。为了使用这些规则,还需要定义若干概率分布。概率分布Pr(x)的选择取决于建模数据x的定义域(见表3-1)。
    2017_09_19_114441
    概率分布对视觉数据的建模显然是有用的,例如分类分布和正态分布。然而,其他分布往往并非如此,例如,狄利克雷分布存在总和为1的K个正数,视觉数据通常不采用这种形式。
    解释如下:当拟合数据的概率模型时,需要知道拟合的不确定性。该不确定性用拟合模型参数的概率分布来表示。因此对用于建模的每种分布,另有一个与参数联系的概率分布表(见表3-2)。例如,狄利克雷用来建模分类分布的参数。在这种情况下,狄利克雷的参数将称为超参数。一般来说,超参数决定原分布的参数的概率分布的形状。
    2017_09_19_114609
    在详细阐述分布的参数的关系之前,先浏览一下表3-2中的分布。

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  • 概率统计常用算法课件一常用概率分布计算1概率密度函数 调用格式为 pdf (name , x , 参数列) 或namepdf (x , 参数列)得到相应的概率密度函数值 其中name可以为以下值bino二项分布poiss泊松分布exp指数分布norm...
  • stata中常用的函数,如下: stata中常用概率函数 贝塔分布的概率密度函数 ... 双正态分布:两个相关系数为r的正态分布的联合积累分布 binormal(h,k,r) 自由度为n的积累卡卡方分布 chi2(n,x...
  • 几种常用概率分布表 大数定律及中心极限定理 正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限
  • scipy.stats的norm对象表示正态分布,下说明norm的几个常用函数。 函数名 参数 功能 rvs(loc, scale, size) loc,scale:分布参数μ\muμ和σ\sigmaσ,缺省值分别为0和1,size:产生的随机数个数,缺省值...
  • 本文档包含常用统计分布的概率和百分位数,包括标准正态分布,$ \ chi ^ 2 $,Student的$ t $和$ F $分布,用于统计推断和应用概率问题。 这些表格对于统计专业的学生在考试,测试,作业等中使用特别有用。 变更...
  • ...,ξn,均服从标准正太分布,则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布 其中,参数n为自由度卡方分布卡方检验的例子卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验...
  • 本节包含其他支持信息。 第6.1节包含相关术语的词汇。 第6.2节包含相关文件的参考书目。6.1词汇圆形误差(CE) - 一个精确度数字,表示任意点表示为两个线性...例如正态分布函数或二元正态分布函数。错误表示为...
  • 内容简介: 本书包括了线性代数与概率论两篇.线性代数部分的主要内容有:n阶行列式,矩阵,向量...附录1 标准正态分布函数  附录2 泊松分布(1)  附录3 泊松分布(2)  附录4 排列组合简介  习题答案 
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  • 6.3.5 正态分布的随机数生成算法 6.4 复数运算 6.4.1 简单的复数运算 6.4.2 复数的幂运算 6.4.3 复指数运算 6.4.4 复对数运算 6.4.5 复正弦运算 6.4.6 复余弦运算 6.5 阶乘 6.5.1 使用循环来计算阶乘 6.5.2 使用递...
  • 3.2.1 正态分布概率密度函数. 56 3.2.2 正态分布的特征. 57 3.2.3 标准正态分布 58 3.2.4 基于正态分布的三大分布. 61 3.3 中心极限定理 . 63 3.3.1 中心极限定理的提法. 63 3.3.2 中心极限定理的内容. 64 3.3.3 ...
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    2018-01-30 10:03:07
    目 录 第1章SPSS 10.0概述 导言 1.1 SPSS 10.0的特点 1.2 SPSS 10.0对环境的要求 ...15.14 正态概率单位分布图(Normal Q-Q Plots) 15.15 普通序列图(Sequence Charts) 15.16 时间序列图(Time Series Charts) 思考
  • 在SAS系统中,除了可以使用MEANS过程执行描述性统计分析外,也...常用统计图形的绘制,包括直方图、概率分布累积图和Q-Q图等。数据的正态性检验。在SAS系统中,UNIVARIATE单变量过程的基本格式为:PROCUNIVARIATE...
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    2014-09-05 15:31:55
    4.1.2 正态分布 126 VIII 4.1.3 频数分析 130 4.1.4 描述性分析指标 131 4.2 异常点监控 133 4.2.1 概述 133 4.2.2 P 控制图:监控转化率 型指标 135 4.2.3 单值 – 均值控制图 142 4.2.4 单值 – 移动极差...
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  • 1.0.9 为什么图像常用512×512,256×256,128×128 等来表示? 4 1.0.10 需要多少个比特以存储一幅图像? 5 1.0.11 什么决定了一幅图像的质量? 5 1.0.12 什么会使得图像模糊? 5 1.0.13 图像分辨率是什么含义...
  • 1、高斯分布(正态分布) 2、异常检测算法 3、评价的好坏,以及的选取 4、选择使用什么样的feature(单元高斯分布) 5、多元高斯分布 6、单元和多元高斯分布特点 7、程序运行结果 一、线性回归 全部代码 1...

空空如也

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常用正态分布概率表