精华内容
下载资源
问答
  • 常用的几个重要极限
    千次阅读
    2020-08-12 12:01:41

    1. 独立同分布的中心极限定理

    • 定理

      设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn, ,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差 E ( X k ) = μ E(X_k)=\mu E(Xk)=μ D ( X k ) = σ 2 > 0 D(X_k)=\sigma^2 >0 D(Xk)=σ2>0 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) (k=1,2,3,\cdots) (k=1,2,3,),则随机变量之和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk 的标准化变量, Y n = ∑ k = 1 n X k − E ( ∑ k = 1 n X k ) D ( ∑ k = 1 n X k ) = ∑ k = 1 n X k − n μ n σ Y_n=\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-E(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}{\sqrt{D(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}} = \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} Yn=D(k=1nXk) k=1nXkE(k=1nXk)=n σk=1nXknμ 的分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x) 对于任意 x x x满足 lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ P { ∑ k = 1 n X k − n μ n σ ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) \begin{aligned}\lim\limits_{n\to \infty}F_n(x) = \lim\limits_{n\to \infty}P\bigg\{\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\bigg\} = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x) \end{aligned} nlimFn(x)=nlimP{n σk=1nXknμx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x)

    • 理解

      从定理可知,期望为 μ \mu μ,方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的独立同分布随机变量序列 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn,之和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk的标准化变量,当 n n n足够大时,近似服从标准正态分布,即 ∑ k = 1 n X k − n μ n σ ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1) n σk=1nXknμN(0,1) 由于 ∑ k = 1 n X k − n μ n σ = 1 n ∑ k = 1 n X k − μ σ / n = X ‾ − μ σ / n \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}=\frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} n σk=1nXknμ=σ/n n1k=1nXkμ=σ/n Xμ 因此有 X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) 或 X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) , \frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) \quad 或 \overline X \sim N(\mu,\sigma^2/n), σ/n XμN(0,1)XN(μ,σ2/n) 这是独立同分布的中心极限定理结果的另一个形式。

    2. 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理

    • 定理

      设随机变量 η n ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \eta_n(n=1,2,\cdots) ηn(n=1,2,)服从参数为 n , p ( 0 < p < 1 ) n,p \quad(0<p<1) n,p(0<p<1) 的二项分布,则对于任意 x x x,有 lim ⁡ n → ∞ P { η n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) . \begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}P\bigg\{\frac{\eta_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x\bigg\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)\end{aligned}. nlimP{np(1p) ηnnpx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x).

      证明

      二项分布可以看做是 n n n个相互独立且服从同一 ( 0 − 1 ) (0-1) (01)分布的随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n X1,X2,X3,,Xn之和,此时有 η n = ∑ i = 1 n X k , \eta_n=\sum\limits_{i=1}^{n} X_k, ηn=i=1nXk, 其中 X k ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) X_k\quad (k=1,2,\cdots,n) Xk(k=1,2,,n)的分布律为 P { X k = i } = p i ( 1 − p ) 1 − i , i = 0 , 1 P\{X_k=i\}=p^i(1-p)^{1-i},i=0,1 P{Xk=i}=pi(1p)1i,i=0,1 我们知道 E ( X k ) = p , D ( X k ) = p ( 1 − p ) E(X_k) = p,D(X_k)=p(1-p) E(Xk)=p,D(Xk)=p(1p) ,很明显,根据独立同分布的中心极限定理可知,有 lim ⁡ n → ∞ P { η n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) . \begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}P\bigg\{\frac{\eta_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x\bigg\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)\end{aligned}. nlimP{np(1p) ηnnpx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x).

    • 该定理为独立同分布的中心极限定理的特殊情况。该定理表明,正态分布是二项分布的极限分布,当 n n n足够大时,可以用正态分布近似计算二项分布。

    3. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理

    • 定理

      设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn, ,相互独立,他们具有数学期望和方差 E ( X k ) = μ k , D ( X k ) = σ k 2 > 0 k = 1 , 2 , 3 , ⋯ E(X_k)=\mu_k ,D(X_k)=\sigma_k^2>0 \quad k =1,2,3,\cdots E(Xk)=μkD(Xk)=σk2>0k=1,2,3, B n 2 = ∑ k = 1 n σ k 2 B_n^2=\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2 Bn2=k=1nσk2 若存在正数 δ \delta δ ,使得当 n → ∞ n\to\infty n 时, 1 B n 2 + δ ∑ k = 1 n E { ∣ X − μ k ∣ 2 + δ } → 0 , \frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum\limits_{k=1}^{n}E\{|X-\mu_k|^{2+\delta}\}\to0, Bn2+δ1k=1nE{Xμk2+δ}0则随机变量之和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk的标准化变量 Z n = ∑ k = 1 n X k − E ( ∑ k = 1 n X k ) D ( ∑ k = 1 n X k ) = ∑ k = 1 n X k − ∑ k = 1 n μ k B n Z_n=\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-E(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}{\sqrt{D(\sum\limits_{k=1}^nX_k)}} = \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-\sum\limits_{k=1}^n\mu_k}{B_n} Zn=D(k=1nXk) k=1nXkE(k=1nXk)=Bnk=1nXkk=1nμk 的分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x) 对于任意 x x x,满足 lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ P { ∑ k = 1 n X k − ∑ k = 1 n μ k B n ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) \begin{aligned}\lim\limits_{n\to \infty}F_n(x) = \lim\limits_{n\to \infty}P\bigg\{\frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-\sum\limits_{k=1}^n\mu_k}{B_n}\leq x\bigg\} = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)\end{aligned} nlimFn(x)=nlimP{Bnk=1nXkk=1nμkx}=x2π 1et2/2dt=Φ(x)

    • 理解

      该定理表明,在定理条件下,随机变量 Z n = ∑ k = 1 n X k − ∑ k = 1 n μ k B n Z_n= \frac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-\sum\limits_{k=1}^n\mu_k}{B_n} Zn=Bnk=1nXkk=1nμk n n n很大时,近似的服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),由此可知, 当 n n n很大时, ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk 近似的服从正态分布 N ( ∑ k = 1 n μ k , B n 2 ) N(\sum\limits_{k=1}^n\mu_k,B_n^2) N(k=1nμk,Bn2) ,该定理只要求随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , ⋯   , X n , ⋯ X_1,X_2,X_3,\cdots,X_n,\cdots X1,X2,X3,,Xn, 相互独立,并没有要求服从什么分布,也就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那么他们的和 ∑ k = 1 n X k \sum\limits_{k=1}^nX_k k=1nXk n n n很大时,就近似地服从正态分布,这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。

    更多相关内容
  • 个重要极限 常用等价无穷小

    两个重要极限

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    常用等价无穷小

    在这里插入图片描述

    麦克劳林公式

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 常见的疑问是,无穷小是否能在加减法中进行等价替换? 等价替换其实是麦克劳林展开式的一"特例": 以sinx~x为例: x只是sinx展开的一部分,当sinx被替换成x时,它的精度被下降了。 而精度是造成在加减法时等价...

    1、无穷小的等价代换问题

    最常见的疑问是,无穷小是否能在加减法中进行等价替换?

    等价替换其实是麦克劳林展开式的一个"特例":
    以sinx~x为例:
    在这里插入图片描述
    x只是sinx展开的一部分,当sinx被替换成x时,它的精度被下降了。

    精度是造成在加减法时等价替换出现错误的罪魁祸首。

    一开始思考的是分子是多项式的情况:

    在这里插入图片描述
    造成这种错误,是因为sinx和tanx在展开时,没有到立方项。
    为什么要到立方项呢? 跟分母有关
    因为分子两者运算后,立方项前的系数并不为0,因为立方项和分母的比值是一个不为0的常量。结果是个常量又怎么能忽略呢?

    当然,sinx和tanx可以继续往后展开,因为展开越多就证明该多项式越等价与该三角函数。但是没必要,展开后发现高阶项与分母比值都是0了~

    也就是说分子展开的情况要根据分母来判断
    分子阶数大于等于分母的就好啦。

    分母是多项式怎么替换
    分母多项式,各项展开后的运算,保证结果是不为0的最低项就好了。

    2、所谓求极限值需要的“同时性”

    一开始,是被这道题搞懵的:
    在这里插入图片描述
    来自汤老的习题~
    汤老在解释的时候说的是求极限值要整个式子同时求,我听的云里雾里,不太明白。后来看到一位大佬在知乎上对这个问题做出解释,才恍然大悟~传送门

    讲一下自己的思考:
    一切有极限的运算都要通过四项基本运算准则
    在这里插入图片描述
    为什么强调有极限呢?因为极限不存在的时候,是通过其他方法来判断(例如:存在+不存在,存在*不存在)。极限不存在,本身就没满足四项基本运算前提条件,前面所说的其他方法不属于四项基本运算,所以两者是不冲突的。

    回到汤老这题中:
    由于分母趋于0,所以不能使用四项基本准则
    也就是说:不能对分子分母分开求极限再相除

    正确的做法是,它们只能当一个整体先进行等价变换
    在这里插入图片描述
    直到分母不存在:此时只剩一项,自然也没有什么运算准则可言了~
    注意一点是:分子的e并不是通过重要极限2得出来的,重要极限2是求极限值的一个等式,前面说了不能对分子分母分开求极限。 它只是换了个等价的形式,并没有求极限值,所以跟四项运算准则不冲突~
    等价代换和求极限值不是一回事~四项运算准则只针对计算极限值而言
    以前总是烦,有些项代入趋向的值就是一个常数了,但有时候直接代又是错的。
    在这里插入图片描述
    就好像这种,直接把0代入cosx是不行的,要看它是否满足四项基本运算~

    还有一种情况:
    汤老说,当某个因子,代入x可以成为一个非零的数,可以将该定项(非零因子)提到外面去。其实这个做法也是符合四项基本准则的,我觉得这是一种经验方法,因为一开始并不知道这个式子是否有极限。

    非零因子提出是不影响整体极限的情况的:
    首先如果把非零因子当作f(x),那么与之相乘的为g(x)。
    原式为limf(x)g(x)
    非零因子极限f(x)是存在的。
    假设g(x)极限不存在,提出后算的结果肯定是不存在。提出没问题
    假设g(x)极限存在,完全符合运算准则,没毛病。提出没问题

    所以说因子的提出,不会影响最终想求出的结果
    它不是一种定理,是一种做题方法。

    记录一下最近的思考,方便以后自己回顾和纠错~

    展开全文
  • 常见几个等价无穷小

    万次阅读 多人点赞 2020-01-29 15:46:29
    当时有: ...1、等价无穷小的定理:两无穷小之比的极限为1; 2、等价代换适用于因子,不适用于代数式中的和差; 3、等价代换中如果求得因子为0,此时需要变形。一定要避免出现0因子。 ...

    x\rightarrow0时有:

    1、sinx~x

    2、tanx~x

    3、arcsinx~x

    4、arctanx~x

    5、ln(1+x)~x

    6、e^{x}-1~x

    7、1-cosx~\frac{1}{2} x^{2}

    8、(1+x)^{a}-1~ax

    9、a^{x}-1~xlna

    补充:

    1、等价无穷小的定理:两个无穷小之比的极限为1;

    2、等价代换适用于因子,不适用于代数式中的和差;

    3、等价代换中如果求得因子为0,此时需要变形。一定要避免出现0因子。

     

     

     

    展开全文
  • 几个重要的分段函数

    千次阅读 2019-06-28 22:40:00
    绝对值函数 ... 狄利克雷函数可以用极限定义为$D(x)=\lim_{m \rightarrow \infty }[\lim_{n \rightarrow \infty }cos^{n}(\pi m!x)]$   转载于:https://www.cnblogs.com/shiliye/p/11105125.html
  • 普通求极限我们知道求极限的考点往往都是考分子分母型的,因为这样可以有效利用等价/高阶/低阶无穷小的理论,即使求极限是加减乘的类型,我们也尽可能要转化为除法的类型(这就是七种未定式),然而,知道这些还不够...
  • 物联网开发中常见几个标准协议

    千次阅读 2022-03-24 09:46:02
    物联网开发中常见几个标准协议博主介绍前言特定标准MQTTZigbee 和 Z-wave蓝牙ThreadAllJoynIEEE’s Wi-FiLoRa 和 SIGFOX点击直接资料领取 博主介绍 作者主页:苏州程序大白 作者简介:CSDN人工智能域优质创作者...
  • 我们首先要了解未定式这概念。我的这篇回答里面大致讲解了一下未定式:tetradecane:0/∞、∞/0 型的极限一定不存在吗?​www.zhihu.com未定式有多重要?那些不容易做的、容易做错的极限,全都是未定式!你可以...
  • 以下是新东方在线整理的2019计算机考研数学必考知识点:极限的计算,请参考:极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到,...极限无外乎出这三题型:求数列极限、求函数极限、已知极限求...
  • 距离上一笔记已经隔了快一年了,没想到还有那么多小伙伴能看到还点赞,太感动了。...重要极限这里要讲到的重要极限包括提示:这里的 并不是单纯指变量 ,而是指任意满足极限下面的条件的玩意,例如 (变量一致)重要...
  • 利用计算机验证两 你好! 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章,了解一下Markdown的基本语法知识。 新的改变 我们对Markdown编辑器...
  • 说在前面:临近期末考试,我总要逼着自己去学习。大学一点也不轻松,挂科可不是开玩笑的。那么在这种情况下,我就把我们高数...第一章 极限与连续1.集合、邻域、极坐标、映射、函数(很好理解,意会就好);2.五类基本...
  • 第一章 极限、连续与求极限的方法

    千次阅读 2021-01-30 21:27:20
    一、极限的概念与性质(一)极限的定义(二)极限的性质(三)两个重要极限二、极限存在性的判别(一)极限存在的两个准则(二)极限存在的一个充要条件(三)证明函数极限不存在的常用方法三、求极限的方法(一)...
  • 考研复习 求解函数极限的方法全总结

    千次阅读 多人点赞 2020-09-29 22:03:05
    lim⁡x→∞\lim\limits_{x\right...常用极限: 1.lim⁡x→∞qn=0\lim\limits_{x\rightarrow\infty} q^n=0x→∞lim​qn=0        ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1 引申:    &n
  • Redis的几个经典常见面试题

    千次阅读 2019-12-24 23:03:41
    1、什么是 Redis?. 2、Redis 的数据类型? 3、使用 Redis 有哪些好处...7、一字符串类型的值能存储最大容量是多少? 8、Redis 的持久化机制是什么?各自的优缺点? 9、Redis 常见性能问题和解决方案: 10、redis ...
  • 考研数一:极限(一)

    千次阅读 2019-06-04 09:11:41
    本篇博客的主要目的是让自己更加的熟悉所学的内容,因为现在在准备考研究生,想把自己学的东西记下来,能以后复习,如果有什么不对的地方请大神们指导。 本来觉得这是一件很...1.学会判断一函数的极限是否存...
  • 引言多元函数的极限在高等数学中非常重要,但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法,比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多,一般我们常用定义法,初等变形法,两边夹...
  • 高等数学:极限与连续

    万次阅读 多人点赞 2019-07-20 22:21:38
    ok,我们首先看到这个极限的式子,我们解读它的时候,实际上可以把他分为四部分。 首先我们给定一尺度,这尺度呢叫,就是我们图上的这东西,首先他要大于0,然后他是无限小的,要多小有多小,但是无论你...
  • 高数极限求解方法

    千次阅读 2019-05-15 12:49:40
    高数极限求解方法(入门) 极限的定义这里就不多说了,...对于与aaa相关的极限求解不需要什么求解方法,直接代入值计算即可,下面主要讲以下种形式的求解方法: 1∞1^\infty1∞、00\frac{0}{0}00​、∞∞\frac{\i...
  • 个重要极限: 夹逼准则:多是夹为0。有界函数放缩为固定值/常用不等式?去分母? 极坐标: 都可以考虑极坐标 整体替换化为一元函数:可以分拆,可以整体代换的重极限可以尝试.............
  • 能够砸伤人则需要水滴具有的动能,即公式(1/2)mv^2,而水滴的质量是一定的,需要达到很高的速度时才能突破人体的承受极限而致人受伤。但是,当水滴具有足够大的速度时,根据v=9.8t,可以知道已经经过了比较长的...
  • 概率论中几个有趣的例子

    千次阅读 2020-12-24 11:48:31
    转载】概率论中几个有趣的例子[ 2007-6-3 13:06:00 | By: Byron ]推荐作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics已经酝酿很长时间的本文终于出场了。写本文的主要目的:1 很多人看了我...
  • 高等数学复习之一(函数与极限

    万次阅读 多人点赞 2017-10-16 17:09:25
    今天开始复习高数,立一flag每日一更。之前数据结构挂掉是开发用java,学习c版数据结构很是不适应,希望这能持续下去。人工智能时代到来,数学的重要性不言而喻,这颗种子半年前就已经萌芽,一直没实施。在读...
  • 极限定理

    千次阅读 2019-11-26 15:35:17
    切比雪夫不等式 切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下,对...尔可夫不等式把概率关联到数学期望,给出了随机变量的累积分布函数一宽泛但仍有用的界。 设X为一非负随机变量,则P(|x|≥a)≤E(|X|)...
  • 【微积分的本质|笔记】极限

    千次阅读 2020-09-09 10:23:43
    极限的理解和定义;②洛必达法则的直观理解
  • 高等数学-第一章 函数 极限 连续

    千次阅读 2020-09-24 09:52:45
    一.函数 函数部分基本有四方面,定义,性质,初等函数,其他函数 1.定义:(对应法则,定义域) ...常用函数的定义域: 1/y, (y != 0); y^(1/2),(y >= 0),logay, y > 0; arcsiny |y |<= 1 arccosy
  • 统计学之中心极限定理和置信区间

    千次阅读 2019-04-05 22:08:51
    中心极限定理是统计学中比较重要的一定理。 只有真正理解了中心极限定理才能更好的理解统计学中其他的知识,比如正态分布。 那么什么是中心极限定理(Central Limit Theorem) 中心极限定理指的是给定一任意...
  • 指数函数,三角函数,反三角函数,对数函数等函数,同时若干极限中出现时,使用泰勒公式将它们一致化,从而容易计算。我和另一位学长做的笔记例题如下: 本题利用泰勒公式,将多种类型的函数转化为统一的多项式...
  • 专升本高数——常用公式总结大全【补充扩展】

    万次阅读 多人点赞 2020-02-22 11:17:27
    个重要极限 七:16个基本微分公式 1.微分运算法则 2.3种常见的微分方程 八:11个基本积分公式 1.补充下面几个积分公式 2.9个常用凑微分公式 3.3个分部积分法公式 4.3个第二换元积分法中的三角换元公式 九:极限...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 38,686
精华内容 15,474
热门标签
关键字:

常用的几个重要极限