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  • 前言:高阶导数对于一阶...高阶导数的定义:函数的导数仍是 x 的函数,通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数,记作即或者可以写成:类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地...

    前言:高阶导数对于一阶二阶导数来说更难一些,更富有技巧性,大多数情况下不允许你蛮干,有些常用的规律必须得记住,当然学会这些知识的前提,还是得把16个基本求导公式得背熟,背不熟做一步卡一步。

    正文:

    1.高阶导数的定义:

    700862a21573f427683083a37d33bc18.png 函数 700862a21573f427683083a37d33bc18.png 的导数9d9a70980ac057bd2c819f8393b4ac42.png 仍是 x 的函数,通常把导函数9d9a70980ac057bd2c819f8393b4ac42.png 的导数叫做函数的二阶导数,记作c8f4eb893be82c879388a4d024712bea.png 

    4bec7c18e67896f4a7a975ad54925d27.png或者可以写成:1991846b0a7380e5e5f9af74f2fd065a.png

    类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地,n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数,即

    742327f2eda888a95c1635c00922d26c.png分别记作7c51f7a73089c1fd69f5a36e4e0c5073.png

    或者写为95b548ab33fbf77be4a0bb6877e2e292.png二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。        *该词条来自于百度百科

    2.高阶导数运算方法

    ①归纳法(思想是逐次求导,找出规律得通式)

    栗子1

    01338f37443d59146ba5de0602ada6a2.png

    它的一阶导数到n阶导数的式子如下

    f04e3f07ea8c5334f494a2a7541c52a7.png

    得出通式得

    9a7764d26b35a50ef5325f9bf349f012.png

    栗子2

    5995fbbf06efe3077a3eac25260b8eb7.png

    栗子3

    0dc1f3b0d1057ce27382ca20d3d98020.png

    通过若干阶导数的计算可看出,sinx的高阶导数具有一种循环性,其循环规律涉及两个因素,一是总在sin x 和 cos x 之间交互转换,二是符号交互变化

    由于涉及两个变化因素,使得确定导数规律相对困难,故考虑改写各阶导数形式,以减少其间变化因素,并使其和导数阶数发生联系

    重要的高阶求导公式

    45d1227030f5b46ad0b9db424cace007.png

    4766f050e2dde1aafb21d282b8de4bfa.png

    ②用高阶导数求导公式

    5f4b8d6e8b02e5478e608497e75ab421.png

    445ae201c494b70ad577d434e3106041.png个公式被称为莱布尼兹公式

    如果见到两个乘积的高阶导数,一般用莱布尼兹公式即可,同时要结合上述所给的公式来求解,若求一个高阶导数比较困难时,若能转化成两个函数乘积的形式,亦用莱布尼兹公式

    栗子4

    9a30f4f72d7483e58f5fe2cd861792df.png

    栗子5

    e3116572ea6e772dfb544d649698b2d3.png

    栗子6

    9b3884b8b973a9aa0eb7bb940537a1a0.png

    3.泰勒公式或麦克劳林公式,比较系数

    如果52b0dccc35723adb476670f516dedf88.png 在点x=x0具有任意阶导数,则幂级数

    1e001af7fdb9e0014a7807306f3c6c6a.png

    称为 52b0dccc35723adb476670f516dedf88.png 在点x0处的泰勒级数在泰勒公式中

    取x0=0,得到的级数7045801d013e385f6d195bc578e309f4.png称为麦克劳林级数

    常见的幂级数展开式

    bdc3ba2340f238bbad622a0601df3ee2.png

    栗子7

    cf55cb7607ff3b49afa0ef0dce0edb21.png

    4da902f50219eb258952dd2ab45a66af.gif

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  • 常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=...

    .常用导数公式

    1.y=c(c为常数) y'=0

    2.y=x^n y'=nx^(n-1)

    3.y=a^x y'=a^xlna

    y=e^x y'=e^x

    4.y=logax y'=logae/x

    y=lnx y'=1/x

    5.y=sinx y'=cosx

    6.y=cosx y'=-sinx

    7.y=tanx y'=1/cos^2x

    8.y=cotx y'=-1/sin^2x

    9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

    10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

    11.y=arctanx y'=1/1+x^2

    12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

    在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:

    1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

    2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

    3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'

    证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.

    2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.

    3.y=a^x,

    ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

    ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

    如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β).

    所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

    显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

    把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.

    可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.

    4.y=logax

    ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

    ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

    因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

    lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x.

    可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.

    这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

    所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).

    5.y=sinx

    ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

    ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

    所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

    6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx.

    7.y=tanx=sinx/cosx

    y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

    8.y=cotx=cosx/sinx

    y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

    9.y=arcsinx

    x=siny

    x'=cosy

    y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

    10.y=arccosx

    x=cosy

    x'=-siny

    y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

    11.y=arctanx

    x=tany

    x'=1/cos^2y

    y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

    12.y=arccotx

    x=coty

    x'=-1/sin^2y

    y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

    另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

    4.y=u土v,y'=u'土v'

    5.y=uv,y=u'v+uv'

    均能较快捷地求得结果.

    作业帮用户

    2017-10-18

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  • 目录目录1. 背景2. 导数与微分的概念2.1.... 高阶导数的定义4.2. 常用的高阶导数公式4.3. 求高阶导数的方法5. 总结1. 背景前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲...

    58321bcfa031d982817a9fb67fd88a19.png

    目录

    • 目录
    • 1. 背景
    • 2. 导数与微分的概念
      • 2.1. 导数与微分的概念
      • 2.2. 连续、可导、可微之间的关系
      • 2.3. 导数的几何意义
      • 2.4. 相关变化率
    • 3. 导数公式及求导法则
      • 3.1. 基本初等函数的导数公式
      • 3.2. 求导法则
    • 4. 高阶导数
      • 4.1. 高阶导数的定义
      • 4.2. 常用的高阶导数公式
      • 4.3. 求高阶导数的方法
    • 5. 总结

    1. 背景

    前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    2. 导数与微分的概念

    2.1. 导数与微分的概念

    • 导数
      • 概念:函数在某一点的变化率
    • 微分
      • 概念:函数值在某一点的改变量的近似值

    2.2. 连续、可导、可微之间的关系

    • 连续与可导
      • 连续不一定可导
      • 可导必定连续
    • 连续与可微
      • 连续不一定可微
      • 可微必定连续
    • 可导与可微(在一元函数中)
      • 可微必定可导
      • 可导必定可微
      • 可导是可微的充分必要条件

    :在多元函数中,可导(偏导)不一定可微,可导(偏导)也不一定连续

    • 证明可导必可微

    根据可导定义,令

    equation?tex=%5Clim%5Climits_+%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D+%3D+A+%5C%5C

    则有

    equation?tex=%5Clim%5Climits_+%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y+-+A%5CDelta+x%7D%7B%5CDelta+x%7D+%3D+0+%5C%5C

    即有

    equation?tex=%5CDelta+y+-+A%5CDelta+x+%3D+o%28%5CDelta+x%29,故
    equation?tex=%5CDelta+y+%3D+A%5CDelta+%2B+o%28%5CDelta+x%29,其中
    equation?tex=A为常数,满足可微的定义,因此,可导必可微。
    • 证明可微必可导

    根据可微定义

    equation?tex=%5CDelta+y+%3D+A%5CDelta+x+%2B+o%28%5CDelta+x%29+%5C%5C

    equation?tex=f%27%28x_0%29+%3D+%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BA+%5CDelta+x+%2B+o%28%5CDelta+x%29%7D%7B%5CDelta+x%7D+%3D+A+%5C%5C

    导数存在,故满足可导的定义,因此可微必可导,且

    equation?tex=f%27%28x%29+%3D+A.
    • 常见错误
      • equation?tex=f%28x%29在某邻域可导
      • 不能推出
        equation?tex=f%27%28x%29
        equation?tex=x_0点连续
      • 不能推出
        equation?tex=%5Clim%5Climits_%7Bx+%5Cto+x_0%7Df%27%28x%29存在
      • 题型:第一章例
        equation?tex=33,考察洛必达法则的使用条件

    2.3. 导数的几何意义

    导数

    equation?tex=f%27%28x_0%29在几何上表示曲线
    equation?tex=y+%3D+f%28x%29在点
    equation?tex=%28x_0%2C+f%28x_0%29%29处切线的斜率。

    :法线的斜率是切线斜率的负倒数。

    2.4. 相关变化率

    • 定义

    equation?tex=x+%3D+x%28t%29
    equation?tex=y+%3D+y%28t%29都是可导函数,而变量
    equation?tex=x
    equation?tex=y之间存在某种关系,从而他们的变化率
    equation?tex=%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D
    equation?tex=%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率成为
    相关变化率
    • 例题(第二章例
      equation?tex=29

    已知动点

    equation?tex=P在曲线
    equation?tex=y+%3D+x%5E3上运动,记坐标原点与点
    equation?tex=P间的距离为
    equation?tex=l。若点
    equation?tex=P的横坐标对时间的变化率为常数
    equation?tex=v_0,则当点
    equation?tex=P运动到点
    equation?tex=%281%2C+1%29时,
    equation?tex=l对时间的变化率是___.

    解:

    已知

    equation?tex=%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdv%7D+%3D+v_0
    equation?tex=l+%3D+%5Csqrt%7Bx%5E2+%2B+x%5E6%7D,则

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdl%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Cfrac%7Bdl%7D%7Bdx%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Cfrac%7B2x+%2B+6x%5E5%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E2+%2B+x%5E6%7D%7D+%5Ccdot+v_0+%5C%5C

    带入数值

    equation?tex=x+%3D+1,则

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdl%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Cfrac%7B1+%2B+3%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7Dv_0+%3D+2%5Csqrt%7B2%7D+v_0+%5C%5C

    3. 导数公式及求导法则

    3.1. 基本初等函数的导数公式

    equation?tex=%28C%29%27+%3D+0+%5Ctag%7B2.1%7D+
    equation?tex=%28x%5Ea%29%27+%3D+ax%5E%7Ba-1%7D+%5Ctag%7B2.2%7D+
    equation?tex=%28a%5Ex%29%27+%3D+a%5Ex%5Cln%28a%29+%5Ctag%7B2.3%7D+
    equation?tex=%28e%5Ex%29%27+%3D+e%5Ex+%5Ctag%7B2.4%7D+
    equation?tex=%28%5Clog_a%5Ex%29%27+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%28a%29%7D+%5Ctag%7B2.5%7D+
    equation?tex=%28%5Cln+%5Cmid+x+%5Cmid+%29%27+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%5Ctag%7B2.6%7D+
    equation?tex=%28%5Csin+x%29%27+%3D+%5Ccos%28x%29+%5Ctag%7B2.7%7D+
    equation?tex=%28%5Ccos+x%29%27+%3D+-%5Csin%28x%29+%5Ctag%7B2.8%7D+
    equation?tex=%28%5Ctan+x+%29%27+%3D+%5Csec%5E2%28x%29+%5Ctag%7B2.9%7D+
    equation?tex=%28%5Ccot+x%29%27+%3D+-+%5Ccsc%5E2%28x%29+%5Ctag%7B2.10%7D+
    equation?tex=%28%5Csec+x%29%27+%3D+%5Csec+%28x%29+%5Ctan+%28x%29+%5Ctag%7B2.11%7D+
    equation?tex=%28%5Ccsc+x%29%27+%3D+%5Ccsc%5E2%28x%29+%5Ccot+%28x%29+%5Ctag%7B2.12%7D+
    equation?tex=%28%5Carcsin+x%29%27+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1+-+x%5E2%7D%7D+%5Ctag%7B2.13%7D+
    equation?tex=%28%5Carccos+x%29%27+%3D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1+-+x%5E2%7D%7D+%5Ctag%7B2.14%7D+
    equation?tex=%28%5Carctan+x%29%27+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+%2B+x%5E2%7D+%5Ctag%7B2.15%7D+
    equation?tex=%28arccot+x%29%27+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1+-+x%5E2%7D%7D+%5Ctag%7B2.16%7D

    equation?tex=%5Csec%28x%29+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%28x%29%7D
    equation?tex=%5Ccsc%28x%29+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28x%29%7D

    3.2. 求导法则

    3.2.1. 有理运算法则

    equation?tex=u+%3D+u%28x%29%2C+v+%3D+v%28x%29
    equation?tex=x处可导,则

    equation?tex=%28u+%5Cpm+v%29%27+%3D+u%27+%5Cpm+v%27+%5Ctag%7B2.17%7D+
    equation?tex=%28uv%29%27+%3D+u%27v+%2B+uv%27+%5Ctag%7B2.18%7D+
    equation?tex=%28%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bv%7D%29%27+%3D+%5Cdfrac%7Bu%27v+-+uv%27%7D%7Bv%5E2%7D+%5Ctag%7B2.19%7D+

    3.2.2. 复合函数求导法

    equation?tex=u+%3D+%5Cvarphi%28x%29
    equation?tex=x处可导,
    equation?tex=y+%3D+f%28u%29在对应点可导,则复合函数
    equation?tex=y+%3D+f%5B%5Cvarphi%28x%29%5D
    equation?tex=x处可导,则

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%3D+f%27%28u%29%5Cvarphi%27%28x%29+%5Ctag%7B2.20%7D+
    • 推论

    一个可导的奇(偶)函数,求一次导,其奇偶性发生一次变化

    • 证明推论
    1. equation?tex=f%28x%29
      奇函数

    equation?tex=f%28x%29满足
    equation?tex=f%28-x%29+%3D+-f%28x%29,又根据复合函数求导法则,得到
    equation?tex=f%27%28-x%29+%3D+-f%27%28x%29,则

    equation?tex=%5Bf%28-x%29%5D%27+%3D+-%5B-f%28x%29%5D%27+%3D+%5Bf%28x%29%5D%27+%5C%5C

    equation?tex=f%27%28x%29
    偶函数
    1. equation?tex=f%28x%29
      偶函数

    equation?tex=f%28x%29满足
    equation?tex=f%28-x%29+%3D+f%28x%29,又根据复合函数求导法则,得到
    equation?tex=f%27%28-x%29+%3D+-f%27%28x%29,则

    equation?tex=%5Bf%28-x%29%5D%27+%3D+-%5Bf%28x%29%5D%27+%5C%5C

    equation?tex=f%27%28x%29
    奇函数

    3.2.3. 隐函数求导法

    equation?tex=y+%3D+y%28x%29是由方程
    equation?tex=F%28x%2C+y%29+%3D+x所确定的可导函数,为求得
    equation?tex=y%27,可在方程
    equation?tex=F%28x%2C+y%29+%3D+0两边对
    equation?tex=x求导,可得到一个含有
    equation?tex=y%27的方程,从中解出
    equation?tex=y%27即可。

    equation?tex=y%27也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+-+%5Cfrac%7BF%27_x%7D%7BF%27_y%7D+%5Ctag%7B2.21%7D+

    3.2.4. 反函数的导数

    equation?tex=y+%3D+f%28x%29在某区间内可导,且
    equation?tex=f%27%28x%29+%5Cne+0,则其反函数
    equation?tex=x+%3D+%5Cvarphi+%28x%29在对应区间内也可导,且

    equation?tex=%5Cvarphi+%28y%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%27%28x%29%7D+%5Ctag%7B2.22%7D+

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%7D+%5C%5C

    3.2.5. 参数方程求导法

    equation?tex=y+%3D+y%28x%29是由参数方程

    equation?tex=%7B%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x+%3D+%5Cvarphi+%28x%29%5C%5C+%26y+%3D+%5Cpsi+%28x%29%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.+%7D%2C+%28%5Calpha+%3C+t+%3C+%5Cbeta%29+%5C%5C

    确定的函数,则

    1. equation?tex=%5Cvarphi+%28x%29
      equation?tex=%5Cpsi+%28x%29都可导,且
      equation?tex=%5Cvarphi%28t%29+%5Cne+0,则

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpsi%28x%29%7D%7B%5Cvarphi%28x%29%7D+%5Ctag%7B2.23%7D+
    1. equation?tex=%5Cvarphi+%28x%29
      equation?tex=%5Cpsi+%28x%29都二阶可导,且
      equation?tex=%5Cvarphi%28t%29+%5Cne+0,则

    equation?tex=%5Cfrac%7Bd%5E2+y%7D%7Bd%5E2+x%7D+%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%29+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bdx%7D%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpsi+%27%28t%29%7D%7B%5Cvarphi+%27%28t%29%7D%29+%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarphi+%27%28x%29%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpsi+%27%27%28t%29%5Cvarphi+%27%28x%29+-+%5Cvarphi+%27%27%28x%29+%5Cpsi+%27%28t%29%7D%7B%5Cvarphi%5E3+%28t%29%7D+%5Ctag%7B2.24%7D+

    3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

    极坐标性质

    equation?tex=%7B%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Crho%5E2+%26%3D+x%5E2+%2B+y%5E2%5C%5C+%5Ctan+%5Ctheta+%26%3D+%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D+%28x+%5Cne+0%29%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%7D+%5Ctag%7B2.25%7D+

    极坐标转化为直角坐标的转化公式

    equation?tex=%7B%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+x+%3D+%5Crho+%5Csin+%5Ctheta%5C%5C+y+%3D+%5Crho+%5Ccos+%5Ctheta%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%7D+%5Ctag%7B2.26%7D+

    已知经过点

    equation?tex=M%28%5Crho_o%2C+%5Ctheta_0%29,且直线与极轴所成角为
    equation?tex=%5Calpha的直线
    equation?tex=l,其极坐标方程为

    equation?tex=%5Crho+%5Csin+%28%5Calpha+-+%5Ctheta%29+%3D+%5Crho_0+%5Csin%28%5Calpha_0+-+%5Ctheta_0%29+%5C%5C

    equation?tex=%5Crho+%3D+%5Crho_0+%5Csec%28%5Calpha_0+-+%5Ctheta_0%29+%5C%5C

    转化为参数方程形式

    equation?tex=%7B%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+x+%3D+%5Crho_0+%5Csec%28%5Calpha_0+-+%5Ctheta_0%29+%5Csin%28%5Ctheta%29%5C%5C+y+%3D+%5Crho_0+%5Csec%28%5Calpha_0+-+%5Ctheta_0%29+%5Ccos%28%5Ctheta%29%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.%7D+%5C%5C

    3.2.6. 对数求导法

    如果

    equation?tex=y+%3D+y%28x%29的表达式由
    多个因式的乘除、乘幂构成,或是幂指函数的形式,则可先将函数去对数,然后两边对
    equation?tex=x求导。

    :对等式两边取对数,需要满足等式两边都大于0的条件


    4. 高阶导数

    4.1. 高阶导数的定义

    含义:一般地,函数

    equation?tex=y+%3D+f%28x%29
    equation?tex=n阶导数为
    equation?tex=y%5E%7B%28n%29%7D+%3D+%5Bf%5E%7B%28n+-+1%29%7D%28x%29%5D%27,也可记为
    equation?tex=f%5E%7B%28n%29%7D%28x%29
    equation?tex=%5Cdfrac%7Bd%5Eny%7D%7Bdx%5En%7D,即
    equation?tex=n阶导数就是
    equation?tex=n-1阶导函数的导数。

    :如果函数在点

    equation?tex=x
    equation?tex=n阶可导,则在点
    equation?tex=x的某邻域内
    equation?tex=f%28x%29必定具有一切低于
    equation?tex=n阶的导数。

    4.2. 常用的高阶导数公式

    equation?tex=%28%5Csin+x%29%5E%7B%28n%29%7D+%3D+%5Csin+%28x+%2B+n+%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29+%5Ctag%7B2.27%7D+
    equation?tex=%28cos+x%29%5E%7B%28n%29%7D+%3D+%5Ccos+%28x+%2B+n+%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29+%5Ctag%7B2.28%7D+
    equation?tex=%28u+%5Cpm+v%29%5E%7B%28n%29%7D+%3D+u%5E%7B%28n%29%7D+%5Cpm+v%5E%7B%28n%29%7D+%5Ctag%7B2.29%7D+
    equation?tex=%28uv%29%5E%7B%28n%29%7D+%3D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+C_n%5Ek+u%5E%7B%28k%29%7Dv%5E%7B%28n-k%29%7D+%5Ctag%7B2.30%7D+

    式2.24可类比

    equation?tex=n阶二项式公式

    equation?tex=%28u+%2B+v%29%5E%7Bn%7D+%3D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+C_n%5Ek+u%5E%7Bk%7Dv%5E%7Bn-k%7D+%5Ctag%7B2.31%7D+
    • 推论

    equation?tex=y%3D+%5Csin%28ax+%2B+b%29,则

    equation?tex=y%5E%7B%28n%29%7D+%3D+a%5En+%5Csin%28ax+%2B+b+%2B+n+%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29+%5Ctag%7B2.32%7D+
    • 证明

    通过归纳法,求

    equation?tex=y%27
    equation?tex=y%27%27,推出
    equation?tex=y%5E%7B%28n%29%7D.

    4.3. 求高阶导数的方法

    1. 公式法,带入高阶导数公式
    2. 归纳法,求
      equation?tex=y%27
      equation?tex=y%27%27,归纳
      equation?tex=y%5E%7B%28n%29%7D

    5. 总结

    1. 导数
    • 定义
    • 求导法则
    • 高阶导数

    2. 微分

      • 定义
      • 微分与可导的关系
      • 微分方程求导
    展开全文
  • 导数与积分公式

    2020-10-28 08:51:33
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    1 极限公式

    (系数不为0的情况)
    在这里插入图片描述
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    2 下列常用等价无穷小关系(x->0)

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    3 导数的四则运算法则

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    4 基本导数公式

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    5 高阶导数的运算法则

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    6 基本初等函数的n阶导数公式

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    7 微分公式与微分运算法则

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    8 微分运算法则

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    9 基本积分公式

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    10 下列常用凑微分公式

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    11 补充下面几个积分公式

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    12 分部积分法公式

    分部积分公式:
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    13 第二换元积分法中的三角换元公式

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    14 特殊角的三角函数值

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    15 三角函数公式

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常用高阶导数的公式