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  • 常用的z变换表
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    2020-11-18 11:07:22

    工作中用快捷键还是会在一定程度上提高工作效率的,下面是我常用的一些快捷键:

    alt:

    定制快捷菜单栏:

    file-options-quick access toolbar,选中功能将其添加,并可进行排序。

    9008f8fe07ccd7d81a05149678d23ff8.png

    则根据排列顺序,不同的功能分别是alt+1/2/3……

    在打开的sheet里按下alt键,则不同功能会出现相应的字母,按照提示的字母进行选择即可,例如:

    Alt+A+T:筛选

    Alt+A+Q:高级筛选

    Alt+A+G+G/Alt+shift+右键头:组合

    Alt+F+V:打印预览

    Alt+shift+左键头:取消组合

    Alt+N+V:数据透视表

    Alt+O+C+A/Alt+O+R+A:快速调整列宽/行宽

    Alt+Enter:换行

    ctrl:

    ctrl+[:查找此单元格数据来自于哪里

    ctrl+]:查找哪个单元格引用此单元格数据

    ctrl+~:显示输入的公式,而非对其进行运算

    ctrl+;:输入当前日期

    ctrl+shift+;:输入当前时间

    ctrl+0:隐藏列

    ctrl+1:弹出设置单元格格式对话框

    ctrl+shift+0:取消隐藏列

    ctrl+shift+1:设置为数值格式

    ctrl+shift+2:设置为时间格式

    ctrl+shift+3:设置为日期格式

    ctrl+shift+4:设置为货币格式

    ctrl+shift+5:设置为百分比格式

    ctrl+shift+7:设置外侧边框

    ctrl+shift+不同方向箭头:选中起始单元格到连续区域边缘的指定方向

    ctrl+shift+L:筛选

    ctrl+5:原来内容加上删除线

    ctrl+9:隐藏行

    ctrl+shift+9:取消隐藏行

    ctrl+shift+加号:选中几行/列,则在其上面/左面插入几行/几列

    ctrl+减号:删除行/列

    ctrl+A:全选

    ctrl+B:字体加粗

    ctrl+C:复制

    ctrl+D:向下复制填充(若原单元格为公式,则向下填充公式,否则复制内容及格式)

    ctrl+E:excel根据规律填充

    ctrl+enter:区域填充,例如:欲在区域内输入相同内容,则选中区域,输入内容,按ctrl+enter则此区域填充了输入的内容

    ‍ctrl+F:查找

    ctrl+f6:切换到上一工作簿

    ctrl+shift+f6:切换到下一工作簿

    ctrl+G/F5:定位

    ctrl+H:替换

    ctrl+Home:定位到A1单元格

    ctrl+I:设置或取消倾斜

    ctrl+K:显示新的超链接的插入

    ctrl+N:创建一个新的空白工作簿

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    ctrl+PgDn:切换到下一张sheet

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    shift+f11:新建一个excel sheet

    F

    Fn+F2:显示此单元格为哪几个单元格经过运算得到

    F2:单元格处于编辑模式

    F4:重复上一步操作/相对引用和绝对引用的变换

    F9:将选中的公式部分变为数值

    F12:另存为

    欢迎留言补充哦~

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  • 2020-03-19拉氏变换与傅立叶变换拉氏变换(Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,其符号为 L[f(t)] 。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数 s 的函数: 拉氏变换在...

    cb63ffe6409a0b082906c5f8fa49eb61.png

    2020-03-19

    拉氏变换与傅立叶变换

    拉氏变换(Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,其符号为 L[f(t)] 。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数 s 的函数:

    拉氏变换在大部份的应用中都是对射的,最常见的 f(t) F(s) 组合常印制成表,方便查阅。拉氏变换和傅立叶变换有关,不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加,属于「频域变换」;而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加,属于「时域变换」。拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题,变换成比较容易计算的代数方法,为什么要进行变换?因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。因此,拉氏变换较多被用于解决:

    (1).常数系数的线性微分或积分方程式;

    (2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

    实务上,拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统,可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备,在这些分析中,拉氏变换可以作时域和频域之间的转换,在时域中输入和输出都是时间的函数,在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

    1798466871038980227966363ed2bb4c.png

    拉氏变换

    在时域分析中,物理系统之动态方程式是以微分方程式来表示,在分析与设计上较为不便,若将其取拉氏变换后,改以「转移函数」来表示,则系统之输出与输入将只是代数关系,在数学处理较为简单且方便,也易于以图解法处理。

    2abdce70827edca19e36653860214c5a.png

    拉氏变换可以从「幂级数」的概念中推广出来,下面给出其推广过程。一个函数可以用幂级数的形式表出:

    。其实,这个序列可以看成是一个特殊的函数,即自变量只取整数的函数,那么我们将其推广为一般函数会有什么效果?将离散自变量
    n 用连续自变量 t 代替,如果想用 t 取代 i,显然不能再用处理离散序列的方法进行求和,而是通过积分操作。令 A(x)=∫f(t)xtdt,而在微积分中我们常引入自然指数来方便运算,即

    在这里,我们需要对x做一些限定,因为幂级数存在收敛半径的,对于一般的自然界中存在的实际函数(如信号)是不能发散到正无穷的,因此该函数有上界,而由于为了避免负的幂带来的困扰,我们要求 x>0。由于 0<x<1,而 lnx∈(−∞, 0),也就是说,这样我们得到的变换的函数对其自变量的范围有所限制,为 x∈(0, 1)。这当然很不好看,因此我们做一个代换,令 s=-lnx,将 A(x) F(x) 代替,因此原始变为 :

    。没错,这正是拉氏变换!原本我们变换后的函数本来是
    F(x), x∈(0,1),但是,这种形式很难看,在操作时也很麻烦,因此我们做了变换,得到了变换后的函数 F(s), s∈(0,+∞),两个其实是一回事。将拉氏变换用符号 L 表示,记作: L[f(t)]=F(s)。

    公式证明

    ,s>0

    ,s>0

    ,s>a

    ,s>|ω|

    ,s>|ω|

    线性性质

    若函数 f(t) g(t) 的拉氏变换分别为 F(s) G(s),且 a, b 为常数,则L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)

    pf:

    (ex.34)

    ,求
    L[f(t)]

    Sol:

    ,s>0

    第一移位性质:s 轴的移位

    L[f(t)]= F(s),则

    , s>a

    pf:

    ,
    s>a

    (ex.35) f(t)=e-tcos(2t),求 L[f(t)]

    Sol:因为

    ,再將
    加入,则前式的
    s 要改成 s-(-1)=s+1

    所以

    微分的拉氏变换

    f(t) t>0 为连续函数,且 f‘(t)、f’‘(t)、f’‘’(t) 存在,则

    ⇒ 求一次微分的拉氏变换

    ⇒ 求二次微分的拉氏变换

    pf:

    说明:

    (1). 若直接求 L[f(t)] 不好计算时,可先求 f(t) 微分后的拉氏变换值,即先求 L[f‘(t)]

    则由上面微分公式知:L[f(t)]=F(s) 值就是

    (2). 要求微分的拉氏变换 L[f‘(t)] 时,可用下列二方法之一种來求:

    (i). 方法一:

    (a). 先求出没有微分的拉氏变换,即 L[f(t)]=F(s)

    (b). 再求出

    之值。

    (c). L[f’(t)]=sF(s)=f(0)

    (ii). 方法二:

    (a). 先求出 f(t) 的微分 f’(t)

    (b). 再求出 f’(t) 的拉氏变换。

    (ex.36) L[sin2t],求值。

    Sol:方法一:

    (a).

    (b). 再求

    方法二:

    f(t)=sin2t f’(t)=2sintcost=sin(2t),而 f(0)=0,所以

    积分的拉氏变换

    L[f(t)]=F(s),则

    pf:

    说明:若要求一个函数的积分的拉氏变换时,

    (1). 可先求该函数的拉氏变换 L[f(t)]=F(s)

    (2). f(t) 加入积分符号时,只要将 (1) 的结果 F(s) 除以 s 即可。

    (ex.37)

    ,求值。

    Sol:(1). 先求

    (2). 加入积分符号,(1) 的结果多除以 s

    拉氏变换的微分 (或乘以

    的拉氏变换)

    L[f(t)]=F(s),则

    pf:

    说明:

    (1). 若要求 L[tf(t)] (两个函数相乘有一个是 t)时,

    (a). 可先求 L[f(t)]=F(s)

    (b). L[tf(t)] F(s) s 微分,再乘以 (-1) 的结果。

    (2). 若要求 L[t2f(t)] (两个函数相乘有一个是

    )时,

    (a). 可先求 L[f(t)]=F(s)

    (b). L[t2f(t)] F(s) 对 s 二次微分,再乘以

    的结果。

    (ex.38) L[tcost],求值。

    Sol:(1). 先求

    (2).

    (3). 所以

    拉氏变换的积分 (或除以 t 的拉氏变换)

    L[f(t)]=F(s),则

    pf:

    , 两边取拉氏变换

    两边积分

    (拉氏变换的性质),所以

    说明:若要求

    时 (一个函数除以
    t),

    (a). 可先求 L[f(t)]=F(s)

    (b). f(t) 除以 t 的拉氏变换,只要对 F(s) 做积分即可。

    (ex.39)

    ,求值。

    Sol:(1). 先求

    (2). 除以 t

    拉氏反变换 (Inverse Laplace Ttansforms)

    拉氏反变换是拉氏变换的相反运算,也就是若 f(t)的拉氏变换是 F(s) (即 L[f(t)]=F(s)),则 F(s) 的拉氏反变换即为 f(t),记成:

    。到目前为止,囚拉氏反变换的方法有:

    (1). 用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解,例如:

    (a).

    (b).

    (2). 用“线性性质”求解,L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)

    (3). 用“第一位移性质”求解,

    ,其作法为:

    (a). 先把 F(s-a) 的所有 (s-a) 改成 s,即变成 F(s)

    (b). 再求出改成 s 的拉氏反变换,即 ,

    (c). F(s) 的所有 s 改回 (s-a),只要将 (b) 的结果 f(t) 再乘以

    (4). 用“拉氏变换的微分”求解,

    ,其作法为:

    (a).

    (b). 又公式

    ,即将
    F(s) 微分先乘以 (-1),再取拉氏反变换可得 tf(t)

    (c). 最后再除以 t 可求得 f(t)

    (ex.40)

    ,求

    Sol:用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解,因

    所以

    分母是二次式的拉氏反变换

    分母是二次式,求拉氏反变换的方法和求积分的方法类似,即要求

    的拉氏反变换时,

    (1). 若分母的判别式

    ,用“部分分次法”解题 (见下节)。

    (2). 若分母的判别式

    c≠0,用”部分分次法”解题 (见下节)。

    (3). 若分母的判别式

    c=0,用“第一位移性质”解题。

    (4). 若分母的判别式

    (a). 将分母

    改成
    的形式。

    (b). c≠0,还要将分子分成二项,即 (s+α) 的倍数再加上一常数。

    (ex.41)

    ,求
    f(t)

    Sol:此题分母为二次式,且分母的判别式

    (1). (s+1) 改成 s,再求其拉氏反变换,即

    (2). s 改回 s-(-1) 时,其结果要多乘以

    ,即

    用部分分式法解拉氏反变换

    G(s)H(s) 均为实系数 s 的多项式,且无公因式, G(s) s 次方数低于 H(s) s 次方数。若分母 H(s) 可分解成
    ,其中上式的二次式判别式都小于
    0,即
    ,且
    ,则

    (也就是分母是多项式相乘的分式,可以变成分母是多项式相加的式子)

    我们可以求出上式的

    ,再一一的求出其拉氏反变换。即

    (1).

    可用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解。

    (2).

    可用“第一位移性质”求解。

    (3).

    可用“第一位移性质”求解。

    (4).

    可用“旋卷
    (convolution)”求解 (见下节)。,或直接代下面公式,

    (ex.42)

    ,求
    f(t)

    Sol:

    ,同乘
    s(s+1)(s+2)

    (1). s=0 代入

    (2). s=-1 代入

    (3). s=-2 代入

    旋卷-求二函數相乘的拉氏反变换

    ,则

    说明:要求二函数相乘的拉氏反变换,可先将二函数的拉氏反变换个别求出来,相乘后再积分即可得到。(参数一个改成 u,一个改成 (t-u),那个 t 改成 u 与改成 t-u,算出的答案均相同)

    公式:

    (ex.43) 用旋卷解

    Sol:

    第一项的 t 换成 u,第二项的 t 换成 (t-u),所以

    其它类型的拉氏变换

    t (时间) 轴之移位 (第二移位性质)

    一般式为:

    (
    a≧0)

    以前介绍的拉氏变换因都在 t>0 时,所以会直接写成:L[f(t)]=F(s),其实更严谨的写法应该写成 L[f(t)u(t)]=F(s),也就是

    (1).

    (2).

    (3).

    (4).

    ,s>a

    本节为第二移位性质,其为:

    其拉氏变换

    说明:

    (1). 求拉氏变换:,要求 f(t-a)u(t-a) 的拉氏变换时,

    (a). 先将 f(t-a)u(t-a) 内的 t (t+a) 取代,得到 f(t)u(t)。(注:它是将函数 f(t-a)u(t-a) 往左平移 a 单位,也就是函数从原点其值就出现。)

    (b). 求出 (a) 式的 f(t)u(t) 的拉氏变换为 F(s)。(此时可直接代拉氏变换的公式)

    (c). (b) t 改回 (t-a),即 f(t-a)u(t-a),它的拉氏变换为 (b) 的结果多乘以

    ,即

    (2). 求拉氏反变换:,要求

    的拉氏反变换时,

    (a). 先求 F(s) 的拉氏反变换為 f(t),即

    (b). 将

    加到
    F(s) 前,只要将 (a) 结果的 t 改成 (t-a),即

    (ex.44)

    的拉氏变换。

    Sol:原式即为:

    ,所以

    (1). 先将 f(t)=(t-2)3u(u-2) 內的 t (t+2) 取代

    (2).

    (3). t 改回 t-2,即

    ,它的拉氏转换为
    (2)的结果多乘以
    ,即

    周期函数的拉氏变换

    若函数 f(t) 是周期为 T 的周期函数,则 f(t+T)=f(t),对所有 t>0。而周期为 T 的周期函数,其拉氏变换为:

    s>0

    也就是要求周期函数的拉氏变换,只要积分积一个周期,再乘以

    证明:略

    (ex.45) 周期 T=2,求

    的拉氏变换。

    Sol:利用周期函数公式,

    所以

    利用拉氏变换法来解线性常系数微分方程式

    利用拉氏变换法来解线性常系数微分方程式的方法為:

    (1). 将微分方程式逐项取拉氏变换。

    (2). 将微分方程式的初值代入 (1) 的结果。

    (3). 用加减乘除法可求 Y(s)

    (4). 求出

    定理复习

    (1). L(f’(t))=sF(s)-f(0)

    (2).

    (ex.46) y’’+9y=0,且 y(0)=0,y’(0)=2

    Sol:

    (1). 取拉氏变换

    (2). 代入初值 y(0)=0,y’(0)=2,

    (3). 解出

    (4). 求出

    Ref.:

    李狗嗨:拉普拉斯变换中的S是个什么鬼?​zhuanlan.zhihu.com
    52b85ba08768dd406c36659790d46cf9.png
    分类
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  • 常用z变换及其收敛域

    万次阅读 2020-01-02 19:11:49
    常用z变换及其收敛域
    展开全文
  • 基本三角函数定义 首先,搞一个直角三角形(如下图所示),其中以 ACB为直角,对于 BAC,对边BC、斜边AB、邻边AC而言,则存在以下关系: 图1 直角三角形 2 三角函数定义(已更正) 以上是常用的三角函数定义,高中的...

    45190d39bf4ac75accf6343763bba19d.png

    更新说明:为满足部分考研学子的需求,本次新增内容主要有反三角函数图像、性质、基本公式(不含推理,若感兴趣可以去了解)。(更新于:Oct 9,2020)

    首先,本人做一下简要的自我介绍。

    本科已毕业,经历过考研复习(没上战场,至于什么原因以后再论)。说到三角函数公式,不管是高考也好还是考研也好,都逃不脱高中必修四“三角函数”部分,作为复习过来人,我将通过口诀以及图解的方式来帮助更多的同学来理解公式(以下只是我的学习方法),达到精准高效的目的de。进入正文之前先show一波俺之前的考研数学笔记。

    0dec829f9b0e37852c4fd800b8ee5830.png
    曾经的回忆

    f94e0d00a1578f3f3bd83b77fab13a00.png
    留下的遗憾

    1457df56ead5747e01d8e321b2547f24.png
    分割线
    内容概要
    1. 基本三角函数定义&关系式
    2. 三角函数图像性质
    3. 诱导公式
    4. 二角和差公式
    5. 倍角&半角公式
    6. 和差化积&积化和差公式
    7. 万能公式
    8. 三倍角公式(高中不要求!)
    9. 辅助角公式
    10. 反三角函数(高中不要求!)
    11. 结束语

    以下内容我会通过图解+公式+口诀or记忆技巧用斜体的方式为大家呈现,部分重要的公式会用黑体(包括部分公式推理)加以区别。

    一、基本三角函数定义&关系式

    1. 基本三角函数定义

    首先,搞一个直角三角形(如下图所示),其中以

    ACB为直角,对于
    BAC,对边BC、斜边AB、邻边AC而言,则存在以下关系:

    ffaa258d05af93719b2f5272da10ff96.png
    图1 直角三角形

    f2b8fade217cb07972a6ed71f2b01524.png
    表2 三角函数定义(已更正)

    以上是常用的三角函数定义,高中的话不要求掌握正割和余割函数(由表可以看出正割函数等于余弦函数的倒数,同理,余割函数等于正弦函数的倒数,说实话高中有时候余切函数都很少用)。

    2. 基本三角函数关系式

    基本三角函数关系有以下三种

    ① 倒数关系:tanA·cotA=1; sinA·cscA=1; cosA·secA=1

    ② 商数关系:tanA=

    ; cotA=

    ③ 平方(和)关系: sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A

    How to Understand? ↓↓↓

    下面给出正六边形帮助大家去理解三角函数之间的关系:

    67755f887eb8a4e16dffb8828216b2eb.png
    图3 三角关系六边形(来源:百度)

    其图形特征为——上弦中切下为割,左正右余1中间。

    对角相乘乘积为1(如图4)

    451bb1f8aaa810c93fa707435583f30c.png
    图4 三角函数倒数关系

    六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数,处于中间位置函数等于它相邻两个函数的乘积。(如图5)

    306c25b683d4657e6f826d4b7a4db920.png
    图5 三角函数乘数关系

    由左图可知tanA·cosA=sinA,当我们把cosA移到等式右边时等式就变为商数关系(右图同理)。

    上面商数关系只写了两个,当然还可以得到tanA·cscA=secA; secA·cotA=cscA; cscA·cosA=cotA; secA·sinA=tanA.

    阴影部分的三角形,位于上方两个顶点函数的平方和等于下顶点函数的平方值(如图6)

    4a444df4a12c8929fb292a89d8c15406.png
    图6 三角函数平方关系

    由图分别可以得到sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A

    (PS:很多人可能会像我之前理解这些公式那样会将中间或者右边那个图误认为是tan²A+sec²A=1;cot²A+csc²A=1,当然可能是受到了sin²A+cos²A=1的影响。在上面三角形中其实是以倒三角的底边作平方和,下顶点为其结果的平方,这样就不会搞错了。)

    二、三角函数图像性质

    1.正弦函数

    1.1 函数图像

    e3d173cc3428906260aa2524b97c5b02.png
    图7 正弦函数

    1.2 图像性质

    ①定义域(D):R

    ②值域(

    ): [-1,1]

    ③周期(T):

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:

    上单调递增;

    上单调递减。

    ⑥最值:

    时,
    ;当
    时,
    ;

    ⑦有界性:

    2. 余弦函数

    2.1 函数图像

    30bef1bbc10df0ee0d141d31882e293e.png
    图8 余弦函数

    2.2 图像性质

    ①定义域(D):R

    ②值域(

    ): [-1,1]

    ③周期(T):

    ④奇偶性:偶函数

    ⑤单调性:

    上单调递减;

    上单调递增。

    ⑥最值:

    时,
    ;当
    时,
    ;

    ⑦有界性:

    3. 正切函数

    3.1 函数图像

    b7b59693eb344c0f7d97e0083adfe6f2.png
    图9 正切函数

    2.2 图像性质

    ①定义域(D):

    ②值域(

    ): R

    ③周期(T): π

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:

    上单调递增。

    ⑥最值:无最大、最小值。

    三、诱导公式

    为什么会有诱导公式?是因为在实际生活当中角度的旋转量有时候不在[0.2π](rad:弧度)这个区间的情况,假如让我们计算不是0-360°的三角函数时,我们有必要引入诱导公式来将一个角度控制在0-360°范围之内,有利于计算方便。为了引出诱导公式,首先从角度的扩充说起。

    1. 角度的扩充与象限角

    按照高中之前的教学,角度的范围只能限制在[0.2π]之间。于是用另一种方式表示角:一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角,这条射线叫做角的始边,旋转到的位置所对应的边叫做角的终边,而这个公共端点叫做角的顶点。通常把逆时针旋转的角称为正角,顺时针旋转的角称为负角(如下图7所示),如果没有进行旋转,也视为形成了一个角,这个角叫做零角。

    bc76b118d47095cbfc65eb5069fb24f3.png
    图10 三角函数任意角

    当角的终边落在第几象限,就说这个角是象限角或说这个角属于第几象限。

    第一象限:2kπ<α< 2kπ+

    , k∈Z

    第二象限:2kπ+

    <α< 2kπ+ π, k∈Z

    第三象限:2kπ+π<α< 2kπ+

    , k∈Z

    第四象限:2kπ+

    <α< 2kπ+ 2π, k∈Z

    2. 三角函数在各个象限的符号

    18951069c2dbc0055d45297c7e11c26f.png
    表11 三角函数各个象限角符号

    如果不考虑余切函数的话,将得出如下结论:第一个象限正余弦、正切全为正,第二三四象限分别只有正弦、正切、余弦为正,除此之外全是负。

    即:一全正,二正弦。三正切,四余弦。

    3. 诱导公式理解

    记住一个通用的口诀就行——奇变偶不变,符号看象限。

    How to Understand? ↓↓↓

    奇变偶不变:其中奇偶是指

    的奇偶数倍(倍数为K),变与不变看k是奇还是偶。变的话就是正余弦函数名互变、正余切函数名互变。

    符号看象限:首先我们把角当作一个锐角处理,当这个锐角加或减上

    后(若加则把角的终边逆时针旋转,若减则把角的终边顺时针旋转),然后看这个角是第几象限,其中函数符号要根据原函数(
    不是变化后的函数)来判断,最后由上表就可以判断出符号的正负了。

    举个例子:计算 sin(

    -A)

    Step①:我们可以将等式看做sin( -A+

    ),其中k=3为奇数,函数名发生变化(正弦→余弦),然后把A(-A<0)看做一个锐角,由于A前面有个负号,所以画草图的时候把角A的终边画在第四象限(不要纠结角度的大小,画图的时候只要是锐角就行)。

    53193c7029d022995d6b8236d432d883.png
    图12 Step①

    Step②:画完草图后,然后将角A终边逆时针旋转270°(

    )。

    298b7bff28e581bcecf27105fba1dfeb.png
    图13 Step②

    Step③:最后判断旋转后的终边在第三象限,看正弦函数(不是变化后的余弦函数)在第三象限的符号,根据上述表8可知符号是负的。于是结果为-cosA。

    4. 诱导公式表格

    e54b4654fe92a209108f09adcc1a5242.png
    表14 三角诱导公式

    这部分内容要多加练习,熟练后可心算得出答案。

    四、二角和差公式

    谐音记忆公式法

    把sin第一个音读作"散(san)",把cos第一个音读作"扩kuo"。

    1-①:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ(散扩加扩散)

    1-②:sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ(散扩减扩散)

    1-③:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ(扩扩减散散)

    1-④:cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ(扩扩加散散)

    1-⑤:tan(α+β)=

    (
    分子同号,分母异号)

    1-⑥:tan(α-β)=

    (
    分子同号,分母异号)

    1-⑦:cot(α+β)=

    1-⑧:cot(α-β)=

    五、倍角&半角公式

    该部分内容可由公式直接推出。

    1. 倍角公式

    2-①:sin2α=2sinα·cosα(推理:将公式1-①中的β换成α)

    2-②:cos2α=cos²α-sin²α(推理:将公式1-③中的β换成α)=1-2sin²α=2cos²α-1

    ("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

    2-③:tan2α=

    (推理:将公式1-⑤中的β换成α)

    2-④:cot2α=

    (1=tanα·cotα)=
    (推理:分子分母同乘cot²α)

    2. 半角公式

    2-⑤:sin

    =

    (推理:将公式2-②中的cos2α=1-2sin²α,然后将α换成α/2,移项开方即可)

    2-⑥:cos

    =

    (推理:将公式2-②中的cos2α=2cos²α-1,然后将α换成α/2,移项开方即可)

    2-⑦:tan

    =
    (推理:将公式2-⑤与公式2-⑥之比即可)

    PS:其中正负由

    的终边所在象限确定。

    当然我们还可以得到tan

    的其它形式,推理如下:

    tan

    =
    =
    (分子分母同乘以
    )=
    (2倍角公式)

    tan

    =
    =
    (分子分母同乘以
    )=
    (2倍角公式)

    tan

    =
    =
    同理还可以得出cot
    的半角公式

    2-⑧:cot

    =
    =
    =
    (1=tanα·cotα)
    六、和差化积&积化和差公式

    1. 和差化积公式

    1.1 公式及其特点

    3-①: sinα+sinβ=2sin

    ·cos

    3-②: cosα+cosβ=2cos

    ·cos

    3-③: sinα-sinβ=2cos

    ·sin

    3-④: cosα-cosβ=-2sin

    ·sin

    3-⑤: tanα+tanβ=

    3-⑥: tanα-tanβ=

    3-⑦: cotα+cotβ=

    3-⑧: cotα-cotβ=

    公式特点:前四个等式左边是和的形式,右边为乘积的形式,且倍数为2,第一个函数名后是

    ,第二个函数名后是

    1.2 公式记忆法则(只讨论前四个)

    四个公式分别对应了一个口诀(通用版本)

    ⑴ 正加正,正在前

    35bfbc4373777cbcd8c49b558623f827.png
    图15 公式3-①

    ⑵ 余加余,余并肩。

    c0eaeba65caed3cc92b271d612c1b19f.png
    图16 公式3-②

    ⑶ 正减正,余在前。

    d8b5d249c0adac844164c5d27598cb29.png
    图17 公式3-③

    ⑷ 余减余,负正弦。(注意有负号!)

    e258f10db411c768ce05c4e62e480430.png
    图18 公式3-④

    1.3 公式推理

    下面只给出公式3-①、3-②推导.

    ⑴ 公式3-①推导

    根据前面的公式1-①、1-②。

    sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①

    sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②

    二式相加,得

    sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ, 记α+β=θ;α-β=φ。解得α=

    ;β=

    代入式中即得sinθ+sinφ=2sin

    ·cos

    ⑵ 公式3-②推导

    根据前面的公式1-③、1-④。

    cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ······1-③

    cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ······1-④

    二式相加,得

    cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ, 记α+β=θ;α-β=φ。解得α=

    ;β=
    ,

    代入式中即得cosθ+cosφ=2cos

    ·cos

    ◆将公式1-①、1-②相减按照同样的方法可以得出公式3-③,

    ◆将公式1-③、1-④相减按照同样的方法可以得出公式3-④.

    2.积化和差公式

    2.1 公式及其特点

    3-⑨: sinα·cosβ=

    [sin(α+β)+sin(α-β)]

    3-⑩: cosα·cosβ=

    [cos(α+β)+cos(α-β)]

    3-⑪: cosα·sinβ=

    [sin(α+β)-sin(α-β)]

    3-⑫: sinα·sinβ=

    [cos(α+β)-cos(α-β)]

    公式特点:等式左边是乘积的形式,等式的右边为和的形式且倍数为

    ,第一个函数名里面是
    α+β;第二个函数名里面是 α-β

    2.2 公式记忆法则

    之前看了很多个版本,我决定用一首诗去理解它(非本人原创),形象又直观。

    ⑴积化和差得和差

    c837f28721a984539f2708043a9d76ea.png
    图19

    ⑵余弦在后要相加(正弦在后就相减)

    557b4ff211659b0eb3b810bbbd6a5392.png
    图20

    ⑶异名函数取正弦(同名函数取余弦)

    d3f2b995597157d0521b3653ed4a7a5a.png
    图21

    ⑷正弦相乘取负号(注意有负号!)

    4822b559ebd5ee5c4dedcb89765c0080.png
    图22

    2.3 公式推理

    下面只给出3-⑨的证明,其余的公式证明过程相似。

    根据公式1-①、1-②。

    sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①

    sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②

    二式相加,得

    sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ,等式两边同时除以2即可。

    七、万能公式

    1.公式内容

    4-①: sinα=

    4-②: cosα=

    4-③: tanα=

    (其中u=tan

    )

    2.公式推理

    ⑴公式4-①推导

    sinα=2sin

    ·cos
    (二倍角)=
    ("1"的妙用:sin²
    +cos²
    =1)

    =

    (分子分母同除以cos²
    )

    ⑵公式4-②推导

    cosα=cos²

    -sin²
    (二倍角)=
    ("1"的妙用:sin²
    +cos²
    =1)

    =

    (分子分母同除以cos²
    )

    ⑶公式4-③(推导)

    tanα=tan(2·

    )=
    (二倍角)
    八、三倍角公式(更新于2020.2.23)

    这部分内容是为了部分考研的同学。话不多说,直接开冲!

    1.公式内容&记忆法则

    5-①:sin3α=-4sin³α+3sinα[负4三方加3(倍)角]

    5-②:cos3α=4cos³α-3cosα[4倍三方减3(倍)角]

    2.公式推理

    ⑴公式5-①推导

    sin3α=sin(α+2α)=sinα·cos2α+cosα·sin2α(公式1-①)

    =sinα·(1-2sin²α)+2cos²α·sinα(二倍角公式)

    =sinα-2sin³α+2(1-sin²α)·sinα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

    =-4sin³α+3sinα

    ⑵公式5-②推导

    cos3α=cos(α+2α)=cosα·cos2α-sinα·sin2α(公式1-③)

    =cosα·(2cos²α-1)-2sin²α·cosα(二倍角公式)

    =2cos³α-cosα-2(1-cos²α)·cosα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

    =4cos³α-3cosα

    九、辅助角公式

    a·sinα+b·cosα=

    sin(α+φ),其中tanφ=
    (φ=arctan
    ),推导过程略。
    十、反三角函数(更新于:2020.10.9)

    1.概念(个人理解)

    顾名思义,反三角函数就是三角函数的反函数,就好比指数函数和对数函数一样互为反函数。打个比方:sina=b,则b=arcsina。

    2.反三角函数图像&性质

    (1)反正弦函数图像、性质

    cc8e233736bb3eaf39b368b948a0af22.png
    图23 y=arcsinx

    图像性质:

    ①定义域(D):

    (说明:y=arcsinx是y=sinx在(
    )的反函数)

    ②值域(

    ):

    ③周期(T):

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:在定义域内单增

    ⑥有界性:函数在定义域内有界,

    (2)反余弦函数图像、性质

    e7a4bdfc5e006c7208910500c75da3f5.png
    图24 y=arccosx

    图像性质:(图像与x轴交点是(1,0),与y轴交点是(0,π/2)。)

    ①定义域(D):

    (说明:y=arccosx是y=cosx在(
    )的反函数)

    ②值域(

    ):

    ③周期(T):

    ④奇偶性:

    ⑤单调性:在定义域内单减

    ⑥有界性:函数在定义域内有界,

    (3)反正切函数图像、性质

    59ea6bacb20d9acbd24fd81e6a82cc6d.png
    图25 y=arctanx

    图像性质:

    ①定义域(D):R (说明:y=arctanx是y=tanx在(

    )的反函数)

    ②值域(

    ):

    ③周期(T):

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:在定义域内单增

    ⑥有界性:函数在定义域内有界,

    3.几个常用公式

    3.1

    3.2

    3.3

    十一、结束语

    到最后,我想给大家说的是。

    1、建议不要死记公式,最有效记住公式的办法是"做题(我当时的学习方法,后来觉得公式太多,然后就通过口诀辅助记忆)"。归根到底,以上任何公式记忆没有"直觉"来得快。

    2、口诀旨在帮助你有效记住公式,起到辅助的作用。当然,不排除有更好的方法。毕竟,每个人的学习方法不同。很多人说公式没用,不管有没有用,但你的最终目的就是在考试时候能根据题目回想起所学的某个定理、性质、公式去解决数学问题。

    3、关于公式的推理有很多种,大家可以在闲暇时间拿出你的笔和纸上自行推理一下(paper自己准备,笔我已经给你备好,不够?上一盒)。

    f9c30f9e42fc7464590bc34019033bf1.png
    图26 精万年

    4、文中若有错误的地方,恳请广大"乎友、带佬"们指正;若对你的学习有帮助,请不忘点个赞或转发给你身边正在备考的同学,在下表示万分感谢。

    4bb5678ee4ff0a7604ce357e2f49fed7.png
    图27 带佬鞠躬图

    In The End.

    Thanks for your reading!

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