更新说明：为满足部分考研学子的需求，本次新增内容主要有反三角函数图像、性质、基本公式(不含推理,若感兴趣可以去了解)。(更新于：Oct 9,2020)
 
首先，本人做一下简要的自我介绍。
 
本科已毕业，经历过考研复习(没上战场，至于什么原因以后再论)。说到三角函数公式，不管是高考也好还是考研也好，都逃不脱高中必修四“三角函数”部分，作为复习过来人，我将通过口诀以及图解的方式来帮助更多的同学来理解公式(以下只是我的学习方法)，达到精准高效的目的de。进入正文之前先show一波俺之前的考研数学笔记。
 

 

  
 
 
 

 

  
 
 
 

 

  
 
 
 

  内容概要
 
 
基本三角函数定义&关系式
三角函数图像性质
诱导公式
二角和差公式
倍角&半角公式
和差化积&积化和差公式
万能公式
三倍角公式(高中不要求!)
辅助角公式
反三角函数(高中不要求!)
结束语
 
以下内容我会通过图解+公式+口诀or记忆技巧用斜体的方式为大家呈现，部分重要的公式会用黑体(包括部分公式推理)加以区别。
 

  一、基本三角函数定义&关系式
 
 
1. 基本三角函数定义
 
首先，搞一个直角三角形(如下图所示)，其中以 
 

   ACB为直角，对于 
 
 

   BAC，对边BC、斜边AB、邻边AC而言，则存在以下关系：
 
 

 

  
 
 
 

 

  
 
 
 
以上是常用的三角函数定义，高中的话不要求掌握正割和余割函数(由表可以看出正割函数等于余弦函数的倒数，同理，余割函数等于正弦函数的倒数，说实话高中有时候余切函数都很少用)。
 
2. 基本三角函数关系式
 
基本三角函数关系有以下三种
 
① 倒数关系：tanA·cotA=1; sinA·cscA=1; cosA·secA=1
 
② 商数关系：tanA=
 

   ; cotA=
 
 

  
 
 
③ 平方(和)关系： sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A
 
How to Understand? ↓↓↓
 
下面给出正六边形帮助大家去理解三角函数之间的关系：
 

 

  
 
 
 
其图形特征为——上弦中切下为割，左正右余1中间。
 
⑴对角相乘乘积为1(如图4)。
 

 

  
 
 
 
⑵六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置函数等于它相邻两个函数的乘积。(如图5)
 

 

  
 
 
 
由左图可知tanA·cosA=sinA，当我们把cosA移到等式右边时等式就变为商数关系(右图同理)。
 
上面商数关系只写了两个，当然还可以得到tanA·cscA=secA; secA·cotA=cscA; cscA·cosA=cotA; secA·sinA=tanA.
 
⑶阴影部分的三角形，位于上方两个顶点函数的平方和等于下顶点函数的平方值。(如图6)
 

 

  
 
 
 
由图分别可以得到sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A
 
(PS:很多人可能会像我之前理解这些公式那样会将中间或者右边那个图误认为是tan²A+sec²A=1；cot²A+csc²A=1,当然可能是受到了sin²A+cos²A=1的影响。在上面三角形中其实是以倒三角的底边作平方和，下顶点为其结果的平方，这样就不会搞错了。)
 

  二、三角函数图像性质
 
 
1.正弦函数
 
1.1 函数图像
 

 

  
 
 
 
1.2 图像性质
 
①定义域(D)：R
 
②值域(
 

  
 
 ): [-1,1]
 
③周期(T): 2π
 
④奇偶性：奇函数
 
⑤单调性：
 
在
 

  上单调递增；
 
 
在
 

  上单调递减。
 
 
⑥最值：
 
当
 

  时，
 
 

   ;当
 
 

  时，
 
 

   ;
 
 
⑦有界性: 
 

  
 
 
2. 余弦函数
 
2.1 函数图像
 

 

  
 
 
 
2.2 图像性质
 
①定义域(D)：R
 
②值域(
 

  
 
 ): [-1,1]
 
③周期(T): 2π
 
④奇偶性：偶函数
 
⑤单调性：
 
在
 

  上单调递减；
 
 
在
 

  上单调递增。
 
 
⑥最值：
 
当
 

  时，
 
 

   ;当
 
 

  时，
 
 

   ;
 
 
⑦有界性: 
 

  
 
 
3. 正切函数
 
3.1 函数图像
 

 

  
 
 
 
2.2 图像性质
 
①定义域(D)： 
 

  
 
 
②值域(
 

  
 
 ): R
 
③周期(T): π
 
④奇偶性：奇函数
 
⑤单调性：
 
在
 

  上单调递增。
 
 
⑥最值：无最大、最小值。
 

  三、诱导公式
 
 
为什么会有诱导公式？是因为在实际生活当中角度的旋转量有时候不在[0.2π](rad:弧度)这个区间的情况，假如让我们计算不是0-360°的三角函数时，我们有必要引入诱导公式来将一个角度控制在0-360°范围之内，有利于计算方便。为了引出诱导公式，首先从角度的扩充说起。
 
1. 角度的扩充与象限角
 
按照高中之前的教学，角度的范围只能限制在[0.2π]之间。于是用另一种方式表示角：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角，这条射线叫做角的始边，旋转到的位置所对应的边叫做角的终边，而这个公共端点叫做角的顶点。通常把逆时针旋转的角称为正角，顺时针旋转的角称为负角(如下图7所示)，如果没有进行旋转，也视为形成了一个角，这个角叫做零角。
 

 

  
 
 
 
当角的终边落在第几象限，就说这个角是象限角或说这个角属于第几象限。
 
第一象限：2kπ<α< 2kπ+ 
 

  , k∈Z
 
 
第二象限：2kπ+ 
 

   <α< 2kπ+ π, k∈Z
 
 
第三象限：2kπ+π<α< 2kπ+ 
 

  , k∈Z
 
 
第四象限：2kπ+ 
 

   <α< 2kπ+ 2π, k∈Z
 
 
2. 三角函数在各个象限的符号
 

 

  
 
 
 
如果不考虑余切函数的话，将得出如下结论：第一个象限正余弦、正切全为正，第二三四象限分别只有正弦、正切、余弦为正，除此之外全是负。
 
即：一全正，二正弦。三正切，四余弦。
 
3. 诱导公式理解
 
记住一个通用的口诀就行——奇变偶不变，符号看象限。
 
How to Understand? ↓↓↓
 
※奇变偶不变：其中奇偶是指 
 

   的奇偶数倍(倍数为K)，变与不变看k是奇还是偶。变的话就是正余弦函数名互变、正余切函数名互变。
 
 
※符号看象限：首先我们把角当作一个锐角处理，当这个锐角加或减上 
 

   后(若加则把角的终边逆时针旋转，若减则把角的终边顺时针旋转)，然后看这个角是第几象限，其中函数符号要根据原函数(
 
 不是变化后的函数)来判断，最后由上表就可以判断出符号的正负了。
 
举个例子：计算 sin( 
 

   -A)
 
 
Step①:我们可以将等式看做sin( -A+ 
 

   ),其中k=3为奇数，函数名发生变化(正弦→余弦)，然后把A(-A＜0)看做一个锐角，由于A前面有个负号，所以画草图的时候把角A的终边画在第四象限(不要纠结角度的大小，画图的时候只要是锐角就行)。
 
 

 

  
 
 
 
Step②:画完草图后，然后将角A终边逆时针旋转270°( 
 

   )。
 
 

 

  
 
 
 
Step③:最后判断旋转后的终边在第三象限，看正弦函数(不是变化后的余弦函数)在第三象限的符号，根据上述表8可知符号是负的。于是结果为-cosA。
 
 4. 诱导公式表格
 

 

  
 
 
 
这部分内容要多加练习，熟练后可心算得出答案。
 

  四、二角和差公式
 
 
谐音记忆公式法
 
把sin第一个音读作"散(san)"，把cos第一个音读作"扩kuo"。
 
1-①:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ(散扩加扩散)
 
1-②:sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ(散扩减扩散)
 
1-③:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ(扩扩减散散)
 
1-④:cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ(扩扩加散散)
 
1-⑤:tan(α+β)= 
 

   (
 
 分子同号，分母异号)
 
1-⑥:tan(α-β)= 
 

   (
 
 分子同号，分母异号)
 
1-⑦:cot(α+β)= 
 

  
 
 
1-⑧:cot(α-β)= 
 

  
 
 

  五、倍角&半角公式
 
 
该部分内容可由公式直接推出。
 
1. 倍角公式
 
2-①:sin2α=2sinα·cosα(推理:将公式1-①中的β换成α)
 
2-②:cos2α=cos²α-sin²α(推理:将公式1-③中的β换成α)=1-2sin²α=2cos²α-1
 
("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)
 
2-③:tan2α= 
 

  
 
 (推理:将公式1-⑤中的β换成α)
 
2-④:cot2α= 
 

  
 
 (1=tanα·cotα)= 
 

  
 
  (推理:分子分母同乘cot²α)
 
2. 半角公式
 
2-⑤:sin
 

  
 
  = 
 

  
 
 
(推理:将公式2-②中的cos2α=1-2sin²α,然后将α换成α/2，移项开方即可)
 
2-⑥:cos
 

  
 
  = 
 

  
 
 
(推理:将公式2-②中的cos2α=2cos²α-1,然后将α换成α/2，移项开方即可)
 
2-⑦:tan
 

  
 
  = 
 

  
 
 (推理:将公式2-⑤与公式2-⑥之比即可)
 
PS:其中正负由 
 

  
 
 的终边所在象限确定。
 
当然我们还可以得到tan
 

   的其它形式，推理如下：
 
 
tan
 

  
 
 = 
 

  
 
  = 
 

  
 
  (分子分母同乘以 
 

  
 
  )= 
 

  
 
  (2倍角公式)
 
tan
 

  
 
 = 
 

  
 
  = 
 

  
 
  (分子分母同乘以 
 

  
 
  )= 
 

  
 
  (2倍角公式)
 
故tan
 

  
 
  =
 

  
 
 =
 

  
 
 ，同理还可以得出cot
 

   的半角公式
 
 
2-⑧：cot
 

   = 
 
 

   =
 
 

  =
 
 

  
 
 (1=tanα·cotα)
 

  六、和差化积&积化和差公式
 
 
1. 和差化积公式
 
1.1 公式及其特点
 
3-①: sinα+sinβ=2sin 
 

  
 
 ·cos 
 

  
 
 
3-②: cosα+cosβ=2cos
 

  
 
 ·cos
 

  
 
 
3-③: sinα-sinβ=2cos
 

  
 
 ·sin
 

  
 
 
3-④: cosα-cosβ=-2sin
 

  
 
 ·sin
 

  
 
 
3-⑤: tanα+tanβ= 
 

  
 
 
3-⑥: tanα-tanβ= 
 

  
 
 
3-⑦: cotα+cotβ= 
 

  
 
 
3-⑧: cotα-cotβ= 
 

  
 
 
公式特点：前四个等式左边是和的形式，右边为乘积的形式，且倍数为2，第一个函数名后是
 

  ，第二个函数名后是
 
 

  
 
 。
 
1.2 公式记忆法则(只讨论前四个)
 
四个公式分别对应了一个口诀(通用版本)
 
⑴ 正加正，正在前。
 

 

  
 
 
 
⑵ 余加余，余并肩。
 

 

  
 
 
 
⑶ 正减正，余在前。
 

 

  
 
 
 
⑷ 余减余，负正弦。(注意有负号!)
 

 

  
 
 
 
1.3 公式推理
 
下面只给出公式3-①、3-②推导.
 
⑴ 公式3-①推导
 
根据前面的公式1-①、1-②。
 
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①
 
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②
 
二式相加，得
 
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ, 记α+β=θ；α-β=φ。解得α=
 

  
 
  ;β=
 

  
 
 
代入式中即得sinθ+sinφ=2sin
 

  
 
 ·cos
 

  
 
 。
 
⑵ 公式3-②推导
 
根据前面的公式1-③、1-④。
 
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ······1-③
 
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ······1-④
 
二式相加，得
 
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ, 记α+β=θ；α-β=φ。解得α= 
 

  
 
  ;β= 
 

  
 
 ,
 
代入式中即得cosθ+cosφ=2cos
 

  
 
 ·cos
 

  
 
 
◆将公式1-①、1-②相减按照同样的方法可以得出公式3-③，
 
◆将公式1-③、1-④相减按照同样的方法可以得出公式3-④.
 
2.积化和差公式
 
2.1 公式及其特点
 
3-⑨: sinα·cosβ= 
 

  
 
 [sin(α+β)+sin(α-β)]
 
3-⑩: cosα·cosβ= 
 

  
 
 [cos(α+β)+cos(α-β)]
 
3-⑪: cosα·sinβ= 
 

  
 
 [sin(α+β)-sin(α-β)]
 
3-⑫: sinα·sinβ= 
 

  
 
 [cos(α+β)-cos(α-β)]
 
公式特点：等式左边是乘积的形式,等式的右边为和的形式且倍数为 
 

   ，第一个函数名里面是
 
 α+β；第二个函数名里面是
 α-β。
 
2.2 公式记忆法则
 
之前看了很多个版本，我决定用一首诗去理解它(非本人原创)，形象又直观。
 
⑴积化和差得和差
 

 

  
 
 
 
⑵余弦在后要相加(正弦在后就相减)
 

 

  
 
 
 
⑶异名函数取正弦(同名函数取余弦)
 

 

  
 
 
 
⑷正弦相乘取负号(注意有负号!)
 

 

  
 
 
 
2.3 公式推理
 
下面只给出3-⑨的证明，其余的公式证明过程相似。
 
根据公式1-①、1-②。
 
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①
 
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②
 
二式相加，得
 
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ，等式两边同时除以2即可。
 

  七、万能公式
 
 
1.公式内容
 
4-①: sinα= 
 

  
 
 
4-②: cosα= 
 

  
 
 
4-③: tanα= 
 

  
 
 
(其中u=tan
 

  
 
 )
 
2.公式推理
 
⑴公式4-①推导
 
sinα=2sin
 

  
 
  ·cos
 

  
 
 (二倍角)= 
 

  
 
 ("1"的妙用:sin² 
 

  
 
 +cos² 
 

  
 
 =1)
 
=
 

  
 
 (分子分母同除以cos²
 

  
 
 )
 
⑵公式4-②推导
 
cosα=cos²
 

  
 
  -sin²
 

  
 
  (二倍角)=
 

  
 
 ("1"的妙用:sin²
 

  
 
 +cos²
 

  
 
 =1)
 
=
 

  
 
 (分子分母同除以cos²
 

  
 
 )
 
⑶公式4-③(推导)
 
tanα=tan(2·
 

  
 
  )= 
 

  
 
  (二倍角)
 

  八、三倍角公式(更新于2020.2.23)
 
 
这部分内容是为了部分考研的同学。话不多说，直接开冲！
 
1.公式内容&记忆法则
 
5-①:sin3α=-4sin³α+3sinα[负4三方加3(倍)角]
 
5-②:cos3α=4cos³α-3cosα[4倍三方减3(倍)角]
 
2.公式推理
 
⑴公式5-①推导
 
sin3α=sin(α+2α)=sinα·cos2α+cosα·sin2α(公式1-①)
 
=sinα·(1-2sin²α)+2cos²α·sinα(二倍角公式)
 
=sinα-2sin³α+2(1-sin²α)·sinα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)
 
=-4sin³α+3sinα
 
⑵公式5-②推导
 
cos3α=cos(α+2α)=cosα·cos2α-sinα·sin2α(公式1-③)
 
=cosα·(2cos²α-1)-2sin²α·cosα(二倍角公式)
 
=2cos³α-cosα-2(1-cos²α)·cosα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)
 
=4cos³α-3cosα
 

  九、辅助角公式
 
 
a·sinα+b·cosα= 
 

  
 
  sin(α+φ),其中tanφ= 
 

  
 
 (φ=arctan
 

  
 
 ),推导过程略。
 

  十、反三角函数(更新于:2020.10.9)
 
 
1.概念(个人理解)
 
顾名思义，反三角函数就是三角函数的反函数，就好比指数函数和对数函数一样互为反函数。打个比方：sina=b,则b=arcsina。
 
2.反三角函数图像&性质
 
(1)反正弦函数图像、性质
 

 

  
 
 
 
图像性质：
 
①定义域(D)： 
 

  (说明:y=arcsinx是y=sinx在( 
 
 

   )的反函数)
 
 
②值域(
 

  
 
 ): 
 

  
 
 
③周期(T): 无
 
④奇偶性：奇函数
 
⑤单调性：在定义域内单增
 
⑥有界性：函数在定义域内有界， 
 

   。
 
 
(2)反余弦函数图像、性质
 

 

  
 
 
 
图像性质：(图像与x轴交点是(1,0),与y轴交点是(0,π/2)。)
 
①定义域(D)： 
 

   (说明:y=arccosx是y=cosx在( 
 
 

   )的反函数)
 
 
②值域(
 

  
 
 ): 
 

  
 
 
③周期(T): 无
 
④奇偶性：无
 
⑤单调性：在定义域内单减
 
⑥有界性：函数在定义域内有界， 
 

   。
 
 
(3)反正切函数图像、性质
 

 

  
 
 
 
图像性质：
 
①定义域(D)：R (说明:y=arctanx是y=tanx在( 
 

   )的反函数)
 
 
②值域(
 

  
 
 ): 
 

  
 
 
③周期(T): 无
 
④奇偶性：奇函数
 
⑤单调性：在定义域内单增
 
⑥有界性：函数在定义域内有界， 
 

   。
 
 
3.几个常用公式
 
3.1 
 

  
 
 
3.2 
 

  
 
 
3.3 
 

  
 
 

  十一、结束语
 
 
到最后，我想给大家说的是。
 
1、建议不要死记公式，最有效记住公式的办法是"做题(我当时的学习方法，后来觉得公式太多，然后就通过口诀辅助记忆)"。归根到底，以上任何公式记忆没有"直觉"来得快。
 
2、口诀旨在帮助你有效记住公式，起到辅助的作用。当然，不排除有更好的方法。毕竟，每个人的学习方法不同。很多人说公式没用，不管有没有用，但你的最终目的就是在考试时候能根据题目回想起所学的某个定理、性质、公式去解决数学问题。
 
3、关于公式的推理有很多种，大家可以在闲暇时间拿出你的笔和纸上自行推理一下(paper自己准备，笔我已经给你备好，不够？上一盒)。
 

 

  
 
 
 
4、文中若有错误的地方，恳请广大"乎友、带佬"们指正；若对你的学习有帮助，请不忘点个赞或转发给你身边正在备考的同学，在下表示万分感谢。
 

 

  
 
 
 
In The End.
 
Thanks for your reading!

 
 
 
  
 
   
初等函数的图形
 
   
幂函数的图形
 
   
 
   
指数函数的图形
 
   
 
   
对数函数的图形
 
   
 
   
三角函数的图形
 
   
 
   
反三角函数的图形
 
   
 
   
各三角函数值在各象限的符号
 
   
 
   
三角函数的性质
 
   
 
   
反三角函数的性质
 
   
 
   
 
   
三角函数公式
 
   
两角和公式
 
   
 
   
倍角公式
 
   
 
   
三倍角公式
 
   
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
半角公式
 
   
 
   
和差化积 
 
   
 
   
积化和差 
 
   
 
   
诱导公式 
 
   
 
   
万能公式
 
   
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
其它公式
 
   
 
   
 
 
   
其他非重点三角函数
 
   
 
   
双曲函数
 
   
 
   
公式一
 
   
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
 
   
sin（2kπ＋α）= sinα
 
   
cos（2kπ＋α）= cosα
 
   
tan（2kπ＋α）= tanα
 
   
cot（2kπ＋α）= cotα
 
   
公式二 
 
   
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
 
   
sin（π＋α）= -sinα
 
   
cos（π＋α）= -cosα
 
   
tan（π＋α）= tanα
 
   
cot（π＋α）= cotα
 
   
公式三 
 
   
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
 
   
sin（-α）= -sinα
 
   
cos（-α）= cosα
 
   
tan（-α）= -tanα
 
   
cot（-α）= -cotα
 
   
公式四 
 
   
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
 
   
sin（π-α）= sinα
 
   
cos（π-α）= -cosα
 
   
tan（π-α）= -tanα
 
   
cot（π-α）= -cotα
 
   
公式五 
 
   
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
 
   
sin（2π-α）= -sinα
 
   
cos（2π-α）= cosα
 
   
tan（2π-α）= -tanα
 
   
cot（2π-α）= -cotα
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
公式六
 
   
 
   
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用
 
   
 
   
三角函数公式证明（全部）
 
   
公式表达式 
 
   
乘法与因式分解 
 
   
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
 
   
三角不等式
 
   
|a+b|≤|a|+|b|
 
   
|a-b|≤|a|+|b|
 
   
|a|≤b<=>-b≤a≤b
 
   
|a-b|≥|a|-|b|
 
   
-|a|≤a≤|a|
 
   
一元二次方程的解
 
   
-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
 
   
根与系数的关系 
 
   
X1+X2=-b/a
 
   
X1*X2=c/a
 
   
注：韦达定理
 
   
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
 
   
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
 
   
b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根
 
   
三角函数公式 
 
   
两角和公式 
 
   
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
 
   
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
 
   
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
 
   
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
 
   
倍角公式 
 
   
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
 
   
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
 
   
半角公式 
 
   
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
 
   
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
 
   
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
 
   
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
 
   
和差化积 
 
   
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
 
   
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
 
   
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
 
   
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
 
   
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
 
   
某些数列前n项和 
 
   
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
 
   
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
 
   
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
 
   
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
 
   
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
 
   
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
 
   
正弦定理 
 
   
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
 
   
注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
 
   
余弦定理
 
   
b2=a2+c2-2accosB
 
   
注：角B是边a和边c的夹角
 
   
正切定理
 
   
[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
 
   
圆的标准方程 
 
   
(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
 
   
圆的一般方程 
 
   
x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
 
   
抛物线标准方程 
 
   
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
 
   
直棱柱侧面积 
 
   
S=c*h
 
   
斜棱柱侧面积 
 
   
S=c'*h
 
   
正棱锥侧面积 
 
   
S=1/2c*h'
 
   
正棱台侧面积 
 
   
S=1/2(c+c')h'
 
   
圆台侧面积 
 
   
S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
 
   
球的表面积 
 
   
S=4pi*r2
 
   
圆柱侧面积 
 
   
S=c*h=2pi*h
 
   
圆锥侧面积 
 
   
S=1/2*c*l=pi*r*l
 
   
弧长公式 
 
   
l=a*r
 
   
a是圆心角的弧度数r >0
 
   
扇形面积公式 
 
   
s=1/2*l*r
 
   
锥体体积公式 
 
   
V=1/3*S*H
 
   
圆锥体体积公式 
 
   
V=1/3*pi*r2h
 
   
斜棱柱体积 
 
   
V=S'L
 
   
注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
 
   
柱体体积公式 
 
   
V=s*h
 
   
圆柱体 
 
   
V=pi*r2h
 
  
 
 
 

 

  目录：
  
一、弧度制
  
二、三角函数的基本定义
  
三、同角三角函数基本关系
  
四、三角函数的诱导公式
  
五、三角函数的和差角公式
  
六、倍角公式和半角公式
  
七、积化和差与和差化积公式
  
八、万能公式
  
九、辅助角公式
  
十、求导
  
十一、反三角函数相关公式
  
十二、其他常用结论
 
 
一、弧度制
 
我们在初中接触的角基本上是角度制的，例如
 

  。因此，在研究三角函数之前，我们需要把角度制推广，引入弧度制的概念。
 
 
 弧度是角的大小的另一个计量单位，用rad表示。弧度与角度之间的换算关系为： 
 

   ，即弧度与角度之间的函数关系可以表示为
 
 

  。
 
 
引入弧度制后，我们便可得出圆弧长、扇形面积的弧度制计算公式。
 
圆弧周长的计算公式：角度制：
   

    ；弧度制：
   
   

    
   
扇形面积的计算公式：角度值:：
   

    ；弧度制：
   
   

    
   
 

  扇形可以看做一个“
  曲边三角形
  ”：弧长
  

   
  
  是“底”，半径是“高”弧度制下扇形的面积可以表示为，面积
  

   
  
  ，
 
 
二、三角函数和反三角函数的基本定义
 
（一）三角函数
 
单位圆（及半径 
 

   的圆）在三角函数的学习中具有举足轻重的地位。我们可以利用单位圆来定义三角函数、求解三角函数问题。在解决三角函数问题的过程中，单位圆是一个非常有用的工具。
 
 
设角
 

  的终边与单位圆（此处是以原点为圆心）交于点
 
 

  ,则有
 
 
正弦：
 

  ，余弦：
 
 

  
 
 
正切：
 

  ，余切：
 
 

  
 
 
正割：
 

  ，余割：
 
 

  
 
 
（二）反三角函数
 
反三角函数是一种基本初等函数，它包括反正弦 
 

   、反余弦
 
 

   、反正切 
 
 

   、反余切 
 
 

   、反正割 
 
 

   、反余割 
 
 

   ，他们各自表示其正弦、余弦、正切、余切 、正割、余割为 
 
 

   时的角。例如，当 
 
 

   时， 
 
 

   ；当 
 
 

   时， 
 
 

  ，具体如， 
 
 

   。
 
 
反三角函地并不能狭义地理解为三角函数的反函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 
 

   对称。
 
 
三、同角三角函数基本关系
 
1.倒数关系：
 

 

  
 
 

  
 
 

  
 
 
2.商的关系：
 

 

  
 
 
3.平方关系：
 

 

  
 
 
四、三角函数的诱导公式
 
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.此处仅列出了几个易混的诱导公式，过于常规的就没有列出。个人认为，只需记住 
 

   与 
 
 

   、 
 
 

   、 
 
 

   的三角函数值关系，便可推出所有的诱导公式。
 
 
1.任意角 
 

   与 
 
 

   的三角函数值之间的关系：
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
2.任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
3.任意角 
 

   与 
 
 

   的三角函数值之间的关系：
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
4.任意角 
 

   与 
 
 

   的的三角函数值之间的关系：
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 五、三角函数的和差角公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
六、倍角公式和半角公式
 
1.倍角公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

  变形： 
  

   
  
 
 

 

  
 
 
2.三倍角公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
3.半角公式（也叫降幂公式）
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
4.升幂公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 
七、积化和差与和差化积公式
 
1.积化和差公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
2.和化积公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
八、万能公式
 
万能公式是将
 

  和
 
 

  均用
 
 

  表示。
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
九、辅助角公式
 
 得到辅助角公式：
 

  
 
 

  其中
  

   与
  
  

   。
  
  
又
  

   （
  
  

   ）
  
 
 
从而得到三角函数辅角公式：
 

  ，
 
 

  ；
 
 
用余弦表示则为：
 

  ，
 
 

   。
 
 
例如，
 

  ，在实数域上，最大值为
 
 

  ，最小值为 
 
 

  
 
 
十、三角函数和反三角函数的导数
 

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   

   

    
   
 
十一、反三角函数相关公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

  
 
 
十二、其他常用结论
 

   

    
   

   

    
   

   

     , 
   
   

    
   
 

 

  
 
 
4.
 

  
 
 
5.
 

  
 
 

 
以上便是我总结的有关三角函数方面的公式。如果有错，敬请指摘！
 
需要pdf，私聊！

原文地址为：
vb常用函数一览表




 
    
 
     
 
 
     
常用内部函数
 
     
数学函数
 
     
 
         

           函数 
         
 
         

           功能 
         
 
         

           示例 
         
 
         

           结果 
         
 
         

           说明 
         
Abs(x)
绝对值
Abs(-50.3)
50.3
 
Exp(x)
自然指数
Exp(2)
e*e
e（自然对数的底）的某次方
Fix(x)
取整(取参数的整数部分)
Fix(-99.8)
-99
 
Int(x)
取整(取小于或等于参数的最大整数)
Int(-99.8)
Int(99.8)
-100
99
 
Log(x)
常用对数
Log(1)
0
求自然对数值
Rnd
随机产生0～1的单精度值
Int(6*Rnd)+1
1～6
要产生一个从Min到Max的整数，应使用公式Int((Max-Min+1)*Rnd+Min)
Round(x,n)
按小数位数四舍五入
Round(3.14159,3)
3.142
第2个参数为小数位数
Sgn(x)
取参数的符号值
Sgn(8.8)
Sgn(-8.8)
Sgn(0)
1
-1
0
参数大于0，返回1
参数小于0，返回-1
参数等于0，返回0
Sin(x)
正弦
Sin(3.14159265/180*90)
1
三角函数以“弧度”为单位
Cos(x)
余弦
Cos(3.14159265/180*180)
-1
Atn(x)
计算反正切
Atn(1)
0.7854
Tan(x)
计算正切
Tan(3.14159265/180*45)
1
Sqr(x)
算术平方根
Sqr(9)
3
相当于
     
字符串函数
 
     
 
         

           函数 
         
 
         

           功能 
         
 
         

           示例 
         
 
         

           结果 
         
 
         

           说明 
         
Len(x)
求字符串的长度(字符个数)
Len("Vb技术")
4
 
LenB(x)
求字符串的字节个数
LenB("Vb技术")
8
VB中采用Unicode（ISO字符标准）来存储字符，所有字符都占2个字节
Mid(x,n1,n2)
从x字符串左边第n1个位置开始向右取n2个字符
Mid("Vb技术",2,2)
"b技"
 
Left(x,n)
从x字符串左边开始取n个字符
Left("Vb技术",3)
"Vb技"
 
Right(X,n)
从x字符串右边开始取n个字符
Right("Vb技术",3)
"b技术"
 
UCase(x)
将x字符串中所有小写字母转换为大写
UCase("Vb技术")
"VB技术"
 
LCase(x)
将x字符串中所有大写字母转换为小写
LCase("Vb技术")
"vb技术"
 
Trim(x)
去掉x字符串两边的空格
Trim(" Vb 技术 ")
"Vb 技术"
 
Ltrim(x)
去掉x字符串左边的空格
Ltrim(" Vb 技术 ")
"Vb 技术 "
 
Rtrim(x)
去掉x字符串右边的空格
Rtrim(" Vb 技术 ")
" Vb 技术"
 
Instr(x1,x2,M)
返回字符串x2在字符串x1中的位置，M=1不区分大小写,省略则区分
Instr("baBBAC","BA")
4
找不到则返回0
String(n,x)
返回由n个首字符组成的字符串
String(3,"AB")
"AAA"
 
Space(n)
返回n个空格
Space(3)
"    "
 
     
日期和时间函数
 
     
 
         

           函数 
         
 
         

           功能 
         
 
         

           示例 
         
 
         

           结果 
         
 
         

           说明 
         
Date
返回系统日期
Date
2006-9-1
(yyyy-mm-dd)
Time
返回系统时间
Time
15:45:33
(hh:mm:ss)
Now
返回系统日期和时间
Now
2006-9-1 15:45:33
(yyyy-mm-dd hh:mm:ss)
Year(c)
返回指定日期的年份
Year("2006-9-1")或
Year(#9/1/2006#)
2006
 
Month(c)
返回指定日期的月份
Month("2006-9-1")
9
 
Day(c)
返回指定日期的日子
Day("2006-9-1")
1
 
Weekday()
返回指定日期的星期几
Weekday("2006-9-1")
6
星期日为1
Hour()
返回指定时间的时数
Hour("15:45:33")
15
 
Minute()
返回指定时间的分数
Minute(Now)
45
假定系统时间为15:45:33
增减日期函数： 
     DateAdd(要增减日期形式，增减量，要增减的日期)
例：计算2周后的日期：DateAdd("ww",2,#9/1/2006#)，结果 "2006-9-15" 
     
求日期之差函数： 
     DateDiff(要间隔日期形式，日期一，日期二)
例：计算生日还有多少天： DateDiff("d", Now, #12/1/2006#) ，结果为 74 
     
函数中的“要增减日期形式”或“要间隔日期形式”可参见下表中的形式： 
     
 
         
 
          日期形式 
         
 
         
 
          yyyy 
         
 
         
 
          q 
         
 
         
 
          m 
         
 
         
 
          y 
         
 
         
 
          d 
         
 
         
 
          w 
         
 
         
 
          ww 
         
 
         
 
          h 
         
 
         
 
          n 
         
 
         
 
          s 
         
 
         

           意义 
         
 
         

           年 
         
 
         

           季 
         
 
         

           月 
         
 
         

           一年的天数 
         
 
         

           日 
         
 
         

           一周的天数 
         
 
         

           星期 
         
 
         

           时 
         
 
         

           分 
         
 
         

           秒 
         
     
 
 
     
数据类型转换函数
 
     
 
         

           函数 
         
 
         

           功能 
         
 
         

           示例 
         
 
         

           结果 
         
 
         

           说明 
         
Str(x)
将数值转换为字符串
Str(45.2)
"45.2"
 
Val(x)
将字符串中的数字转换成数值
Val("2.3ab")
Val("a23")
2.3
0
 
Asc(x)
求字符ASCII值
Asc("a")
97
 
Chr(x)
将数值（ASCII码）转换为字符
Chr(65)
"A"
 
CBool(x)
将数字字符串或数值转换成布尔型
CBool(1)
CBool("0")
True
False
等于0为False，不等于0为True
CDate(x)
将有效的日期字符串转换成日期
CDate(#1990,2,23#)
"1990-2-23"
 
CSng(x)
将数值转换成单精度型
CSng(23.5125468)
23.51255
 
CDbl(x)
将数值转换成双精度型
CDbl(23.5125468)
23.5125468
 
    

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