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  • 二阶常系数微分方程通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
    二阶常系数微分方程通解 (一.) 二阶常系数微分方程通解的组成: 其对应二阶常系数微分方程通解 + 二阶常系数微分方程的特解 (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解 形如:y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy&...

    二阶常系数微分方程的通解

    (一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成:

          其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解
    

    (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

    1. 形如:y+py+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

      Pm(x)m( P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。)

      y=Q(X)eαx构造:y*=Q_{(X)}e^{\alpha x}

              y=Q(X)eαx+αQ(X)eαx\Rightarrow y*'=Q_{(X)}'e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x},

                    y=Q(X)eαx+2αQ(X)eαx+α2Q(X)eαxy*''= Q_{(X)}''e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}'e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x}

                      y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}:

                      eαx[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx\Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x}

                          即,[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}

              讨论:
              (1) αr2+pr+q=0\alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解
             Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)=0由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (2)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根
             Q(X)+(2α+p)Q(X)=0由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}'=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (3)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根
             Q(X)=0由Q_{(X)}''=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}''=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解

    解题步骤:

    1.) 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
    2.) 遇到形式为 y+py+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程, 构造y=Q(X)eαxy*=Q_{(X)}e^{\alpha x}
    3.) y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简
    4.) 判断 α\alpha 是否为特征方程的根?单根?重根?
    5. )根据 α\alpha 确定所构造的多项式次数并求解。

    1. 形如:y+py+qy=[Pm(x)cosy''+py'+qy =[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

    【欧拉公式: eβxie^{\beta xi}=cosβ+isinβ\beta+isin\betaxx

              eβxie^{\beta xi}=cosβx+isinβ\beta x+isin\betaxx
              eβxie^{-\beta xi}=cosβxisinβx\beta x-isin\beta x

    \Rightarrow cosβ\beta x= eβxi+eβxi2\frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2}
          sin β\beta x= eβxieβxi2i\frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i}

    \therefore [Pm(x)cos[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x}
       
      =[Pm(x)2+Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      =[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      = Ps(x)e(α+βi)xP_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x} + Ps(x)\overline{P_{s(x)} }e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}                    (s=maxm,n)(其中s=max{m,n})

    Ps(x),Ps(x)P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} } 为共轭复多项式。】

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  • 利用Riccati方程和二阶变系数线性微分方程之间的关系,得到了一类二阶变系数线性微分方程的通解公式,并指出“一类变系数微分方程通解”中的主要结果的实质。
  • 利用几种变换方法,给出了一些具有特殊形式的变系数微分方程求解方法,并通过实例说明了方法的可行性,有效扩充了变系数微分方程范围。
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 21:13:20
    二阶常系数非齐次线性微分方程通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为: ay″+by′+cy=f(x) 微分方程通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解 简单记为:通解 = 齐次通解 + ...

    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

    见课文原文:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下面看转的一片博客文章:

    二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解
    简单记为:通解 = 齐次通解 + 特解。

    二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    下面只需要解出微分方程的特解即可

    对应微分方程:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    右式f(x)有两种形式:
    ①f(x)=eλxPm(x)e^{\lambda x}Pm(x)
    此时微分方程对应的特解为:
    y∗=xkRm(x)eλx

    其中:在这里插入图片描述
    得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程,即可解出特解中的系数,到这里,就得到了微分方程的完整特解,于齐次通解相加即的微分方程的通解。

    例:
    求微分方程 2y″+y′−y=2exe^{x} 的通解

    解:
    微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2r2r^{2}+r−1=0
    可得通解:
    y=c1ex+c2e12xy=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}

    微分方程的右式f(x)=2e^x满足f(x)=eλxe^{\lambda x}Pm(x)型,且λ=1,m=0λ=1,m=0,
    所以,设特解为:

    y∗=aexe^{x}

    所以y∗=aexe^{x}、y∗′=aexe^{x}、y∗″=aexe^{x}
    带入微分方程左式得:2aex+aexaexe^{x}+ae^{x}−ae^{x}=2e^{x}

    得:a=1

    所以特解为:

    y∗=exe^{x}

    微分方程的通解为:

    y=c1ex+c2e12x+exy=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}+e^{x}

    转自:https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79690752

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  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 17:13:57
    *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的形式为: ay′′+by′+cy=0ay″+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0 由于是二阶线性微分方程,所以它有两个,记为y1、y2y1、y2y_1、y...

    *本文略去了很多证明,只记录结论
    *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

    二阶常系数齐次线性微分方程的形式为:
    ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay+by+cy=0
    由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为y1、y2y_1、y_2y1y2,若y1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq Cy2y1̸=C(即两个解之比不为常数),则y1、y2y_1、y_2y1y2线性无关,那么微分方程的通解为:
    y=C1y1+C2y2y = C_1y_1 + C_2y_2y=C1y1+C2y2

    我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解:
    对于微分方程:ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay+by+cy=0

    它的特征方程为:ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0ar2+br+c=0(微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂)

    写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解:
    r1,2=−b±Δ2a,Δ=b2−4acr_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \Delta = b^2 - 4acr1,2=2ab±ΔΔ=b24ac
    以下分情况讨论:
    ①当Δ>0\Delta > 0Δ>0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是两个不相等的实根r1=−b+Δ2a,r2=−b−Δ2ar_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}r1=2ab+Δr2=2abΔ

    微分方程的通解为:y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x
    ②当Δ=0\Delta = 0Δ=0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是两个相等的实根r1=r2=−b2ar_1 = r_2 = -\frac{b}{2a}r1=r2=2ab

    微分方程的通解为:y=C1er1x+C2xer2xy = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x}y=C1er1x+C2xer2x
    ③当Δ&lt;0\Delta &lt; 0Δ<0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是一对共轭复根r1=α+βi,r2=α−βir_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha - \beta ir1=α+βir2=αβi其中α=−b2a,β=−Δ2a\alpha = -\frac{b}{2a}, \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}α=2abβ=2aΔ

    微分方程的通解为:y=eax(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

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  • ·基础数学· 基于 Matlab 常系数线性微分方程组的求解* 严水仙 (赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000) 摘 要: 在常微分方程课程教学中,常系数线性微分方程组可以通过线性代数的理论、矩阵指数、...

    ·基础数学· 基于 Matlab 常系数线性微分方程组的求解* 严水仙 (赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000) 摘 要: 在常微分方程课程教学中,常系数线性微分方程组可以通过线性代数的理论、矩阵指数、拉普拉斯变 换等方法进行求解. 本文主要叙述利用 Matlab 数学软件在求解常系数线性微分方程组中的应用.关键词: 常系数线性微分方程;Matlab;矩阵指数 中图分类号: O175 文献标志码: A 文章编号:1004 -8332(2018)03 -0010 -05 微分方程课程是高校不少理工科专业(如数学、力学、控制等) 的重要基础理论课程. 常微分方程是描述自然科学、工程技术和社会科学中的运动、演化和变化规律的重要连续型模型. 物理、化学、材料、医学、经济学等领域中的许多原理和规律都可以描述成相应的微分方程,如生物种群中的生态平衡、流行病存在的阈值定理、化学反应中的稳定性、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等. 描述、认识和分析其中的规律可以通过研究相应的微分方程数学模型来实现.[1] 在微分方程的理论中,线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容,它是了解并掌握非线性微分方程、非线性动力系统、非线性控制等课程的基础. 常系数线性微分方程组的求解是线性微分方程组理论中最简单、最直观的部分,熟悉并掌握常系数线性微分方程的求解将有利于更好的理解线性系统的基本理论. Matlab 是由美国的 Cleve Moler 博士等[2 -3]于 1980 年提出的以矩阵运算为基础,把计算、程序设计等融合到了一个简单易用的交互式工作环境中. 可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘图、应用程序设计等功能. Matlab 强大的运算功能和图形使其成为目前世界上应用最为广泛的科学计算软件之一,在教学中能快速的计算方程的解并描绘直观的几何图形.[4 -6]鉴于此,本文主要介绍借助于 Matlab 来求解常系数线性微分方程组,通过利用 Matlab 命令,计算系数矩阵的特征值、特征向量、矩阵指数求解线性微分方程组. 1 常系数线性微分方程的基本理论[1] 定理 1[1] 如果 A(t) 是 n × n 阶矩阵函数, f(t) 是 n 维列向量函数. 它们都在区间 a  t  b 上连续,则 对区间 a  t  b 上的任意 t0 ∈[ a, b]及任一常数 n 维列向量 η ,方程组 x' = A(t)x + f(t) (1) 存在唯一解 φ(t),定义于整个区间 a  t  b 上,且满足初值条件 φ(t0) = η.定理 2[1] 齐次线性微分方程组 x' = A(t)x 一定存在 n 个线性无关的解 x1(t), x2(t),…, xn(t). 定理 3[1] 齐次线性微分方程组 x' = A(t)x 一定存在一个基解矩阵 Φ(t). 如果 ψ(t) 是方程组的任意解,那么 ψ(t) = Φ(t)c, (2) 这里 c 是确定的 n 维常数列向量. 2018 年 赣南师范大学学报 №. 3 第三期 Journal of Gannan Normal University May. 2018 * 收稿日期:2017 -12 -12 DOI:10. 13698/j. cnki. cn36 -1346/c. 2018. 03. 003 基金项目: 江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ170816). 作者简介: 严水仙(1981 - ),男,江西省高安市人,赣

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  • 介绍了求解二阶常系数非齐次线性微分方程的2种简易方法———降阶法和积分法,扩大了可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的范围,并举例说明了它们的应用.
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  • 二阶常系数线性微分方程

    千次阅读 2019-06-17 12:10:50
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  • 常系数齐次线性微分方程

    千次阅读 2020-03-08 19:53:10
    一、二阶常系数齐次线性微分方程通解 二、推广到高阶
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常系数微分方程的通解