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常用分布
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典型例题常用分布之泊松分布
Poisson分布
典型例题常用分布之均匀分布
均匀分布
典型例题常用分布之指数分布
指数分布
典型例题常用分布之正态分布
正态分布N(0,1)
标准正态分布
典型例题 -
概率论常用分布
2018-09-14 14:18:55概率论常用分布 伯努利分布 二项分布 几何分布 泊松分布 beta分布 均匀分布 指数分布 正态分布 卡方分布概率论常用分布
- 伯努利分布
- 二项分布
- 几何分布
- 泊松分布
- beta分布
- 均匀分布
- 指数分布
- 正态分布
- 卡方分布
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015 t分布、卡方分布、F分布习题及正态总体下常用分布
2017-12-01 06:56:55 -
如何证明服从卡方分布_常用分布
2020-12-31 08:17:39这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。常用离散分布二项分布(Binomial Distribution)记 为 重伯努利试验中成功的事件(记为 )的次数,则 服从二项分布。记 为事件 发生的概率, 的分布列为: 记 ...这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。
常用离散分布
二项分布(Binomial Distribution)
记
为
重伯努利试验中成功的事件(记为
)的次数,则
服从二项分布。记
为事件
发生的概率,
的分布列为:
记
符号“~”读作“服从于”,该记号表示随机变量
服从参数为
的二项分布。
容易想到,二项概率恰好是二项式
的展开式的第
项,这也是“二项分布”的名称的由来。
二项分布线条图 应用举例:
- 设射手命中率为
,则射击
次,命中的次数
.
- 已知人群中色盲率为
,在人群中随机调查50个人,则其中色盲患者
.
- 某药品的有效率为
,今有
人服用,则服药有效的人数
.
- ……
数学期望:
方差:两点分布(Bernoulli Distribution)
是一种当
0-1分布,伯努利分布,用来描述一次伯努利试验中成功的次数时的特殊的二项分布,又名
。
服从两点分布,分布列为:
或表示为:
其中
为事件成功的概率。
应用举例:
- 小明投篮命中率为
,投篮一次,其命中的次数
- 彩票中奖率为
,小明购买一张彩票,其中奖的次数
- 不会做的单项选择题做对的概率为
,随机选择一个选项,做对的次数
- ……
两点分布是特殊的二项分布,在二项分布数学期望和方差的公式中取
得到两点分布:
数学期望:
方差:二项分布与两点分布的关系:若有一列独立同分布于
的随机变量序列
,则其和:
这个结论表明两点分布具有可加性,且对于服从
的随机变量
,可看做由
个独立同分布于
的随机变量
的和。
上述“独立同分布”、“可加性”的概念,见:coffee:多维随机变量函数的分布
泊松分布(Poisson Distribution)
分布列:
记
。常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系。
泊松分布线条图 应用举例:
- 某时间段内,来到某商场的顾客数
- 单位时间内,某网站的点击量
- 一平方米内玻璃上的气泡数
- ……
数学期望:
方差:这里数学期望为
是指
的均值为
。譬如对于应用举例1.,某段时间内,来到某商场的顾客数平均而言是
。其他的应用类似。
超几何分布(Hypergeometric Distibution)
设有
件产品,其中有
件不合格品。若从中不放回地随机抽取
件,则其中含有的不合格品的件数
服从超几何分布,分布列为:
记为
.其中
,且
均为正整数。
应用举例:从有10件不合格品的100件产品中随机抽取5件,则抽取的产品中不合格品数
。
数学期望:
方差:几何分布(Geometric Distribution)
在伯努利试验序列中,记每次试验中事件
发生的概率为
,如果
为事件
首次出现时的试验次数,则
。
服从几何分布,分布列为:
记作
。
应用举例:
- 某产品的不合格率为
,首次查到不合格品的检查次数
- 某射手的命中率为
,首次命中的射击次数
- 掷一颗骰子,首次出现六点的投掷次数
- ……
数学期望:
方差:几何分布的无记忆性:
设
,对任意正整数
,有:
该性质表明,在前
次试验中
没有出现的条件下,则在接下去的
次试验中
仍未出现的概率只与
有关,而与以前的
次试验无关,似乎忘记了前
无记忆性。次试验结果,这就是
负二项分布(Negative Binomial Distribution)
在伯努利试验序列中,记每次试验中事件
发生的概率为
,如果
为事件
第
次出现时的试验次数,则
的可能取值为
负二项分布或巴斯卡分布,其分布列为:,称X服从
记作:
,当
几何分布是特殊的负二项分布。从二项分布和负二项分布的定义中看出,二项分布是伯努利试验次数时即为几何分布,即
固定,事件
成功的次数
在
中取值;而负二项分布是事件
成功的次数
固定,伯努利实验次数
在
中取值,可见负二项分布的“负”字的由来。
应用举例:
- 某产品的不合格率为
,产品总数大于5,查到第5件不合格品时,检查次数
- 某射手的命中率为
,第十次命中的射击次数
- 掷一颗骰子,第三次出现六点时,投掷次数
- ……
数学期望:
方差:从负二项分布和几何分布的数学期望和方差的关系可知,类比二项分布与两点分布的关系,可以得到下面的结论:
若有一列独立同分布于
的随机变量序列
,则其和:
这并不是说明几何分布具有可加性,因为可加性要求服从该类分布的随机变量的和仍服从该类分布,但是服从几何分布的随机变量的和服从负二项分布,这个概念要特别注意。上述结论只能说明对于服从
的随机变量
,可看做由
个独立同分布于
的随机变量
的和。
常用连续分布
正态分布
若随机变量
的密度函数为:
则称
服从正态分布,称
为正态变量。记
。其中
位置参数,用于控制曲线在为
轴上的位置;
尺度参数,用于控制曲线的形状。为
分布函数:
密度函数及分布函数 不同参数的正态分布图像 数学期望:
方差:称
标准正态分布,其密度函数和分布函数分别为:时的正态分布为
任何一个正态变量均可以通过标准化转化为标准正态变量,即若
,则:
其中
为标准正态变量。
下面不加证明地给出一些常用性质:
若
:
若
:
其他的类似。
正态分布常用的
原则:
均匀分布
若随机变量
的密度函数为:
称
服从区间
上的均匀分布,记作
,其分布函数:
密度函数及分布函数 均匀分布又称作平顶分布(因其概率密度为常值函数)。
数学期望:
方差:指数分布
若随机变量
的密度函数为:
则称
服从参数为
的指数分布,记作
。指数分布的分布函数为:
密度函数 指数分布是一种偏态分布,指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布,譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。
数学期望:
方差:指数分布的无记忆性
若随机变量
,则对任意的
,有:
证明:
因为
,所以
。又因为
由条件概率可得:
证毕。
该式的含义为:记
是某种产品的使用寿命
,若
服从指数分布,那么已知此产品使用了
没发生故障,则再能使用
而不发生故障的概率与已使用的
无关,只相当于重新开始使用
的概率,即对已使用过的
没有记忆。
伽玛分布
先引入伽玛函数:
其中参数
。伽玛函数具有下列性质:
当
为自然数
时:
伽玛分布:
若随机变量
的密度函数为:
称X
服从伽玛分布,记作
。其中
为形状参数,
为尺度参数。
密度函数 数学期望:
方差:伽玛函数的特例:
时的伽玛分布为指数分布:
2.称
的伽玛分布为自由度为
的
(卡方)分布,记作
:
因卡方分布是特殊的伽玛分布,故不难求得卡方分布的:
数学期望:
方差:卡方分布的唯一参数
称为它的自由度,具体含义在之后的数理统计中会给出。
贝塔分布
先给出贝塔函数:
其中参数
。贝塔函数具有以下性质:
1.
2.贝塔函数与伽玛函数有如下关系:
贝塔分布:
若随机变量
的密度函数为:
则称
服从贝塔分布,记作
,其中
形状参数。都是
密度函数 数学期望:
方差:总结
常用概率分布及其数学期望与方差 - 设射手命中率为
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