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  • 常见时域函数的拉普拉斯变换和Z变换对照,WORD格式,可随意粘贴、编辑!很好克服了相同下载资源内容冗长收费昂贵的缺点。欢迎各位同仁下载!
  • 常用z变换及其收敛域

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    常用z变换及其收敛域
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  • 傅里叶、拉普拉斯、z变换常用公式合集

    万次阅读 多人点赞 2019-06-27 09:51:23
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    傅里叶变换

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    常用信号的傅里叶变换

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    傅里叶变换的性质

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    傅里叶性质—典型变换对

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    拉普拉斯

    常用信号的单边拉普拉斯变换

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    拉普拉斯变换的性质

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    z变换

    常用序列的z变换

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    z变换的性质

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  • 2020-03-19拉氏变换与傅立叶变换拉氏变换(Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,其符号为 L[f(t)] 。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数 s 的函数: 拉氏变换在...

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    2020-03-19

    拉氏变换与傅立叶变换

    拉氏变换(Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,其符号为 L[f(t)] 。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数 s 的函数:

    拉氏变换在大部份的应用中都是对射的,最常见的 f(t) F(s) 组合常印制成表,方便查阅。拉氏变换和傅立叶变换有关,不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加,属于「频域变换」;而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加,属于「时域变换」。拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题,变换成比较容易计算的代数方法,为什么要进行变换?因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。因此,拉氏变换较多被用于解决:

    (1).常数系数的线性微分或积分方程式;

    (2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

    实务上,拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统,可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备,在这些分析中,拉氏变换可以作时域和频域之间的转换,在时域中输入和输出都是时间的函数,在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

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    拉氏变换

    在时域分析中,物理系统之动态方程式是以微分方程式来表示,在分析与设计上较为不便,若将其取拉氏变换后,改以「转移函数」来表示,则系统之输出与输入将只是代数关系,在数学处理较为简单且方便,也易于以图解法处理。

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    拉氏变换可以从「幂级数」的概念中推广出来,下面给出其推广过程。一个函数可以用幂级数的形式表出:

    。其实,这个序列可以看成是一个特殊的函数,即自变量只取整数的函数,那么我们将其推广为一般函数会有什么效果?将离散自变量
    n 用连续自变量 t 代替,如果想用 t 取代 i,显然不能再用处理离散序列的方法进行求和,而是通过积分操作。令 A(x)=∫f(t)xtdt,而在微积分中我们常引入自然指数来方便运算,即

    在这里,我们需要对x做一些限定,因为幂级数存在收敛半径的,对于一般的自然界中存在的实际函数(如信号)是不能发散到正无穷的,因此该函数有上界,而由于为了避免负的幂带来的困扰,我们要求 x>0。由于 0<x<1,而 lnx∈(−∞, 0),也就是说,这样我们得到的变换的函数对其自变量的范围有所限制,为 x∈(0, 1)。这当然很不好看,因此我们做一个代换,令 s=-lnx,将 A(x) F(x) 代替,因此原始变为 :

    。没错,这正是拉氏变换!原本我们变换后的函数本来是
    F(x), x∈(0,1),但是,这种形式很难看,在操作时也很麻烦,因此我们做了变换,得到了变换后的函数 F(s), s∈(0,+∞),两个其实是一回事。将拉氏变换用符号 L 表示,记作: L[f(t)]=F(s)。

    公式证明

    ,s>0

    ,s>0

    ,s>a

    ,s>|ω|

    ,s>|ω|

    线性性质

    若函数 f(t) g(t) 的拉氏变换分别为 F(s) G(s),且 a, b 为常数,则L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)

    pf:

    (ex.34)

    ,求
    L[f(t)]

    Sol:

    ,s>0

    第一移位性质:s 轴的移位

    L[f(t)]= F(s),则

    , s>a

    pf:

    ,
    s>a

    (ex.35) f(t)=e-tcos(2t),求 L[f(t)]

    Sol:因为

    ,再將
    加入,则前式的
    s 要改成 s-(-1)=s+1

    所以

    微分的拉氏变换

    f(t) t>0 为连续函数,且 f‘(t)、f’‘(t)、f’‘’(t) 存在,则

    ⇒ 求一次微分的拉氏变换

    ⇒ 求二次微分的拉氏变换

    pf:

    说明:

    (1). 若直接求 L[f(t)] 不好计算时,可先求 f(t) 微分后的拉氏变换值,即先求 L[f‘(t)]

    则由上面微分公式知:L[f(t)]=F(s) 值就是

    (2). 要求微分的拉氏变换 L[f‘(t)] 时,可用下列二方法之一种來求:

    (i). 方法一:

    (a). 先求出没有微分的拉氏变换,即 L[f(t)]=F(s)

    (b). 再求出

    之值。

    (c). L[f’(t)]=sF(s)=f(0)

    (ii). 方法二:

    (a). 先求出 f(t) 的微分 f’(t)

    (b). 再求出 f’(t) 的拉氏变换。

    (ex.36) L[sin2t],求值。

    Sol:方法一:

    (a).

    (b). 再求

    方法二:

    f(t)=sin2t f’(t)=2sintcost=sin(2t),而 f(0)=0,所以

    积分的拉氏变换

    L[f(t)]=F(s),则

    pf:

    说明:若要求一个函数的积分的拉氏变换时,

    (1). 可先求该函数的拉氏变换 L[f(t)]=F(s)

    (2). f(t) 加入积分符号时,只要将 (1) 的结果 F(s) 除以 s 即可。

    (ex.37)

    ,求值。

    Sol:(1). 先求

    (2). 加入积分符号,(1) 的结果多除以 s

    拉氏变换的微分 (或乘以

    的拉氏变换)

    L[f(t)]=F(s),则

    pf:

    说明:

    (1). 若要求 L[tf(t)] (两个函数相乘有一个是 t)时,

    (a). 可先求 L[f(t)]=F(s)

    (b). L[tf(t)] F(s) s 微分,再乘以 (-1) 的结果。

    (2). 若要求 L[t2f(t)] (两个函数相乘有一个是

    )时,

    (a). 可先求 L[f(t)]=F(s)

    (b). L[t2f(t)] F(s) 对 s 二次微分,再乘以

    的结果。

    (ex.38) L[tcost],求值。

    Sol:(1). 先求

    (2).

    (3). 所以

    拉氏变换的积分 (或除以 t 的拉氏变换)

    L[f(t)]=F(s),则

    pf:

    , 两边取拉氏变换

    两边积分

    (拉氏变换的性质),所以

    说明:若要求

    时 (一个函数除以
    t),

    (a). 可先求 L[f(t)]=F(s)

    (b). f(t) 除以 t 的拉氏变换,只要对 F(s) 做积分即可。

    (ex.39)

    ,求值。

    Sol:(1). 先求

    (2). 除以 t

    拉氏反变换 (Inverse Laplace Ttansforms)

    拉氏反变换是拉氏变换的相反运算,也就是若 f(t)的拉氏变换是 F(s) (即 L[f(t)]=F(s)),则 F(s) 的拉氏反变换即为 f(t),记成:

    。到目前为止,囚拉氏反变换的方法有:

    (1). 用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解,例如:

    (a).

    (b).

    (2). 用“线性性质”求解,L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)

    (3). 用“第一位移性质”求解,

    ,其作法为:

    (a). 先把 F(s-a) 的所有 (s-a) 改成 s,即变成 F(s)

    (b). 再求出改成 s 的拉氏反变换,即 ,

    (c). F(s) 的所有 s 改回 (s-a),只要将 (b) 的结果 f(t) 再乘以

    (4). 用“拉氏变换的微分”求解,

    ,其作法为:

    (a).

    (b). 又公式

    ,即将
    F(s) 微分先乘以 (-1),再取拉氏反变换可得 tf(t)

    (c). 最后再除以 t 可求得 f(t)

    (ex.40)

    ,求

    Sol:用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解,因

    所以

    分母是二次式的拉氏反变换

    分母是二次式,求拉氏反变换的方法和求积分的方法类似,即要求

    的拉氏反变换时,

    (1). 若分母的判别式

    ,用“部分分次法”解题 (见下节)。

    (2). 若分母的判别式

    c≠0,用”部分分次法”解题 (见下节)。

    (3). 若分母的判别式

    c=0,用“第一位移性质”解题。

    (4). 若分母的判别式

    (a). 将分母

    改成
    的形式。

    (b). c≠0,还要将分子分成二项,即 (s+α) 的倍数再加上一常数。

    (ex.41)

    ,求
    f(t)

    Sol:此题分母为二次式,且分母的判别式

    (1). (s+1) 改成 s,再求其拉氏反变换,即

    (2). s 改回 s-(-1) 时,其结果要多乘以

    ,即

    用部分分式法解拉氏反变换

    G(s)H(s) 均为实系数 s 的多项式,且无公因式, G(s) s 次方数低于 H(s) s 次方数。若分母 H(s) 可分解成
    ,其中上式的二次式判别式都小于
    0,即
    ,且
    ,则

    (也就是分母是多项式相乘的分式,可以变成分母是多项式相加的式子)

    我们可以求出上式的

    ,再一一的求出其拉氏反变换。即

    (1).

    可用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解。

    (2).

    可用“第一位移性质”求解。

    (3).

    可用“第一位移性质”求解。

    (4).

    可用“旋卷
    (convolution)”求解 (见下节)。,或直接代下面公式,

    (ex.42)

    ,求
    f(t)

    Sol:

    ,同乘
    s(s+1)(s+2)

    (1). s=0 代入

    (2). s=-1 代入

    (3). s=-2 代入

    旋卷-求二函數相乘的拉氏反变换

    ,则

    说明:要求二函数相乘的拉氏反变换,可先将二函数的拉氏反变换个别求出来,相乘后再积分即可得到。(参数一个改成 u,一个改成 (t-u),那个 t 改成 u 与改成 t-u,算出的答案均相同)

    公式:

    (ex.43) 用旋卷解

    Sol:

    第一项的 t 换成 u,第二项的 t 换成 (t-u),所以

    其它类型的拉氏变换

    t (时间) 轴之移位 (第二移位性质)

    一般式为:

    (
    a≧0)

    以前介绍的拉氏变换因都在 t>0 时,所以会直接写成:L[f(t)]=F(s),其实更严谨的写法应该写成 L[f(t)u(t)]=F(s),也就是

    (1).

    (2).

    (3).

    (4).

    ,s>a

    本节为第二移位性质,其为:

    其拉氏变换

    说明:

    (1). 求拉氏变换:,要求 f(t-a)u(t-a) 的拉氏变换时,

    (a). 先将 f(t-a)u(t-a) 内的 t (t+a) 取代,得到 f(t)u(t)。(注:它是将函数 f(t-a)u(t-a) 往左平移 a 单位,也就是函数从原点其值就出现。)

    (b). 求出 (a) 式的 f(t)u(t) 的拉氏变换为 F(s)。(此时可直接代拉氏变换的公式)

    (c). (b) t 改回 (t-a),即 f(t-a)u(t-a),它的拉氏变换为 (b) 的结果多乘以

    ,即

    (2). 求拉氏反变换:,要求

    的拉氏反变换时,

    (a). 先求 F(s) 的拉氏反变换為 f(t),即

    (b). 将

    加到
    F(s) 前,只要将 (a) 结果的 t 改成 (t-a),即

    (ex.44)

    的拉氏变换。

    Sol:原式即为:

    ,所以

    (1). 先将 f(t)=(t-2)3u(u-2) 內的 t (t+2) 取代

    (2).

    (3). t 改回 t-2,即

    ,它的拉氏转换为
    (2)的结果多乘以
    ,即

    周期函数的拉氏变换

    若函数 f(t) 是周期为 T 的周期函数,则 f(t+T)=f(t),对所有 t>0。而周期为 T 的周期函数,其拉氏变换为:

    s>0

    也就是要求周期函数的拉氏变换,只要积分积一个周期,再乘以

    证明:略

    (ex.45) 周期 T=2,求

    的拉氏变换。

    Sol:利用周期函数公式,

    所以

    利用拉氏变换法来解线性常系数微分方程式

    利用拉氏变换法来解线性常系数微分方程式的方法為:

    (1). 将微分方程式逐项取拉氏变换。

    (2). 将微分方程式的初值代入 (1) 的结果。

    (3). 用加减乘除法可求 Y(s)

    (4). 求出

    定理复习

    (1). L(f’(t))=sF(s)-f(0)

    (2).

    (ex.46) y’’+9y=0,且 y(0)=0,y’(0)=2

    Sol:

    (1). 取拉氏变换

    (2). 代入初值 y(0)=0,y’(0)=2,

    (3). 解出

    (4). 求出

    Ref.:

    李狗嗨:拉普拉斯变换中的S是个什么鬼?​zhuanlan.zhihu.com
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  • z变换】1. z变换

    千次阅读 2020-07-03 20:22:27
    【 1. 从s变换到z变换 】 【 2. 收敛域 】 1. 因果序列 2. 反因果序列 3. 双边序列 4. 总结 【 3. s域与z域的关系 】 【 4. 常用序列的z变换

    【 1. 从s变换到z变换 】

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    【 2. 收敛域 】

    在这里插入图片描述

    1. 因果序列

    U ( n ) = = ε ( n ) U(n) == ε(n) U(n)==ε(n)
    在这里插入图片描述

    2. 反因果序列

    U ( n ) = = ε ( n ) U(n) == ε(n) U(n)==ε(n)
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    3. 双边序列

    在这里插入图片描述

    4. 总结

    U ( n ) = = ε ( n ) U(n) == ε(n) U(n)==ε(n)
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    【 3. s域与z域的关系 】

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    【 4. 常用序列的z变换 】

    U ( n ) = = ε ( n ) U(n) == ε(n) U(n)==ε(n)
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空空如也

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