积分线性变换可以将信号或图像在更适合的域内表达，并且使得解决相关问题更容易，在图像分析中最常用的积分显示变换是傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换。

1d傅里叶变换由傅里叶(Fourier)提出，1d傅里叶变换将函数f(x)变换到频率域F(t)表达。F称作频谱，可以显示不同频率的相对成分。用i(根号下-1)表示虚数单位，1d连续傅里叶变换表达为：



逆变换为



相应地，对于下标从0开始的离散变量f(x)，1d离散傅里叶变换和逆变换分别为：



离散傅里叶变换(DFT)的时间复杂度为O(n2)，使用快速傅里叶变换(FFT)会降低为 O(nlogn)

从1d傅里叶变换可容易推广到2d，对于连续空间f，2d连续傅里叶变换和逆变换如下：



(x,y)表示图像坐标，(i,j)表示空间频率。

离散傅里叶变换和逆变换如下：



在matlab中，可使用fft2进行2d快速变换(1d使用fft)，如果用基本公式实现，复杂度为O（n4）。为了验证效果一下裁剪了局部：

I=imread('lena.jpg');
I=I(1:50,1:50);
[m,n]=size(I);
F=zeros(m,n);
%% FT
for u=1:m
    for v=1:n
        for x=1:m
            for y=1:n
                F(u,v)=F(u,v)+double(I(x,y))*exp(-2*pi*i*(u*x/m+v*y/n));
            end
        end
    end
end
I2=zeros(m,n);
for x=1:m
    for y=1:n
        for u=1:m
            for v=1:n
                I2(x,y)=I2(x,y)+double(F(u,v))*exp(2*pi*i*(u*x/m+v*y/n))/(m*n);
            end
        end
    end
end
I2=uint8(I2);
subplot(121),imshow(I);
subplot(122),imshow(I2);
F2=fft2(I);%直接调用
figure,
F=abs(F);
F2=abs(F2);
subplot(121),imshow(F,[]);
subplot(122),imshow(F2,[]);
F=fftshift(F);
F2=fftshift(F2);
F=log(F+1);
F2=log(F2+1);
figure,
subplot(221),imshow(F,[]);
subplot(222),imshow(F2,[]);
subplot(223),mesh(F);
subplot(224),mesh(F2);


其中，I为原图像，F为I的频谱，F2为直接fft2的频率，I2为F的逆变换结果(也可通过ifft2得到)，i为系统默认设置的常数跟下-1。直接运算或fft得到的F（如figure2）的频率高点都分布在四个角，直接使用fftshift可以把四个角的高频信息移动到最中间(imshow(I,[])在显示图像时会自动调整归一化，让图像正确显示，或者手动归一化实现后inshow(I))。之后abs将负实数和虚数部分调整为正实数，由于高频低频差距过大，所以用log(F+1)缓和高低。运行结果分别如下：







 figure1为裁剪后的图像与进行变换和逆变换后的图像，figure2为通过代码实现和直接调用库得到的未调整前的频谱(左图和右图角度不同，但内容一样)，figure3为调整后的频谱以及他们的mesh面。

将图像由空间域转为频率域在图像压缩以及去噪等方面有很好的应用。

之后文章：DCT WT

 

一般傅里叶变换与反变换的公式是成对儿给出的。1、如果正变换 前有系数1/2*π，则反变换 前无系数2、如果正变换 前无系数，则反变换 前有系数1/2*π3、正、反变换 前.
1.傅里叶正变换2.傅里叶逆变换
常用的就可以了 问题是我找不到教材书了啊 大概最常用的输10个左右就ok了
连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数.
为什么我看了一些教程，公式都有区别，最重要的是e的指数项目究竟有没有2.
傅立叶定律是传热学中的一个基本定律，可以用来计算热量的传导量。 相关的公式为：φ=-λa(dt/dx),q=-λ(dt/dx)
对于非周期函数，如果也希望像 (1) 中那样 “展开”，则需要进行一定“推广”. 这种连续积分和的表达，就叫“傅里叶逆变换”。在逆变换中，原本的 F(nw)，被推广.
1、傅里叶变换公式e79fa5e98193e4b893e5b19e31333431356666 公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的.
求这个函数的连续时间傅立叶变换：f(t)= e^(j*w0*t) ，其中j是虚数单位. 要过程。
根据频移定理：若f(t)的傅里叶变换为F(jw)，则f(t)e^(jwt)对应的傅里叶变换为F(w-w0).且已知1的傅里叶变换为2πδ(w)，故e^(j*w0*t)的傅里叶变换为2πδ(w-w0)
fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例，laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变.
如图，求大神赐教~~
您好，帮您做一下 f6(t) = cos8πt { (1+t)[ε(t+1)-ε(t)] + (1-t)[ε(t)-ε(t-1)] } = cos8πt [ (t+1)ε(t. ( 如果你能已知三角脉冲函数的傅里叶变换公式，那上面的步骤就能直接写了) (2.
傅立叶变换对有百多种定义形式，如果采用下列变换对，即：F(ω度)=∫(∞，-∞) f(t)e^(-iωt)dt f(t) = (1/2π) ∫(∞，-∞)知 F(ω道)e^(iωt)dω 令：f(t)=δ(回t)，那么：∫(∞，-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1 而.
快速傅氏变换(FFT)是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没.
按qgq861012的方法(不过你结果不对，因为中间积化和差公式用错了)，。
傅立叶变换分好几种的，我只知道把它展开成傅立叶级数 因为 |sin(t)| 是偶函数 求和. 负无穷
余弦函数和正弦函数，e^(jkwt)，这三个函数的傅里叶变换推导过程
先给你个利用matlab中傅里叶变换进行函数频谱分析的程序。clf; fs=100;n=128； %采样频率和数据点数 n=0:n-1;t=n/fs； %时间序列 x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);.
显然，x(jw)是两个们函数的卷积，利用傅里叶变换的对称性可以得出sa(ωτ)的时域，卷积一下就行了，两个们函数用定义很简单。不妨试试。
这个积分是不能直接计算的，因为它不满足绝对可积条件。 根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成，是将函数向一组正交的正弦、余弦函数展开，傅里.
变换到下一步1/2(j*pi/3^e。)我明白是欧拉公式；但再下一步那个16怎么得出来。
和式一共32项，而每项系数为1/2，因此加起来后是16，不太清楚后面那个函数，不知道我说的对 不对
x(jΩ)=∫(∝ -∝)x(t)e-jΩdt；为什么两个公式的自变量不同，分别有什么意义吗？.
《信号与系统》的x(w)与《数字信号处理》这两个都是连续信号的傅里叶变换，只是表示的字母不同。不过数字信号处理中 x(jΩ)=∫(∝ -∝)x(t)e-jΩdt，代表的是连续信号的傅.
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数. 最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。  傅里叶是一位法国数学.
这个我已经计算出来了，还是谢谢你们
1/t傅里叶变换为 -i*pi*sgn(w) 其中pi为3.1415926&(f)为狄拉克函数 sgn(w)为符号函数 i的平方等于1

快速傅里叶变换，在竞赛中离散傅里叶变换DFT及其逆变换IDFT尤为常用，主要用于快速求多项式的乘积。形式化地说，多项式就是某个$f(x)=\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i$，两个系数分别为$a_i$和$b_i$，那么$(f\times g)(x)=f(x)g(x)=\sum\limits^{n}_{i=0}\sum\limits_{j=0}^{n}a_ib_jx^{i+j}$，容易看出这个多项式是$2n$次的。

【补充知识1】我们接着先看一下一个叫卷积的东西。卷积实际上就是对应相乘，$(f\otimes g)(x)=\sum\limits^{n}_{i=0}a_ib_ix^i$，可以稍微理解一下，实质上我们如果将乘法视为一种变换，卷积就是在向量上的变换的叠加。

【补充知识2】

其实，对于一条$n$次的多项式曲线，我们可以通过类比认识到我们需要$n+1$个不同的点就可以唯一确定这条曲线。比如说一次函数需两个点，二次函数需三个点，等等。我们考虑到，我们表达这些函数为$f(x)=\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i$，那么如果我们现在得知了$n+1$个函数上的点，直接代入就可以相应得出$n+1$个方程，由于点两两不同，所以这个方程组一定恰有一组解，这也就确定了一条唯一的曲线。
好的，接下来是真正的内容。

我们可以发现，要确定最终的$(f\otimes g)(x)$，需要使用$2n+1$个点值表达，也就是在最终结果曲线上的$2n+1$个点。我们如果考虑在$f(x)$和$g(x)$上取$2n+1$个点，设为$(x_i,{y_f}_i)$和$(x_i,{y_g}_i)$，我们发现只要将其卷积一下，我们就能够找到这$2n+1$个点。这是很好理解的，因为将${y_f}_i$和${y_g}_i$卷积后作为新的纵坐标所得到的点，显然就在$(f\otimes g)(x)$上。

那么我们的问题就只剩下怎样计算和如何再次快速确定了。

我们考虑下分治，如果我们将系数向量中奇数项和偶数项分开来，我们会发现所得的两个式子间有一定的相似性：$a_1x^1+a_3x^3+\cdots+a_{2k+1}x^{2k+1}$$a_0x^0+a_2x^2+\cdots+a_{2k}x^{2k}+\cdots$

实际上，我们考虑将上面的式子变为$x(a_1x^0+a_3x^2+\cdots+a_{2k+1}x^{2k}+\cdots)$，再将各项的次数折半（因为是偶数），我们现在就能够得到两个规模相对于原来的问题减半的子问题，可以递归求解，这里我们就得出了DFT的算法，由主定理对于$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\text O(n)$，马上看出其复杂度$\text O(n\lg n)$。

但是，在还原的时候，我们却遇到了一个困难：我们如何将点值表达快速变为系数表达？难道我们去用高斯消元法？这样$\text O(n^3)$岂不是比原来还慢？我们来观察一下DFT的实质。我们将DFT的效果写成这样一个矩阵：

$\begin{bmatrix}
1 & x_0 & \cdots x_0^n \\
1 & x_1 & \cdots x_1^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1& x_n & \cdots x_n^n\\
\end{bmatrix}$

稍微解释下，根据线性代数，这个东西乘上我们的系数向量之后所得就是对应的$x=x_{0,1,\cdots,n}$时$(f\otimes g)(x)$的结果。这个东西是很显然的，考虑用线性变换的角度理解。

然后我们考虑DFT的逆变换，即所谓IDFT，其的实质就是乘上DFT所乘上的这个矩阵的一个逆矩阵。由逆矩阵定义，我们可以考虑猜想在逆矩阵中$(j,k)$处，数为$x_k^{-j}\times C$，其中$C$是一个常数。那么如果将两个矩阵乘起来，再考虑$(j,j')$处的值，为$\sum^{n}_{k=0}x_k^{j'-j}C$要满足逆矩阵条件$VV^{-1}=I_n$，我们需要当且仅当$j'=j$的时候上式为$1$，其余情况为$0$。先看第一个条件，代进去得到$\sum^n_{k=0}C=1$，得$C=\frac{1}{n}$。代回去并根据第二个条件我们有$\sum^n_{k=0}x_k^{j'-j}=0(j'\neq j)$

然后我并不知道怎么一直推下去，于是我们直接来一个构造法。我们令$x_k=w_n^k$，然后我们就得到了一个等比数列，按照上式求和根据公式可以得到$\sum\limits_{k=0}^n(w_n^k)^{j'-j}=\sum\limits_{k=0}^n(w_n^{j'-j})^k=\frac{(w_n^{j'-j})^n-1}{w_n^{j'-j}-1}=0$，即（这里跳了一步移项）$(w_n^{j'-j})^n=1$我们又考虑到，$j'$和$j$取遍$0\cdots n$间的所有值，所以上式可以改为$(w^k_n)^n=w_n^{kn}=1$，其中$k$的值域为从$-n$到$n$。

然后，我们考虑先取$k=1$，本质上这里说的就是我们需要这样的一类不同的$2n$个数使得$(w_n)^n=1$。显然在实数域中只能有$1$（以及$-1$，因为我们在分治的时候预先补了零使得次数是$2^d$）满足这个性质，显然太少了，怎么办？

我们考虑扩展取值范围。一种方法，就是不只考虑实轴，我们可以考虑下复平面。也就是说，我们可以不只考虑$a\in \mathbb{R}$，而是考虑所有$a+bi\in \mathbb{C}$，其中$a,b\in \mathbb{R}$，而这里的$i$，是一个曾经数学中往往避开的事物，满足$i^2=-1$。实质上来说，复数可以理解为一种向量，比如说两个复数相加就是向量作用的叠加，而两个复数的积，则是另一种程度上的叠加。比方说我们考虑到，我们用极坐标也可以确定向量，进而确定复数，我们由变换$f(x)=\left\{
\begin{aligned}
x & = &\rho \cos\theta \\
y & = & \rho\sin\theta
\end{aligned}
\right.$

我们可以得出在极坐标意义下$a+bi$可以写成$\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$，考虑两个复数相乘的时候，我们有（涉及高中三角学知识，若无基础可以跳过）$\rho_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\times \rho_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=\rho_1\rho_2(\cos\theta_1 cos\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_2\cos\theta_1-\sin\theta_1\sin\theta_2)$考虑利用各种和差化积公式（具体推导这里略去），得到乘积为$\rho_1\rho_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$，实质上就是长度相乘，旋转角相加。

我在继续来考量下这个概念有什么用。上面的$(w_n)^n=1$在变换群里面其实对应的是一种循环，称作生成元。我们考虑到，如果对应在复平面上，我们考虑令$\rho=1$，然后长度上不管怎么乘都不会变，最后也就是$1$（由于$\rho$被要求是非负实数），然后神奇的东西来了，我们令$\theta=2\pi/n$，也就是将整个复平面划分成$n$份，那么根据我们刚才的相乘原则，这个复数向量$\cos(\frac{2\pi}{n}+i\sin(\frac{2\pi}{n}))$实际上就是我们所要求的$w_n$。继续考量下它的性质，如果考虑$w_n^k(0\leq k< n)$，其的$n$次方也是$1$，因为$(w_n^k)^n=(w_n^n)^k=1^k=1$，同时在复数意义下，这$n$个数也是两两不同的，所以我们如果代入这$n$个数，我们就可以在$\text O(n\lg n)$的时间内计算出IDFT，而且代码上和DFT差不多，因为只是最后多除了个$n$，同时把$w_n^k$换成了$w_n^{-k}$，因此也可以写在一起，传入参数在某几步上加个特判。

同时复数还有性质$w_n^{k+n/2}=w_n^k\times w_n^{n/2}$，而又容易由角度看出$w_n^{n/2}=-1$，所以$w_n^{k+n/2}=-w_n^k$。这个东西可以用来稍微改进下DFT，这样我们的计算量大概减少了一半左右，代码也是更容易写了。

不过，虽然说DFT在理论上是没有误差的，但是鉴于三角函数浮点数上计算有不小的误差，所以说如果多项式的系数向量都是整数的话，显然最后的系数向量也是整数，那么我们完全可以不在复数域下进行，而是在另一种同样具有群性质的数系下进行，比如说我们同样熟悉的模域下。而这就要在数论上进行讨论了，所以并不写，坑等以后再填……

好吧，最后再提一下，其实是有四种傅里叶变换的，分别对应着时域和频域上的离散和连续，其中如果两个域都是连续的，实质上就是傅里叶级数，也就是将一个函数展开成许多三角函数构成的无穷级数。再换句话说，就是用许多正（余）弦波的叠加去不断拟合某条给定的曲线。当然，你也可以用方波去拟合，这就涉及到快速沃尔什变换（FWT）了。

基于FPGA的快速傅里叶变换加速（二）
蝶形运算模块介绍及matlab代码实现
1. 基二FFT的基本原理
1.1 快速傅里叶变换
1.2 常用FFT算法
1.2.1 时域抽取
（1） 实现过程
（2）运算规律及编程思想
原位计算
旋转因子
距离
码位颠倒
1.2.2 频域抽取
（1） 运算规律比较
（2）运算量比较
2. Matlab实现
本文结束，详情可见下篇博客


蝶形运算模块介绍及matlab代码实现)

1. 基二FFT的基本原理
1.1 快速傅里叶变换
简单形式离散傅立叶变换（DFT）和逆离散傅立叶变换（IDFT）所需的复杂乘法和加法运算的数量为N2，因为有N个数据点要计算，每个数据点都需要N复杂的算术运算。

对于长度为n的输入向量x，DFT是长度为n的向量X，具有n个元素：


用计算机科学术语来说，我们可以说它们具有算法复杂度O（N2），因此不是一种非常有效的方法。如果我们不能做得更好，那么DFT对于大多数实际的DSP应用将不是很有用。但是，有许多不同的“快速傅立叶变换”（FFT）算法使计算信号的傅立叶变换的速度比DFT快得多。

顾名思义，FFT是用于快速计算数据矢量离散傅里叶变换的算法。 FFT是一种DFT算法，可将N点所需的计算次数从O（N2 ）减少到O（N log N），其中log是以2为底的对数。如果要变换的函数与采样频率不是谐波相关，则FFT的响应看起来像是“ sinc”函数（sin x）/ x如果N为2的常规幂（N = 2p），则“基数2”算法很有用。如果我们假设算法复杂度提供了执行时间的直接量度，并且相关对数的底数是2，则如图1.1所示，（DFT）与（Radix 2 FFT）的执行时间之比（表示为“速度”改善因子’）随着N的增加而大大增加。


1.2 常用FFT算法
术语“ FFT”实际上有点含糊，因为有几种常用的“ FFT”算法。 Radix 2有两种不同的算法，即所谓的“时间抽取”（DIT）和“频率抽取”（DIF）算法。这两个都依赖于将N点变换递归分解为2（N / 2）点变换。此分解过程可以应用于任何复合（非素数）N。如果N可被2整除，并且N是2的幂，则该方法特别简单，可以重复应用分解，直到进行琐碎的“ 1点”变换为止到达了。
1.2.1 时域抽取
（1） 实现过程
将序列x(n)按n为奇、偶数分为x1(n)、x2(n)两组序列；用2个N/2点DFT来完成一个N点DFT的计算。

设序列x(n)的长度为N，且满足：N = 2**M，M是自然数；

(1) 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列

X1 ( r ) = X(2r),   X2 ( r ) = X(2r + 1),   r = 0,…,N/2;

(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)



由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且由于旋转系数的性质, X(k)又可表示为:



对上式的运算用下图所示的流图符号来表示


一次分解结果如图：



二次分解



结果如图：



三次分解如图：


（2）运算规律及编程思想
原位计算
序列长为N=2**M点的FFT，有M级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。

同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在用一条水平线上。这样，当计算完一个蝶形后，所得的输出数据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值。

原位计算：利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方法。

优点：节约存储空间、降低设备成本。
旋转因子
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p称为旋转因子的指数。N＝8 ＝2**3 时各级的旋转因子


距离
同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目

第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2M-L个蝶形中；

同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离”

第L级中，蝶距：D=2L。

同一蝶形运算两输入数据的距离

在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶形的2个输入数据相距：B=2*L-1。
码位颠倒
输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关系为倒位关系。
1.2.2 频域抽取
由于本项目未使用频域抽取，故不作实现介绍
（1） 运算规律比较
相同：

DIF-FFT算法也可采用原位计算；N=2M时，共有M级运算，每级共有N/2个蝶形，DIT与DIF算法的运算次数相同。

不同：

DIF-FFT算法输入序列为自然序列，输出为倒序序列。因此，在M级运算完成后，需对输出数据进行倒序才能得到自然顺序的X(k)。

蝶形运算符号不同：DIT-FFT蝶形是先相乘，后加/减；而DIF-FFT蝶形是先加/减，后相乘。
（2）运算量比较
DIF,DIR运算量相同


2. Matlab实现
由于matlab可直接使用fft函数进行运算，故matlab代码较简单，也只用来生成初始化数据及标准结果对比；
% 构建输入数据并写入文件用于verilog
width = 8;
depth = 64;
index = linspace(0, 2*pi, depth);
sin_value = sin(index);
sin_value = sin_value * (2^(width-1) -1 );
sin_value = fix(sin_value);
toVerilog = mod(sin_value+256, 256);
fid = fopen('Data_Input.txt', 'wt');
fprintf(fid, '%02x 00\n', toVerilog);
fclose(fid);

% 计算用于verilog的Wn的参数，均乘以255
fid = fopen('Data_Parameter.txt', 'wt');
for i = 1:6
    N = 2^i;
    for j = 0:N/2-1
        real_f = cos(2*pi*j/N);
        imag_f =-sin(2*pi*j/N); 
        real_d = fix(real_f * 127);
        imag_d = fix(imag_f * 127);
        real_d = mod(real_d + 256, 256);
        imag_d = mod(imag_d + 256, 256);
        %fprintf(fid, '(%02d.%02d) %02x %02x \t%1.4f     %1.4f\n',i, j, real_d, imag_d, real_f, imag_f);
        fprintf(fid, '%02x %02x\n',real_d, imag_d);
    end
end
fclose(fid);  

% 计算FFT
n = 0:depth-1;
y = fft(sin_value);
for i = 1 : depth
    yreal(i) = fix(real(y(i)));
    yimag(i) = fix(imag(y(i)));
end
yint = [yreal; yimag]'; % 最终比对用FFT结果

本文结束，详情可见下篇博客