二进制学习01
进制
一、二进制简介
1）什么是二进制？
2）二进制的简写形式
二、进制运算
1）八进制运算表
(1) 加法运算表
(2)乘法运算表
(3)八进制简单运算题
三、数据宽度
1）什么是数据宽度
2）计算机中常用的基本数据宽度
四、无符号数有符号数


进制
进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。 对于任何一种进制—X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

二进制，是计算技术中广泛bai采用的一种数制。计算方法：二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。
当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。

一、二进制简介
二进制，是计算技术中广泛bai采用的一种数制。计算方法：二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。
当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。
1）什么是二进制？
二进制（binary）在数学和数字电路中指以2为基数的记数系统，以2为基数代表系统是二进位制的。这一系统中，通常用两个不同的符号0（代表零）和1（代表一）来表示 。数字电子电路中，逻辑门的实现直接应用了二进制，因此现代的计算机和依赖计算机的设备里都用到二进制。每个数字称为一个比特（Bit，Binary digit的缩写）。
2）二进制的简写形式


虽然二进制有不少优点，但毕竟我们日常生活中用的都是十进制。为了能在日常生活中使用，就有必要把它转换为十进制。至于为什么用八进制和十六进制呢？很简单，就是因为它是2的乘方，2³=8,2⁴=16，这样一来就便于二进制的计算和阅读。
对于其它进制转换为十进制比较简单，下面举例说明：在计算机科学中，二进制、八进制、十进制、十六进制有简写，这样是为了不混淆。十进制一般在末尾加个字母D[一般习惯都不加]，二进制加个B，八进制加Q，十六进制加H。
二、进制运算
进制的本质是查数，每一种进制之间都是一个独立的体系，所以它们都能单独运算。

例：写一组八进制的数字。
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 …
2 + 3 ：2后面查3个数，所以 2+3 = 5；
2 * 3 ：可以看成2个3，或者3个2，同样的道理，我们查数可知 2*3 = 6；
4 + 5 ：4后面查5个数，所以 4+5 = 11；
4 * 5 ：可以看成4个5，或者5个4，这样我们对照上面的表依次查数，4*5 = 24；
1）八进制运算表
(1) 加法运算表
加法表同样可以用在减法运算中


(2)乘法运算表
乘法表同样可以用在除法运算中


(3)八进制简单运算题
277 + 233 ：

237 -  54   ：

276 *  54  ：

234  /  4   ：

对着上面乘法加法表，像我们小时候学加减乘除那样列出计算过程：








三、数据宽度
数学上的数字，是没有大小限制的，可以无限大。但是在计算机中，由于受到硬件的制约，数据是有长度限制的（我们称为数据宽度）。超过最多宽度的数据会被丢掉

不管你存储的是什么数据，在计算机中它最后都是以0，1的形式存储的
1）什么是数据宽度
1、数据宽度是指中央处理器中运算器与存储器之间进行互连的内部总线二进制位数，影响计算机的吞吐量。
2、数据总线负责计算机中数据在各组成部分之间的传送，数据总线宽度是指在芯片内部数据传送的宽度。
3、数据总线宽度则决定中央处理器与二级缓存，内存以及输入设备和输出设备间一次数据传输的信息量。
4、数据宽度的大小决定了电脑运行速度的快慢。
2）计算机中常用的基本数据宽度
(1)位又称比特（Bit）是计算机中存储，处理，传送信息的最小单元。
(2)字节（Byte）是二进制信息的计量单位，又成位组。一个字节有8位，1Byte=8Bit。

存储器按字节编址，所以字节是最小的可寻址单位。
(3)字长是数据通路的宽度。等于运算器，总线，寄存器的宽度，是物理层面的。
(4)字表示被处理信息的单位，用来度量数据类型的宽度。




四、无符号数有符号数
有符号数就是用最高位表示符号（正或负），其余位表示数值大小，无符号数则所有位都用于表示数的大小。
有符号数用最高位作为符号位，“0”代表“+”(正)，“1”代表“-”(负)；其余数位用作数值位，代表数值。
1）无符号数的编码规则：

用十六进制显示，一个十六进制可以表示四个字节
例：

1000 1010 用十六进制显示为 “8A”

0001 1011 用十六进制显示为  “1B”
2）有符号数编码规则：

（1）正数编码规则：

最高位为”0“，编码规则与无符号数编码规则相同；

（2）负数编码规则：

最高位为”1“时，我们需要先了解什么是原码、反码与补码。
原码：最高位为符号位，其余各位为数值本身的绝对值；
反码：正数的反码与原码相同；负数：符号位为1，其余位对原码取反，即”0“为”1“，”1“为”0“；
补码：正数的补码与原码相同：负数：符号位对原码取反后加1。
例：-1

原码：1000 0001

反码：1111 1110

补码：1111 1111
总结：在计算机中，正数以原码保存，负数以补码保存。
（本人计算机小白一枚，上述内容均来自网络查找，如有错误，还请各路大神多多指正。）

	数字数据编码常用于基带传输中。对于这种编码方式，具体用什么样的数字信号
表示 0 或 1 就是编码。
	衍生出来的编码方式有很多，下面介绍三种最常见的编码方式。


不归零码
用高，低电压分别来代表 1，0 二进制（相反也可以）。
优点：
1.编码容易

缺点：
1.没有检错功能
2.无法判断码元的开始和结束
3.无法实现同步

曼切斯特编码
将一个码元分为相等的两个部分，由高电平到低电平表示 1，由低电平到高电平表示 0（前高后低为 1，相反为 0）
特点：
1.位中间的跳变可以作为时钟信号和数据信号
2.在**以太网**中常使用曼切斯特编码。且一位比特需要两位电平表示

差分曼切斯特编码
若位开始（每一位码元开始的地方）有跳变为 0，无跳变为 1.
特点：
1.常用于**局域网**传输
2.每个码元中间都发生跳变
3.可以实现同步
4.抗干扰性好

       在Verilog学习中常用的编码方式有二进制编码(Binary)、格雷码(Gray-code)编码、独热码(One-hot)编码，对于新手来说，搞不清楚编码为什么要分这么多格式？统一用一种格式不好吗？那么现在就来看看这三种编码的区别和应用。

     先看看这三种编码的定义

二进制码



格雷码

   

独热码



下面看看十进制数0---7用三种编码如何表示


			
十进制数
			
			

			
二进制
			
			

			
独热码
			
			

			
格雷码
			
		

			
0
			
			

			
3’b000
			
			

			
8’b0000_0001
			
			

			
3’b000
			
		

			
1
			
			

			
3’b001
			
			

			
8’b0000_0010
			
			

			
3’b001
			
		

			
2
			
			

			
3’b010
			
			

			
8’b0000_0100
			
			

			
3’b011
			
		

			
3
			
			

			
3’b011
			
			

			
8’b0000_1000
			
			

			
3’b010
			
		

			
4
			
			

			
3’b100
			
			

			
8’b0001_0000
			
			

			
3’b110
			
		

			
5
			
			

			
3’b101
			
			

			
8’b0010_0000
			
			

			
3’b111
			
		

			
6
			
			

			
3’b110
			
			

			
8’b0100_0000
			
			

			
3’b101
			
		

			
7
			
			

			
3’b111
			
			

			
8’b1000_0000
			
			

			
3’b100
			
		
在Modelsim中显示波形如下：

 

 

展开二进制码波形



二进制码用3个bit可以表示出十进制数0---7，消耗的触发器比较少，每次数字变化时，状态位会出现多位同时变化。

展开独热码波形



独热码用8个bit来表示十进制数0---7，也就是说用一个bit的高电平来表示一个数字，每次数字发生变化时，状态位2位同时变化。

bit[0]为高电平代表数字1，bit1[1]为高电平代表数字2,bit[2]为高电平代表数字3，依次类推。

展开格雷码波形



格雷码用3个bit来表示十进制数0---7，每次数字发生变化时，状态位只有一位发生变化。

展开全部波形



下面分析一个这三种编码在数字变化时，状态变化情况。

二进制码

二进制码由001变化到010时，变化波形如下：



此时bit[1]由低电平变为高电平，bit[0]由高电平变为低电平。理想情况下bit[0]和bit[1]同时跳变，但是在实际电路中会存在延时，那么bit[0]和bit[1]跳变时有先后顺序，假如bit[0]由高电平变为低电平后，bit[1]延迟了一段时间才由低电平变为高电平。



那么在bit[1]延时的这点时间内，bit[0]和bit[1]就会同时为低电平，那么输出的数据就会变成3'b000，这个0在电路中就相当于一个毛刺。



假如bit[1]由低电平变为高电平后，bit[0]延时了一段时间才由高电平变为了低电平，那么在bit[0]延时的这段时间内，输出数据就会变成3'b011，如果系统响应速度非常快的话，那么在数字1到2跳变时，就会出现一次3。造成代码中的逻辑错误。

独热码

独热码数字由2、3变化时，bit[1]由高电平变为低电平，bit[2]由低电平变为高电平。



在由数字2变为数字3时，理想情况下bit[2]和bit[3]要同时变化，但是在实际电路中存在延时。bit[2]和bit[3]电平变化时会有先后顺序。

假如bit[2]由低电平变为高电平后，bit[1]延迟了一段时间才由高电平变为低电平。



这样在很短的一段时间内就会出现bit[1] 和bit[2]同时为高电平的情况，根据独热码的特点，为高电平时代表数据有效，那么在这段时间内说明数字2和3同时有效。如果系统反应速度比较快的话，就会导致逻辑上的错误。相当于电路中出现了毛刺。

格雷码

格雷码在数字变化时，相邻两个数字之间每次只会有一个bit位的电平发生改变



由图上可以看书，数字1、2、3变化时，每次只有一个bit的电平发生改变，这样在实际电路中，bit电平变化时就算存在延时，也不会出现在数字变化过程中出现其他数字，造成程序逻辑或者时序上的错误。也就是说格雷码可以避免电路产生毛刺。

通过上面对三种编码的分析，可以总结出这三种编码的优缺点。

二进制编码：

    优点：属于压缩状态编码，使用的触发器位数少，可以直接比较大小和算术运算。

    缺点：译码复杂；相邻状态变换时，多位发生改变，电噪声大，转换速度较慢，易出错；

独热码：

    优点：状态比较时仅仅需要比较一个位，从而一定程度上简化了译码逻辑，译码简单，减少了毛刺产生的概率。

    缺点：速度较慢，触发器资源占用较多，面积较大；

格雷码：

    优点：属于压缩状态编码，使用的触发器位数少；相邻状态变换时，仅一位发生改变，电噪声小，转换速度较快；

    缺点：译码复杂，没有固定大小，很难直接进行比较大小和算术运算，需要转换为自然二进制码来判断。

在实际应用中，根据自己系统情况，选择适合自己的编码方式。

数值与编码
计算机的系统内部编码
计算机系统内部编码方式都是通过二进制编码，主要原因有三：

1.二进制只有两种状态，使用两个稳定状态的物理器件可以表示二进制数，制造成本低

2.二进制1和0正好与逻辑值真假对应，为计算机实现逻辑运算和程序中的逻辑判断提供了便利条件

3.二进制编码和运算都很简单，通过逻辑门电路能方便的实现算术运算
进位计数法
进位计数法是一种常用计数方法，常用计数法有十进制，二进制，八进制，十六进制，生活中多用十进制，而计算机中多用二进制，八进制和十六进制，n进制逢n进一

二进制：只有0和1两个字符，逢二进一，他的任意数权值为2的i次方，i表示位数

八进制：基数为八分别用0-7表示，逢八进一，因为8等于2的3次方，所以二进制每3位可以表示一个八进制数

十六进制：逢十六进一，分别用0-9ABCDEF表示，其中A-F表示10-15，因为16等于2的4次方，所以每4位数的二进制可表示一个十六进制。
各个进制的表示方法
进制可以通过在数据外加层括号，括号下标对应进制，如：二进制(01001)2，十六进制(5BE)16

还可以通过字母表示，B为二进制，Q或者O为八进制，D为十进制，H为十六进制，如二进制 10010B，十六进制54BBH
不同进制的相互装换
二进制转换八进制：二进制三位表示一个八进制，如：111101011看成111 101 011则111是7，101是5，011是3则八进制为753，从最小位开始排，到最高位不足3位的补0添成3位。

二进制转换十六进制：二进制四位表示一个十六进制，同上如011101011看成1 1110 1011，从最小位开始排，到最高位不足4位的补0添成4位，则为0001 1110 1011，分别对应十六进制为1EB。

任意进制转换十进制：各位位数乘以对应权值后相加即可

十进制转换任意进制：

基数乘除法：将十进制的整数部分和小数部分分开计算，整数部分用除基取余法，小数部分用乘基去整法，十进制转换为n进制，n级制的基数为n，所为除基取余法，就是除以对应进制的基数，二进制则除以二，八进制则除以八，每除一位取余数，除到0为止，倒序排列余数就是对应进制数，例如123除以2等于61余1，61除以2等于30余1，30除以2等于15余0，15除以2等于7余1，7除以2的等于3余1，3除以2的等于1余1，1除以2的等于0余1，倒序排列余数为1111011，其他进制数同理。

而小数部分采用乘基取整法，字面意思，小数每位乘以基数，取整数，如0.6875转换为二进制，0.6875乘以2等于1.3750整数部分为1，0.3750乘以2等于0.7500整数为0，0.7500乘以2等于1.5整数部分为1，0.5乘2等于1整数部分为1，当乘积为1时结束，则小数部分为0.1011.
注意
计算机中小数和整数不一样，整数可以连续表示，但是小数是离散的，所以并不是每个十进制小数都可以转换成二进制，但是任意一个二进制都可以通过十进制表示。
真值和机器数
日常生活中通常用符号来表示正负（-和+）但是机器不能通过符号，通常都是通过一个数表示正负，计算机的表示方法通常原码，补码，反码，移码表示，这几种方法都是把符号数字化，0表示正号，1表示负号，如0101表示正5，1101表示负5。
BCD码
二进制编码的十进制数，通常采用4位二进制来表示一位十进制数，这种编码方式可以让二进制数和十进制数之间的装换得以快速进行，但是4位二进制数可以表示16个数，必然会出现6种状态为冗余状态。

8421码是一种有权码。分别就是对应了0-9向二进制转换的数，但是由于有6中冗余状态，所以一旦，两个数相加超出了9，按照常规的加法运算就有可能进入这6中冗余状态，所以一一旦两个8421码相加数值超出了9，则添加6跳过这6中冗余状态，通过二进制表示就是加0110.

余3码这是一种无权码是在8421基础上加0011形成的。因每个数都多余3，因此为余3码

2421码，这也是一种有权码，权值由高到低分别是2421.
字符与字符串
目前国际上普遍采用的是一种字符系统是7位二进制编码的ASCII码，它可以表示10个十进制数码、52个英文大小写以及一定数量的专用符号0-9是48-57，汉子国家标准为GB18030收录27484个汉字
校验码
奇偶校验码
在原码上加一个校验位，它的码距等于2，可以检测出一位错误（或奇数位错误），但是不能确定出错的位置，也不能校测出偶数位错误，增加的冗余位称为就校验位，校验位让整个校验码中的1的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），所以一旦校验码到了接收端，校验码的1不是偶数或者奇数则发现出错。
海明（汉明）校验码
海明校验码实际上是一种多重奇偶校验码，在有效信息位中加入几位

校验位形成海明码，并把海明码的每个二进制位分配到几个奇偶校验码中，当某一位出错后，就会引起有关的几个校验码位发生变化，不但能发现错位还能知道是哪一位出了问题

1.确定海明码的位数，海明码由信息位和校验位组成，校验位k根据信息位的位数n确定，需要满足k+n<=2k-1，如1010，n为4则k需要为3，那信息位为4校验位为3，则海明码有7位。

2.确定校验位的分布

校验位分别在海明码的2的指数倍上，如1010组成7位海明码H7H6H5H4H3H2H1，校验码在H1H2H4上，信息码在H3H5H6H7上，用d表示信息码，用p表示校验码则海明码为D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

3.分组形成校验关系

校验码分别用二进制表示校验位位置，如信息位D4对应的位置为H7，则用111表示分别对应通过H1H2H3校验，D3对应的位置是H6，则用110表示分别通过H3和H2校验

4.校验位取值

校验位参加校验的信息位进行异或，异或值为当前校验位的值，如P1参与的校验有D1 D2 D4，它们3个异或得到P1。

5.海明码校验

每个校验位参与的所有信息位进行异或（P1 D1 D2 D4），则一共会获得三个异或值，所得到的异或值全部为0则没有错误，如果不为零，则对应二进制数对应的十进制，就是出错的地方，如：异或值为110则海明码的H6出错。



注意：题目可能会给出某一位置为全校验位，指整个海明码中的偶校验，若1为偶数全检验为赋值0，若1为奇数数个全校验位赋值为1

海明码有一位纠错能力两位的检错能力，但是如果不添加全校验的情况下无法判断是否是一位出错还是两位出错


循环冗余码（CRC）
CRC码的基本思想：在K位信息码后面再拼接R位的校验码，整个编码字长N位，因此这种编码又称之为NK码。把信息位与多项式做模2除法生成余数为R位的校验码，并加载信息位后面形成一个新的二进制，在接收端利用多项式对接收端的编码做模2除，检测和确定出错的位置

，其中多项式是发送端和接收端之间的约定。任何一个0，1都可以和多项式对应，多项式的最高次n对应转换成n+1位二进制，如x^ 3 +x^ 2+1对应的二进制是1101.

例如：设置一个多项式为 x^ 3 +x^ 2+1，信息码为101001，多项式对应的二进制码为1101，用信息码对多项式进行模二除，（信息码添加多项式最高次幂位数个0）101001000对1101模二除等于001，001就是校验码，最后CRC码就是101001001，CRC码送到接收端用多项式进行模二除就会的到全是0的余数，如果不为0则对应的二进制位置就是错误的地方，取反得以纠正，如最后验证为010则为第3位出错，第三位直接取反纠正。



循环冗余码的纠错能力



当信息码比较大的时候循环冗余码因为常用到计算机网络之中，数据量会比较大所以大多情况下是用来检错的而不是纠错
真题
2013：海明码的校验位数k+n<=2k-1