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  • Polar Code是通过引入信道极化的概念而建立的。信道极化分两个阶段,分别是信道联合和信道分裂。通过信道的联合和分裂,各个子信道的对称容量将呈现两极分化的趋势:随着码长NNN的增加,一部分子信道的容量趋于1,而...

    前言

    《Polar Code(1)概述》中建立了PolarCode初步印象,本文将详细阐述Polar Code的编码原理。Polar Code是通过引入信道极化的概念而建立的。信道极化分两个阶段,分别是信道联合和信道分裂。通过信道的联合和分裂,各个子信道的对称容量将呈现两极分化的趋势:随着码长NN的增加,一部分子信道的容量趋于1,而其余子信道的容量趋于0。Polar Code正是利用这一信道极化现象,在容量趋于1的KK个子信道上传输信息比特,在其余子信道上传输冻结比特(即收发双方已知的固定比特,通常设置为全零)。由此构成的信道编码即为Polar Code,码率为KN\frac{K}{N}

    预备知识

    一个二进制输入离散无记忆信道(B-DMC)可表示为W:XYW:X\rightarrow YXX是输入符号集合,YY是输出符号集合,转移概率为W(yx),xX,yYW(y \vert x),x \in X,y \in Y。由于信道是二进制输入,集合X={0,1};X=\{0,1\};YYW(Yx)W(Y\vert x)是任意值。对信道WWNN次使用后的信道可以表示为WNW^N,则信道WN:XNYNW^N:X^N\rightarrow Y^N的转移概率为 WN(y1Nx1N)=i=1NW(yx)W ^N(y_{1}^{N}\vert x_{1}^{N})=\prod_{i=1}^NW(y\vert x)
    对于一个B-DMC信道WW,有两个重要的参数:
    对称容量(Symmetric Capacity):
    I(W)yYxX12W(yx)logW(yx)12W(y0)+12W(y1)I(W)\triangleq\sum\limits_{y\in Y}\sum\limits_{x\in X}\frac{1}{2}W(y\vert x)log\frac{W(y\vert x)}{\frac{1}{2}W(y\vert 0)+\frac{1}{2}W({y\vert 1})}
    巴氏参数(Bhattacharyya Parameter):
    Z(W)yYW(y0)W(y1)Z(W)\triangleq\sum\limits_{y\in Y}\sqrt{W(y\vert0)W(y\vert1)}
    I(W)I(W)是对信道速率的度量,Z(W)Z(W)是对信道可靠性的度量。I(W)I(W)是信道WW等概率输入的情况下可靠传输时的最大速率。而Z(W)Z(W)是信道WW只传输0或1下最大似然判决错误概率的上限。
    I(W)I(W)Z(W)Z(W)的取值范围均为[0,1][0,1]。由于对数以2为底,因此码率和信道容量的单位为bit。I(W)I(W)Z(W)Z(W)满足这样的关系:当且仅当Z(W)0Z(W)\approx0时,I(W)1I(W)\approx1;当且仅当Z(W)1Z(W)\approx1时,I(W)0I(W)\approx0

    二进制对称信道BEC和二进制删除信道BSC

    WW为对称信道时,I(W)I(W)等于香农容量。所谓信道对称,既满足:对于任意yYy\in Y,有W(y0)=W(y1)W(y\vert 0)=W(-y\vert1)
    二进制对称信道(Binary Symmetric Channel,BSC)和二进制删除信道(Binary Erasure Channel,BEC)都是满足对称性的B-DMC。
    具体的说,对于Y={0,1}Y =\{0,1\},满足W(00)=W(11)W(0\vert0)=W(1\vert1)W(10)=W(01)W(1\vert0)=W(0\vert1)的B-DMC就是BSC。
    对于yYy\in Y,满足W(y0)W(y1)=0W(y\vert0)W(y\vert1)=0W(y0)=W(y1)W(y\vert 0)=W(y\vert 1)的B-DMC为BEC。对于BEC,符号yy称为删除符号(Erasure Symbol)。

    基本的数学表示说明

    行向量(a1,...,aN)(a_1,...,a_N)在这里简写为a1Na_1^N。对于给定的行向量a1Na_1^N,其子向量表示为aij,1i,jNa_i^j,1\leq i,j\leq N,且iji\leq j。对于给定的a1Na_1^NA1,...,NA\subset{1,...,N},记aAa_A表示子向量(ai:iA)(a_i:i\in A)。记a1,oja_{1,o}^j表示奇数索引的子向量(ak:1kj;kodd)(a_k:1\leq k \leq j;k \in odd)。记a1,eja_{1,e}^j表示偶数索引的子向量(ak:1kj;keven)(a_k:1\leq k \leq j;k \in even)
    举个栗子:a15=(5,4,6,2,1)a_1^5=(5,4,6,2,1),其中a24=(4,6,2)a_2^4=(4,6,2)a1,e5=(4,2)a_{1,e}^5=(4,2)a1,o5=(5,6,1)a_{1,o}^5=(5,6,1),全零向量则记为01N0_1^N
    在此讨论的向量、矩阵的运算均是二元域上的运算,即GF(2)GF(2)。记\oplus为模22加,记\otimesKroneckerPowerKronecker Power
    AnA^{\otimes n}表示为A的n次KroneckerPowerKronecker Power。A的n次KroneckerPowerKronecker Power有递归表示An=AAn1A^{\otimes n}=A\otimes A^{\otimes {n-1}},并且定义A0[1]A^{\otimes 0}\triangleq[1]
    A|A|表示集合AA中元素的个数,记1A1_A表示为集合A的指示函数。若xAx\in A,则1A(x)=11_{A(x)}=1,若xAx\notin A,则1A(x)=01_{A(x)}=0

    信道极化

    信道极化分为两个阶段:信道联合(Channel Combining)和信道分裂(Channel Splitting)阶段。

    信道联合

    在这一阶段,联合B-DMCWW的N个独立副本,通过递归的方式产生一个向量信道WNXNYNW^N:X^N\rightarrow Y^N,其中NN为2的幂次N=2n,n0N=2^n,n\ge 0。递归开始于第0级(n=0n=0),只使用WW的1个副本,并定义W1WW_1\triangleq W。第1级(n=1n=1)递归联合了两个两个独立的副本,如图1所示,得到向量信道W2:X2Y2W_2:X^2\rightarrow Y^2,其转移概率为:
    W2(y1,y2u1,u2)=W(y1u1u2)W(y2u2)W_2(y_1,y_2|u_1,u_2)=W(y_1|u_1\oplus u_2)W(y_2|u_2)
    在这里插入图片描述
    第二级(n=2n=2)递归如图2所示,联合信道W2W_2的2个独立副本得到信道W4:X4Y4W_4:X^4\rightarrow Y^4,其转移概率为:
    W4(y14u14)=W(y12u1u2,u3u4)W2(y34u2,u4)W^4(y_1^4|u_1^4)=W(y_1^2|u_1\oplus u_2,u_3\oplus u_4)W_2(y_3^4|u_2,u_4)
    在这里插入图片描述
    在图2中,R4R_4是完成从(s1,s2,s3,s4)(s_1,s_2,s_3,s_4)v14=(s1,s3,s2,s4)v_1^4=(s_1,s_3,s_2,s_4)的置换操作(排序)。从信道W4W4W_4的输入W^4的输入的映射u14x14u_1^4\rightarrow x_1^4可用公式表示为x14=u14G4x_1^4=u_1^4G_4G4=[1000101011001111]G_4=\left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]。 因此W4W_4W4W^4的转移概率有关系式W4(y14u14)=W4(y14u14G4)W_4(y_1^4|u_1^4)=W^4(y_1^4|u_1^4G_4)。值得注意地是,这个所说的所有的加全部是模二加(\oplus)。
    图3所示的是递归结构的一般形式。WN/2W_{N/2}的两个独立副本联合产生信道WNW_N。输入向量u1Nu_1^N进入信道WNW_N,首先被转换为s1N:s2i1=u2i1u2i,1iN/2s_1^N:s_{2i-1}=u_{2i-1}\oplus u_{2i},1\leq i \leq N/2RNR_N表示比特反转排序操作,输入记为s1Ns_1^N,输出记为v1N=(s1,s3,...,sN1,s2,s4,...,sN)v_1^N=(s^1,s^3,...,s^N-1,s^2,s^4,...,s^N)v1Nv_1^N则成为2个WN/2W_{N/2}独立副本输入。
    在这里插入图片描述
    映射u1Nv1Nu_1^N\rightarrow v_1^N是二元域GF(2)GF(2)上的线性变换。u1Nx1Nu_1^N\rightarrow x_1^N是由复合信道WNW_N到原始信道WNW^N的输入映射,其映射也是线性变换。因此有x1N=u1NGNx_1^N=u_1^NG_N。称GNG_N为N维生成矩阵。信道WNW_N和信道WNW^N的转移概率有如下关系:
    WN(y1Nu1N)=WN(y1Nu1NGN)W_N(y_1^N|u_1^N)=W^N(y_1^N|u_1^NG_N)
    其中y1NYNy_1^N \in Y^Nu1NXNu_1^N \in X^N

    信道分裂

    这是信道极化的第二阶段。将信道联合构成的复合信道WNW_N分裂成NN个二进制输入的坐标信道(Coordinate Channels)WN(i):XYN×Xi11iNW_N^{(i)}:X\rightarrow Y^N\times X^{i-1},1\leq i \leq N,定义其转移概率为:
    WN(i)(y1N,u1i1)ui+1XNi12N1WN(y1Nu1N)W_N^{(i)}(y_1^N,u_1^{i-1})\triangleq \sum \limits_{u_{i+1}\in X^{N-i}}\frac{1}{2^{N-1}}W_N(y_1^N|u_1^N)
    其中(y1N,u1i1)(y_1^N,u_1^{i-1})表示WN(i)W_N^{(i)}的输入,而uiu_i表示WN(i)W_N^{(i)}的输入。
    奇序分裂子信道和偶序分裂子信道的转移概率由两个递归式可以得到。对任何n0,N=2n,1iN/2n\ge 0,N=2^n,1\le i \le N/2,有:
    WN(2i1)(y1N,u12i2u2i1)=u2i12WN/2(i)(y1N/2,u1,o2i2u1,e2i2u2i1u2i)WN/2(i)(yN/2+1N,u1,e2i2u2i)W_N^{(2i-1)}(y_1^N,u_1^{2i-2}|u_{2i-1})=\sum \limits_{u_{2i}} \frac{1}{2}W_{N/2}^{(i)}(y_1^{N/2},u_{1,o}^{2i-2}\oplus u_{1,e}^{2i-2}|u_{2i-1}\oplus u_{2i}) \cdot W_{N/2}^{(i)}(y_{N/2+1}^{N},u_{1,e}^{2i-2}|u_{2i})
    WN(2i)(y1N,u12i1u2i)=12WN/2(i)(y1N/2,u1,o2i2u1,e2i2u2i1u2i)WN/2(i)(yN/2+1N,u1,e2i2u2i)W_N^{(2i)}(y_1^N,u_1^{2i-1}|u_{2i})=\frac{1}{2}W_{N/2}^{(i)}(y_1^{N/2},u_{1,o}^{2i-2}\oplus u_{1,e}^{2i-2}|u_{2i-1}\oplus u_{2i}) \cdot W_{N/2}^{(i)}(y_{N/2+1}^{N},u_{1,e}^{2i-2}|u_{2i})

    信道极化定理

    定理1:对于任意B-DMCWW与任意 δ(0,1)\delta\in(0,1),当NN以2的幂次趋近于无穷大时,极化信道 WN(i)W_N^{(i)}中,满足 I(WN(i))(1δ,1]I(W_N^{(i)})\in (1-\delta,1]的信道数占总的信道数NN的比例趋于I(W)I(W)
    满足I(WN(i))(0,δ]I(W_N^{(i)})\in (0,\delta]的信道所占的比例趋于1I(W)1-I(W)
    定理2:对于任意的B-DMCWWI(W)>0I(W)>0,且对于任意的R<I(W)R<I(W),存在一个序列集合AN1,...,N,N1,2,...,2n,...A_N\subset{1,...,N},N\in{1,2,...,2^n,...},对于所有的iANi\in A_N,有ANNR|A_N|\ge NRZ(WN(i))O(N5/4)Z(W_N^{(i)})\leq O(N^{-5/4})
    标注:这两个定理在Arikan的论文的最后有详细的证明。

    极化编码

    利用极化现象构建的编码可以达到对称容量I(W)I(W),称为极化编码(Polar Coding)。

    极化编码的基本思想(基于线性分组码)

    只在Z(WN(i))Z(W_N^{(i)})趋近于0的坐标信道WN(i)W_N^{(i)}上发送信息比特。极化码具有一般的二元xianxing分组码的基本编码要素,因而可以显示地写出其生成矩阵来完成编码:
    x1N=u1NGNx_1^N=u_1^NG_N
    其中u1Nu_1^N为原始比特序列,x1Nx_1^N为编码以后的比特序列,GNG_N为生成矩阵,码长为N=2nN=2^n
    极化码的编码步骤:
    1.极化信道的可靠估计
    2.比特混合
    3.构造生成矩阵

    极化信道可靠估计(巴氏参数)

    对于BEC,Arikan给出的方法是计算巴氏参数
    Z(WN(i))=y1NYNu1i1Xi1WN(i)(y1N,u1i10)WN(i)(y1N,u1i11)Z(W_N^{(i)})=\sum \limits_{y_1^N\in Y^N}\sum \limits_{u_1^{i-1}\in X^{i-1}}\sqrt {W_N^{(i)}(y_1^N,u_1^{i-1}|0)W_N^{(i)}(y_1^N,u_1^{i-1}|1)}
    Z(WN(i))Z(W_N^{(i)})越小,相应的信道的对称容量也就越大;反之,Z(WN(i))Z(W_N^{(i)})说明该信道不可靠。
    对于非BEC,如BSC信道或AWGNC,不能得到精确的巴氏参数,需要进行密度进化或高斯近似法估计信道的可靠性,详见《Polar Code(4)编码之极化信道可靠性估计》。

    比特混合

    在这一步的规则是:选择可靠性最大的KK个分裂子信道传输信息比特,其他分裂子信道传输冻结比特。这一步的输出即为原始比特u1Nu_1^N

    构造生成矩阵

    生成矩阵表示为
    GN=BNFnG_N=B_NF^{\otimes n}
    其中FnF^{\otimes n}表示对矩阵F=[1011]F=\left [ \begin{matrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{matrix} \right]nn次克罗内克积,有递归式Fn=FF(n1)F^{\otimes n}=F\otimes F^{\otimes (n-1)}BNB_N是排序矩阵,用于完成比特反序重排的操作。所谓的比特反序重排,就是将每个原序列的十进制序号i{1,2,...,N}i \in \{1,2,...,N\}按二进制表示为(i1)(bn,bn1,...,b1)(i-1)\rightarrow(b_n,b_n-1,...,b_1),其中bnb_n为最高有效位;再将该二进制序列反序,得到{b1,b2,...,bn}\{b_1,b_2,...,b_n\}。最后以b1b_1为最高有效位重新按十进制表示成{b1,b2,...,bn}(j1)\{b_1,b_2,...,b_n\}\rightarrow (j-1),令输出序列的第jj个元素取值为原序列的第ii个元素。BNB_N的递归定义式为:
    BN=RN(I2BN/2)B_N=R_N(I_2\otimes B_{N/2})
    其中I2I_2为2维单位阵,B2=I2B_2=I_2;矩阵RNR_N为置换矩阵,对输入序列完成奇序元素和偶序元素的分离,即先排奇序元素,再排偶序元素,其作用效果如下:
    (u1,u2,u3,u4,...,uN)×RN=(u1,u3,u5,...,uN1,u2,u4,u6,...,uN)(u1,u2,u3,u4,...,uN)\times R_N=(u_1,u_3,u_5,...,u_{N-1},u_2,u_4,u_6,...,u_N)

    总结

    本节首先介绍了Polar Code的预备知识,如对称容量、巴氏参数以及所涉及的数学符号的表示。其次介绍了信道极化的两个阶段:信道联合和信道分裂。最后阐述了Polar Code的编码过程:通过构造生成矩阵GNG_N,通过计算各个分裂子信道的错误概率得出信道可靠度用以判断信息比特位置从而获得u1Nu_1^N;两者相乘得到u1NGNu_1^NG_N即为Polar Code。

    另外

    极化码是一种线性分组码,通过构造生成矩阵而获得编码。只要给定码长NN,编译码结构就唯一确定了。极化码基于信道极化做到了扬长避短。在最可靠的子信道上传输信息比特是扬长,在最不可靠的子信道的传输冻结比特是避短。

    参考文献

    [1] Arikan E. Channel Polarization: A Method for Constructing Capacity-Achieving Codes for Symmetric Binary-Input Memoryless Channels[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2008, 55(7):3051-3073.

    最后

    CSDN上的基本为全文摘录,修改部分主要是基于自己的理解,仅供读者参考
    本文作者: Marshall
    本文链接: https://marshallcomm.cn/2017/03/04/polar-code-2-encoding-principle/

    展开全文
  • 提出了采用一对反旋向平面端射圆极化可穿戴天线进行分集的体域通信抗多径接收方法,其原理是利用平面端射圆极化天线的俯仰面宽波束特性克服身高变化带来的幅度衰落,并利用其圆极化特性改善来波极化失配引起的深度...
  • 极化码的原理

    万次阅读 2017-04-23 22:45:49
    原理大白话:  一串01(姑且称为 大X)通过信道传输,想完整、正确的被收到,就要加冗余(姑且称为 小R),冗余用来校验我们要传输的信息 大X 万一...哈哈,继续说极化码,原先他还没用做信道编码的时候的思想是这样的
    原理大白话:
           一串01(姑且称为 大X)通过信道传输,想完整、正确的被收到,就要加冗余(姑且称为 小R),冗余用来校验我们要传输的信息 大X 万一他错了,我们可以通过 小R 找出出错的位置并计算出正确的来,OK,现在我们把他俩一起传输,放一块后我们就叫他码字(姑且称为 大U)
            上面说的就是信道编码;
    哈哈,继续说极化码,原先他还没用做信道编码的时候的思想是这样的:
    a版本:一群信道W,假设有N个(2^n个)通过某种固定的方式俩俩融合(combine)再分裂(split),得到的依然是N个信道,但是这个时候的小信道W们都不一样了,有一部分的信道容量非常大无限接近信道容量,而有一部分相应的就变得很差,啥?听不懂?信道容量所以呢?得咧,换种方式说:
    b版本:前面就是那样,接近信道容量啥意思?就是这些小信道可以看成一个无噪信道,另一部分看成是纯噪声信道,懂了吗?  
    ----------“所以,和编码有啥关系?”☺ 微笑脸 ☺ ----------
    c版本:一串01,我通过某种方式俩俩融合然后再分裂,怎么完成?问问你的大学线代老师去,haobapinyingaosuni,keyichengyiyigejuzhenlaiwancheng。然后神奇的事情就发生了,经过这一融合分裂之后的码字通过信道后,有些 位 表现出了很高的准确率,相应的有些位错误率那就相当可爱了
    所以聪明的Arikan看到了他好像可以用来编码啊,然后我们就开始研究极化码了。


    具体的编码译码我想就很好理解了,看看其他信道编译码吧,大同小异,把那个完成融合的矩阵的非冻结位当作生成矩阵即可,SC译码也就是分裂对应的方式。
    展开全文
  • 目录 ...通过阅读本篇文章,大家可以掌握信道极化原理,极化码如何定义以及如何度量信道可靠性。有问题欢迎留言交流啊! 记号表示 W:X→Y表示一个通用二进制输入离散无记忆信道B-DMC(Binary-Di

    1、内容目录

    1. 开篇1-内容介绍&参考文献
    2. 概述2-什么是极化码?
    3. 原理3-Arikan原版论文学习总结
    4. 编码算法4-巴氏参数、GA算法以及matlab仿真
    5. 译码算法5-SC算法及matlab仿真
    6. 译码算法6-SCL、CA-SCL及matlab仿真

    2、极化码定义

    关于信道极化及极化码的定义最初是在Arikan教授的原创性论文中提出,本节内容也是基于他的论文所写的。通过阅读本篇文章,大家可以掌握信道极化的原理,极化码如何定义以及如何度量信道可靠性。有问题欢迎留言交流啊!

    2.1、记号表示

    W:X→Y 表示一个通用二进制输入离散无记忆信道B-DMC(Binary-Discrete Memoryless Channel),其中数组X表示输入向量,数组Y表示输出向量;
    W(y | x) 表示信道转移概率,其中x∈X,y∈Y。数组X的元素在{0,1}中取值,数组Y以及转移概率的取值则是任意的。
    WNW^N 表示由N个彼此独立但相同的W信道所组成的DMC信道,对应: WNW^N:XNX^NYNY^N,该信道转移概率表示为:
    在这里插入图片描述

    2.2、信道度量参数

    这里有两个十分重要的参数需要学习和掌握:
    1、对称容量(信道容量):在这里插入图片描述
    该参数表示当信道进行可靠传输时可达到的最大传输速率;当I(W)值越大,表示信道传输效果越好,信道越可靠;反之,信道越不可靠。
    2、巴氏参数(Bhattacharyya parameter):在这里插入图片描述
    该参数表示信道的信息接受错误概率的上界,也即错误概率的最大值。很容易理解,当Z(W)值越小的时候,代表信道传输效果越好,信道越可靠;反之,信道越不可靠。

    2.3、生成矩阵

    生成矩阵是极化码编码很重要的组成部分。极化码的数学计算基于一个核矩阵的极化效应,极化效应通过克罗内克积(Kronecker)来产生(如果对Kronecker不了解的话,可百度查询,这里不对其进行介绍)。不同的核矩阵会有不同的极化速率和极化效果,在Arikan的原创论文中,他选择了矩阵 G2G_2=[1011]\begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\end{bmatrix} 作为核矩阵。对于一个长度为 N=2n2^n的极化码来说,其对应的生成矩阵表示为
    在这里插入图片描述
    该式子右边表示n个G2G_2矩阵依次进行Kronecker积之后再进行奇偶置换操作,BNB_N表示一个排列矩阵,通过将下标的二进制表示进行位翻转操作实现奇偶置换操作,下节会进行介绍。

    2.4、信道极化现象

    信道极化现象说的就是当我们输入的信息比特码长趋于无穷大的时候,信道产生极化现象,使得一部分信道,其信道容量趋于“1”,达到“无噪信道”,可进行可靠传输;一部分信道其信道容量趋于“0”,变成“全噪信道”,不能进行可靠传输。我们选择这些“无噪信道”传输我们发送的信息比特,用“全噪信道”发送一些收发双方都已知的冻结比特或者辅助信息比特,以此高效地利用信道传输我们的信息,提高性能。
    信道极化现象分为信道合并和信道分裂两步。下面对这两个过程进行详细描述
    一、信道合并
    信道合并过程就是通过递归方法,将N个相互独立且相同的信道W合并为信道WNW_N的过程。已知极化码的长度为N=2n2^n,下面是递归过程(下列图中和算式中一个圆里面有个加号,该符号表示模2加法运算):
    1、n=0时,N=1,此时W1W_1=W;
    2、n=1时,N=2,此时将两个B-DMC合并,合并过程如下图所示:
    在这里插入图片描述
    合并后得到矢量信道 W2W_2X2X^2Y2Y^2,对应转移概率为在这里插入图片描述
    上式又可以表示为在这里插入图片描述
    3、n=2时,N=4,此时将两个信道W2W_2合并,合并过程如下图所示
    在这里插入图片描述
    上图中的R4R_4表示奇偶置换操作,例如当输入序列为(s1s_1,s2s_2,s3s_3,s4s_4)时,通过奇偶置换得到序列(s1s_1,s3s_3,s2s_2,s4s_4)。
    合并后得到信道矢量W4W_4X4X^4Y4Y^4,对应的信道转移概率为在这里插入图片描述
    上式又可以写为在这里插入图片描述
    其中,G4G_4就表示长度为4的极化码的生成矩阵在这里插入图片描述

    4、如此递归合并,直到极化码的长度为N时,此时合并两个矢量信道WN/2W_ {N/2},合并过程如下图所示
    在这里插入图片描述
    合并后得到矢量信道WNW_NXNX^NYNY^N,其信道转移概率表示为在这里插入图片描述
    生成矩阵如前面定义计算得到。
    二、 信道分裂
    信道分裂的原理蕴含在极化码译码的算法原理当中,下面进行简要介绍,详细操作过程将会在译码算法那一章进行介绍。
    当通过上一节信道合并以后得到矢量信道WNW_N,之后对该矢量信道进行分裂,得到N个相互独立的二进制输入位信道,这些信道是并列的,同时传输比特信息。该信道表示为WNiW_N^i:X→YNY^Nx Xi1X^{i-1},1≤ i ≤N,其转移概率表示为在这里插入图片描述
    其中(y1Ny_1^N,u1i1u_1^{i-1})表示位信道WNiW_N^i的输出,uiu_i表示它的输入。
    为了对位通道有更加直观的理解,引入一个被称为精灵辅助的连续相消译码器,其译码原理是:当我们要判决元素uiu_i时,需要结合得到的接收信号值y1Ny_1^N和前面 i-1 个位信道的输入u1i1u_1^{i-1}(在这里我们假设前面的输入u1i1u_1^{i-1}都是判决正确的)。

    3、总结

    在本章中,我已经尽可能用比较通俗易懂的表达方式去为大家介绍极化码的相关定义和原理,我用一种我在学习这一节知识点时的理解顺序进行了排版,希望也能让大家更好的理解。相信通过这一节,大家已经学懂了极化码是怎么一回事,在下一节,我将会为大家介绍极化码的构造方式和算法原理,极化码的编码过程。如果有不懂或者错误的地方,欢迎大家批评指正。

    最后,新人博主写帖子不易,如果你觉得对你有帮助,多多点赞分享关注打赏,给我更多创作动力。祝大家都能有所学,有所获,加油!

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  • 极化码生成矩阵的构造

    千次阅读 2017-03-25 21:47:12
     最近在做毕设,题目是关于极化码的,搜集了很多论文,总觉得编码部分都不是很详细,所以想写一篇博客来总结一下自己学到的知识。我只是初入通信方面的小白,请多多包涵。  编码原理在很多论文中都可以查到,再次...
    
          最近在做毕设,题目是关于极化码的,搜集了很多论文,总觉得编码部分都不是很详细,所以想写一篇博客来总结一下自己学到的知识。我只是初入通信方面的小白,请多多包涵。

          编码原理在很多论文中都可以查到,再次不想多赘述,只想记录一下自己遇到的问题。

          已知条件:BEC信道,且删除概率ε=0.5,uA=(1,1,0,1),polar码的表示为(8,4,A,(0,0,0,0,));​

          根据polar码的表示,可以得知需要求出四个信息信道,剩下四个为固定信道。信息信道的获得,需要根据信道对称容量来求取,公式如下:

          通过迭代,可以计算出 I(W)={

    0.0039,0.1211,0.1914,0.6836,0.3164,0.8086,0.8789,0.9961},从I(W)中挑选K=4个信息位(数值大的前四个),所以冻结比特位为(1,2,3,5),信息位为(4,6,7,8)。​​所以需要挑选生成矩阵中的(4,6,7,8)行作为Gn(A)。​​

         接下来就是求生成矩阵G8了:

     F=[1,0;1,1],  F的三次克罗内克积为

    之后求取G8,

    有两种方法:

    一,将上述矩阵中的行号用二进制表示,之后,将表示行号的二进制进行倒序处理,所对应的就是G8新矩阵。​

    正序:1,2,3,4,5,6,7,8

    正序:000,001,010,011,100,101,110,111  

    倒序:000,100,010,110,001,101,011,111

    倒序:1,5,3,7,2,6,4,8

    即图3中的矩阵,按倒序的行号重新排列为一个矩阵,即G8。​

    ​​​​​​​二,求Bn。

    R_N 的作用是使 (S1,S2,S3,S4……Sn)变换为(S1,S3,S5……Sn-1,S2,S4……Sn)​

    I2为单位矩阵,且规定B2=I2。​

         以上仅个人见解,采纳请慎重。



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信道极化原理