精华内容
下载资源
问答
  • 常系数微分方程的通解
    千次阅读
    2021-10-16 11:59:59

    二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为:
    y"+py’+qy=0 (1-1)
    其中p,q为常数。
    以r^k代替上式中的y(k)(k=0,1,2) ,得一代数方程
    r²+pr+q=0
    这方程称为微分方程(1-1)的特征方程
    按特征根的情况,可直接写出方程1-1的通解。
    (1)特征方程有两个不相等的实数根,r1≠r2,则1-1的通解为
    y=C1e(r1x)+C2*e(r2x)
    (2) 特征方程有两个相等的实数根,r1=r2=r,方程1-1的通解为
    y=(C1+C2
    x)e^(rx)
    (3)特征方程有一对共轭复根,r1=α+i
    β,r1=α-iβ,,则方程1-1的通解为
    y=e^(αx)(C1
    cos(βx)+C2*sin(βx)).

    更多相关内容
  • 二阶常系数微分方程通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
    二阶常系数微分方程通解 (一.) 二阶常系数微分方程通解的组成: 其对应二阶常系数微分方程通解 + 二阶常系数微分方程的特解 (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解 形如:y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy&...

    二阶常系数微分方程的通解

    (一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成:

          其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解
    

    (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

    1. 形如: y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} y+py+qy=Pm(x)eαx 的二阶常系数微分方程。

      ( P m ( x ) 表 示 最 高 次 数 为 m 的 多 项 式 。 ) ( P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。) Pm(x)m

      构 造 : y ∗ = Q ( X ) e α x 构造:y*=Q_{(X)}e^{\alpha x} y=Q(X)eαx

              ⇒ y ∗ ′ = Q ( X ) ′ e α x + α Q ( X ) e α x \Rightarrow y*'=Q_{(X)}'e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x} y=Q(X)eαx+αQ(X)eαx,

                    y ∗ ′ ′ = Q ( X ) ′ ′ e α x + 2 α Q ( X ) ′ e α x + α 2 Q ( X ) e α x y*''= Q_{(X)}''e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}'e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x} y=Q(X)eαx+2αQ(X)eαx+α2Q(X)eαx

                      将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ , 代 入 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x 将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx:

                      ⇒ e α x [ Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ + ( α 2 + p α + Q ( x ) ] = P m ( x ) e α x \Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x} eαx[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx

                          即, [ Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ + ( α 2 + p α + Q ( x ) ] = P m ( x ) [Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)} [Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)

              讨 论 : 讨论:
              (1) α 不 是 特 征 方 程 r 2 + p r + q = 0 的 解 \alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解 αr2+pr+q=0
              由 Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ + ( α 2 + p α + Q ( x ) = 0 可 构 造 由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造 Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)=0:

                  Q ( X ) = a m x m + a ( m − 1 ) x ( x − 1 ) ⋯ a 1 x + a 0 Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0 Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0

              (2) α 是 特 征 方 程 r 2 + p r + q = 0 的 单 根 \alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根 αr2+pr+q=0
              由 Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ = 0 可 构 造 由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'=0 可构造 Q(X)+(2α+p)Q(X)=0:

                  Q ( X ) ′ = a m x m + a ( m − 1 ) x ( x − 1 ) ⋯ a 1 x + a 0 Q_{(X)}'=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0 Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0

              (3) α 是 特 征 方 程 r 2 + p r + q = 0 的 重 根 \alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根 αr2+pr+q=0
              由 Q ( X ) ′ ′ = 0 可 构 造 由Q_{(X)}''=0 可构造 Q(X)=0:

                  Q ( X ) ′ ′ = a m x m + a ( m − 1 ) x ( x − 1 ) ⋯ a 1 x + a 0 Q_{(X)}''=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0 Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0

              最 后 , 根 据 多 项 式 相 等 , 则 其 对 应 系 数 相 等 可 求 解 最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解

    解题步骤:

    1.) 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
    2.) 遇到形式为 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} y+py+qy=Pm(x)eαx 的二阶常系数微分方程, 构造 y ∗ = Q ( X ) e α x y*=Q_{(X)}e^{\alpha x} y=Q(X)eαx
    3.) 将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ , 代 入 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x 并 化 简 将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简 y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx
    4.) 判断 α \alpha α 是否为特征方程的根?单根?重根?
    5. )根据 α \alpha α 确定所构造的多项式次数并求解。

    1. 形如: y ′ ′ + p y ′ + q y = [ P m ( x ) c o s y''+py'+qy =[P_{m(x)}cos y+py+qy=[Pm(x)cos β \beta β x + P n ( x ) s i n x+P_{n(x)}sin x+Pn(x)sin β \beta β x ] e α x x]e^{\alpha x} x]eαx 的二阶常系数微分方程。

    【欧拉公式: e β x i e^{\beta xi} eβxi=cos β + i s i n β \beta+isin\beta β+isinβ x x x

              e β x i e^{\beta xi} eβxi=cos β x + i s i n β \beta x+isin\beta βx+isinβ x x x
              e − β x i e^{-\beta xi} eβxi=cos β x − i s i n β x \beta x-isin\beta x βxisinβx

    ⇒ \Rightarrow cos β \beta β x= e β x i + e − β x i 2 \frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2} 2eβxi+eβxi
          sin β \beta β x= e β x i − e − β x i 2 i \frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i} 2ieβxieβxi

    ∴ \therefore [ P m ( x ) c o s [P_{m(x)}cos [Pm(x)cos β \beta β x + P n ( x ) s i n x+P_{n(x)}sin x+Pn(x)sin β \beta β x ] e α x x]e^{\alpha x} x]eαx
       
      = [ P m ( x ) 2 + P n ( x ) 2 i ] [\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}] [2Pm(x)+2iPn(x)] e ( α + β i ) x e^{(\alpha +\beta i) x} e(α+βi)x+ [ P m ( x ) 2 − P n ( x ) 2 i ] [\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}] [2Pm(x)2iPn(x)] e ( α − β i ) x e^{(\alpha -\beta i) x} e(αβi)x

      = [ P m ( x ) 2 − P n ( x ) i 2 ] [\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] [2Pm(x)2Pn(x)i] e ( α + β i ) x e^{(\alpha +\beta i) x} e(α+βi)x+ [ P m ( x ) 2 − P n ( x ) i 2 ] [\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] [2Pm(x)2Pn(x)i] e ( α − β i ) x e^{(\alpha -\beta i) x} e(αβi)x

      = P s ( x ) e ( α + β i ) x P_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x} Ps(x)e(α+βi)x + P s ( x ) ‾ \overline{P_{s(x)} } Ps(x) e ( α − β i ) x e^{(\alpha -\beta i) x} e(αβi)x                     ( 其 中 s = m a x m , n ) (其中s=max{m,n}) (s=maxm,n)

    P s ( x ) , P s ( x ) ‾ P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} } Ps(x),Ps(x) 为共轭复多项式。】

    展开全文
  • )本文中函数都指一元函数,自变量和因变量都是标量,微分都指常微分。定义 (线性微分算子):设 为一个微分算子,若对于任意两个函数 、 和常数 、 ,该算子满足 ,则称 为线性微分算子。引理 : 为线性微分算子的...

    (我要挑战不用求和符号写文章!)

    本文中函数都指一元函数,自变量和因变量都是标量,微分都指常微分。

    定义

    (线性微分算子):设

    为一个微分算子,若对于任意两个函数

    和常数

    ,该算子满足

    则称

    为线性微分算子。

    引理

    为线性微分算子的充分必要条件为,对于任意的一组函数

    和一组常数

    (这两个矢量的维数要相同),该算子满足

    简略的证明:直接令

    维矢量,然后套定义

    ,可证充分性;用数学归纳法,对

    的维数进行归纳,可证必要性。

    定义

    引理

    :设

    维矢量

    无关,

    为一个函数列,则

    简略的证明:用数学归纳法可证。

    引理

    :设

    为一组关于

    的函数,

    的维数为

    ,则微分算子

    是线性微分算子。

    简略的证明:套用定义

    可证。

    引理

    的推论:设

    维常矢,则微分算子

    是线性微分算子。

    引理

    (结合律):

    证明略。

    定义

    (线性常系数微分算子):符合引理

    的推论的线性微分算子称为线性常系数微分算子。

    定义

    (线性微分方程):设

    为一个线性微分算子,则关于函数

    的(常)微分方程

    称为线性(常)微分方程,其中

    为一个函数。

    特别地,若

    ,则该微分方程称为线性齐次微分方程。若

    是线性常系数微分算子,则该微分方程称为线性常系数微分方程。

    定义

    (生成函数):对于数列

    ,称函数

    为该数列的(普通型)生成函数。

    (注:这里并没有引入无穷维的向量,实际上

    。)

    定义

    (指数型生成函数):对于数列

    ,称数列

    的(普通型)生成函数为

    的指数型生成函数。即

    引理

    (幂函数的微分):设

    ,则

    (注:规定负整数的阶乘为无穷大,则当

    。)

    简略的证明:用数学归纳法可证。

    引理

    (指数型生成函数的微分):若

    为数列

    的指数型生成函数,则

    为数列

    的指数型生成函数。

    证明:

    (定义

    )

    (引理

    )

    (引理

    )

    (引理

    )

    (引理

    的注)

    再由定义

    可证。

    引理

    的推论:

    引理

    (结合律):

    证明略。

    定义

    (零函数):当自变量取任意值时因变量都取

    的函数称为零函数。

    引理

    :数列

    的生成函数为零函数的充分必要条件为对于任意的

    简略的证明:套用定义

    和定义

    可证充分性;将零函数按Taylor公式展开成幂级数可证必要性。

    定义

    引理

    (分配律):

    证明略。

    定义

    (数列方程):设

    为一个未知数列,若函数

    中显含该数列的项,则方程

    称为关于数列

    的数列方程。某个数列,若它对于任意的

    满足该方程,则它称为该数列方程的特解,该数列方程的全体特解称为该方程的通解。

    定义

    (数列的线性相关):若对于一组数列

    存在一组不全为

    的常数

    (

    维数相同)使得对于任意的

    则称这一组数列线性相关,否则称这一组数列线性无关。

    引理

    :一组

    个数列

    线性相关的充分必要条件为,对于任意的

    证明:先证必要性。存在一组不全为

    的常数

    使得对于任意的

    (定义

    )。

    分别令

    可得

    在第

    维上的分量为

    ,即

    ,于是

    由引理

    ,该等式的左边实际上等于

    设矩阵

    ,则

    ,且

    用反证法。假设该行列式的值不为

    ,即

    ,则矩阵

    可逆。

    在等式

    两边同时在左边乘

    ,得

    ,这与

    不全为

    矛盾。

    所以

    (充分性我不会证,嘤嘤嘤。)

    引理

    :设数列方程

    (其中

    维常矢,不全为

    )具有一组

    个线性无关的特解

    ,则该数列方程的通解为

    ,其中

    是一组

    个任意常数。

    证明:先证明数列

    (其中

    )必然是原数列方程的特解。

    代入原数列方程的左边可得

    (引理

    )

    (定义

    )

    由定义

    ,数列

    是原数列方程的特解。

    然后证明原数列方程不存在一个特解

    ,使得不存在一组常数

    使得对于任意的

    用反证法。假设存在这样的一个特解,记作

    ,则根据定义

    ,一组数列

    线性无关。令矩阵

    ,则根据引理

    可逆。

    由于这一组数列都是原数列方程的特解,由定义

    可知

    根据引理

    ,这个等式的左边实际上等于

    。于是

    在两边同时在左边乘

    可得

    不全为

    矛盾。

    综上,原数列方程的通解为

    定义

    (多项式):设

    为一个常矢,且它在第

    维上的分量不为

    ,则函数

    称为关于

    次多项式,

    称为该多项式的系数。

    定义

    (多项式的重根):设

    为一个关于

    次多项式,

    为一个复数,则使得

    的最大自然数

    称为

    作为该多项式的根的重数。重数不为

    的复数称为该多项式的根。

    引理

    (代数学基本定理):多项式的根的数量(重根按重数计算)与该多项式的次数相同。

    证明略。

    定义

    (二项式系数):

    引理

    :若

    为以

    为系数的多项式的

    重根,则对于任意的自然数

    简略的证明:先套用定义

    和定义

    ,再利用引理

    和引理

    可证。

    引理

    (Vandermonde恒等式):

    证明略。

    引理

    证明:

    (定义

    )

    (引理

    )

    (定义

    )

    (引理

    )

    (定义

    )

    引理

    :若

    为以

    为系数的多项式的

    重根,则对于任意的自然数

    ,数列

    为关于

    的数列方程

    的特解。

    证明:因为

    所以

    (引理

    )

    (引理

    ),

    所以

    因此原数列方程的左边

    (引理

    )

    (引理

    )

    由定义

    可知,

    为原数列方程的特解。

    引理

    :数列

    为关于

    的数列方程

    的通解,其中

    为以

    为系数的多项式的所有不同的根,

    为其对应的重数,

    为任意常数。

    简略的证明:由引理

    ,根

    能带来

    个特解,所有的根带来的所有的特解可以证明是线性无关的,且根据引理

    总共有

    个这样的特解,于是根据引理

    可证。

    引理

    :数列

    为数列方程

    的特解的充分必要条件为其指数型生成函数为线性齐次常系数微分方程

    的特解。

    证明:先证充分性。假设

    是数列

    的指数型生成函数,即

    (定义

    ),

    则原微分方程的左边

    (引理

    )

    (引理

    )

    因此

    是数列

    的指数型生成函数。由于它是零函数,由引理

    可得对于任意的

    以上几步均可逆,于是必要性也得证。

    引理

    的推论:若数列

    为数列方程

    的通解,则

    为线性齐次常系数微分方程

    的特解。

    定义

    (指数函数):数列

    的指数型生成函数称为指数函数,即

    引理

    :若

    为数列

    的指数型生成函数,则

    证明:

    (定义

    )

    (引理

    的注)

    (引理

    )

    (定义

    )。

    引理

    和引理

    的推论:函数

    为线性齐次常系数微分方程

    的通解,其中

    为以

    为系数的多项式的所有不同的根,

    为其对应的重数,

    为任意常数。

    最终由上面的引理,我们知道了求线性齐次常系数微分方程

    的通解的方法,其中

    在第

    维上的分量不为

    。实际上,只需要解出以

    为系数的多项式的所有的根,再套用引理

    和引理

    的推论即可得原微分方程的通解。

    这种方法与《高等数学》上介绍的方法是完全一样的,不过推导的过程不一样。我这种推导,虽然复杂得多,但是非常有趣,因为它涉及到了很多代数学中的知识。

    (我没有用求和符号!我好棒!

    全篇都是拿矢量的数量积当求和用,太爽了。其实在研究线性问题的时候矢量是个很好用的东西。而且我这种矢量记法确实看上去清楚很多。)

    (向大佬求助,引理

    的充分性怎么证明啊!)

    展开全文
  • 1/3二阶常系数齐次线性微分方程通解证明来源:文都教育在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的...

    1 / 3

    二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

    来源:文都教育

    在考研数学中,

    微分方程是一个重要的章节,

    每年必考,

    其中的二阶常系数齐次线性微

    分方程是一个基本的组成部分,

    它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础,

    但很多

    同学对其求解公式不是十分理解,

    做题时也感到有些困惑,

    为了帮助大家对其通解公式有更

    深的理解和更牢固的掌握,

    文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明,

    供考

    研的朋友们学习参考。

    一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析

    通解公式

    :设

    0

    y

    py

    qy

    ,

    p

    q

    为常数,特征方程

    0

    2

    q

    p

    的特征根为

    1

    2

    ,

    ,则

    1

    )当

    1

    2

    且为实数时,通解为

    1

    2

    1

    2

    x

    x

    y

    C

    e

    C

    e

    2

    )当

    1

    2

    且为实数时,通解为

    1

    1

    1

    2

    x

    x

    y

    C

    e

    C

    xe

    3

    )当

    1

    2

    ,

    i

    时,通解为

    1

    2

    (

    cos

    sin

    )

    x

    y

    e

    C

    x

    C

    x

    证:若

    0

    2

    q

    p

    的特征根为

    1

    2

    ,

    ,则

    1

    2

    1

    2

    (

    ),

    p

    q

    

    ,将其代入方

    0

    y

    py

    qy

    中得

    1

    2

    1

    2

    (

    )

    y

    py

    qy

    y

    y

    y

    2

    1

    2

    2

    1

    2

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    0

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    2

    z

    y

    y

    展开全文
  • 二阶常系数齐次线性微分方程 通解

    千次阅读 2020-12-23 06:38:50
    微分方程的实函数的通解为, y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)] = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)] 其中,c1,c2 是任意常数。 记 C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b, 有 y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)] ...
  • 利用几种变换方法,给出了一些具有特殊形式的变系数微分方程求解方法,并通过实例说明了方法的可行性,有效扩充了变系数微分方程范围。
  • 常系数非齐次线性微分方程通解的求法

    千次阅读 多人点赞 2021-12-28 21:25:50
    7—8常系数非齐次线性微分方程求法(真的很简单!)
  • 赵士银【摘要】针对自由项为几类常见类型的三阶常系数非齐次线性微分方程,得到了求此类微分方程的特公式,使求三阶常系数非齐次线性微分方程的特更加简易.【期刊名称】《西华大学学报(自然科学版)》【年(卷),期】...
  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 20:38:43
    二阶常系数齐次线性微分方程通解 *本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的形式为: ay″+by′+c=0 由于是二阶线性微分方程,所以它...
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 22:37:35
    *本文略去了很多证明,只记录结论 ...微分方程通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解 简单记为:通解 = 齐次通解 + 特解。 二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二...
  • 终于搞懂了: 非齐特=非齐特+齐次特 相关讲解视频 【高数】已知常系数微分方程,反求原方程_哔哩哔哩_bilibili 微分方程之已知特反推微分方程_哔哩哔哩_bilibili
  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    千次阅读 2020-12-23 06:36:46
    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程微分方程与特征方程当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程通解为:若为两个相同重根:若为共轭虚根:但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?...
  • y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 的微分二阶线性齐次微分方程,需要先求出两个线性无关的实数域特 y1y_1y1​ 和 y2y_2y2​ (即 y1y2≠C\frac{y_1}{y_2}\ne Cy2​y1​​​=C ),再将两个特叠加...
  • 二阶常系数微分方程求解步骤

    千次阅读 2021-09-19 14:11:00
    数学基本知识:二阶常系数线性微分方程求解方法。 全解=通解+特解; y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x) 通解的形式 构造函数的解 C1e1λx+C2e2λxC_1e^{\lambda...
  • 不需要任何计算,直接通过卷积法得到二阶常微分方程解的通解,尽管右边的非齐次项未知。然后在放缩即可以解决问题。
  • 常系数非齐次微分方程特解及其通解求解

    万次阅读 多人点赞 2020-03-01 10:22:05
    通解及设特解的步骤: 一般式形式:ay’’+by’+cy=f(x) &&第一步:求特征根: 令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²) &&第二步:通解: 若r1≠r2,则y=C1e(r1...
  • 由二阶常系数线性方程通解反推方程@(微积分)引例是这样的: 设cosxcosx与xexxe^x为某n阶常系数线性齐次方程的两个解,则最小的n = ?,相应的首项系数为1的方程是? 分析:由cosx是一个解,则必有另一解sinx,±i\...
  • 在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分...一、二阶常系数齐次线性微分方程通解分析微分方程中最主要...
  • (光看一遍书很快就又忘了,在此记录一下) y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 ...第三步:根据特征方程的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程通解: 特征方程r2+pr+q=0r^2+pr+q=...
  • 方程求解程序清单 a=-1,b=2,c=-1; w=1; m=2; n=1; h = 0.02; t=0:h:30; s1=dsolve('a*D2y+b*Dy+c*y=sin(w*t)','y(0)=m,Dy(0)=n','t'); s1_n = eval(s1); hold on plot(t,s1_n,'ko'); EulerOED(a,b,c,w,m,n,h); hold ...
  • 介绍了求解二阶常系数非齐次线性微分方程的2种简易方法———降阶法和积分法,扩大了可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的范围,并举例说明了它们的应用.
  • 利用Riccati方程和二阶变系数线性微分方程之间的关系,得到了一类二阶变系数线性微分方程的通解公式,并指出“一类变系数微分方程通解”中的主要结果的实质。
  • (6/300)一阶线性非齐次常微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2020-03-13 22:43:43
    一阶线性非齐次常微分方程通解 标题首先应该认识方程的形式: dy/dx+P(x)y=Q(x) 然后就来思考怎么去解这个方程了 我们最终希望是得到一个y=f(x)的形式,怎么解呢?先通过线性代数的知识进行引入: 求AX=b的通解...
  • 求一阶微分方程通解和特解

    万次阅读 2020-06-16 10:55:12
    求f(x),题目本身不难,两边同时求导,得到y=C*e^(2x),但是有原式可知,x=0时,等式右边的积分等于0,f(0)=ln2,所以C=ln2,得到特 二、无法完全分离x和y时,把dy/dx放一边,其余的放另一边,然后判断式子属于...
  • 第03讲 一阶线性常微分方程解法Linear First Order ODE's: Definition and Examples[微分方程][MIT]麻省理工公开课 (3)​v.youku.com一阶线性微分方程这一讲的主要内容是一阶线性常微分方程 。所谓的“线性”是指导...
  • 微分方程的解析(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现 ...二阶常系数微分方程(二阶) 高阶常系数微分方程(nnn阶) 可分离变量的微分方程(一阶) 这类微分方程可以变形成如下形式: f(x)dx=g(y)dy
  • 线性偏微分方程通解 之前我们介绍的如波动方程、扩散方程等二阶偏微分方程都是线性偏微分方程,也就是说,在方程中只出现对于末知函数的线性运算。引进线性算符 L^\hat{L}L^ 的记号,则线性偏微分方程都可以写成 L...
  • 一二阶线性微分方程通解公式

    千次阅读 2021-01-16 16:10:17
    所以齐次方程通解是62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431376633:y=ae^(3x)+be^(-x)。只需求其特解y*。根据右边4e^x,可设y*=ke^x,代入左边得:ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。解得k=-1。特征根方程r^2+...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,206
精华内容 882
热门标签
关键字:

常系数微分方程的通解