常用分布之二项分布


典型例题 


常用分布之泊松分布

Poisson分布 

典型例题 




常用分布之均匀分布

均匀分布 

典型例题 




常用分布之指数分布

指数分布 

典型例题 




常用分布之正态分布

正态分布N(0,1) 

标准正态分布 

典型例题 

概率论常用分布


伯努利分布
二项分布
几何分布
泊松分布
beta分布
均匀分布
指数分布
正态分布
卡方分布

015 t分布、卡方分布、F分布习题及正态总体下常用分布

这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。
常用离散分布
二项分布（Binomial Distribution）
记 
 为 
 重伯努利试验中成功的事件（记为 
 ）的次数，则 
 服从二项分布。记 
 为事件 
 发生的概率， 
 的分布列为：
记
符号“~”读作“服从于”，该记号表示随机变量 
 服从参数为 
 的二项分布。
容易想到，二项概率恰好是二项式 
 的展开式的第 
 项，这也是“二项分布”的名称的由来。
应用举例：
设射手命中率为 
 ，则射击 
 次，命中的次数 
 .
已知人群中色盲率为 
 ，在人群中随机调查50个人，则其中色盲患者 
 .
某药品的有效率为 
 ，今有 
 人服用，则服药有效的人数 
 .
……
数学期望： 

方差：
两点分布（Bernoulli Distribution）
是一种当 
 时的特殊的二项分布，又名
0-1分布，伯努利分布，用来描述一次伯努利试验中成功的次数 
 。 
 服从两点分布，分布列为：
或表示为：
其中 
 为事件成功的概率。
应用举例：
小明投篮命中率为 
 ，投篮一次，其命中的次数 
彩票中奖率为 
 ，小明购买一张彩票，其中奖的次数 
不会做的单项选择题做对的概率为 
 ，随机选择一个选项，做对的次数 
……
两点分布是特殊的二项分布，在二项分布数学期望和方差的公式中取 
 得到两点分布：
数学期望： 

方差：
二项分布与两点分布的关系：若有一列独立同分布于 
 的随机变量序列 
 ，则其和：
这个结论表明两点分布具有可加性，且对于服从 
 的随机变量 
 ，可看做由 
 个独立同分布于 
 的随机变量 
 的和。
上述“独立同分布”、“可加性”的概念，见：coffee：多维随机变量函数的分布
泊松分布（Poisson Distribution）
分布列：
记 
 。常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系。
应用举例：
某时间段内，来到某商场的顾客数
单位时间内，某网站的点击量
一平方米内玻璃上的气泡数
……
数学期望： 

方差： 
这里数学期望为 
 是指 
 的均值为 
 。譬如对于应用举例1.，某段时间内，来到某商场的顾客数平均而言是 
 。其他的应用类似。
超几何分布（Hypergeometric Distibution）
设有 
 件产品，其中有 
 件不合格品。若从中不放回地随机抽取 
 件，则其中含有的不合格品的件数 
 服从超几何分布，分布列为：
记为 
 .其中 
 ，且 
 均为正整数。
应用举例：从有10件不合格品的100件产品中随机抽取5件，则抽取的产品中不合格品数 
 。
数学期望： 

方差： 
几何分布（Geometric Distribution）
在伯努利试验序列中，记每次试验中事件 
 发生的概率为 
 ,如果 
 为事件 
 首次出现时的试验次数，则 
 。 
 服从几何分布，分布列为：
记作 
 。
应用举例：
某产品的不合格率为 
 ，首次查到不合格品的检查次数 
某射手的命中率为 
 ，首次命中的射击次数 
掷一颗骰子，首次出现六点的投掷次数 
……
数学期望： 

方差： 
几何分布的无记忆性：
设 
 ，对任意正整数 
 ，有：
该性质表明，在前 
 次试验中 
 没有出现的条件下，则在接下去的 
 次试验中 
 仍未出现的概率只与 
 有关，而与以前的 
 次试验无关，似乎忘记了前 
 次试验结果，这就是
无记忆性。
负二项分布（Negative Binomial Distribution）
在伯努利试验序列中，记每次试验中事件 
 发生的概率为 
 ，如果 
 为事件 
 第 
 次出现时的试验次数，则 
 的可能取值为 
 ，称X服从
负二项分布或巴斯卡分布，其分布列为：
记作： 
 ，当 
 时即为几何分布，即
几何分布是特殊的负二项分布。从二项分布和负二项分布的定义中看出，二项分布是伯努利试验次数 
 固定，事件 
 成功的次数 
 在 
 中取值；而负二项分布是事件 
 成功的次数 
 固定，伯努利实验次数 
 在 
 中取值，可见负二项分布的“负”字的由来。
应用举例：
某产品的不合格率为 
 ，产品总数大于5，查到第5件不合格品时，检查次数 
某射手的命中率为 
 ，第十次命中的射击次数 
掷一颗骰子，第三次出现六点时，投掷次数 
……
数学期望： 

方差： 
从负二项分布和几何分布的数学期望和方差的关系可知，类比二项分布与两点分布的关系，可以得到下面的结论：
若有一列独立同分布于 
 的随机变量序列 
 ，则其和：
这并不是说明几何分布具有可加性，因为可加性要求服从该类分布的随机变量的和仍服从该类分布，但是服从几何分布的随机变量的和服从负二项分布，这个概念要特别注意。上述结论只能说明对于服从 
 的随机变量 
 ，可看做由 
 个独立同分布于 
 的随机变量 
 的和。
常用连续分布
正态分布
若随机变量 
 的密度函数为：
则称 
 服从正态分布，称 
 为正态变量。记 
 。其中 
 为
位置参数，用于控制曲线在 
 轴上的位置； 
 为
尺度参数，用于控制曲线的形状。
分布函数：
数学期望： 

方差： 
称 
 时的正态分布为
标准正态分布，其密度函数和分布函数分别为：
任何一个正态变量均可以通过标准化转化为标准正态变量，即若 
 ，则：
其中 
 为标准正态变量。
下面不加证明地给出一些常用性质：
若 
 ：
若 
 ：
其他的类似。
正态分布常用的 
 原则：
均匀分布
若随机变量 
 的密度函数为：
称 
 服从区间 
 上的均匀分布，记作 
 ，其分布函数：
均匀分布又称作平顶分布（因其概率密度为常值函数）。
数学期望： 

方差： 
指数分布
若随机变量 
 的密度函数为：
则称 
 服从参数为 
 的指数分布，记作 
 。指数分布的分布函数为：
指数分布是一种偏态分布，指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布，譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。
数学期望： 

方差： 
指数分布的无记忆性
若随机变量 
 ，则对任意的 
 ，有：
证明：
因为 
 ，所以 
 。又因为
由条件概率可得：
证毕。
该式的含义为：记 
 是某种产品的使用寿命 
 ，若 
 服从指数分布，那么已知此产品使用了 
 没发生故障，则再能使用 
 而不发生故障的概率与已使用的 
 无关，只相当于重新开始使用 
 的概率，即对已使用过的 
 没有记忆。
伽玛分布
先引入伽玛函数：
其中参数 
 。伽玛函数具有下列性质：
当 
 为自然数 
 时：
伽玛分布：
若随机变量 
 的密度函数为：
称X 
 服从伽玛分布，记作 
 。其中 
 为形状参数， 
 为尺度参数。
数学期望： 

方差： 
伽玛函数的特例：
 时的伽玛分布为指数分布：
2.称  
 的伽玛分布为自由度为 
 的 
 （卡方）分布，记作 
 ：
因卡方分布是特殊的伽玛分布，故不难求得卡方分布的：
数学期望： 

方差： 
卡方分布的唯一参数 
 称为它的自由度，具体含义在之后的数理统计中会给出。
贝塔分布
先给出贝塔函数：
其中参数 
 。贝塔函数具有以下性质：
1. 
2.贝塔函数与伽玛函数有如下关系：
贝塔分布：
若随机变量 
 的密度函数为：
则称 
 服从贝塔分布，记作 
 ，其中 
 都是
形状参数。
数学期望： 

方差： 
总结