几个常用概念

希尔伯特变换与解析信号

首先定义希尔伯特变换，指的是信号通过一个滤波器，这个滤波器的作用是，在正频率上✖️一个-j，负频率✖️一个j

然后介绍解析信号

它可以看成是由两部分组成，即原信号和解析信号的组合，可以通过一个特定的滤波器得到。该滤波器的传递函数为：

因此解析信号只有正频谱分量

带通信号与基带信号

带通信号指的是频谱集中在某个载频fc附近的信号， 一般来说，手机等无线通信的信号带宽远小于载波频率fc，这样的信号也称为窄带信号，频谱如下：

(插一句，有的人可能会感到好奇，为什么带通信号的频谱通常都是关于Y轴对称的呢，因为我们常用的信号都是实信号，它的频谱具有共轭对称性
即：$X(f)=X^{\ast }(-f)$)

如果已经有了这样的一个带通信号，要把它变成解析信号，它的频谱便只在正频率部分保留了，解析信号的频谱如下：
这个频谱虽然好看了一些，但是还可以做进一步处理，讲频谱搬移至基带，即fc移到原点，得到了一个新的频谱Xl(f)，这个新的频谱对应一个新的基带信号XL(t)，称这个基带信号为x(t)的复包络。

于是得到了对应关系：带通信号$X(t)$对应复包络$X_{L}t$，再回顾一下实现过程

为什么要调制

常见的信号都是基带信号，频率在一个比较低的频段上，为了利于传输，我们一般选择将其搬移到高频段，所以可以认为调制是从基带信号变成带通信号的过程。

在上一节中，我们可以得到从带通信号变成基带信号的过程是先变成解析信号再实现频谱搬移，公式为：
$x_L(t)=((x(t)+j\ast x^{\ast }(t))\ast e^{-j\ast 2\pi fct}$

在这一节中，需要把基带信号变成带通信号，因此我们要表示带通信号， 基带信号 $x_L(t)$一般是复信号，可以表示成 $x_L(t)=x_c(t)+j\ast x_s(t)$。带通信号是将基带信号频谱搬移之后取实部，即有下面三种表示方法：

上述三个关系式的意义是，由基带信号可以推导出带通信号的表达式，即实现了频谱的搬移。

几种常用的调制方法

幅度调制

双边带抑制载波调制 DSB-SC

听着很复杂，但它其实是最简单的一种调制方法，若给出输入信号$m(t)$，直接与一个余弦信号相乘即得到DSB-SC信号$s(t)$。
可以认为m(t)一般为实信号，那么m(t)就对应了上述的$x_c(t)$，因此可以认为这样相乘得到的DSB-SC信号$s(t)$是一个带通信号，实现了频谱搬移，因此我们的调制是有意义的。
调制之后的频谱如下，与上述得到复包络的过程正好相反。
调制的过程是为了利于传输，最终的接收端当然还是需要分析原始信号，因此我们需要对调制得到的信号进行解调，即再一次从带通信号中得到原始的基带信号。
对于DSB-SC调制，我们采用相干解调器
即解调器所用载波与已调信号的载波同频同相
乘上一个$2cos2\pi f_{c}t$之后，再通过一个低通滤波器LPF，这一解调过程实际是在取出带通信号复包络的实部：
因此，通过低通滤波器之后，m(t)被恢复出来。

包络调制

上面讲的DSB－SC调制虽然简单，但是在解调时只能选择相干解调。在实际应用中，载波的频率比较容易获得，但是相位是很难准确获得的，因此我们经常使用包络调制（AM）。
AM信号的表达式为：
要注意的是，这里的A并不是任意选取的，而是能够使得$A+m(t)$大于0，因此A要选的足够大。为什么要这样做呢，主要是利于后面包络检波器的实现。

由图像可知，调制之后信号的复包络即为$A+m(t)$（也可以再乘上一个系数）
这样在解调时，就有两种方法。第一种方法是非相干解调，即输入带通信号，可以输出其包络，再经过隔直流操作即可得到原始的m(t)。
第二种方法是相干解调，由于调制过程中插入了载波的频谱，因此可以用窄带滤波器将其滤出，并作为解调时的解调信号，与带通信号相乘，整体思路和DSB-SC的解调很类似。

单边带调制 SSB

回顾一下上面的DSB信号，我们可以发现它的频谱时关于载波对称的，因此单独上边带或者下边带的频谱信息就足够了，因此也可以采用单边带调制。
直接上理解，获取单边带的手段可以是滤波器，即将DSB信号通过一个滤波器：
像这样就得到了上边带信号（USB），类似的，也可以只保留下边带信号。
但是实际上的操作并不是这样的，多加了一部滤波操作不是更麻烦了么，我们是直接在输入端送入单边带信号的，通过公式推导，可以得出单边带信号的表达式：
其中m(t)是原始的基带信号，通过一个调制系统即可得到上面表达式的带通信号。
对于SSB，解调也是一样的，由上述可知，相干解调的功能是取出复包络的实部，而$s_{L,SSB}(t)$的复包络是
实部是m(t)，因此可以用同样的解调器恢复出m(t)。

角度调制

看了前面的调制过程，不难总结出在模拟调制中的一般规律，首先要将m(t)的信息包含到复包络中，如DSB-SC调制复包络直接为m(t)，AM调制复包络为A+m(t)，SSB调制复包络为m(t)+j*m^(t)，将复包络形成带通信号即调制完成。
之前讲复包络的时候提到复包络一般都是复数： $x_L(t)=x_c(t)+j\ast x_s(t)$ 也可以表示成 $x_L(t)=A_c\ast e^{j\varphi }$，前面的幅度调制都是对$x_c(t)$做文章，其实也可以把m(t)包含在复包络的$\varphi$中。
有两种角度调制的方法，分别是线性调相（PM）和线性调频（FM）：
PM：$\varphi (t)=K_p\ast m(t)$ 相位和m(t)成正比
FM:$\frac{1}{2\pi }.\frac{d}{dt}\varphi (t)=K_f\ast m(t)$ 频率和m(t)成正比
因此同一个信号，可以既看作是PM调制的结果，也可以看作是FM调制的结果，如

有以下两种理解方式：

分析角度调制信号的频谱时，公式推导比较复杂，在这里我们只需要知道主要能量都集中在一个有效带宽上：$B\approx 2(\delta f_{max}+f_m)$，其中$\delta f_{max}$是FM信号的最大频偏，$f_m$是基带信号的最高频率。

模拟信号的代表波长：
LTE(4G):2GHz
5G:3.5GHz
Wifi:2.4GHz/5GHz

Digital-to-Analog transmission

现在全套使用模拟信号的设备已经很少见了，在数据时代一切基于数字信号，而声音这种数据需要还原到模拟信号才能正式反馈出原本特征，也就需要用到调制解调技术。

接下来要介绍的三种调制方式，是由模拟信号本身的特性决定的。模拟信号其实就一个正弦波，决定一个正弦波即决定其振幅、初像、和频率（周期的倒数）。在吃之前，先将需要的基本知识普及一下：

基础科普

数据传输速率/波特率

数据传输速率或者波特率（Baud rate）即调制速率。指的是有效数据信号调制载波的速率，即单位时间内载波调制状态变化的次数。它是对符号传输速率的一种度量，1波特即指每秒传输1个符号，而通过不同的调制方式，可以在一个码元符号上负载多个bit位信息。
波特率：是码元传输速率单位，他说明单位时间传输了多少个码元。
比特率：是信息量传送速率单位，即每秒传输二进制代码位数。bit/s

带宽与载波

在通信原理中，我们用Tx表示发送端，Rx表示接收端。
带宽：在正弦函数图像中，带宽直接反馈到函数的周期中。函数的周期越小（频率越高/带宽越大）则函数图像单位时间内变化的越频繁，图像越紧凑。

载波信号Carrier Signal：载波是指被调制以传输信号的波形，一般为正弦波。就是把普通信号（声音、图象）加载到一定频率的高频信号上，在没有加载普通信号的高频信号时，高频信号的波幅是固定的，加载之后波幅就随着普通信号的变化而变化（调幅），还可以调相，调频。载波信号一般要求正弦载波的频率远远高于调制信号的带宽，否则会发生混叠，使传输信号失真。

调制：原始电信号常常需要在发送端进行调制变换，是因为原始电信号频率很低（我们称这种信号为基带信号），在信道中传输损耗大，不宜直接传输 。调制是将各种基带信号转换成适于信道传输的调制信号。通过调制，可以对频谱进行挪移，将被调制的信号的频谱挪移倒所需的位置，从而把被调制的信号变换为适用于信道传输或者是利于信道进行多路复用的信号

Amplitude Shift Keying(ASK)振幅键控

ASK是指将数字信号调制成模拟信号的这个过程中，用正弦函数的振幅来体现对应数值的不同。在BASK（BinaryASK）中，1表示有振幅0表示无振幅；同理在更多位的表现中，如4位，也是用4中不同的振幅大小来对应表现不同的数值，且0往往表现为无振幅。

BASK由于表现为无振幅和有振幅，处于一种ON-OFF状态，所以也称为OOK（on-off keying）

Frequency Shift Keying(FSK)频移键控

顾名思义，用不同频率来表示数字信号代表的值的不同。如图所示，消耗的带宽会比较多，开销大。如果不仅是BFSK，MFSK的话，可能会占据大量带宽。

实际上类似ASK或者PSK，他们在信道传输过程中受到噪声干扰相对严重，即失真率高，换言之对于数据的保护性能不够好。而在信道传输过程中最不容易改变的就是频率，也就说FSK相对其他的信号转换技术，更加安全，对数据具有更好地保留能力。但是开销很大，浪费的资源较多。在选取数据转换方式时应该根据需要来处理。

BFSK可以通过使用根据输入电压改变频率的压控振荡器(VCO)来实现。

Phase Shift Keying（PSK）Phase Shift Keying

是三种SK中最常用的方式。在BPSK中，相位偏移量为$\pi$。
PSK比ASK抗干扰能力强，信道传输中相对于ASK而言转化的信号传输到Rx后的准确率更高。且PSK相较于FSK，不需要两个频段，即节省带宽资源，这一点与ASK相似。缺点是对接收端的识别用硬件要求较高，但是最近的硬件价格一直在下降，因此PSK在当下阶段成为最普遍的DA转换方式。

PSK的DA转化过程也与ASK相似。

对于MPSK而言（用2位以上bit表示）的SK技术，我们以4PSK（QPSK）为例。它以90°为基准区分4种初像。在调制初期，由于是0,90,180，270的角度变化。相位便宜令正弦函数本身变成了$sinx,cosx,-sinx,-cosx$，也就说可以将其分成两类，sin和cos函数。分割出的sin函数和cos函数进行分别处理，处理后再将波进行结合就形成了最终调制后的波形。

Signal Constellation Diagram:

可以使用极坐标来表示A和φ的值。A是点到原点的距离，而φ是两点间连线与x轴的夹角。对于BASK而言，只有两个值0和1，对应到频率是有和无；而对于BPSK而言，用两种不同的频率表示，两种频率互为相反数（夹角为180°）；
对于QPSK而言，将x轴视为sinx，y轴视为cosx；将二者分开来看，每个点有对应的sin和cos函数的值，这个值就是他们的振幅，而导致出现这个值的角度就是他们的初像。
如果一个极坐标画出一个圆形图像，说明这个波形的初像与振幅是从头到尾不会改变的。

信号在信道中传输时会受到干扰而发生一定的变形，而到时候识别如果误读则就意味着出现了error。如上图可知BPSK比BASK更加稳定，黄色部分是他们可能出现的振幅变化，对于ASK如果误差较大，红点坐落于靠近原点的位置，则有可能让1被读成0，反之0读成1；而如果是BPSK，由于他的区分轴从二分之一正x轴变成了y轴，误差许可范围更大，同样的误差在BPSK中不会被误判。
而对于QPSK，由于它是一次发送2bit，而BPSK是一次发送1bit，两者在误差上的性能是等同的，QPSK本身就相当于两个BPSK的结合。

Quadrature Amplitude Modulation（QAM）正交调制

正交调制的极坐标标示图如上所示。x-QAM中的x表示的是点的个数，也就意味着接收端需要一次性接收和发送端需要一次性发送的bits数据。
现在的LTE使用的是64-QAM，无线AP是256-QAM，铜线是1024-QAM，光纤2048-QAM。

上述的所有调制，默认变量只有一个，其余变量不变。

Analog-to-Analog conversation

调幅，调相，调频。

Amplitude Modulation (AM)

调幅：将原本的信号与基带信号直接相乘得到已调信号，该信号可以在信道中传输。

而频率不同的波在接收端可以根据区间过滤到具体某一个频段的波，因此根据事业不同被分配的带宽（频率区间）也不同，像音乐语音等类似的通畅是5kHz，之前也说过如果想要完整保存一个模拟信号，只要有它两倍的带宽通常就可以了，因此如果需求AM的带宽为B，则我们分配给他的带宽应给为2B。
人类事业有多种多样，航天用，军事用等等，都会占用一段特殊被划定的带宽用于具体事务。

Frequency Modulation (FM)

同AM直接乘就行，对应生成的调制波的频率也会跟着变化。

收音机等设备基本默认15kHz，规定上允许每个基站使用200KHz，相邻基站之间不能使用相同的带宽或相近的带宽，容易出现干扰。只要基站之间互相存在一个无信号区域防止干扰，也就说上图20MHz/200KHz=100个基站中可以有50个基站同时工作。

Phase Modulation (PM)

对于初像的调制，起初是将对应函数的变化量d/dt进行调制。而函数的变化量就是频率，所以PM是FM的一种变种。只不过VCO 的输出结果是原模拟信号的PM调制结果。

一、 数字数据调制技术

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数字数据调制 技术 :

① 调制 : 发送端 将 数字信号 转为 模拟信号 ;

② 解调 : 接收端 将 模拟信号 转为 数字信号 ;

调制 技术 :

• 调幅
• 调频
• 调相

二、 调幅

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调幅 ( ASK ) : $0$ 对应没有幅度 , $1$ 对应有幅度 ;

三、 调频

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调频 ( FSK ) : $0$ 对应较低的频率 , $1$ 对应较高的频率 ;

调频示例说明 : 上图示例说明 ;

• 低频波形 : $0$ 对应着 一个时钟周期内震动两个波形 , 波形比较稀疏 , 频率较低 ;
• 高频波形 : $1$ 对应着 一个时钟周期内震动四个波形 , 波形比较稠密 , 频率较高 ;

四、 调相

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调相 ( PSK ) : 对于相位的调制 , $0$ 对应余弦波 , $1$ 对应正弦波 ;

五、 QAM 调制 和 计算示例

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调幅 + 调相 结合在一起使用的调制方法 是 QAM 调制 ;

QAM 调制示例 :

• 信道波特率 : $1200$ Baud ;
• 相位个数 : $4$ 个
• 振幅个数 : $4$ 种
• 计算信息传输速率 $?$

先计算每个码元携带的信息量 : 调相 + 调幅 结合使用 ; 有以下两种理解方式 ;

• 每个码元有 $4$ 个相位 , 每个相位可以有 $4$ 种振幅 , 那么每个码元有 $4\times 4=16$ 种不同的取值 ;
• 每个码元有 $4$ 个振幅 , 每个振幅可以有 $4$ 种相位 , 那么每个码元有 $4\times 4=16$ 种不同的取值 ;

使用奈氏准则计算信息传输速率 :

• 奈氏准则计算公式为 : $理想低通信道信息极限传输速率=2Wlo{g}_{2}V比特/秒$

• $2W$ 是码元速率 , $W$ 是带宽 , 其中码元速率已经给出 , 是 1200 波特 , 直接使用即可 , 这里计算下每个源码携带的信息量 , 是 $lo{g}_{2}16=4$ 比特 ;

• 计算过程 : $2Wlo{g}_{2}V=1200\times lo{g}_{2}16=4800b/s$

信息传输速率是 $4800b/s$ ;

六、模拟信号 调制为 模拟信号

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模拟信号 调制为 模拟信号 :

为了 实现 信号传输 的 有效性 , 可能需要以 较高的频率 传输信号 ;

提高 信号频率 的同时 , 还可以使用 频分复用技术 , 充分利用 带宽 资源 ;

"模拟信号 调制为 模拟信号" 示例 :

电话机 与 本地交换机 之间传输的信号 , 就是 将 模拟信号 调制后的 模拟信号 ;

前者是 模拟的声音信号 ( 低频信号 ) , 后者是 模拟的载波信号 ( 高频信号 ) ;

人说话的声音 , 声带振动的频率很低 , 几十到几百赫兹 ; 电磁波的信号 都是百万赫 , 吉赫兹 级别的 ;

使用电磁波传输声音 , 需要将频率提高 几百到几万倍不等 ;