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  • 自然常数e与重要极限

    万次阅读 多人点赞 2019-08-19 01:58:16
    eee的定义式为:lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = ex→∞lim​(1+x1​)x=e该式是两个重要极限中的其中一个,要理解该定义式的由来,就不得不先介绍一下指数增长模型 指数增长...

    无理数 e e e,又称自然常数,是一个人为定义的数,约等于2.71828,我们在很多地方都能看到它的身影,如欧拉方程、自然对数中等等。

    定义

    e e e的定义式为: lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e xlim(1+x1)x=e该式是两个重要极限中的其中一个,要理解该定义式的由来,就不得不先介绍一下指数增长模型

    指数增长模型

    指数增长模型可以用单细胞生物的二分裂来做形象的解释:已知细胞在1个增长周期内分裂一次,则分裂后的细胞总数为分裂前的两倍: N 分 裂 后 = 2 ∗ N 分 裂 前 N_{分裂后}=2*N_{分裂前} N=2N若在初始细胞数量为1的情况下,经过 x x x个分裂周期,则细胞总数(设为 Q Q Q)将会达到 2 1 ∗ 2 2 ∗ . . . ∗ 2 x = 2 x 2_1*2_2*...*2_x=2^x 2122...2x=2x个,表达为: Q = 2 x Q=2^x Q=2x已知细胞初始数量为1,且每个周期的增长率为 100 % 100\% 100%,因此上式亦可写做: Q = ( 1 + 100 % ) x Q=(1+100\%)^x Q=(1+100%)x这便是单细胞生物二分裂的指数增长模型

    当该式应用在描述更广泛的事物的增长规律时,其增长率通常不会是 100 % 100\% 100%,因此我们用一个未知数 r r r来代替增长率,这样就得到了更一般的指数增长模型: Q = ( 1 + r ) x Q=(1+r)^x Q=(1+r)x含义是:某个事物在一个周期内的增长率为 r r r,在增长 x x x个周期之后,其总数量是原始数量的 Q Q Q

    定义式的由来

    为了更加生动的解释为什么定义式 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x limx(1+x1)x等于 e e e,这里引入经济学中的复利率概念:

    • 复利率:是指利息除了会根据本金计算得到外,新得到的利息同样可以生息的一种利息计算方式。

    假设有一银行采用复利率的方式来计算利息,你希望在该银行存1元钱本金1年,银行的年利率(增长率)为100%。这样假设的目的是为了得到更一般的公式,其他情况皆可由一般公式变换得到其特殊公式。

    若你没有注意到该银行采用复利率来计算利息,则你很可能会直接存够一年,这样的话一年后你将会得到 Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % ) 1 = 2 元 Q=(1+r)^x=(1+100\%)^1=2元 Q=(1+r)x=(1+100%)1=2的本金加利息

    可是你足够仔细,注意到了银行的利息计算方式为复利率,于是你便想尽可能多的在这一年中取出本息再全部存入,以获得更多的回报,于是你计算了一下

    1. 假设每半年便取出一次,则由于存款时间只有原来的 1 2 \frac{1}{2} 21,因此利率只能看做年利率的 1 2 \frac{1}{2} 21
      1年后这种方法得到的本息为: Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % 2 ) 2 = 2.2500 元 Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{2})^2=2.2500元 Q=(1+r)x=(1+2100%)2=2.2500
    2. 假设每三个月便取出一次,则由于存款时间只有原来的 1 4 \frac{1}{4} 41,因此利率只能看做年利率的 1 4 \frac{1}{4} 41
      1年后这种方法得到的本息为: Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % 4 ) 4 = 2.4414 元 Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{4})^4=2.4414元 Q=(1+r)x=(1+4100%)4=2.4414
    3. 假设每个月便取出一次,则由于存款时间只有原来的 1 12 \frac{1}{12} 121,因此利率只能看做年利率的 1 12 \frac{1}{12} 121
      1年后这种方法得到的本息为: Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % 12 ) 12 = 2.6130 元 Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{12})^{12}=2.6130元 Q=(1+r)x=(1+12100%)12=2.6130

    根据这个思路进行了大量的迭代运算后得到下图:
    在这里插入图片描述可以看到随着交付次数的增加,1年后得到的本息总额也在增加。然而,这种增加是收敛的,它有一个不可逾越的顶点: 2.71828182845... 2.71828182845... 2.71828182845...,这就是增长的极限,命名为 e e e

    计算复利率的过程进行到这里, e e e的定义式已经呼之欲出,就是重要极限之一的: lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e xlim(1+x1)x=e

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  • 证明数列极限的方法,比较全面。在电子工程和计算机领域,如果进行算法复杂度分析,需要求问题规模趋近无穷大时所需的时间或空间量级,这时可以用到这些方法判断极限的范围。
  • 种中心极限定理

    千次阅读 2020-08-12 12:01:41
    介绍三种中心极限定理: 1. 独立同分布的中心极限定理 2. 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理 3. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理

    1. 独立同分布的中心极限定理

    • 定理

      设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn, ,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差 E ( X k ) = μ E(X_k)=\mu E(Xk)=μ D ( X k ) = σ 2 > 0 D(X_k)=\sigma^2 >0 D(Xk)=σ2>0 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) (k=1,2,3,\cdots) (k=1,2,3,),则随机变量之和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk 的标准化变量, Y n = ∑ k = 1 n X k − E ( ∑ k = 1 n X k ) D ( ∑ k = 1 n X k ) = ∑ k = 1 n X k − n μ n σ Y_n=\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-E(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}{\sqrt{D(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}} = \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} Yn=D(k=1nXk) k=1nXkE(k=1nXk)=n σk=1nXknμ 的分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x) 对于任意 x x x满足 lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ P { ∑ k = 1 n X k − n μ n σ ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) \begin{aligned}\lim\limits_{n\to \infty}F_n(x) = \lim\limits_{n\to \infty}P\bigg\{\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\bigg\} = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x) \end{aligned} nlimFn(x)=nlimP{n σk=1nXknμx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x)

    • 理解

      从定理可知,期望为 μ \mu μ,方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的独立同分布随机变量序列 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn,之和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk的标准化变量,当 n n n足够大时,近似服从标准正态分布,即 ∑ k = 1 n X k − n μ n σ ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1) n σk=1nXknμN(0,1) 由于 ∑ k = 1 n X k − n μ n σ = 1 n ∑ k = 1 n X k − μ σ / n = X ‾ − μ σ / n \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}=\frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} n σk=1nXknμ=σ/n n1k=1nXkμ=σ/n Xμ 因此有 X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) 或 X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) , \frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) \quad 或 \overline X \sim N(\mu,\sigma^2/n), σ/n XμN(0,1)XN(μ,σ2/n) 这是独立同分布的中心极限定理结果的另一个形式。

    2. 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理

    • 定理

      设随机变量 η n ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \eta_n(n=1,2,\cdots) ηn(n=1,2,)服从参数为 n , p ( 0 < p < 1 ) n,p \quad(0<p<1) n,p(0<p<1) 的二项分布,则对于任意 x x x,有 lim ⁡ n → ∞ P { η n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) . \begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}P\bigg\{\frac{\eta_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x\bigg\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)\end{aligned}. nlimP{np(1p) ηnnpx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x).

      证明

      二项分布可以看做是 n n n个相互独立且服从同一 ( 0 − 1 ) (0-1) (01)分布的随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n X1,X2,X3,,Xn之和,此时有 η n = ∑ i = 1 n X k , \eta_n=\sum\limits_{i=1}^{n} X_k, ηn=i=1nXk, 其中 X k ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) X_k\quad (k=1,2,\cdots,n) Xk(k=1,2,,n)的分布律为 P { X k = i } = p i ( 1 − p ) 1 − i , i = 0 , 1 P\{X_k=i\}=p^i(1-p)^{1-i},i=0,1 P{Xk=i}=pi(1p)1i,i=0,1 我们知道 E ( X k ) = p , D ( X k ) = p ( 1 − p ) E(X_k) = p,D(X_k)=p(1-p) E(Xk)=p,D(Xk)=p(1p) ,很明显,根据独立同分布的中心极限定理可知,有 lim ⁡ n → ∞ P { η n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) . \begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}P\bigg\{\frac{\eta_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x\bigg\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)\end{aligned}. nlimP{np(1p) ηnnpx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x).

    • 该定理为独立同分布的中心极限定理的特殊情况。该定理表明,正态分布是二项分布的极限分布,当 n n n足够大时,可以用正态分布近似计算二项分布。

    3. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理

    • 定理

      设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn, ,相互独立,他们具有数学期望和方差 E ( X k ) = μ k , D ( X k ) = σ k 2 > 0 k = 1 , 2 , 3 , ⋯ E(X_k)=\mu_k ,D(X_k)=\sigma_k^2>0 \quad k =1,2,3,\cdots E(Xk)=μkD(Xk)=σk2>0k=1,2,3, B n 2 = ∑ k = 1 n σ k 2 B_n^2=\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2 Bn2=k=1nσk2 若存在正数 δ \delta δ ,使得当 n → ∞ n\to\infty n 时, 1 B n 2 + δ ∑ k = 1 n E { ∣ X − μ k ∣ 2 + δ } → 0 , \frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum\limits_{k=1}^{n}E\{|X-\mu_k|^{2+\delta}\}\to0, Bn2+δ1k=1nE{Xμk2+δ}0则随机变量之和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk的标准化变量 Z n = ∑ k = 1 n X k − E ( ∑ k = 1 n X k ) D ( ∑ k = 1 n X k ) = ∑ k = 1 n X k − ∑ k = 1 n μ k B n Z_n=\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-E(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}{\sqrt{D(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}} = \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-\sum\limits_{k=1}^n\mu_k}{B_n} Zn=D(k=1nXk) k=1nXkE(k=1nXk)=Bnk=1nXkk=1nμk 的分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x) 对于任意 x x x,满足 lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ P { ∑ k = 1 n X k − ∑ k = 1 n μ k B n ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) \begin{aligned}\lim\limits_{n\to \infty}F_n(x) = \lim\limits_{n\to \infty}P\bigg\{\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-\sum\limits_{k=1}^n\mu_k}{B_n}\leq x\bigg\} = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)\end{aligned} nlimFn(x)=nlimP{Bnk=1nXkk=1nμkx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x)

    • 理解

      该定理表明,在定理条件下,随机变量 Z n = ∑ k = 1 n X k − ∑ k = 1 n μ k B n Z_n= \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-\sum\limits_{k=1}^n\mu_k}{B_n} Zn=Bnk=1nXkk=1nμk n n n很大时,近似的服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),由此可知, 当 n n n很大时, ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk 近似的服从正态分布 N ( ∑ k = 1 n μ k , B n 2 ) N(\sum\limits_{k=1}^n\mu_k,B_n^2) N(k=1nμk,Bn2) ,该定理只要求随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn, 相互独立,并没有要求服从什么分布,也就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那么他们的和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk n n n很大时,就近似地服从正态分布,这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。

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  • 利用计算机验证两 你好! 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章,了解一下Markdown的基本语法知识。 新的改变 我们对Markdown编辑器...

    利用计算机验证数学中两个重要的极限

    下图是高等数学中两个重要的极限,相信学过的人都知道,下面介绍以下如何利用Python验证极限的正确性在这里插入图片描述
    利用Python程序运行以后得到的结果如下
    在这里插入图片描述
    两个重要极限在这里插入图片描述
    两个重要极限分别在区间(-100,100)和区间(0,1000)的极限展示,利用计算机可视化以后的结果验证了两个重要极限的正确性,下面实现以上原理的python代码
    import matplotlib.pyplot as plt;
    import numpy as np
    import sympy as sp
    x = sp.Symbol(‘x’)
    f1 = sp.sin(x)/x
    f2 = (1+1/x)**x
    x1 = sp.limit(f1,x,0)
    x2 = sp.limit(f2,x,‘oo’)
    print("%s第1个重要极限是%s"%(f1,x1))
    print("%s第2个重要极限是%s"%(f2,x2))

    x1 = np.arange(-100,100,0.01)
    x2 = np.arange(0.01,1000,0.1)
    y1 = np.sin(x1)/x1
    y2 = (1+1/x2)**x2
    plt.figure(figsize=(12,5))
    plt.subplot(121)
    plt.title(‘y=sin(x)/x’)
    plt.plot(x1,y1)
    plt.subplot(122)
    plt.title(‘y=(1+1/x)**x’)
    plt.plot(x2,y2)
    plt.show()
    好了,今天就写到这里,欢迎大家提问和交流!

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  • 文章目录#常用极限 欢迎纠错 #常用极限

    欢迎纠错


    常用极限,导数,级数
    秒杀必背积分表实数部分
    秒杀必背积分表三角部分


    #常用极限

    lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1   lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e   ;   lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\\\ \\ \lim_{n\to \infty}(1+\frac 1 n)^n=e\space;\space\lim_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x=e x0limxsinx=1 nlim(1+n1)n=e ; xlim(1+x1)x=e


    当 x → 0 :   sin ⁡ x → x    ;    tan ⁡ x → x    ;   arctan ⁡ x → x    ;    arcsin ⁡ x → x    ;   1 − cos ⁡ x → x 2 2    ;    1 + x n → 1 n x    ;   e x − 1 → x    ;    ln ⁡ ( x + 1 ) → x    ;   ( 1 + x ) α → α x    ;    ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) → x   log ⁡ a ( 1 + x ) → x ln ⁡ a    ;    a x − 1 → x ln ⁡ a 当x\to 0:\\\ \\ \sin x\to x\space\space;\space\space\tan x\to x\space\space;\\\ \\\arctan x\to x\space\space;\space\space\arcsin x\to x\space\space;\\\ \\ 1-\cos x\to \frac{x^2}2\space\space;\space\space\sqrt[n]{1+x}\to \frac 1 n x\space\space;\\\ \\ e^x-1\to x\space\space;\space\space\ln(x+1)\to x\space\space;\\\ \\ (1+x)^\alpha\to \alpha x\space\space;\space\space\ln (x+\sqrt{1+x^2})\to x\\\ \\ \log_a(1+x)\to\frac x{\ln a}\space\space;\space\space a^x-1\to x\ln a x0: sinxx  ;  tanxx  ; arctanxx  ;  arcsinxx  ; 1cosx2x2  ;  n1+x n1x  ; ex1x  ;  ln(x+1)x  ; (1+x)ααx  ;  ln(x+1+x2 )x loga(1+x)lnax  ;  ax1xlna


    lim ⁡ x → 0 sin ⁡ 1 x 1 x = 0 \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac 1 x}{\frac 1 x}=0 x0limx1sinx1=0

    #常用级数

    1 1 − z = ∑ n = 0 ∞ z n = 1 + z + z 2 ⋯ + z n + ⋯   1 1 + z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z n = 1 − z + z 2 ⋯ + ( − 1 ) n z n + ⋯   ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ + ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 + ⋯   e x = 1 + x + x 2 2 + ⋯ + x n n ! + ⋯   sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯   cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 2 ( 2 n − 2 ) ! + ⋯   ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + ⋯ \frac 1 {1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1+z+z^2\cdots+z^n+\cdots\\\ \\ \frac 1 {1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n=1-z+z^2\cdots+(-1)^nz^n+\cdots\\\ \\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} +\cdots\\\ \\ e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\\\ \\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots\\\ \\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots\\\ \\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\cdots 1z1=n=0zn=1+z+z2+zn+ 1+z1=n=0(1)nzn=1z+z2+(1)nzn+ ln(1+x)=x2x2+3x3+(1)nn+1xn+1+ ex=1+x+2x2++n!xn+ sinx=x3!x3+5!x5+(1)n+1(2n1)!x2n1+ cosx=12!x2+4!x4+(1)n+1(2n2)!x2n2+ (1+x)α=1+αx+2α(α1)x2+

    在这里插入图片描述

    #常用求导

    ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2   ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2   ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2   ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2   ( tan ⁡ x ) ′ = 1 cos ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x   ( cot ⁡ x ) ′ = − 1 sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ 2 x   ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x = tan ⁡ x cos ⁡ x   ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x = − 1 sin ⁡ x tan ⁡ x   ( cos ⁡ x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n π 2 )   ( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 )   ( x n ) ( n ) = n ! ( x n ) ( n + 1 ) = 0   ( 1 x + a ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( x + a ) n + 1   ( ln ⁡ ( x + b ) ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( x + b ) n   (\arcsin x)'=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arccos x )' =-\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arctan x )'=\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (arccot x)' =-\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (\tan x)'=\frac 1 {\cos^2x}=\sec^2x\\\ \\ (\cot x)' =-\frac 1 {\sin^2 x}=-\csc^2 x\\\ \\ (\sec x)'=\sec x\tan x=\frac{\tan x}{\cos x}\\\ \\ (\csc x)'=-\csc x \cot x=-\frac 1{\sin x \tan x}\\\ \\ (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (x^n)^{(n)}=n! \\ (x^n)^{(n+1)}=0 \\\ \\ (\frac 1 {x+a})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}\\\ \\ (\ln(x+b))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+b)^{n}}\\\ \\ (arcsinx)=1x2 1 (arccosx)=1x2 1 (arctanx)=1+x21 (arccotx)=1+x21 (tanx)=cos2x1=sec2x (cotx)=sin2x1=csc2x (secx)=secxtanx=cosxtanx (cscx)=cscxcotx=sinxtanx1 (cosx)(n)=cos(x+2nπ) (sinx)(n)=sin(x+2nπ) (xn)(n)=n!(xn)(n+1)=0 (x+a1)(n)=(x+a)n+1(1)nn! (ln(x+b))(n)=(x+b)n(1)n1(n1)! 

    [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] ( n ) = f ( n ) g + C n 1 f ( n − 1 ) g + ⋯ + C n k f ( n − k ) g ( k ) + ⋯ + f g ( n ) [f(x)\cdot g(x)]^{(n)}=f^{(n)}g+C_n^1f^{(n-1)}g+\cdots+C_n^kf^{(n-k)}g^{(k)}+\cdots+fg^{(n)} [f(x)g(x)](n)=f(n)g+Cn1f(n1)g++Cnkf(nk)g(k)++fg(n)
    在这里插入图片描述

    #求导的注意事项

    对 于 函 数 , 其 输 入 的 变 量 之 间 必 须 相 互 独 立 对于函数,其输入的变量之间必须相互独立

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    因 此 , 对 于 以 坐 标 为 输 入 变 量 的 多 元 函 数 , 如 ( ρ , ϕ , z ) , ( r , θ , ϕ ) 其 任 意 两 个 微 商 ∂ ρ ∂ ϕ = 0 , 因此,对于以坐标为输入变量的多元函数,如\\ (\rho,\phi,z),(r,\theta,\phi)\\ 其任意两个微商\frac{\partial\rho}{\partial\phi}=0, (ρ,ϕ,z),(r,θ,ϕ)ϕρ=0,
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  • Redis的几个经典常见面试题

    千次阅读 2019-12-24 23:03:41
    1、什么是 Redis?. 2、Redis 的数据类型? 3、使用 Redis 有哪些好处...7、一字符串类型的值能存储最大容量是多少? 8、Redis 的持久化机制是什么?各自的优缺点? 9、Redis 常见性能问题和解决方案: 10、redis ...
  • 一、极限的概念与性质(一)极限的定义(二)极限的性质(三)两个重要极限二、极限存在性的判别(一)极限存在的两个准则(二)极限存在的一个充要条件(三)证明函数极限不存在的常用方法三、求极限的方法(一)...
  • Oracle RAC 几个常见的错误观点

    千次阅读 2014-12-05 16:53:12
    那些在Redwood Shores(译者注:Oracle公司总部所在地)的家伙们提供了一个重要的工具这就是RAC,简单来说就是一套允许单个数据库被多份oracle程序同时访问的软件工具。   如果一个服务器崩溃了,事务能够在最短的...
  • 背景 一高效的软件开发过程对软件开发人员来说是至关重要的,决定着开发是痛苦的挣扎,还是不断进步的喜悦。国人对软件蓝领的不屑,对繁琐冗长的传统开发过程的不耐,使大多数开发人员无所适从。最近兴起的一些...
  • 能够砸伤人则需要水滴具有的动能,即公式(1/2)mv^2,而水滴的质量是一定的,需要达到很高的速度时才能突破人体的承受极限而致人受伤。但是,当水滴具有足够大的速度时,根据v=9.8t,可以知道已经经过了比较长的...
  • 光圈越大,进量越多,光圈越小进光越少,(f/3.5是大光圈,f22是小光圈)光圈的...再送你相机的关键词: ISO与图片质量 ISO是一曝光率极高的词,我们在超市买饼干的时候就可能会看见包装袋上写:本公司已通过ISO900
  • 考研路之极限

    2016-11-13 15:50:30
    极限
  • 普通求极限我们知道求极限的考点往往都是考分子分母型的,因为这样可以有效利用等价/高阶/低阶无穷小的理论,即使求极限是加减乘的类型,我们也尽可能要转化为除法的类型(这就是七种未定式),然而,知道这些还不够...
  • 我们首先要了解未定式这概念。我的这篇回答里面大致讲解了一下未定式:tetradecane:0/∞、∞/0 型的极限一定不存在吗?​www.zhihu.com未定式有多重要?那些不容易做的、容易做错的极限,全都是未定式!你可以...
  • 以下是新东方在线整理的2019计算机考研数学必考知识点:极限的计算,请参考:极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到,...极限无外乎出这三题型:求数列极限、求函数极限、已知极限求...
  • 函数与极限笔记

    千次阅读 2017-04-04 05:21:04
    函数极限定义注意前提:设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_{0} 的某一去心邻域内有定义。因此limx→0f(x)\lim_{x\rightarrow 0}f(x) 存在与否,与 f(0)f(0) 的值无关。 单侧极限证明方式: 存在左极限 limx→x0¯f(x)=A或f...
  • HTTP性能极限优化

    千次阅读 多人点赞 2020-01-13 09:38:24
    它是最常用的应用层协议,对它的优化,既能通过降低时延带来更好的体验性,也能通过降低资源消耗带来更高的并发性。 可是,学习HTTP不久的同学,很难全面说出HTTP的所有优化点。这既有可能是你没好好准备过大厂的...
  • 统计学之中心极限定理和置信区间

    千次阅读 2019-04-05 22:08:51
    中心极限定理是统计学中比较重要的一定理。 只有真正理解了中心极限定理才能更好的理解统计学中其他的知识,比如正态分布。 那么什么是中心极限定理(Central Limit Theorem) 中心极限定理指的是给定一任意...
  • 高数极限求解方法

    千次阅读 2019-05-15 12:49:40
    高数极限求解方法(入门) 极限的定义这里就不多说了,...对于与aaa相关的极限求解不需要什么求解方法,直接代入值计算即可,下面主要讲以下种形式的求解方法: 1∞1^\infty1∞、00\frac{0}{0}00​、∞∞\frac{\i...
  • 个重要极限+夹逼准则3.两个重要公式:洛必达法则+泰勒展开式4.定积分定义 极限求解方法 求极限的解题步骤: 整理表达式(含分子去根号)->等价量替换->洛必达法则->整理表达式 注:当被求函数含有多种函数...
  • 敏捷开发与极限编程

    2014-02-11 23:35:03
    敏捷开发与极限编程作者: 陈沛 (系摘编) 软件设计方法可以区别为重量级的方法和轻量级的方法。重量级的方法中产生大量的正式文档。 著名的重量级开发方法包括ISO9000,CMM,和统一软体开发过程(RUP)。...
  • 1、前言 作为一名天文爱好者,我总是干什么事都会情不自禁地去往天文的方面靠,写论文也不例外。但是,说到天文,说到宇宙,应用最广的肯定是相对...这样一想,我的脑中就蹦出了钱德拉塞卡这名字,这我初中时从...
  • 关于app的几个核心功能的设计想法

    万次阅读 2016-07-11 10:15:03
    关于app的几个核心功能的设计想法最近想自己做一款app,考虑到自己以前做过的那么多app里都有一些不满意或者设计不好的地方。 经过各种资料的查阅并结合自己的经验,整理出一些想法。由于是抱着吐槽的想法去写的(有...
  • Web网站的几个并发量级 评价一个网站的“大小”,处于视角的不同,有很多种衡量的方法,类似文章数,页面数之类的数据非常明显,也没有什么可以争议的。但对于并发来说,争议非常之多,这里就从一个技术的...
  • 考研复习 求解函数极限的方法全总结

    千次阅读 多人点赞 2020-09-29 22:03:05
    lim⁡x→∞\lim\limits_{x\right...常用极限: 1.lim⁡x→∞qn=0\lim\limits_{x\rightarrow\infty} q^n=0x→∞lim​qn=0        ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1 引申:    &n
  • 【微积分的本质|笔记】极限

    千次阅读 2020-09-09 10:23:43
    极限的理解和定义;②洛必达法则的直观理解
  • 本文仅是在下个人理解,如有谬误,望请矫正 一 丶极限的基本定义为无限时,则在处的极限= 下面介绍一些求函数极限的常用方法 1 当函数在处有定义时...6 两个重要极限 或,用麦克劳林公式可证 7 洛必达 适用于...
  • 考研数一:极限(一)

    千次阅读 2019-06-04 09:11:41
    本篇博客的主要目的是让自己更加的熟悉所学的内容,因为现在在准备考研究生,想把自己学的东西记下来,能以后复习,如果有什么不对的地方请大神们指导。 本来觉得这是一件很...1.学会判断一函数的极限是否存...
  • 极限编程感悟

    千次阅读 2007-01-08 09:10:00
    极限编程又称xp方法,是敏捷开发的软件过程模型。极限编程的4条准则:沟通,简单,反馈和勇气(修复缺陷,集中攻关和放弃原有的代码)。基本原则:快速反馈,假设简单,递增更改,提倡更改,优质工作。开发软件的4项...
  • 高等数学:极限与连续

    千次阅读 多人点赞 2019-07-20 22:21:38
    ok,我们首先看到这个极限的式子,我们解读它的时候,实际上可以把他分为四部分。 首先我们给定一尺度,这尺度呢叫,就是我们图上的这东西,首先他要大于0,然后他是无限小的,要多小有多小,但是无论你...

空空如也

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常用的几个重要极限