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  • 常用的时序预测模型
    2022-09-06 09:36:32

    时序预测模型

    一、自回归 (AR)

    在 AR 模型中,我们使用变量过去值的线性组合来预测感兴趣的变量。术语自回归表明它是变量对自身的回归。

    二、移动平均模型(MA)

    与在回归中使用预测变量的过去值的 AR 模型不同,MA 模型在类似回归的模型中关注过去的预测误差或残差。

    三、自回归滑动平均(ARMA)

    在 AR 模型中,我们使用变量过去值与过去预测误差或残差的线性组合来预测感兴趣的变量。它结合了自回归 (AR) 和移动平均 (MA) 模型。
    AR 部分涉及对变量自身的滞后(即过去)值进行回归。MA部分涉及将误差项建模为在过去不同时间同时发生的误差项的线性组合。模型的符号涉及将 AR§ 和 MA(q) 模型的顺序指定为 ARMA 函数的参数,例如 ARMA(p,q)。

    四、ARIMA模型

    ARIMA模型是一种应用非常广泛而且极为经典的传统时间序列预测模型。ARIMA模型对于平稳时序抑或不平稳的数据都有很好的处理能力,并且对于大多数的场景预测都有很好的效果。ARIMA模型认为时间序列的趋势发展受到内在的规律和外界共同的影响,它的核心思想是首先利用自回归算法把历史序列值、当前序列值以及外界因素通过一定的模型联系起来,再利用一定的统计方法得出合适的模型参数,来融合三者的关系。

    五、SARIMA模型

    SARIMA模型也称作季节性差分自回归滑动平均模型。SARIMA模型是在ARMA模型基础上添加了差分和季节性差分的原理改造而成。

    六、包含外生变量的SARIMA (SARIMAX)

    SARIMAX 模型是传统 SARIMA 模型的扩展,包括外生变量的建模,是Seasonal Autoregressive Integrated Moving-Average with Exogenous Regressors 的缩写
    外生变量是其值在模型之外确定并施加在模型上的变量。它们也被称为协变量。外生变量的观测值在每个时间步直接包含在模型中,并且与主要内生序列的使用不同的建模方式。
    SARIMAX 方法也可用于通过包含外生变量来模拟具有外生变量的其他变化,例如 ARX、MAX、ARMAX 和 ARIMAX。

    七、向量自回归 (VAR)

    VAR 模型是单变量自回归模型的推广,用于预测时间序列向量或多个并行时间序列,例如 多元时间序列。它是关于系统中每个变量的一个方程。
    如果序列是平稳的,可以通过将 VAR 直接拟合到数据来预测它们(称为“VAR in levels”)。如果序列是非平稳的,我们会取数据的差异以使其平稳,然后拟合 VAR 模型(称为“VAR in differences”)。
    我们将其称为 VAR§ 模型,即 p 阶向量自回归模型。

    八、向量自回归滑动平均模型 (VARMA)

    VARMA 方法是 ARMA 对多个并行时间序列的推广,例如 多元时间序列。具有有限阶 MA 误差项的有限阶 VAR 过程称为 VARMA。
    模型的公式将 AR§ 和 MA(q) 模型的阶数指定为 VARMA 函数的参数,例如 VARMA(p,q)。VARMA 模型也可用于VAR 或 VMA 模型。

    九、包含外生变量的向量自回归滑动平均模型 (VARMAX)

    Vector Autoregression Moving-Average with Exogenous Regressors (VARMAX) 是 VARMA 模型的扩展,模型中还包含使用外生变量的建模。它是 ARMAX 方法对多个并行时间序列的推广,即 ARMAX 方法的多变量版本。
    VARMAX 方法也可用于对包含外生变量的包含模型进行建模,例如 VARX 和 VMAX。

    十、指数平滑模型

    指数平滑模型是一种传统的时间序列预测方法,由移动平均模型改进而来。指数平滑模型的原理是将当前实际值和历史数据值通过一定比例平均计算,以及改变当前值的权重从而得到平滑值,在通过一定的计算构成预测模型。指数平滑模型会拟合所有的历史数据,但是会赋予指数衰减的权重。

    十一、Holt-Winters 法

    在 1957 年初,Holt扩展了简单的指数平滑法,使它可以预测具有趋势的数据。这种被称为 Holt 线性趋势的方法包括一个预测方程和两个平滑方程(一个用于水平,一个用于趋势)以及相应的平滑参数 α 和 β。后来为了避免趋势模式无限重复,引入了阻尼趋势法,当需要预测许多序列时,它被证明是非常成功和最受欢迎的单个方法。除了两个平滑参数之外,它还包括一个称为阻尼参数 φ 的附加参数。
    一旦能够捕捉到趋势,Holt-Winters 法扩展了传统的Holt法来捕捉季节性。Holt-Winters 的季节性方法包括预测方程和三个平滑方程——一个用于水平,一个用于趋势,一个用于季节性分量,并具有相应的平滑参数 α、β 和 γ。
    此方法有两种变体,它们在季节性成分的性质上有所不同。当季节变化在整个系列中大致恒定时,首选加法方法,而当季节变化与系列水平成比例变化时,首选乘法方法。

    十二、LSTM模型

    LSTM是一种时间递归神经网络,它出现的原因是为了解决RNN的一个致命的缺陷。原生的RNN会遇到一个很大的问题,叫做The vanishing gradient problem for RNNs,也就是后面时间的节点会出现老年痴呆症,也就是忘事儿,这使得RNN在很长一段时间内都没有受到关注,网络只要一深就没法训练。后来有些大牛们开始使用递归神经网络来对时间关系进行建模。而根据深度学习三大牛的阐述,针对时间序列数据,LSTM网络已被证明比传统的RNNS更加有效。
    适合多输入变量的神经网络模型一直让开发人员很头痛,但基于(LSTM)的循环神经网络能够几乎可以完美的解决多个输入变量的问题。基于LSTM的循环神经网络可以很好的利用在时间序列预测上,因为很多古典的线性方法难以适应多变量或多输入预测问题。

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  • 常用时序预测模型的R实现 四

    千次阅读 2018-05-02 17:13:31
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    简介

    这篇讲ARIMA。前一篇谈到ETS的灵感来自于两个极端方案的折中,一个极端是只用最近的一次观测,一个是求平均,折中方案是用指数衰减来用到所有点,同时又给近期观测更高的权重。换个角度看,这两个极端反映的其实是两个朴素的观念。其一,近期的数据由于recency的关系,对揭示未来也许更有帮助。其二,只依赖近期的数据又容易被outlier带偏,所以还是需要用历史数据点来修正预测。ARIMA的理论体系虽然和ETS完全不同,出发点却很相似。

    ARIMA的全称是Autoregressive Integrated Moving Average。拆开来看,Autoregressive是个自动回归模型,通常仅用p个近期观测值而不是所有观测点,否则作参数估计会是个噩梦。AR这一块,和ETS中指数权重异曲同工,只是不那么精致美用上所有点而已。Integrated比较好理解,假如存在趋势之类,自动回归不足以捕捉到,而需要做差分。

    Moving Average可能是最难理解的部分。首先它很容易和移动平均混淆,但这里完全是另一个概念。这里的moving average是一个q阶的自动回归模型,只是回归的对象是预测误差而非实际观测值。那么既然已经有了autoregressive model (AR),为何还需要MA?这个需要用实例来理解。有个叫Dimitriy V. Masterov的好人给了个很好的例子。在美帝(以及天朝)很多市场营销活动会发出去很多优惠券打折券啥的,这些外部噪声会影响到销售量。MA的自动回归就是用来对付这些外部噪声导致的预测偏差的。为什么不直接把这些噪声移出,而要用q阶回归模型来处理?因为咱家也不知道那些优惠券在某个时间点用掉了多少啊。优惠券的使用是有实效性的,有衰减并且会在有效期内衰减到0。这本身是个时序序列,故而需要另一个针对预测偏差的自动回归模型来模拟。在看到这个例子之前我想了三天都没想明白MA的必要性,所以看到这里的大兄弟大妹子,我很可能让你们的绳命少了三天的煎熬,请遥祝我健康。

    Box-Cox变换

    如果存在振幅变化怎么办呢?这时候需要variance stablization,往往用Box-cox Transformation来处理。在数学的世界里总是有那么些佛系的武器,比如Fourier函数,又比如Box-Cox变换。前者可以拟合天下任意函数,后者则能撸平一切浮华。

    比如,这几行代码构造了一个振幅有变化的体态婀娜且积极向上的时序:

    > a = c(10,20,30,40,50,60,70,80)
    > b = c(-1,2,-3,4,-5,6,-7,8)^3
    > c = a+b
    > c_ts = ts(c,start=c(1,1))
    > autoplot(c_ts)


    上Box-Cox,拈指一算:

    > BoxCox.lambda(c_ts)
    [1] 4.102259e-05

    把这个lambda值代入变换函数:

    > autoplot(BoxCox(c_ts,4.102259e-5))

    是不是撸平了?

    怎么做到的?

    祖师爷Hyndman有个很好的总结:


    就靠这俩函数,不同的lambda值,撸到不服不行。

    ARIMA在非季节性数据上的应用

    ARIMA在季节性数据上的应用

    ARIMA和Dynamic Regression





    如果存在振幅变化怎么办呢?这时候需要variance stablization,往往用Box-cox Transformation来处理。比如
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  • 常用时序预测模型的R实现 一

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    预测模型本身会比较干巴,所以尽量多用些现实应用实例。一开始接触预测模型算法是因为公司澳洲分发中心的人员开支超预算了。大致是这么个情况柱状图显示的是每天发出去的订单量,蓝色是两班倒的日子,红色是周末上班...

    预测模型本身会比较干巴,所以尽量多用些现实应用实例。

    一开始接触预测模型算法是因为公司澳洲分发中心的人员开支超预算了。大致是这么个情况


    柱状图显示的是每天发出去的订单量,蓝色是两班倒的日子,红色是周末上班的日子,绿色是普通的shift。澳洲的物流小哥每个小时正常薪资在35-50间(软妹币175到250),周末双倍,第二个shift(两班倒)则每小时加15%。具体超支多少是商业机密这儿不方便说,总之已经超到管理层肉疼了。噢对了,两班倒用的不是同一批雇员,所以另外还有一笔training cost,每个人35块一小时,要培训一周。

    这张图其实已经充分说明了问题出在哪里。蓝色的柱子,高度不是应该差不多是绿色的两倍么?两班倒啊。可是并没有,事实上,histogram告诉我们,有相当一部分两班倒的日子其实完全可以用normal shift替代。


    虽然mask掉了具体单量,但两张图的x轴是在同一个scale上的。大约一半的double shift其实并不必要。

    经过和supply chain的director坦率而友好的交流,意识到问题的根本。物流中心是基于订单量安排人手的,而订单量的预测传统上依赖finance部门。金融会计部门的同事是怎么干的呢?拿去年的订单数据来,按照今年预期的growth,统统乘以同一个比率就得了。这么简单粗暴的方式能够用那么多年,自然有其合理性。零售业销售数据是典型的additive time series,有强烈的seasonality。每年的假期基本上差不多是同一个时段,外部变量曾经也是稳定的。你跟我说你要搞啥exponential smoothing? autoregressive integrated moving average? 犯得着吗,还不见得比我去年照搬过来的模式准呢。

    可是这两年,circumstances还真的变了。Amazon入侵,顾客群体年轻化,销售渠道网络化,澳洲的零售商们日子越来越难过,怎么办?折扣不断,降价不断,天天降价,欲购从速哇。好端端的seasonality就变成了一个promotion-driven的dynamic regression模型。简而言之,经济不景气的大趋势要考虑到,季节性要考虑到,而最关键的,外部变量复杂了。网站更新版本会带来流量增加,添加新型支付选项会提高转化率,还有SEM,social media marketing,EDM。。。突然冒出一大堆新的变量,每个变量还有自己的内部小模型,比如更高营销支出带来的是diminishing returns而绝非线性回归,这可不是finance的那些同事能用Excel搞定的!

    再说说预测的周期。之前简略提到过,两班倒的话,并不是能够立即找到第二班的雇员来顶上去的,还有个一周左右的培训周期。面临订单高峰无法及时处置的情况,物流中心也并非只有加班这个选项。还可以加packing benches来永久性的提高单位时间的订单处理能力 -- 当然,这又有个lead time,需要数周之久,因为需要安装相应的硬件设施,购买软件许可。所以预测周期一般而言需要在两周内有比较高的精度,在三四周内有indicative的准确性。

    以上是问题的大背景。

    下一篇 常用时序预测模型的准备知识

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  • 常用时序预测模型的R实现 二

    千次阅读 2018-05-01 18:10:16
    类似的,实现预测模型,第一步则是了解常用的数据预处理方法以求能让模型跑起来,学会判断模型好坏以保证预测结果是靠谱可用的。具体怎样优化模型不在这个系列里详谈。数据预处理在Python的世界里,Pandas就自带很...

    准备知识

    这个系列偏重实践。要学飞行,第一步是了解飞行前做什么准备以及什么状态的飞机可以放心上去飞,想造飞机了再去了解发动机怎么工作气动外形有何影响。类似的,实现预测模型,第一步则是了解常用的数据预处理方法以求能让模型跑起来,学会判断模型好坏以保证预测结果是靠谱可用的。具体怎样优化模型不在这个系列里详谈。

    数据预处理

    在Python的世界里,Pandas就自带很方便的时间戳转换, resample, slicing之类,基本是标准化的数据处理库。在R里有所不同,常用的时间序列类有ts, zoo, xts,还有一大堆不同的时间格式。xts是zoo的subclass所以能做zoo的一切,两者基本结构都是带时间戳的矩阵,而且基本能接受任何格式的时间戳。ts仅接受时间轴上均匀分布的点,而且需要指定起点时间和周期长度,而zoo和xts能接受不均匀的分布。xts在这个系列里仅用于把不那么好预处理的数据转为ts格式,不作详细讨论。以下是ts最关键的初始化代码:

    ts(1:10, frequency = 7, start = c(12, 2))

    这行意思是什么呢?1:10是数据序列,frequency是指定这个数据序列的周期是7(每个周期里有7个值),start里接受的两个参数,第一个数12是说这个序列的初始周期序号为12,第二个数2是说这个序列的第一个值是周期中的第2个值。打印出来是什么情况呢?

    > print( ts(1:10, frequency = 7, start = c(12, 2)), calendar = TRUE)
       p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7
    12     1  2  3  4  5  6
    13  7  8  9 10

    这里用了calendar模式以突出序列的第一个值是周期中的第二位。再看个更贴近生活的例子:

    x <- ts(Weekly,start=c(2010,48),frequency=52)

    Weekly这个序列里存着销售数据,是从2010年的第四十八周开始记录的,记录频率是每周一次,也即这一列中的每一行都是一周的销售量。为何要用ts这个类?因为autoplot, forecast等类都以它作为输入格式。比如可以用刚才的x得到时序图:

    autoplot(x)

    注意观察时序图中曲线是不是从2010年的最后一个月开始的?销量的确直到2011年才开始为正值,但序列却已经开始了。类似的无脑方法还有很多,比如按不同周期标注不同颜色从而可以在同一个周期长度上比较不同周期观测值的:

    ggseasonplot(x) #这里放个彩蛋,这个函数可以加一个参数 polar = TRUE,看看变多帅了?对于周期长的序列尤其好用


    还有观察周期中每个时位数值变化范围的

    ggsubseriesplot(x)

    如果需要slice到特定时间域怎么办呢?有个window函数很好使:

    > x_sub = window(x, start=2017)
    > autoplot(x_sub)

    怎样判断到底是否存在季节性

    时序数据有季节性的很多,像电力消耗,降雨量,气温。有时候甚至存在周期套周期的情况,术语叫multiseasonal。比如零售业销售数据,不同季节因为气温、节假日体现出周而复始年年相似的模式,但这个大的周期里,每个礼拜又因为工作日和周末的关系存在周期性,而小到每一天,又由于作息导致存在24小时的周期律。

    有些时序数据中周期性却不那么显著。比如股票。比如Apple,每年发布新款的时间是固定的,那段时间大概要涨一涨,但谁也不知道下一个新款是不是依然那么受欢迎?又或者不巧碰倒金融危机?很多外部噪声可以破坏掉内生的规律。好在有一种专用的图表就是用来检视周期性的,叫ACF,Auto Correlation Function。它的原理是拿当下的时间序列和lag N的序列做比较,看相关系数为多少,N=1的时候就是和往前移一个时位形成的序列比,N=2和往前移两位比,如此递推。

    lagged<-lag(x_sub,-5)

    lag函数可以用于取得lag后的序列,注意第二个参数是往前推的相位,如果为负值就成了往后推了


    有了ACF函数,就不需要自己一个个相位去做比较,它全部一锤子买卖搞定:

    > ggAcf(x_sub)

    大于0.5就是比较强的correlation了,算比较显著的周期性。注意不要和Acf函数混淆,Acf是从lag=0开始的,也就是自己和自己比,那correlation当然是1了,会导致整个图的scale变得头重脚轻。

    还有值得一提的一个函数是ggPacf,也就是auto correlation function前面加了个partial。这个函数考虑到了不同的lag值可能被共同的变量影响了。比如4周的周期必然导致8周、12周也都显著。排除掉这个因素,绘制pacf会得到如下结果

    > ggPacf(x_sub)

    残值和白噪声

    残值即residual,是预测值和实际值之间的差别。在判断一个模型好坏时,一个标准是残值是否为白噪声,也就是说不再含有任何可以被模型学到的信息(趋势,周期性)。怎样的残值是白噪呢?如果它是个均值为零的随机正态分布就基本可以判断是白噪。均值不为零其实关系也不大,只要把预测值shift一下就好了。在Python里这些都要自己写,但在R里又有个强大的函数把这事情干了,

    > fit <- auto.arima(x_sub)
    > checkresiduals(fit)
    
    	Ljung-Box test
    
    data:  Residuals from ARIMA(0,1,1)(0,0,1)[52]
    Q* = 112.62, df = 102, p-value = 0.222
    
    Model df: 2.   Total lags used: 104

    auto.arima是在建立预测模型,具体怎么干的下一篇再讲。运行结果既包括那个Ljung-Box test又包括如下图表:


    图表显示的,正是白噪声。而Ljung-Box test里最重要的一项结果就是p-value=0.222,它代表的也即是残值确实为白噪(p<0.05则说明非白噪了)

    以上为准备知识。下一篇开始正式介绍预测模型。

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