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  • # softmax函数应用

    2019-05-05 10:32:53
    # softmax函数应用 ## 1.softmax初探 ​ 在机器学习中,softmax是十分常用而且...​ 首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。比如有两个变量a,b,即哪个大取哪...

    # softmax函数应用

    ## 1.softmax初探

    ​    在机器学习中,softmax是十分常用而且重要的一个函数,尤其在多分类的场景中使用广泛。它把一些输入映射为0-1之间的实数,并且归一化保证和为1,因此多分类的概率之和也刚好为1。

    ​    首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。比如有两个变量a,b,即哪个大取哪个值。max存在的一个问题是什么呢?如果将max看成一个分类问题,就是非黑即白,最后的输出是一个确定的变量。更多的时候,我们希望输出的是取到某个分类的概率,或者说,我们希望分值大的那一项被经常取到,而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到,所以我们就应用到了soft的概念,即最后的输出是每个分类被取到的概率。

    ## 2.softmax的定义

    首先给一个图,这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。
     

    假设有一个数组V,Vi表示V中的第i个元素,那么这个元素的softmax值为:
    S_{i}=\frac{e^i}{\sum_{j}e^j}
    该元素的softmax值,就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。
    这个定义可以说很简单,也很直观。那为什么要定义成这个形式呢?原因主要如下。 
    1.softmax设计的初衷,是希望特征对概率的影响是乘性的。 
    2.多类分类问题的目标函数常常选为`cross-entropy`。
    即:
    L = -\sum_{k}t_k*lnP(y=k)
    其中目标类`t_k`为1,其余类的`t_k`为0。 
    在神经网络模型中(`logistic regression`可看成没有隐含层的神经网络),输出层第i个神经元的输入为
    a_i=\sum_{d}w_dx_d
    神经网络error是用 `back-propagation`训练的,这个过程中有一个关键的量是`∂L/∂αi`
    。后面我们会进行详细推导。## 3.softmax求导
    前面提到,在多分类问题中,我们经常使用交叉熵作为损失函数 
    Loss = -\sum_{i}t_i*lny_i
    其中,`t_i`表示真实值,`y_i`表示求出的softmax值。当预测第`i`个时,可以认为`t_i=1`。此时损失函数变成了: 
    Loss_i=-lny_i
    接下来对`Loss`求导。根据定义:
    y_i=\frac{e^i}{\sum_je^j}
    我们已经将数值映射到了`0-1`之间,并且和为`1`,则有:
    \frac{e_i}{\sum_je^j}=1-\frac{\sum_{j\neq i}e^j}{\sum_je^j}
    接下来开始求导 
    \frac{\partial(Loss_i)}{\partial_i}=-\frac{\partial(lny_i)}{\partial_i} =\frac{\partial(-ln(\frac{e^i}{\sum_je^j}))}{\partial_i} =-\frac{1}{\frac{e^i}{\sum_je^j}}*\frac{\partial(\frac{e^i}{\sum_je^j})}{\partial_i} =-\frac{\sum_je^j}{e^i}*\frac{\partial(1-\frac{\sum_{j\neq i}e^j}{\sum_je^j})}{\partial_i} =\frac{\sum_je^j*\sum_{j\neq i}e^j}{e^i}*\frac{-e^i}{(\sum_je^j)^2} =\frac{\sum_{j\neq ie^j}}{\sum_je^j}=-(1-\frac{e^i}{\sum_je^j}) =y_i-1
    上面的结果表示,我们只需要正向求出`y_i`,将结果减1就是反向更新的梯度。

    4.softmax VS k个二元分类器

    如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢? 
    这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。) 
    如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 
    现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢? 
    在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。


    ###参考文献:

    1.[博文](https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/82320853)
     

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  • 小白都能看懂的softmax详解

    万次阅读 多人点赞 2018-09-02 23:35:37
    1.softmax初探 在机器学习尤其是深度学习中,...首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。对于max我们都很熟悉,比如有两个变量a,b。如果a>b,则max为...

    项目github地址:bitcarmanlee easy-algorithm-interview-and-practice
    经常有同学私信或留言询问相关问题,V号bitcarmanlee。github上star的同学,在我能力与时间允许范围内,尽可能帮大家解答相关问题,一起进步。

    1.softmax初探

    在机器学习尤其是深度学习中,softmax是个非常常用而且比较重要的函数,尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数,并且归一化保证和为1,因此多分类的概率之和也刚好为1。
    首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。对于max我们都很熟悉,比如有两个变量a,b。如果a>b,则max为a,反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b
    另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢?如果将max看成一个分类问题,就是非黑即白,最后的输出是一个确定的变量。更多的时候,我们希望输出的是取到某个分类的概率,或者说,我们希望分值大的那一项被经常取到,而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到,所以我们就应用到了soft的概念,即最后的输出是每个分类被取到的概率。

    2.softmax的定义

    首先给一个图,这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。
    这里写图片描述
    (图片来自网络)

    假设有一个数组V,ViV_i表示V中的第i个元素,那么这个元素的softmax值为:
    Si=eijejS_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j}
    该元素的softmax值,就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。

    这个定义可以说很简单,也很直观。那为什么要定义成这个形式呢?原因主要如下。
    1.softmax设计的初衷,是希望特征对概率的影响是乘性的。
    2.多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。即L=ktklnP(y=k)L = -\sum_k t_k \cdot lnP(y=k),其中目标类的tkt_k为1,其余类的tkt_k为0。
    在神经网络模型中(最简单的logistic regression也可看成没有隐含层的神经网络),输出层第i个神经元的输入为ai=dwidxda_i = \sum_d w_{id} x_d
    神经网络是用error back-propagation训练的,这个过程中有一个关键的量是L/αi\partial L / \partial \alpha_i。后面我们会进行详细推导。

    3.softmax求导

    前面提到,在多分类问题中,我们经常使用交叉熵作为损失函数
    Loss=itilnyiLoss = - \sum_i t_i lny_i
    其中,tit_i表示真实值,yiy_i表示求出的softmax值。当预测第i个时,可以认为ti=1t_i = 1。此时损失函数变成了:
    Lossi=lnyiLoss_i = -lny_i
    接下来对Loss求导。根据定义:
    yi=eijejy_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j}
    我们已经将数值映射到了0-1之间,并且和为1,则有:
    eijej=1jiejjej\frac{e^i}{\sum_j e^j} = 1 - \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}

    接下来开始求导
    Lossii=lnyii=(lneijej)i=1eijej(eijej)i=jejei(1jiejjej)i=jejei(jiej)(1jej)i=jejjiejeiei(jej)2=jiejjej=(1eijej)=yi1{\begin{aligned} \frac{\partial Loss_i}{\partial _i} & = - \frac{\partial ln y_i}{\partial _i} \\ & = \frac{\partial (-ln \frac{e^i}{\sum_j e^j}) }{\partial _i} \\ & = - \frac {1}{ \frac{e^i}{\sum_j e^j}} \cdot \frac{\partial (\frac{e^i}{\sum_j e^j})}{ \partial_i} \\ & = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot \frac{\partial (1 - \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}) } {\partial_i} \\ & = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot (- \sum _ {j \neq i}e^j ) \cdot \frac{\partial( \frac {1} {\sum_j e^j} ) } { \partial _i} \\ &= \frac { \sum_j e^j \cdot \sum_{j \neq i} e^j} {e^i } \cdot \frac { - e^i} { (\sum_j e^j) ^ 2} \\ & = -\frac { \sum_{j \neq i} e^j } { \sum_j e^j } \\ & = -(1 - \frac{ e ^ i } { \sum_j e^j } ) \\ & = y_i - 1 \end{aligned}}

    上面的结果表示,我们只需要正想求出yiy_i,将结果减1就是反向更新的梯度,导数的计算是不是非常简单!

    上面的推导过程会稍微麻烦一些,特意整理了一下,结合交叉熵损失函数,整理了一篇新的内容,看起来更直观一些。
    交叉熵损失函数(Cross Entropy Error Function)与均方差损失函数(Mean Squared Error)

    4.softmax VS k个二元分类器

    如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?
    这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)
    如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
    现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?
    在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

    参考文献:
    1.https://www.zhihu.com/question/40403377
    2.http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归

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  • softmax详解

    2020-02-14 20:03:44
    1.softmax初探 在机器学习尤其是深度学习中,softmax是...首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。对于max我们都很熟悉,比如有两个变量a,b。如果a>b,则max为a...

    1.softmax初探
    在机器学习尤其是深度学习中,softmax是个非常常用而且比较重要的函数,尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数,并且归一化保证和为1,因此多分类的概率之和也刚好为1。 
    首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。对于max我们都很熟悉,比如有两个变量a,b。如果a>b,则max为a,反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。 
    另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢?如果将max看成一个分类问题,就是非黑即白,最后的输出是一个确定的变量。更多的时候,我们希望输出的是取到某个分类的概率,或者说,我们希望分值大的那一项被经常取到,而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到,所以我们就应用到了soft的概念,即最后的输出是每个分类被取到的概率。

    2.softmax的定义
    首先给一个图,这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。 

    (图片来自网络)

    假设有一个数组V,ViVi表示V中的第i个元素,那么这个元素的softmax值为: 
    Si=ei∑jej
    Si=ei∑jej

    该元素的softmax值,就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。
    这个定义可以说很简单,也很直观。那为什么要定义成这个形式呢?原因主要如下。 
    1.softmax设计的初衷,是希望特征对概率的影响是乘性的。 
    2.多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。即L=−∑ktk⋅lnP(y=k)L=−∑ktk⋅lnP(y=k),其中目标类的tktk为1,其余类的tktk为0。 
    在神经网络模型中(最简单的logistic regression也可看成没有隐含层的神经网络),输出层第i个神经元的输入为ai=∑dwidxdai=∑dwidxd。 
    神经网络是用error back-propagation训练的,这个过程中有一个关键的量是∂L/∂αi∂L/∂αi。后面我们会进行详细推导。

    3.softmax求导
    前面提到,在多分类问题中,我们经常使用交叉熵作为损失函数 
    Loss=−∑itilnyi
    Loss=−∑itilnyi

    其中,titi表示真实值,yiyi表示求出的softmax值。当预测第i个时,可以认为ti=1ti=1。此时损失函数变成了: 
    Lossi=−lnyi
    Lossi=−lnyi

    接下来对Loss求导。根据定义: 
    yi=ei∑jej
    yi=ei∑jej

    我们已经将数值映射到了0-1之间,并且和为1,则有: 
    ei∑jej=1−∑j≠iej∑jej
    ei∑jej=1−∑j≠iej∑jej
    接下来开始求导 
    ∂Lossi∂i=−∂lnyi∂i=∂(−lnei∑jej)∂i=−1ei∑jej⋅∂(ei∑jej)∂i=−∑jejei⋅∂(1−∑j≠iej∑jej)∂i=−∑jejei⋅(−∑j≠iej)⋅∂(1∑jej)∂i=∑jej⋅∑j≠iejei⋅−ei(∑jej)2=∑j≠iej∑jej=−(1−ei∑jej)=yi−1
    ∂Lossi∂i=−∂lnyi∂i=∂(−lnei∑jej)∂i=−1ei∑jej⋅∂(ei∑jej)∂i=−∑jejei⋅∂(1−∑j≠iej∑jej)∂i=−∑jejei⋅(−∑j≠iej)⋅∂(1∑jej)∂i=∑jej⋅∑j≠iejei⋅−ei(∑jej)2=∑j≠iej∑jej=−(1−ei∑jej)=yi−1
    上面的结果表示,我们只需要正想求出yiyi,将结果减1就是反向更新的梯度,导数的计算是不是非常简单!

    4.softmax VS k个二元分类器
    如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢? 
    这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。) 
    如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 
    现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢? 
    在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

    参考文献: 
    1.https://www.zhihu.com/question/40403377 
    2.http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归
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    展开全文
  • 1.softmax初探 在机器学习尤其是深度学习中,softmax是...首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。对于max我们都很熟悉,比如有两个变量a,b。如果a>b,则max为...

    1.softmax初探

    在机器学习尤其是深度学习中,softmax是个非常常用而且比较重要的函数,尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数,并且归一化保证和为1,因此多分类的概率之和也刚好为1。 
    首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义,softmax由两个单词组成,其中一个是max。对于max我们都很熟悉,比如有两个变量a,b。如果a>b,则max为a,反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。 
    另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢?如果将max看成一个分类问题,就是非黑即白,最后的输出是一个确定的变量。更多的时候,我们希望输出的是取到某个分类的概率,或者说,我们希望分值大的那一项被经常取到,而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到,所以我们就应用到了soft的概念,即最后的输出是每个分类被取到的概率。

    2.softmax的定义

    首先给一个图,这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。 
     这里写图片描述 

    假设有一个数组V,Vi表示V中的第i个元素,那么这个元素的softmax值为: 

    该元素的softmax值,就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。
    这个定义可以说很简单,也很直观。那为什么要定义成这个形式呢?原因主要如下。 

    1. softmax设计的初衷,是希望特征对概率的影响是乘性的。 
    2. 多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。

    3.sofmax求导

    准备工作

    首先是神经元的输出,一个神经元如下图:


    神经元的输出设为:z_{i}=\sum _{j}w_{ij}x_{ij}+b

    其中w_{ij}是第i个神经元的第j个权重,b是偏移值。z_i表示该网络的第i个输出。

    给这个输出加上一个softmax函数,那就变成了这样:

    ai​代表softmax的第i个输出值,右侧就是套用了softmax函数。

    损失函数可以有很多形式,这里用的是交叉熵函数,主要是由于这个求导结果比较简单,易于计算,并且交叉熵解决某些损失函数学习缓慢的问题。交叉熵的函数是这样的:

    推导过程

    • 因为softmax公式的特性,它的分母包含了所有神经元的输出,所以,对于不等于i的其他输出里面,所有的a都要纳入到计算范围中,并且后面的计算可以看到需要分为i=j和i≠j 。

    i=j:

    i≠j :

    和上面的式子组合起来就是:

    最后的结果看起来简单了很多,最后,针对分类问题,我们给定的结果y_i最终只会有一个类别是1,其他类别都是0,因此,对于分类问题,这个梯度等于:

    4.softmax VS k个二元分类器

    如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢? 
    这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。) 
    如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 
    现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢? 
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    2019-03-05 10:06:18
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    2019-01-24 09:36:49
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