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  • [例3.6]某对称离散信道的信道转移概率矩阵P为: 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/3 计算其最佳信源概率和信道容量C。 附:程序代码如下: #include #include #define MAX 50 double Calculate_a(int k,double pa[])...
  •  转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于 市场 决策 时,矩阵中的元素是市场或 顾客 的保留、获得或失去的概率。 P...

    什么是转移概率矩阵

      转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。

     

    转移概率矩阵的特征

      转移概率矩阵有以下特征:

      ①,0≤Pij≤1

      ②/sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。

     

    转移概率与转移概率矩阵[1]

      假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月(12月)调查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中,有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏,40%的人将改用中华牙膏; 使用中华牙膏的7000人中, 有70%的人下月将继续使用中华牙膏,30%的人将改用黑妹牙膏。据此,可以得到如表-1所示的统计表。

             表-1 两种牙膏之间的转移概率

      拟用黑妹牙膏中华牙膏
    现用  
    黑妹牙膏60%40%
    中华牙膏30%70%

      上表中的4个概率就称为状态的转移概率,而这四个转移概率组成的矩阵

      B=/begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix}

      称为转移概率矩阵。可以看出, 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

      2. 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化

      有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下:

      (3000.7000) /begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix} =(3900,6100)

      即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。

      假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为:

      (3900,6100)/begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix}

      =(3000,7000)/begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix}/begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix}

      =(3000,7000)/begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix}^2=(4170,5830)

      这里/begin{bmatrix}60% & 40%//30% & 70%/end{bmatrix}^2称为二步转移矩阵,也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地, k步转移概率矩阵

      正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。

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  • 一、信道模型 描述信道常用的三个参数:输入X;输出Y;输入与输出间的条件概率P(yi∣xi)P(y_i|x_i)P(yi​∣xi​)。如果P(y∣x)=∏i=1mP(yi∣xi)P(y|x)=\prod_{i=...条件概率可以写成矩阵形式。 3、离散输入、连续输出信

    一、信道模型

    描述信道常用的三个参数:输入X;输出Y;输入与输出间的条件概率 P ( y i ∣ x i ) P(y_i|x_i) P(yixi)。如果 P ( y ∣ x ) = ∏ i = 1 m P ( y i ∣ x i ) P(y|x)=\prod_{i=1}^mP(y_i|x_i) P(yx)=i=1mP(yixi),则该信道无记忆。接下来描述四种信道模型:

    1、二进制对称信道BSC

    在这里插入图片描述

    2、离散无记忆信道DMC

    \quad 更广义的离散输入输出的信道。输入是M元符号,输出是Q元符号。无记忆。条件概率可以写成矩阵形式。

    3、离散输入、连续输出信道

    \quad 调制器输入信号为离散字符,检测器的输出未量化。离散输入,连续输出,比如AWGN信道,混入了噪声,导致输出连续。在这里插入图片描述

    4、波形信道

    \quad 输入输出都是波形,都连续。矢量AWGN信道模型:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二、信道容量

    对于DMC信道

    信道容量为输入X与输出Y的互信息 I ( X , Y ) I(X,Y) I(X,Y)的最大值。

    对于BSC信道

    在这里插入图片描述
    选择等概的输入符号能使平均互信息最大。因此,只要令输入符号等概,就可以得出信道容量;除了选择等概以外,一般情况下,只要信道转移概率矩阵对称,就可以使 I(X, Y)最大化。

    波形信道

    AWGN信道在带限及平均功率受限的输入条件下信道容量——香农公式:
    C = W l o g ( 1 + P a v W N 0 ) C=Wlog(1+\frac{P_{av}}{WN_0}) C=Wlog(1+WN0Pav)
    在AWGN信道,C与带宽W,发送功率 P a v P_{av} Pav有关!

    • 信道容量随SNR的增加而单调增加, S N R = 10 ∗ l g ( P a v W N 0 ) SNR=10*lg(\frac{P_{av}}{WN_0}) SNR=10lg(WN0Pav) N 0 N_0 N0是噪声功率谱密度, W N 0 WN_0 WN0是噪声功率
    • 如果 P a v P_{av} Pav固定,容量随带宽W的增加而增加。当W区域无穷时,信道容量趋于一个渐近值在这里插入图片描述
    • P a v = C ϵ b , ϵ b 为 每 b i t 能 量 P_{av}=C\epsilon_b,\epsilon_b为每bit能量 Pav=Cϵbϵbbit,因此,在这里插入图片描述
    • 信道容量公式的意义:为在噪声信道中可靠通信确定传输速率的上限值。
    • 噪声编码定理:
      只要传输速率R<C,总存在一种信道编码,以所要求的任意小的差错概率实现可靠通信;
      反之,如果R>C,不可能有任何一种编码能使差错概率趋近于零。

    用正交信号可以达到信道容量极限

    只要 ϵ b / N 0 > I n 2 \epsilon_b/N_0>In2 ϵb/N0>In2,对于正交信号,通过增加波形数M可以使差错概率 P M P_M PM任意小。$R < C_{无穷} $时,增加正交信号数目M 可以使 P M P_M PM任意小,但实际得到的性能与信道容量公式算出的性能之间存在较大差距。
    在这里插入图片描述

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  • 信道容量

    千次阅读 2017-06-20 13:28:02
    信道容量的迭代算法 二元对称信道模拟器

    信道容量的迭代算法

    • 实验目的
      熟悉信道容量的迭代算法;
      学习如何将复杂的公式转化为程序。
    • 实验要求
      已知:信源符号个数r、信宿符号个数s、信道转移概率矩阵P。
      输入:任意的一个信道转移概率矩阵,r、s、P在运行时从键盘输入。
      输出:最佳信源分布P’,信道容量C。

    • 实验代码

    package com.yrwan.xindao;
    import java.util.Scanner;
    public class Diedai {
        public static int M;
        public static int N;
        public static double C;
        public static void main(String[] args) {
            int t = 0; // 迭代次数
            Scanner input = new Scanner(System.in);
            System.out.println("输入状态转移矩阵的行列数M,N:");
            N = input.nextInt();
            M = input.nextInt();
            double[][] p = new double[N][M];
            double[] S = new double[N];
            double[] SS = new double[N];    // 存入迭代计算后的S
            System.out.println("输入状态转移矩阵:");
            // 输入转移矩阵
            for (int i = 0; i < N; i++)
                for (int j = 0; j < M; j++) {
                    p[i][j] = input.nextDouble();
                }
            input.close();
            // 初始化数据
            for (int i = 0; i < N; i++)
                S[i] = (double) 1 / N;// 赋值
            // 迭代
            boolean flag = true;
            double[][] fa = new double[M][N];
            while (flag) {
                // 计算fa[j][i]
                for (int j = 0; j < M; j++) {
                    double sum = 0;
                    for (int i = 0; i < N; i++) {
                        sum = sum + S[i] * p[i][j];
                    }
                    for (int i = 0; i < N; i++)
                        fa[j][i] = (S[i] * p[i][j]) / sum;
                }
                // 迭代计算S
                // 计算分母
                double sum1 = 0;
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    boolean flag3 = true;
                    double sum2 = 0;
                    for (int j = 0; j < M; j++) {
                        if (fa[j][i] != 0)
                            sum2 = sum2+ (p[i][j] * (Math.log(fa[j][i]) / Math.log(Math.E)));
                        else if (fa[j][i] == 0 && p[i][j] != 0) {
                            flag3 = false;
                        }// exp(log0)=0,下同
                        else if (fa[j][i] == 0 && p[i][j] == 0)
                            sum2 = sum2 + 0;// 0log0=0
                    }
                    if (flag3)
                        sum1 = sum1 + Math.exp(sum2);
                    else
                        sum1 = sum1 + 0;
                }
                // 计算SS[i]4
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    boolean flag1 = true;// 若有无穷比无穷
                    double sum6 = 0;
                    for (int j = 0; j < M; j++) {
                        if (fa[j][i] != 0)
                            sum6 = sum6 + p[i][j]* (Math.log(fa[j][i]) / Math.log(Math.E));
                        else if (fa[j][i] == 0 && p[i][j] != 0) {
                            flag1 = false;
                        } else if (fa[j][i] == 0 && p[i][j] == 0)
                            sum6 = sum6 + 0;
                    }
                    if (flag1)
                        SS[i] = Math.exp(sum6) / sum1;
                    else
                        SS[i] = 0;
                }
                double epsilon = 0; //停止迭代的容差限
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    epsilon = epsilon + Math.pow(SS[i] - S[i], 2);
                }
                if (epsilon < 0.00001)
                    flag = false;
                else {
                    for (int i = 0; i < N; i++)
                        S[i] = SS[i];
                }
                C = Math.log(sum1) / Math.log(2);
                t++;
            }
            System.out.println("迭代次数为:" + t);
            System.out.print("最佳信源分布为:");
            for (int i = 0; i < N - 1; i++)
                System.out.print(S[i] + ",");
            System.out.println(S[N - 1]);
            System.out.println("信道容量为:" + C);
        }
    }
    

    二元对称信道模拟器

    • 实验目的
      加深理解二进制对称信道的工作原理;
      掌握通过高级编程语言生成伪随机数的方法。
    • 实验要求
      输入:BSC信道的错误概率,任意的二进制序列
      输出:经BSC信道传输后的二进制序列
      源程序格式整齐清晰,注释简单明了

    • 实验代码

    package com.yrwan.xindao;
    import java.util.Scanner;
    public class Eryuanduichen {
        public static void main(String[] args){
            double errPr;
            int[] data;
            Scanner input = new Scanner(System.in);
            System.out.print("输入BSC信道的错误概率(0~1):");
            errPr=input.nextDouble();
            System.out.print("输入要传输的二进制序列长度:");
            data=new int[input.nextInt()];
            System.out.print("输入要传输的二进制序列:");
            for (int i = 0; i < data.length; i++) {
                data[i]=input.nextInt();
            }
            input.close();
            BSC bsc=new BSC(errPr);
            int[] result=bsc.send(data);
            System.out.printf("传输后的二进制序列为:");
            for (int r:result) {
                System.out.printf(r+" ");
            }
        }
    }
    
    package com.yrwan.xindao;
    public class BSC {//第一种方法
        double errPr;//BSC信道的错误概率
        public BSC(double Pr){
            errPr = Pr;
        }
    //经BSC传输信号,返回传输后的值
        public int[] send(int[] data){
            boolean [] x=int2boolean(data);
            for(int i = 0; i<x.length;i++)
                if(Math.random()<errPr){
                    x[i] = !x[i];
                }
            return boolean2int(x);
        }
     //将int型数组转为boolean型
        private boolean[] int2boolean(int[] data){
            boolean [] x=new boolean[data.length];
            for (int i = 0; i < data.length; i++) {
                x[i] = data[i] == 1;
            }
            return x;
        }
     //将boolean型数组转为int型
        private int[] boolean2int(boolean[] data){
            int[] x=new int[data.length];
            for (int i = 0; i < data.length; i++) {
                x[i]=data[i]?1:0;
            }
            return x;
        }
    }
    
    package com.yrwan.xindao;
    public class BSC {//第二种方法
        double errPr;//BSC信道的错误概率
        public BSC(double Pr){
            errPr = Pr;
        }
    //经BSC传输信号,返回传输后的值
        public int[] send(int[] data){
            int[] x=new int[data.length];
            x = data;
            for(int i = 0; i<data.length;i++)
                if(Math.random()<errPr){
                    x[i] = 1 - x[i];
                }
            return x;
        }
    }
    //C语言版
    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<time.h>
    void BSC(int *p, int n, float errPr){
      srand(time(NULL));
      int i;
      for(i = 0; i < n; i++)
        if((double)rand()/RAND_MAX < errPr)
          *(p+i) = 1 - *(p+i);
    }
    int main(void){
      float errPr;
      printf("请输入信道的错误概率:");
      scanf("%f",&errPr);
      printf("请输入二进制序列长度:");
      int n;
      scanf("%d",&n);
      int data[n];
      printf("请输入二进制序列:");
      int i;
      for(i=0; i < n; i++)
        scanf("%d",&data[i]);
      BSC(data, n, errPr);
      printf("经信道传输后的二进制序列为:");
      for(i=0; i < n; i++)
        printf("%d ",data[i]);
      return 0;
    }
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  • 第三章 信道容量 信息论与编码 习题答案
  • 【信息论】信道信道容量(一)

    万次阅读 2016-10-20 00:29:46
    第3章信道信道容量 l 信道的数学模型及其分类 l 离散单个符号信道及其容量 l 离散序列信道及其容量 l 连续信道及其容量   一.信道的数学模型 1. 信道 信息传输的媒介或通道 ...

    第3章信道与信道容量

    l  信道的数学模型及其分类

    l  离散单个符号信道及其容量

    l  离散序列信道及其容量

    l  连续信道及其容量

     

    一.信道的数学模型

    1.        信道

    信息传输的媒介或通道

    2.        信道的主要问题

    a)        信道的建模:其统计特性的描述

    b)        信道传输信息的能力及其计算

    c)        有噪信道中能不能实现可靠才传输?怎么实现?

    3.        信道输入输出个数

    单用户、多用户

    4.        输入端和输出端关系

    无反馈、有反馈

    5.        噪声种类

    随机差错、突发差错

    6.        输入输出事件的时间特性和集合的特点

    a)        离散信道:输入、输出的时间、幅度上都离散

    b)        连续信道:幅度连续,时间离散

    c)        半连续:输入和输出一个离散一个连续

    d)        波形信道:输入和输出都是连续随机信号,时间连续,幅度连续

    7.        信道参数与时间的关系

    恒参、随参

    8.        按信道接入方式分

    a)        多元接入信道

    b)        广播信道

    9.        根据信道的记忆特性

    a)        无记忆信道:信道输出仅与当前的输入有关

    b)        有记忆信道:信道输出不仅与当前输入有关,还与过去的输入有关

    10.    信道参数

    1)        输入矢量X=(x1,x2,…,xi,…), 

    xi∈A={a1,a2,…,an}

    2)        输出矢量Y=(y1,y2,…,yi,…),

    yj∈B={b1,b2,…,bm}

    3)        信道参数

    a)        输入输出之间的统计依赖关系p(Y/X)


    b)        信道转移概率

    4)        本章介绍

    a)        无干扰信道

    b)        有干扰无记忆信道

    c)        有干扰有记忆信道

    二.信道

    1. 无干扰信道

    信道中不存在随机干扰或者随机干扰很小可以略去不计,信道的输出信号Y与输入信号X之间有确定的关系Y=f(X)。已知X后,确知Y,此时,转移概率为


    2. 有干扰无记忆信道

    (1).概念

    信道中存在随机干扰,输出符号与输入符号之间无确定的对应关系,但是,信道中任一时刻的输出符号仅统计依赖于对应时刻的输入符号


    无记忆:每个输出只与当前输入之间有转移概率关系,与其他非该时刻的输入、输出都无关

    问题简化

    不需要矢量形式,只需分析单个符号的转移概率p(yj/xi)即可

    (2).种类

    1)        二进制离散信道BSC


    输出比特仅与对应时刻的一个输入比特有关,与以前的输入比特无关


    2)        离散无记忆信道DMC(Discrete memoryless channel)

    对任意N长的输入、输出序列,有


    在任何时刻信道的输出只与此时的信道输入有关,而与以前的输入无关

    还满足

     

    即,转移概率不随时间变化,平稳的或恒参

    DMC的转移概率矩阵


    3)        离散输入、连续输出信道

    有限的、离散的输入符号集X∈{a1,a2,…,an},输出未经量化,实轴上的任意值Y∈{-∞, ∞}

    离散时间无记忆信道,其特性由离散输入X、连续输出Y、一组条件概率密度函数PY(y/X=ai)决定。

    特例:

    加性高斯白噪声AWGN信道Y=X+G

    G:白噪声,(0,σ2)

    当X=ai给定后,Y是一个均值为ai,方差为σ2的高斯随机变量

    4)        波形信道

    信道的输入输出:取值连续的一维随机过程{x(t)}和{y(t)},带宽受限fm 、观察时间受限tB

    离散化,L=2*fm* tB

    时间离散、取值连续的平稳随机序列X=(X1,X2,…,XL)和Y=(Y1,Y2,…,YL)

    波形信道→多维连续信道

    多维连续信道转移密度函数

       pY(y/x)=pY (y1,y2,…,yL/x1,x2,…,xL)


    Ø  考虑AWGN信道

    y(t)=x(t)+n(t) 信号和噪声相互独立

       pX,Y(x,y)=pX,n(x,n)=pX(x)*pn(n)


    信道的转移概率密度函数=噪声的概率密度函数


    Ø  说明:条件熵Hc(Y/X)是由噪声引起的,等于噪声熵Hc(n),所以它被称为噪声熵。

    Ø  主要讨论加性、高斯白噪信道

    3. 有干扰有记忆信道

    1)        实际信道

    2)        处理困难

    3)        处理方法

    4)        将以及很强的L个符号当矢量符号,各矢量符号间看成无记忆

    5)        将转移概率p(Y/X)看成Markov链的形式,记忆有限

    特例:二进制对称信道BSC


    信道的互信息量:

     

    二元对称信道的平均互信息为 

                        

    分析:

    a)        固定信道时的平均互信息

    当信道固定,即p为一个固定常数时,可得出I(X;Y)是信源分布的上凸函数


    对于固定的信道,输入符号集X的概率分布不同时,在接收端平均每个符号所获得的信息量就不同

    当输入符号为等概率分布时,平均互信息量I(X;Y)为最大值,这时,接收每个符号所获得的信息量最大。

    这是研究信道容量的基础

    b)       固定信源分布时的平均互信息

    当固定信源的概率分布时,则平均互信息I(X;Y)是信道特性p的下凸函数


    当二元信源固定后,改变信道特性p可获得不同的平均互信息 I

    p=0.5时,I(X;Y)=0。即在信道输出端获得的信息最小,这意味着信源的信息全部损失在信道中,这是一种最差的信道,其噪声最大

    这是信息率失真论的基础

    信道容量

    l  信道的信息传输率

    n  R=I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)  比特/符号

    l  信息传输速率

    信道在单位时间内平均传输的信息量定义为信息传输速率

    Rt=I(X;Y)/t  比特/秒

    l  信道容量

    n  I(X;Y)的条件极大值

    n  单位:比特/符号(bits/symbol或bits/channel use)

    l  C的含义

    对于一个固定的信道,总存在一种信源概率分布,使传输每一个符号平均获得的信息量,即平均互信息I(X;Y)最大,而相应的概率分布p(x)称为最佳输入分布

    信道容量C仅与信道的统计特性有关,即与信道传递概率矩阵有关,而与信源分布无关

    平均互信息I(X;Y)在数值计算上表现为输入分布p(x)的上凸函数,所以存在一个使某一特定信道的信息量达到极大值信道容量C的信源。

    信道容量表征信道传送信息的最大能力。实际中信道传送的信息量必须小于信道容量,否则在传送过程中将会出现错误。

    l  几种特殊的信道


    无噪无损信道

    • XY一一对应

    • C=maxI(X;Y)=log n

    无噪有损信道

    • 多个输入变成一个输出:

    • C=maxI(X;Y)=maxH(Y)

    有噪无损信道

    • 一个输入对应多个输出

    • C=maxI(X;Y)=maxH(X)

     

    l  对称DMC信道的C

    对称DMC信道定义

    输入对称

    如果转移概率矩阵P的每一行都是第一行的置换(包含同样元素),称该矩阵是输入对称

    输出对称

    如果转移概率矩阵P的每一列都是第一列的置换(包含同样元素),称该矩阵是输出对称

    对称的DMC信道:输入、输出都对称

     

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