精华内容
下载资源
问答
  • 常用高阶无穷小
    2022-08-18 10:41:30

    常用等价无穷小

    sinx~x         (x可以换成任何一个趋于0的变量)

    tanx~x        (x可以换成任何一个趋于0的变量)

    arcsinx~x        (x可以换成任何一个趋于0的变量)

    e^x-1~x        (x可以换成任何一个趋于0的变量)

    1-cosx~x^2/2        (x可以换成任何一个趋于0的变量)

    ln(1+x)~x        (x可以换成任何一个趋于0的变量)

    arctanx~x

    n√1+x -1 ~ x/n

    √1+x -1 ~ x/2

    两个等价无穷小相减等于更高阶无穷小

    x-sinx ~ x^3/6

    arcsinx - x ~ x^3/6

    tanx - x ~ x^3/3

    x - arctanx ~ x^3/3

    tanx - sinx ~ x^3/2

    x-ln(1+x)~x^2/2

    更多相关内容
  • 高阶、低阶、同阶无穷小

    千次阅读 2020-03-20 21:54:28
    高阶无穷小:a是b的高阶无穷小,则a趋于零的速度大于b,记作b=o(a)b=o(a)b=o(a) 反之,b是a的低阶无穷小,记作a=O(x)a=O(x)a=O(x),例如x2x^2x2是xxx的高阶无穷小,而xxx是x2x^2x2的低阶无穷小。 即lim⁡n→0x2x=0\...

    趋于0的速度构成了这一概念。
    高阶无穷小:a是b的高阶无穷小,则a趋于零的速度大于b,记作 b = o ( a ) b=o(a) b=o(a)
    反之,b是a的低阶无穷小,记作 a = O ( b ) a=O(b) a=O(b),例如 x 2 x^2 x2 x x x的高阶无穷小,而 x x x x 2 x^2 x2的低阶无穷小。
    lim ⁡ n → 0 x 2 x = 0 \lim_{n \to 0}{\frac{x^2}{x}}=0 limn0xx2=0
    当为同阶无穷小时 lim ⁡ n → 0 x 2 x = c , + ∞ \lim_{n \to 0}{\frac{x^2}{x}}=c,+\infty limn0xx2=c,+>|c|>0
    一般常用的同阶无穷小:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 无穷小量与无穷大量的

    千次阅读 2022-01-24 01:22:45
    1.无穷量可分为高阶无穷,同阶无穷和等价无穷2.等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况,等价无穷大是同阶无穷大的特殊情况3.任何x阶数都是一个无穷小量的高阶无穷小,则这个无穷小记为o(1)4.两...

    1.无穷量可分为高阶无穷,同阶无穷和等价无穷

    2.等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况,等价无穷大是同阶无穷大的特殊情况

    3.任何x阶数都是一个无穷小量的高阶无穷小,则这个无穷小记为o(1)

    4.两个高阶无穷小量相加或相减后依然为高阶无穷小

    5.在含有多个高阶无穷的式子中,其极限由最高阶无穷大量或最低阶无穷小量决定

    我们提到过以0为极限的变量称为无穷小量,这个变量可以是数列也可以是函数。但需要注意两种表达:

    f9d908db4c77fb4eb71e01da202ebeae.png

    今天,我们继续深入研究无穷小量以及与其相对的无穷大量。

    1

    48f1ec33aea73f375fc7cb4de750077f.png

    第一种情况,是说明u(x)趋于0的速度比v(x)趋于0的速度要快得多,阶数越高,速度越快。因此称为u是v的高阶无穷小,反过来,称v是u的低阶无穷小。举两个例子:

    • 例1

    4fdff5f9c4c55346ad26616b2874dfc6.png

    • 例2

    f7a7a49cedcf33bf6d8d0418b4a97b7e.png

    对于第二种情况,表明u和v趋近于0的速度在一个量级上,趋向的速度差不多。举个例子:

    • 例3

    19dea864f36f96b6532f408a54d3214f.png

    注意,这里的u和v不一定是同阶无穷小,因为也有可能u是v的高阶无穷小。

    • 例4

    13b97113034bc29edaf09e2552b0f46c.png

    对于第三种情况,等价无穷小其实相当于同阶无穷小的一种特殊情况,是最重要的一类无穷小,它表明u与v趋向于0的速度是一致的,比如第一类重要极限:

    0c51c8e1422ecffcd794bef835f247e8.png

    注意,这时候并不是说sinx与x是相等的,它们还是有差距的,它们相差一个关于x的高阶无穷小:

    0231dfee39702c46febd9aef7d475097.png

    再举两个例子。

    • 例5

    e5330f95aa6ae0f3782f45e79bde7b9b.png

    • 例6

    d73f59864c5fbe90cc6aaed41e66e165.png

    这里,要注意的是,当x趋于0时,sinx与x,tanx与x都相差一个关于x的高阶无穷小,但是它们两个是不一样的。所以下面的逻辑是错误的:

    f949e4a67488fceaffbf9d05619e4d08.png

    关于x的两个无穷小量进行加减运算后,依然是关于x的无穷小量:

    53015eb65389f745ee1b4399fd0fc0f6.png

    关于无穷小量的阶,还有两点需要注意。首先,一般来说v(x)表示为:

    8efd5dc749c4d8cf2d7b2911dbf38850.png

    其次,有一类特殊的无穷小——任意阶数的x都是它的高阶无穷小,记为o(1),举个例子:

    93bafd1479948315dd7074e6f4f5f932.png

    注:下面证明这个结论。

    2

    有无穷小量的阶,相对的也有无穷大量的阶。

    78f792257cbf0aca0e1ca66095216de5.png

    在数列极限中,我们有下面不等式成立:

    f080c519fc9d360887f76c66e7618bed.png

    且它们都是无穷大量。基于此,我们可以得到很多高阶无穷大量,比如:

    2cb21c493ea3429541416244b41b1998.png

    我们来看一个等价无穷大量的例子:

    67af4d3cc592d666cd323f1bca6aed78.png

    现在,我们来证明上一小节的极限。

    acce0151bcd1b786a6f156e568c9c967.png

    由上面启发,可以得到下面结论:

    4d70fae6eb5b100b9c818065949ac160.png

    3

    对于无穷量的阶,我们最关心的是等价量。因此,有必要熟悉常用的等价量。

    • 三角函数等价量

    b80ee0ed16a75c5c31178c5d06c407ca.png

    • 对数函数等价量

    d22926a8de231f5fac94e4bad39bfd05.png

    • 指数函数等价量

    e4509b692e3c158a44145bf8cc4bda50.png

    • 幂函数等价量

    65550fcdefab4c3f63afeb0804bdda81.png

    最后,对于一些较简单的复合函数的等价量,记住一句口诀:无穷大量看高阶,无穷小量看低阶.先看两个例子

    • 例7

    52bbdcf93132db646ee1eec1b85db060.png

    • 例8

    0c04d5f873b3d02a858d3e33b03306f5.png

    这两个例子说明,在无穷小时,阶数低的项其作用,因为高阶项趋向0的速度比低阶的快得多,最终的极限由低阶项决定。相对的,讨论无穷大时,高阶项起作用,因为高阶趋于无穷的速度比低阶的快得多。在数列极限中,我们已经探讨过了:

    b4ed31abb4bbf664390242419650d98d.png

    4

    我们利用等价量来求一些复杂函数的极限,先给一条定理。

    66acad732ca05a0ae1f5c65f2187a332.png

    • 例9

    711ce72885b95e869f7370fb392595b0.png

    • 例10

    f43390f9b87a3087e3b8830244dc1815.png

    • 例11

    2f4fdf218e7497fdf49618f4bb686979.png

    • 例12

    4c3104f511e43912134e6fd902ac4dae.png

    最后一个等式的形式,我们以后会重点研究,它就是著名的泰勒展开公式。这里先稍微带过。

    展开全文
  • 后半部分相对不如第一部分常用lim⁡x→0sin(x)x=1;第一重要极限 \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sin(x)}{x}}=1;第一重要极限 x→0lim​xsin(x)​=1;第一重要极限lim⁡x→0tan(x)x=1lim⁡x→0sinxxcos(x)=lim⁡x→0sinx...

    等价无穷小和泰勒公式

    • 等价无穷小可以有泰勒公式推导(通用)
    • 通过泰勒公式的变形,可以获得各式各样的等价无穷小
    • 如果不使用泰勒公式,直接从极限的角度和函数的基本性质来证明,从中也可以学习到一些技巧,开阔思路

    证明常用等价无穷小

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 后半部分相对不如第一部分常用(都可以通过泰勒公式推导)

    在这里插入图片描述

    泰勒公式&等价无穷小求解极限

    • 带有peano余项的泰勒公式(maclaurin)公式,可以方便的求出一些函数的极限
    • 例如
      lim ⁡ x → 0 e x − c o s x − x l n ( 1 + x 2 ) e x = 1 + x + x 2 2 ! + o ( x 2 ) ; c o s x = 1 − x 2 2 ! + o ( x 2 ) ; 于 是 , 分 子 可 以 被 统 一 为 关 于 x 的 幂 的 形 式 ( 通 过 合 并 幂 以 及 ( 有 限 个 同 阶 等 价 无 穷 小 ) ) : e x − c o s x − x = ( 1 + x + x 2 2 ! ) − ( 1 − x 2 2 ) − x + o ( x 2 ) = x 2 + o ( x 2 ) o ( x 2 ) 是 x 2 的 高 阶 无 穷 小 , 有 lim ⁡ x → 0 o ( x 2 ) x 2 = 0 分 母 可 以 通 过 等 价 无 穷 小 直 接 将 ( l n ( 1 + x 2 ) 替 换 为 x 2 ) 从 而 函 数 的 ( x → 0 ) 极 限 = lim ⁡ x → 0 x 2 + o ( x 2 ) x 2 = lim ⁡ x → 0 ( 1 + o ( x 2 ) x 2 ) = 1 + 0 = 1 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-cosx-x}{ln(1+x^2)} \\e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2); \\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2); \\于是,分子可以被统一为关于x的幂的形式(通过合并幂以及(有限个同阶等价无穷小)): \\ e^x-cosx-x=(1+x+\frac{x^2}{2!})-(1-\frac{x^2}{2})-x+o(x^2) \\=x^2+o(x^2) \\o(x^2)是x^2的高阶无穷小,有\lim_{x\rightarrow 0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0 \\分母可以通过等价无穷小直接将(ln(1+x^2)替换为x^2) \\ 从而函数的(x\rightarrow 0)极限=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}} \\=\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{o(x^2)}{x^2}) =1+0=1 x0limln(1+x2)excosxxex=1+x+2!x2+o(x2);cosx=12!x2+o(x2);,x(()):excosxx=(1+x+2!x2)(12x2)x+o(x2)=x2+o(x2)o(x2)x2,x0limx2o(x2)=0(ln(1+x2)x2)(x0)=x0limx2x2+o(x2)=x0lim(1+x2o(x2))=1+0=1

    证明常用等价无穷小

    sin ⁡ ( x ) ∼ x \sin(x)\sim x sin(x)x

    lim ⁡ x → 0 s i n ( x ) x = 1 ; 第 一 重 要 极 限 \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sin(x)}{x}}=1;第一重要极限 x0limxsin(x)=1;

    t a n ( x ) ∼ x tan(x)\sim x tan(x)x

    lim ⁡ x → 0 t a n ( x ) x = 1 lim ⁡ x → 0 s i n x x c o s ( x ) = lim ⁡ x → 0 s i n x x 1 c o s x = lim ⁡ x → 0 ( 1 ⋅ 1 c o s x ) = lim ⁡ x → 0 1 lim ⁡ x → 0 c o s ( x ) = 1 \\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{tan(x)}{x}}=1 \\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{xcos(x)}} =\lim_{x\rightarrow0}{\frac{sinx}{x}\frac{1}{cosx}} =\lim_{x\rightarrow0}{(1\cdot\frac{1}{cosx})} =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0}{1}}{\lim\limits_{x\rightarrow0}cos(x)}=1 x0limxtan(x)=1x0limxcos(x)sinx=x0limxsinxcosx1=x0lim(1cosx1)=x0limcos(x)x0lim1=1

    a r c s i n ( x ) ∼ x arcsin(x)\sim x arcsin(x)x

    令 t = a r c s i n ( x ) , x = s i n ( t ) , t → 0 ( x → 0 ) lim ⁡ x → 0 a r c s i n ( x ) x = lim ⁡ t → 0 t s i n ( t ) = 1 令t=arcsin(x),x=sin(t),t\rightarrow0(x\rightarrow 0) \\ \lim_{x\rightarrow0}{\frac{arcsin(x)}{x}} =\lim_{t\rightarrow0}{\frac{t}{sin(t)}}=1 t=arcsin(x),x=sin(t),t0(x0)x0limxarcsin(x)=t0limsin(t)t=1

    a r c t a n ( x ) ∼ x arctan(x)\sim x arctan(x)x

    lim ⁡ x → 0 a r c t a n ( x ) x = 1 令 t = a r c t a n ( x ) , x = t a n ( t ) ; ⇒ lim ⁡ x → 0 a r c t a n ( x ) x = lim ⁡ t → 0 t t a n ( t ) = 1 \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{arctan(x)}{x}}=1 \\ \\令t=arctan(x), \\x=tan(t); \\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{arctan(x)}{x}} =\lim_{t\rightarrow 0}{\frac{t}{tan(t)}}=1 x0limxarctan(x)=1t=arctan(x),x=tan(t);x0limxarctan(x)=t0limtan(t)t=1

    l n ( 1 + x ) ∼ x ln(1+x)\sim x ln(1+x)x

    lim ⁡ x → 0 l n ( 1 + x ) x = 1 利 用 对 数 性 质 和 第 二 重 要 极 限 证 明 lim ⁡ x → 0 l n ( 1 + x ) x = lim ⁡ x → 0 1 x l n ( 1 + x ) = lim ⁡ x → 0 l n ( 1 + x ) 1 x = lim ⁡ x → 0 l n ( e ) = 1 \\\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ln(1+x)}{x}}=1 \\利用对数性质和第二重要极限证明 \\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ln(1+x)}{x}} =\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}{ln(1+x)}} =\lim_{x\rightarrow 0}{ln(1+x)^\frac{1}{x}} =\lim_{x\rightarrow0}ln(e)=1 x0limxln(1+x)=1x0limxln(1+x)=x0limx1ln(1+x)=x0limln(1+x)x1=x0limln(e)=1

    l o g a ( 1 + x ) ∼ 1 l n ( a ) x log_a(1+x)\sim \frac{1}{ln(a)}x loga(1+x)ln(a)1x

    更 一 般 的 , 可 有 lim ⁡ x → 0 l o g a ( 1 + x ) 1 l n ( a ) x = 1 根 据 换 底 公 式 ( c h a n g e   b a s e ) log ⁡ a e = l n ( e ) l n ( a ) = 1 l n ( a ) lim ⁡ x → 0 l o g a ( 1 + x ) x = lim ⁡ x → 0 1 x l o g a ( 1 + x ) = lim ⁡ x → 0 l o g a ( ( 1 + x ) 1 x ) = l o g a ( e ) = 1 l n ( a ) ∴ l o g a ( 1 + x ) ∼ 1 l n ( a ) x 更一般的,可有 \lim_{x\rightarrow0}{\frac{log_a(1+x)}{\frac{1}{ln(a)}x}}=1 \\根据换底公式(change\ base) \\\log_{a}{e}=\frac{ln{(e)}}{ln(a)}=\frac{1}{ln(a)} \\ \lim_{x\rightarrow0}{\frac{log_a(1+x)}{x}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}{log_a{(1+x)}} =\lim_{x\rightarrow0}log_a((1+x)^{\frac{1}{x}})=log_a(e)=\frac{1}{ln(a)} \\\therefore log_a(1+x)\sim \frac{1}{ln(a)}x ,x0limln(a)1xloga(1+x)=1(change base)logae=ln(a)ln(e)=ln(a)1x0limxloga(1+x)=x0limx1loga(1+x)=x0limloga((1+x)x1)=loga(e)=ln(a)1loga(1+x)ln(a)1x

    e x − 1 ∼ x e^x-1\sim x ex1x

    lim ⁡ x → 0 e x − 1 x = 1 换 元 法 : 令 t = e x − 1 ; t = ( e x − 1 ) → 0 ( x → 0 ) 即 , 有 lim ⁡ x → 0 x = lim ⁡ t → 0 t = 0 则 x = l n ( t + 1 ) lim ⁡ x → 0 e x − 1 x = lim ⁡ t → 0 t l n ( t + 1 ) = 1 e x − 1 ∼ x \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{e^x-1}{x}}=1 \\ 换元法:令t=e^x-1; \\t=(e^x-1)\rightarrow0(x\rightarrow0)即, 有\lim_{x\rightarrow0}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}{t}=0 \\则x=ln(t+1) \\ \lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^x-1}{x}} =\lim_{t\rightarrow0}{\frac{t}{ln{(t+1)}}}=1 \\ e^x-1\sim x x0limxex1=1:t=ex1;t=(ex1)0(x0),x0limx=t0limt=0x=ln(t+1)x0limxex1=t0limln(t+1)t=1ex1x

    ( a x − 1 ) ∼ x ln ⁡ a (a^x-1)\sim x\ln a (ax1)xlna

    更一般的,可有
    ( a x − 1 ) ∼ x ln ⁡ a o r i g i n a l = lim ⁡ x → 0 a x − 1 x ln ⁡ a 令 t = a x − 1 ; t → 0 ( x → 0 ) ; x = l o g a ( t + 1 ) l o g a ( 1 + t ) ∼ 1 l n ( a ) t o r i g i n a l = lim ⁡ t → 0 t log ⁡ a ( t + 1 ) = lim ⁡ t → 0 t 1 ln ⁡ a t = ln ⁡ a ∴ ( a x − 1 ) ∼ x ln ⁡ a (a^x-1)\sim x\ln a \\ original=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a^x-1}{x\ln a}} \\ 令t=a^x-1; \\t\rightarrow0(x\rightarrow0); \\x=log_a(t+1) \\ log_a(1+t)\sim \frac{1}{ln(a)}t \\original=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{t}{\log_a(t+1)}} =\lim_{t\rightarrow 0}{\frac{t}{\frac{1}{\ln a}t}} =\ln a \\\therefore (a^x-1)\sim x\ln a (ax1)xlnaoriginal=x0limxlnaax1t=ax1;t0(x0);x=loga(t+1)loga(1+t)ln(a)1toriginal=t0limloga(t+1)t=t0limlna1tt=lna(ax1)xlna

    1 − c o s ( x ) ∼ 1 2 x 2 1-cos(x)\sim \frac{1}{2}x^2 1cos(x)21x2

    lim ⁡ x → 0 1 − c o s ( x ) 1 2 x 2 = 1 三 角 函 数 倍 角 公 式 c o s x = c o s 2 ( x 2 ) − s i n 2 ( x 2 ) = 1 − 2 sin ⁡ 2 ( x 2 ) , ( c o s x = 2 c o s 2 ( x 2 ) − 1 ; s i n 形 式 更 重 要 , 比 较 接 近 ( 容 易 使 用 ) 第 一 重 要 极 限 ) lim ⁡ x → 0 1 − c o s ( x ) x 2 = lim ⁡ x → 0 2 s i n 2 ( x 2 ) x 2 = lim ⁡ x → 0 2 s i n 2 ( x 2 ) 4 ( x 2 ) 2 = lim ⁡ x → 0 1 2 ( s i n ( x 2 ) x 2 ) 2 = 1 2 ∴ lim ⁡ x → 0 1 − c o s ( x ) 1 2 x 2 = 1 \lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-cos(x)}{\frac{1}{2}x^2}}=1 \\三角函数倍角公式cosx=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2{(\frac{x}{2})} \\ =1-2\sin^2(\frac{x}{2}) ,(cosx=2cos^2(\frac{x}{2})-1;sin形式更重要,比较接近(容易使用)第一重要极限) \\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1-cos(x)}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2sin^{2}{(\frac{x}{2})}}{x^2}} =\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2sin^{2}{(\frac{x}{2})}}{4(\frac{x}{2})^2}} \\ =\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1}{2}{(\frac{sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2} } =\frac{1}{2} \\ \therefore \lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-cos(x)}{\frac{1}{2}x^2}}=1 x0lim21x21cos(x)=1cosx=cos2(2x)sin2(2x)=12sin2(2x),(cosx=2cos2(2x)1;sin,(使))x0limx21cos(x)=x0limx22sin2(2x)=x0lim4(2x)22sin2(2x)=x0lim21(2xsin(2x))2=21x0lim21x21cos(x)=1

    稍复杂的等价无穷小

    ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x (1+x)^a-1\sim ax (1+x)a1ax

    • 前面证明过的两个等价无穷小做替换,来证明稍微复杂的等价无穷小

    根据对数的含义&性质:

    a l o g a b = b l n x n = n ⋅ l n ( x ) ( 1 + x ) a = e l o g e ( 1 + x ) a = e l n ( 1 + x ) a = e a ⋅ l n ( 1 + x ) \\ a^{log_ab}=b\\ ln{x^n}=n\cdot ln(x)\\ (1+x)^a=e^{log_e{(1+x)^a}}=e^{ln{(1+x)^a}}=e^{a\cdot ln{(1+x)}} alogab=blnxn=nln(x)(1+x)a=eloge(1+x)a=eln(1+x)a=ealn(1+x)

    • 从而需要被证明的命题变为:

    e a ⋅ l n ( 1 + x ) − 1 ∼ x 或 者 说 : ( 1 + x ) a − 1 = e a ⋅ ln ⁡ ( x + 1 ) − 1 ∼ a ⋅ ln ⁡ ( x + 1 ) e^{a\cdot ln{(1+x)}}-1\sim x \\或者说: {(1+x)^a-1} =e^{a\cdot\ln(x+1)}-1\sim a\cdot\ln(x+1) ealn(1+x)1x:(1+x)a1=ealn(x+1)1aln(x+1)

    lim ⁡ x → 0 e a ⋅ l n ( 1 + x ) − 1 x ★ 利 用 前 面 证 明 的 l n ( x + 1 ) ∼ x , 将 分 母 进 行 替 换 ( 等 价 无 穷 小 替 换 定 理 ) 从 而 得 到 形 如 另 一 个 等 价 无 穷 小 的 形 式 : lim ⁡ x → 0 e x − 1 x = 1 ★ 或 者 , 替 换 分 子 ( 分 子 整 体 是 符 合 e x − 1 ( e x − 1 ∼ x 的 形 式 ) ) , 这 里 x 取 值 为 表 达 式 x = a ⋅ ln ⁡ ( x + 1 ) , 从 而 : ( 1 + x ) a − 1 = e a ⋅ ln ⁡ ( x + 1 ) − 1 ∼ a ⋅ ln ⁡ ( x + 1 ) 现 在 , lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) a − 1 x = lim ⁡ x → 0 a ⋅ ln ⁡ ( x + 1 ) x = lim ⁡ x → 0 a l n ( x + 1 ) x = a 从 而 : lim ⁡ x → 0 ( x + 1 ) a − 1 a x = 1 \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{e^{a\cdot ln{(1+x)}}-1}{x}} \\\bigstar利用前面证明的ln(x+1)\sim x,将分母进行替换(等价无穷小替换定理) \\从而得到形如另一个等价无穷小的形式: \\ \lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^x-1}{x}}=1 \\\bigstar或者,替换分子(分子整体是符合e^x-1(e^x-1\sim x的形式)), \\这里x取值为表达式x=a\cdot\ln(x+1),从而: \\ {(1+x)^a-1} =e^{a\cdot\ln(x+1)}-1\sim a\cdot\ln(x+1) \\现在,\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(1+x)^a-1}}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a\cdot\ln(x+1)}{x}} =\lim_{x\rightarrow 0}{a\frac{ln(x+1)}{x}}=a \\ 从而: \\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{(x+1)^a-1}{ax}}=1 x0limxealn(1+x)1ln(x+1)x,():x0limxex1=1,(ex1(ex1x)),xx=aln(x+1),:(1+x)a1=ealn(x+1)1aln(x+1),x0limx(1+x)a1=x0limxaln(x+1)=x0limaxln(x+1)=a:x0limax(x+1)a1=1

    或者使用换元+配凑的方法

    令 t = ( 1 + x ) a − 1 ; 即 , ( 1 + x ) a = t + 1 则 ln ⁡ ( 1 + x ) a = ln ⁡ ( t + 1 ) = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) a − 1 x l n ( 1 + x ) a l n ( 1 + x ) a = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) a − 1 x a ⋅ l n ( 1 + x ) l n ( 1 + x ) a = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) a − 1 l n ( 1 + x ) a a ⋅ l n ( 1 + x ) x = lim ⁡ t → 0 t l n ( t + 1 ) ⋅ lim ⁡ x → 0 a ⋅ l n ( 1 + x ) x = 1 × a = a 令t=(1+x)^a-1;即,(1+x)^a=t+1 \\则\ln (1+x)^a=\ln (t+1) \\ =\lim_{x\rightarrow0}{\frac{(1+x)^a-1}{x}\frac{ln (1+x)^a}{ln(1+x)^a}} \\ = \lim_{x\rightarrow0}{\frac{(1+x)^a-1}{x}\frac{a\cdot ln(1+x)}{ln (1+x)^a}} \\ =\lim_{x\rightarrow0}{\frac{(1+x)^a-1}{ln(1+x)^a}\frac{a\cdot ln (1+x)}{x}} \\ =\lim_{t\rightarrow0}{\frac{t}{ln(t+1)}}\cdot \lim_{x\rightarrow0}{\frac{a\cdot ln(1+x)}{x}} \\ =1\times a=a t=(1+x)a1;,(1+x)a=t+1ln(1+x)a=ln(t+1)=x0limx(1+x)a1ln(1+x)aln(1+x)a=x0limx(1+x)a1ln(1+x)aaln(1+x)=x0limln(1+x)a(1+x)a1xaln(1+x)=t0limln(t+1)tx0limxaln(1+x)=1×a=a

    综合例题

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    • 复合函数和无穷小量之间的比较

      • 用到的等价无穷小包括:

        c o s x − 1 ∼ − 1 2 x 2 ; ( 1 − c o s x ∼ 1 2 x 2 ) s i n ( x ) ∼ x ; ( 类 似 的 s i n ( α ( x ) ) ∼ α ( x ) ) cosx-1\sim\frac{-1}{2}x^2;(1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2) \\ sin(x)\sim x;(类似的sin(\alpha(x))\sim\alpha(x)) cosx121x2;(1cosx21x2)sin(x)x;(sin(α(x))α(x))

      • 复合函数需要考虑外层函数的定义域和内层函数的值域之间的制约

      • 本题中

    根 据 等 价 无 穷 小 , lim ⁡ x → 0 h ( x ) = lim ⁡ x → 0 s i n ( α ( x ) ) = − 1 2 , h ( x ) = s i n ( α ( x ) ) 和 y = x 是 x → 0 的 同 阶 无 穷 小 从 而 , lim ⁡ x → 0 h ( x ) = 0 ∣ α ( x ) ∣ < π 2 为 了 更 加 通 俗 的 理 解 该 条 件 , 去 掉 绝 对 值 得 到 : − π 2 < α ( x ) < π 2 指 出 了 函 数 α ( x ) 的 取 值 范 围 记 : u = α ( x ) lim ⁡ x → 0 u = u 0 根 据 三 角 坐 标 单 位 圆 可 知 lim ⁡ u → k π s i n ( u ) = lim ⁡ x → 0 s i n ( α ( x ) ) = lim ⁡ u → u 0 s i n ( u ) = 0 ∵ lim ⁡ u → k π s i n ( u ) = 0 ∴ u 0 = k π 根 据 α ( x ) 的 值 域 , 可 知 , u 0 ⩽ π 2 ∴ k = 0 ( u 0 = 0 , 即 lim ⁡ x → 0 α ( x ) = u 0 = 0 ) , \\根据等价无穷小,\lim_{x\rightarrow0}{h(x)}=\lim_{x\rightarrow0}{sin(\alpha(x))} =-\frac{1}{2}, \\h(x)=sin(\alpha(x))和y=x是x\rightarrow0的同阶无穷小 从而,\lim_{x\rightarrow0}{h(x)}=0 \\|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2} 为了更加通俗的理解该条件,去掉绝对值得到: \\-\frac{\pi}{2}<\alpha(x)<\frac{\pi}{2} \\指出了函数\alpha(x)的取值范围 \\记:u=\alpha(x) \\\lim_{x\rightarrow0}{u}=u_0 \\根据三角坐标单位圆可知 \lim_{u\rightarrow k\pi}sin(u)= \\ \lim_{x\rightarrow 0}{sin(\alpha(x))} =\lim_{u\rightarrow u_0}{sin(u)}=0 \\ \because \lim_{u\rightarrow k\pi}{sin(u)}=0 \\\therefore u_0=k\pi \\根据\alpha(x)的值域,可知,u_0\leqslant\frac{\pi}{2} \\\therefore k=0 \\(u_0=0,即\lim_{x\rightarrow 0}\alpha(x)=u_0=0), ,x0limh(x)=x0limsin(α(x))=21,h(x)=sin(α(x))y=xx0,x0limh(x)=0α(x)<2π,:2π<α(x)<2πα(x):u=α(x)x0limu=u0ukπlimsin(u)=x0limsin(α(x))=uu0limsin(u)=0ukπlimsin(u)=0u0=kπα(x),,u02πk=0(u0=0,x0limα(x)=u0=0),

    展开全文
  • 若limα(x)/β(x)=1,则α(x)与β(x)是等价的无穷小,记作α(x) ~ β(x) 当x->0时 sinx ~ x arcsinx ~ x tanx ~ x arctanx ~ x ln(1+x) ~ x e^x-1 ~ x 1-cosx ~ 1/2x² (1+x)^(1/n)-1 ~ (1/n...
  • 定义直接比较、确定阶数(洛必达、等价无穷小、泰勒) 求导也会影响阶数 ...例题3:一个与另外一个是n阶无穷小(相除等于非零常数) 例题4:泰勒公式 ...
  • [数学学习笔记]无穷小的比较和等价无穷小

    万次阅读 多人点赞 2019-02-02 18:03:22
    无穷小的比较 例:当时,都是无穷小。(通过作差法或比值法比较...如果,那么说β是比α高阶无穷小,记作; 如果,就说β和α是同阶的无穷小;特殊的,则称α和β是等价的无穷小,记作α~β; 如果,就说β是比α...
  • 洛必达,泰勒,等价替换,是无穷小阶的三个根本方法。最常用的也是最笨的就是求极限。 存在方便的方法:估计阶数法,积分上限是x的函数,积分函数是t的函数,上限的阶数乘积分函数的阶数加一,就是阶数。如果下限也...
  • Latex常用数学符号

    千次阅读 2016-01-03 23:27:28
    以下内容主要摘自:一份不太简短的 LATEX2e 介绍
  • 我们用PiP_iPi​来描述逼近f(x)f(x)f(x)的过程:一阶近似:二阶近似:…(更精度的逼近函数)问题是,如何确定系数aia_iai​i逼近函数Pi表示为多项式:Pi=a0+∑k=1nak(x−x0)k;=f(x0)+∑k=1nak(x−x0)k; i逼近函数P_i...
  • 高数等价无穷小替换公式

    万次阅读 多人点赞 2021-10-20 18:54:28
    当x->0时, sinx ~ x , tanx ~ x , arcsinx ~ x, arctanx ~ x, 1-cosx ~ , cos-1 ~ -, -1 ~ xlna, ln(1+x) ~ x, ~ abx, loga^(1+x) ~ x/lna, x-sinx ~ x^3/6, ~ x,
  • 高等数学笔记第二天

    2018-12-20 20:28:41
     ,称为: 阿尔法 是 碑拓 的高阶无穷小,反之。 记作: 阿尔法= O(碑拓)  2.低阶无穷小:同上类比。  3.同阶无穷小:  ,C为常数。 称为: 阿尔法 是 碑拓 的 同阶无穷小。  4.K阶无穷小:  ,C为...
  • 高等数学 函数极限求法(三) 等价无穷小

    万次阅读 多人点赞 2018-02-02 18:48:17
    前 面已经了解了函数极限可以通过画函数图像...一、使用等价无穷小的方法求函数极限的前提是记住如下九个等价公式:   1. 我们来看看上面的公式是怎么用的,先拿第一个公式来解一道例题来说明:     
  • 无穷小的比较

    2021-11-25 19:29:49
    1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)/注:α的高阶无穷小/,两个式子可以互证。2.(用处很大,使用得当可简化计算,易错) 注:求两个无穷小之比的极限时,分子或分母可以用等价无穷小来替...
  • 三、高阶导数的运算法则 四、基本初等函数的n阶导数公式 五、微分公式与微分运算法则 六、微分运算法则 七、基本积分公式及常用积分方法 八、补充积分公式 九、常用凑微分公式 十、分部积分法公式 十一、第二换元...
  • 三、高阶导数的运算法则 四、基本初等函数的n阶导数公式 五、微分公式与微分运算法则 六、微分运算法则 七、基本积分公式及常用积分方法 八、补充积分公式 九、常用凑微分公式 十、分部积分法公式 十一、第二换元...
  • Latex常用数学符号输入方法

    千次阅读 2020-08-19 10:10:45
    原文地址: Latex常用数学符号输入方法 问题1:字母上面的上标输入方法 问题2:小写希腊字母的输入方法 问题3:大写希腊字母的输入方法 问题4:二元关系符的表达方式 问题5:二元运算符的表达方式 问题6:大...
  • 摘要:等价无穷小应如何正确应用?泰勒展开应该展开到第几阶?一、常用的等价无穷小等价无穷小然而,考试...多出的5块,相当于高阶无穷小量,相对于50万可以忽略不计!但若扶了老太太再买个雪糕2块就不能忽略了(x^...
  • §1.8 无穷小的比较 两个无穷小的乘积仍是无穷小,而两个无穷小之商却有如下几种情况: 例如:当时,、、都是无穷小,但是 ,, 两个无穷小之比的极限的各种不同情况, 反映出不同无穷小趋向于零时,在“快慢...
  • 微积分基础1-微分篇

    千次阅读 2022-04-08 17:36:20
    ------------------------ 4)反函数的求导法则 图2.2.10 -------------------------------- 5)隐函数求导 图2.2.11 图2.2.12 (1)dx是Δx的近似值,其中Δx比dx多了一个高阶无穷小,即:Δx=dx+o(dx) (如图2.4.3...
  • 以下为考研中常用的泰勒公式 sinx=x−x36+o(x3)、arcsinx=x+x36+o(x3) sinx =x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) 、arcsinx = x+\frac{x^3}{6}+o(x^3) sinx=x−6x3​+o(x3)、arcsinx=x+6x3​+o(x3) tanx=x+x33+o(x3)、arcsinx=x...
  • 由级数性质引出“找同通项判敛散性”,以及几何级数、p级数敛散性的理解记忆法,常用例子,审敛法的一些文章和说明
  • 无穷小

    千次阅读 2017-06-03 06:42:27
    limα(x)=0,limβ(x)=0\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=0则有如下定义limα(x)β(x)=A=⎧⎩⎨0,高阶无穷小量,记为α(x)=o(β(x))1,等价无穷小量,记为α(x)∼β(x)其它,同阶无穷小量,记为α(x)=O(β(x))\lim\frac...
  • 微积分Z2J6 无穷小

    2019-12-07 18:22:40
    文章目录无穷小的定义无穷小的定义无穷大的定义无穷小与无穷大的关系无穷小的性质无穷小与一般函数极限的关系无穷小的运算性质无穷小的比较无穷小...无穷小等价无穷小的充分必要条件无穷小代换等价无穷小代换高阶无穷小代换...
  • 8个常用泰勒公式

    万次阅读 多人点赞 2021-04-14 14:31:27
    8个常用泰勒公式: sin⁡x=x−16x3+O(x3)arcsin⁡x=x+16x2+O(x3)\sin x=x-\frac{1}{6} x^{3}+O\left(x^{3}\right) \quad \arcsin x=x+\frac{1}{6} x^{2}+O\left(x^{3}\right)sinx=x−61​x3+O(x3)arcsinx=x+61​x2+O...
  • 第七节 无穷小的比较
  • 专升本高数——常用公式总结大全【补充扩展】

    万次阅读 多人点赞 2020-02-22 11:17:27
    任意一点的值等于紧挨着这一点的两个端点的值的积 十三:高阶导数公式——莱布尼兹公式 十四:中值定理与导数应用 十五:曲举 十六:定积分的近视值计算 十七:定积分应用相关公式 十八:空间解析几何向量代数 十九...
  • 【高数】高数第一章节——极限&无穷&连续与间断

    千次阅读 多人点赞 2020-10-04 12:05:51
    高数第一章节1、数列极限1.1 定义1.2 例题—数列极限1.3 收敛数列性质1.3.1 有界性1.3.2 唯一性1.3.2.1 例题—证明数列不收敛2、无穷小2.1 定义 1、数列极限 1.1 定义 1.2 例题—数列极限 1.3 收敛数列性质 1.3.1 ...
  • 常用指代意义 1 Α α /'ælfə/ alpha 阿尔法 角度,系数,角加速度 2 Β β /'bi:tə/ /'beɪtə/ beta 贝塔/毕塔 磁通系数,角度,系数 3 Γ γ /'gæ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,039
精华内容 415
热门标签
关键字:

常用高阶无穷小