更新说明：为满足部分考研学子的需求，本次新增内容主要有反三角函数图像、性质、基本公式(不含推理,若感兴趣可以去了解)。(更新于：Oct 9,2020)

首先，本人做一下简要的自我介绍。

本科已毕业，经历过考研复习(没上战场，至于什么原因以后再论)。说到三角函数公式，不管是高考也好还是考研也好，都逃不脱高中必修四“三角函数”部分，作为复习过来人，我将通过口诀以及图解的方式来帮助更多的同学来理解公式(以下只是我的学习方法)，达到精准高效的目的de。进入正文之前先show一波俺之前的考研数学笔记。

内容概要

1. 基本三角函数定义&关系式
2. 三角函数图像性质
3. 诱导公式
4. 二角和差公式
5. 倍角&半角公式
6. 和差化积&积化和差公式
7. 万能公式
8. 三倍角公式(高中不要求!)
9. 辅助角公式
10. 反三角函数(高中不要求!)
11. 结束语

以下内容我会通过图解+公式+口诀or记忆技巧用斜体的方式为大家呈现，部分重要的公式会用黑体(包括部分公式推理)加以区别。

一、基本三角函数定义&关系式

1. 基本三角函数定义

首先，搞一个直角三角形(如下图所示)，其中以

以上是常用的三角函数定义，高中的话不要求掌握正割和余割函数(由表可以看出正割函数等于余弦函数的倒数，同理，余割函数等于正弦函数的倒数，说实话高中有时候余切函数都很少用)。

2. 基本三角函数关系式

基本三角函数关系有以下三种

① 倒数关系：tanA·cotA=1; sinA·cscA=1; cosA·secA=1

② 商数关系：tanA=

③ 平方(和)关系： sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A

How to Understand? ↓↓↓

下面给出正六边形帮助大家去理解三角函数之间的关系：

其图形特征为——上弦中切下为割，左正右余1中间。

⑴对角相乘乘积为1(如图4)。

⑵六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置函数等于它相邻两个函数的乘积。(如图5)

由左图可知tanA·cosA=sinA，当我们把cosA移到等式右边时等式就变为商数关系(右图同理)。

上面商数关系只写了两个，当然还可以得到tanA·cscA=secA; secA·cotA=cscA; cscA·cosA=cotA; secA·sinA=tanA.

⑶阴影部分的三角形，位于上方两个顶点函数的平方和等于下顶点函数的平方值。(如图6)

由图分别可以得到sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A

(PS:很多人可能会像我之前理解这些公式那样会将中间或者右边那个图误认为是tan²A+sec²A=1；cot²A+csc²A=1,当然可能是受到了sin²A+cos²A=1的影响。在上面三角形中其实是以倒三角的底边作平方和，下顶点为其结果的平方，这样就不会搞错了。)

二、三角函数图像性质

1.正弦函数

1.1 函数图像

1.2 图像性质

①定义域(D)：R

②值域(

): [-1,1]

③周期(T): 2π

④奇偶性：奇函数

⑤单调性：

在

在

⑥最值：

当

⑦有界性:

2. 余弦函数

2.1 函数图像

2.2 图像性质

①定义域(D)：R

②值域(

): [-1,1]

③周期(T): 2π

④奇偶性：偶函数

⑤单调性：

在

在

⑥最值：

当

⑦有界性:

3. 正切函数

3.1 函数图像

2.2 图像性质

①定义域(D)：

②值域(

): R

③周期(T): π

④奇偶性：奇函数

⑤单调性：

在

⑥最值：无最大、最小值。

三、诱导公式

为什么会有诱导公式？是因为在实际生活当中角度的旋转量有时候不在[0.2π](rad:弧度)这个区间的情况，假如让我们计算不是0-360°的三角函数时，我们有必要引入诱导公式来将一个角度控制在0-360°范围之内，有利于计算方便。为了引出诱导公式，首先从角度的扩充说起。

1. 角度的扩充与象限角

按照高中之前的教学，角度的范围只能限制在[0.2π]之间。于是用另一种方式表示角：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角，这条射线叫做角的始边，旋转到的位置所对应的边叫做角的终边，而这个公共端点叫做角的顶点。通常把逆时针旋转的角称为正角，顺时针旋转的角称为负角(如下图7所示)，如果没有进行旋转，也视为形成了一个角，这个角叫做零角。

当角的终边落在第几象限，就说这个角是象限角或说这个角属于第几象限。

第一象限：2kπ<α< 2kπ+

第二象限：2kπ+

第三象限：2kπ+π<α< 2kπ+

第四象限：2kπ+

2. 三角函数在各个象限的符号

如果不考虑余切函数的话，将得出如下结论：第一个象限正余弦、正切全为正，第二三四象限分别只有正弦、正切、余弦为正，除此之外全是负。

即：一全正，二正弦。三正切，四余弦。

3. 诱导公式理解

记住一个通用的口诀就行——奇变偶不变，符号看象限。

How to Understand? ↓↓↓

※奇变偶不变：其中奇偶是指

※符号看象限：首先我们把角当作一个锐角处理，当这个锐角加或减上

不是变化后的函数)来判断，最后由上表就可以判断出符号的正负了。

举个例子：计算 sin(

Step①:我们可以将等式看做sin( -A+

Step②:画完草图后，然后将角A终边逆时针旋转270°(

Step③:最后判断旋转后的终边在第三象限，看正弦函数(不是变化后的余弦函数)在第三象限的符号，根据上述表8可知符号是负的。于是结果为-cosA。

4. 诱导公式表格

这部分内容要多加练习，熟练后可心算得出答案。

四、二角和差公式

谐音记忆公式法

把sin第一个音读作"散(san)"，把cos第一个音读作"扩kuo"。

1-①:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ(散扩加扩散)

1-②:sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ(散扩减扩散)

1-③:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ(扩扩减散散)

1-④:cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ(扩扩加散散)

1-⑤:tan(α+β)=

分子同号，分母异号)

1-⑥:tan(α-β)=

分子同号，分母异号)

1-⑦:cot(α+β)=

1-⑧:cot(α-β)=

五、倍角&半角公式

该部分内容可由公式直接推出。

1. 倍角公式

2-①:sin2α=2sinα·cosα(推理:将公式1-①中的β换成α)

2-②:cos2α=cos²α-sin²α(推理:将公式1-③中的β换成α)=1-2sin²α=2cos²α-1

("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

2-③:tan2α=

(推理:将公式1-⑤中的β换成α)

2-④:cot2α=

(1=tanα·cotα)= (推理:分子分母同乘cot²α)

2. 半角公式

2-⑤:sin

=

(推理:将公式2-②中的cos2α=1-2sin²α,然后将α换成α/2，移项开方即可)

2-⑥:cos

=

(推理:将公式2-②中的cos2α=2cos²α-1,然后将α换成α/2，移项开方即可)

2-⑦:tan

= (推理:将公式2-⑤与公式2-⑥之比即可)

PS:其中正负由

的终边所在象限确定。

当然我们还可以得到tan

tan

= = (分子分母同乘以 )= (2倍角公式)

tan

= = (分子分母同乘以 )= (2倍角公式)

故tan

= = ，同理还可以得出cot

2-⑧：cot

(1=tanα·cotα)

六、和差化积&积化和差公式

1. 和差化积公式

1.1 公式及其特点

3-①: sinα+sinβ=2sin

·cos

3-②: cosα+cosβ=2cos

·cos

3-③: sinα-sinβ=2cos

·sin

3-④: cosα-cosβ=-2sin

·sin

3-⑤: tanα+tanβ=

3-⑥: tanα-tanβ=

3-⑦: cotα+cotβ=

3-⑧: cotα-cotβ=

公式特点：前四个等式左边是和的形式，右边为乘积的形式，且倍数为2，第一个函数名后是

。

1.2 公式记忆法则(只讨论前四个)

四个公式分别对应了一个口诀(通用版本)

⑴ 正加正，正在前。

⑵ 余加余，余并肩。

⑶ 正减正，余在前。

⑷ 余减余，负正弦。(注意有负号!)

1.3 公式推理

下面只给出公式3-①、3-②推导.

⑴ 公式3-①推导

根据前面的公式1-①、1-②。

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②

二式相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ, 记α+β=θ；α-β=φ。解得α=

;β=

代入式中即得sinθ+sinφ=2sin

·cos 。

⑵ 公式3-②推导

根据前面的公式1-③、1-④。

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ······1-③

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ······1-④

二式相加，得

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ, 记α+β=θ；α-β=φ。解得α=

;β= ,

代入式中即得cosθ+cosφ=2cos

·cos

◆将公式1-①、1-②相减按照同样的方法可以得出公式3-③，

◆将公式1-③、1-④相减按照同样的方法可以得出公式3-④.

2.积化和差公式

2.1 公式及其特点

3-⑨: sinα·cosβ=

[sin(α+β)+sin(α-β)]

3-⑩: cosα·cosβ=

[cos(α+β)+cos(α-β)]

3-⑪: cosα·sinβ=

[sin(α+β)-sin(α-β)]

3-⑫: sinα·sinβ=

[cos(α+β)-cos(α-β)]

公式特点：等式左边是乘积的形式,等式的右边为和的形式且倍数为

α+β；第二个函数名里面是 α-β。

2.2 公式记忆法则

之前看了很多个版本，我决定用一首诗去理解它(非本人原创)，形象又直观。

⑴积化和差得和差

⑵余弦在后要相加(正弦在后就相减)

⑶异名函数取正弦(同名函数取余弦)

⑷正弦相乘取负号(注意有负号!)

2.3 公式推理

下面只给出3-⑨的证明，其余的公式证明过程相似。

根据公式1-①、1-②。

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②

二式相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ，等式两边同时除以2即可。

七、万能公式

1.公式内容

4-①: sinα=

4-②: cosα=

4-③: tanα=

(其中u=tan

)

2.公式推理

⑴公式4-①推导

sinα=2sin

·cos (二倍角)= ("1"的妙用:sin² +cos² =1)

=

(分子分母同除以cos² )

⑵公式4-②推导

cosα=cos²

-sin² (二倍角)= ("1"的妙用:sin² +cos² =1)

=

(分子分母同除以cos² )

⑶公式4-③(推导)

tanα=tan(2·

)= (二倍角)

八、三倍角公式(更新于2020.2.23)

这部分内容是为了部分考研的同学。话不多说，直接开冲！

1.公式内容&记忆法则

5-①:sin3α=-4sin³α+3sinα[负4三方加3(倍)角]

5-②:cos3α=4cos³α-3cosα[4倍三方减3(倍)角]

2.公式推理

⑴公式5-①推导

sin3α=sin(α+2α)=sinα·cos2α+cosα·sin2α(公式1-①)

=sinα·(1-2sin²α)+2cos²α·sinα(二倍角公式)

=sinα-2sin³α+2(1-sin²α)·sinα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

=-4sin³α+3sinα

⑵公式5-②推导

cos3α=cos(α+2α)=cosα·cos2α-sinα·sin2α(公式1-③)

=cosα·(2cos²α-1)-2sin²α·cosα(二倍角公式)

=2cos³α-cosα-2(1-cos²α)·cosα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

=4cos³α-3cosα

九、辅助角公式

a·sinα+b·cosα=

sin(α+φ),其中tanφ= (φ=arctan ),推导过程略。

十、反三角函数(更新于:2020.10.9)

1.概念(个人理解)

顾名思义，反三角函数就是三角函数的反函数，就好比指数函数和对数函数一样互为反函数。打个比方：sina=b,则b=arcsina。

2.反三角函数图像&性质

(1)反正弦函数图像、性质

图像性质：

①定义域(D)：

②值域(

):

③周期(T): 无

④奇偶性：奇函数

⑤单调性：在定义域内单增

⑥有界性：函数在定义域内有界，

(2)反余弦函数图像、性质

图像性质：(图像与x轴交点是(1,0),与y轴交点是(0,π/2)。)

①定义域(D)：

②值域(

):

③周期(T): 无

④奇偶性：无

⑤单调性：在定义域内单减

⑥有界性：函数在定义域内有界，

(3)反正切函数图像、性质

图像性质：

①定义域(D)：R (说明:y=arctanx是y=tanx在(

②值域(

):

③周期(T): 无

④奇偶性：奇函数

⑤单调性：在定义域内单增

⑥有界性：函数在定义域内有界，

3.几个常用公式

3.1

3.2

3.3

十一、结束语

到最后，我想给大家说的是。

1、建议不要死记公式，最有效记住公式的办法是"做题(我当时的学习方法，后来觉得公式太多，然后就通过口诀辅助记忆)"。归根到底，以上任何公式记忆没有"直觉"来得快。

2、口诀旨在帮助你有效记住公式，起到辅助的作用。当然，不排除有更好的方法。毕竟，每个人的学习方法不同。很多人说公式没用，不管有没有用，但你的最终目的就是在考试时候能根据题目回想起所学的某个定理、性质、公式去解决数学问题。

3、关于公式的推理有很多种，大家可以在闲暇时间拿出你的笔和纸上自行推理一下(paper自己准备，笔我已经给你备好，不够？上一盒)。

4、文中若有错误的地方，恳请广大"乎友、带佬"们指正；若对你的学习有帮助，请不忘点个赞或转发给你身边正在备考的同学，在下表示万分感谢。

In The End.

Thanks for your reading!

大家好，我是宝刀君，很高兴我们又见面了~

在离散系统分析中，大家刚开始学习时，会遇到2类题：一类是没有采样开关，让你求系统的输出Z变换C(z)；另一类是有采样开关时，让你求系统的闭环脉冲传递函数，进而进行后续的系统稳定性分析φ(z)。

难吗？

会的不难，不会的难。

那如何从“不会”跃迁到“会”呢？

我觉得你只要懂梅逊增益公式的理论，然后经今天我这篇文章的点拨，下来好好琢磨下，多加练习，一定可以掌握！

什么，梅逊增益公式？

那不是连续系统里时域分析中根据结构图直接一步到位写闭环传递函数(或误差传递函数)的吗？怎么又跑到离散系统中了？这两部分又有什么关系呢？

莫急莫急，听我慢慢道来，下面我会一步步演示，你只管备好茶，悠哉悠哉的慢慢往下看即可。

1

零阶保持器

这是课本上关于零阶保持器的定义、作用，虽然课本已被涂写的面目全分，但是大部分内容还是可以看见的，大家忍一忍，后面我会附精美PPT图：

关于零阶保持器的简要笔记：

零阶保持器的作用：把上一采样时刻的采样值一直保持到下一采样时刻。只要下一个采样时刻不过来，那我就一直保持住，反映到图形上，就是有阶梯状的信号。

零阶保持器的传递函数：如上图6.12，自己记下。

零阶保持器的特点：具有低通滤波特性、易产生相角滞后。

2

脉冲传递函数的定义

课本上关于脉冲传递函数的定义，需要强调的是：输出那里有一个虚设的采样开关，而如果有采样开关，这会有什么效应呢？

3

采样开关的影响

下面这两页内容，估计任何一本自控教材都能看到这个内容。无采样开关时，G1G2两个乘起来后再做Z变换，这个之所以能做Z变换，正是因为在输出那里，有一个虚设的采样开关。

如果串联环节之间有采样开关时，这时候就可以各自独立做Z变换，然后再乘在一起了，即G1(z)G2(z)，之所以有Z变换，是因为环节之后紧跟着采样开关，只要有采样开关，那就可以做z变换。

上图中，有零阶保持器时，有一个常用的化简技巧：涉及零阶保持器时，做Z变换的话，你可以提前把(1-Z^-1)单独提出来，然后把1/s和其他的环节乘在一起再做Z变换。

4

梅逊增益公式法求闭环脉冲传递函数

下面给出课本上的例题，看看课本是如何求解系统的闭环脉冲传递函数 和 误差脉冲传递函数 。

仔细看下例题中的闭环脉冲传递函数表达式(6.48)，分子是前向通道的z变换(为啥能做Z变换？因为输出那儿有一个采样开关)，而分母是前向通道与反馈通道乘起来后再做Z变换，也就是回路的Z变换！

再默念两句体会下：分子是前向通道的Z变换，分母是回路的Z变换，好像梅逊增益公式的书写结构和上图的结构很类似啊，看着就好像只是将S换成了Z而已。

有木有感觉？

或许有同学会说：老师，拉倒吧，你这题误差e(t)处有采样开关，因此能求出来闭环脉冲传递函数φ(z)，那要是求C(z)呢？你这招还能继续用吗？

完全可以！！！

不信？

那就看下面的例题6.17，当然你要是想检验上面说的那招，可以对例题6.16继续测试下：

看上面的例题6.17哦，误差信号处没有采样开关，因此解不出闭环脉冲传递函数，只能写出C(Z)表达式，而要写C(Z)表达式，要是用书上的方法推导的话，未免过于麻烦，而且从线下辅导学生反响的情况来看，好多学生直接反映看不懂，一脸懵逼啊！

如果你有幸读了本文，或者旁听过类似的理论，那就不会迷茫。

你看看C(Z)的表达式，分子是两者乘起来后做Z变换，分母是H和G乘起来再做Z变换，就是1加上了一个回路而已，整体结构上，依然是梅逊增益公式的理论啊！

因此，不管你误差那里有没有采样开关，这根本不影响梅逊增益公式的使用！无非就是输入R要不要与别人绑定在一起做Z变换的问题，有采样开关时，我输入R出来单干，直接可以做Z变换；如果没有采样开关，对不起，我这时就得抱大腿了，和后面的环节绑定在一起再做Z变换。整体书写时，用的还是梅逊增益公式的理论。

5

精美PPT知识点呈现

上面的图片是我课本上的，或许图片有些粗糙，要点没有提取出来，下面我把百度文库上下载的精美PPT的截图传到这里，大家可以自行长按保存到手机里，闲暇时复习看。

脉冲传递函数的定义

有无采样开关的影响

有零阶保持器时的处理

有零阶保持器时，注意看前面讲的化简技巧。

闭环脉冲传递函数的求解方法

注意看上面这张PPT的“简单求解方法”三个步骤，说的比较含蓄，但其实讲的就是利用连续系统里的梅逊增益公式理论啊！这里我以一道821自控原理的2011年真题给大家演示一下：

如上图所示，第一问让求输出Z变换C(z)。好，那我就用宝刀君传授的方法来推演下试试：

诺，由图可知，前向通道是2个，最上面的是RG2G4，由于这中间没有采样开关，因此这三个得乘在一起做Z变换，能做Z变换是因为在输出那里有个虚设的采样开关。

第二个前向通道是最中间的，RG1(z)GhG3G4(z)，由于R后无采样开关，G1后面紧跟的是误差那的采样开关，因此R和G1乘在一起做Z变换，同样的道理，后面三个GhG3G4(z)乘在一起做Z变换。

而分母，我就找回路，这里面只有一个回路，因此是1+GhG3G4H(z)。

因此，如果真正理解了梅逊增益公式，把公式口诀倍的滚瓜烂熟的，类似的遇到如下的课后题(有可能改编成考研题)，就可以分分钟写出来：

6

总结

要想学好自控，如何快速正确的求出系统的开环闭环传递函数是基础，也是最关键的，梅逊公式你理解透彻了，写熟练了，到后面分析离散系统和用描述函数法分析非线性系统依然能用！也只有你运用的非常流畅时，才能体会到我之前在文章：戎马一生的梅逊公式告诉你：如何携手闭环特征方程并肩作战经典自控各章典型问题？中末尾写的那段话，还真不是吹牛！

前期文章的末尾

你最好结合下面的一块看：——  END  ——