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  • 按照哈哈哈哈哈我胡汉三又回来了快把 爷青回 打在公屏上wwwww忙死我了今天打一波对微分针对,处理一下线性微分方程组这一块儿。第三章是真难受,新df一堆,过程超长,分段证明,理论复杂,左手数分,右手高代...
    按照哈哈哈哈哈我胡汉三又回来了快把 爷青回 打在公屏上wwwww

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    忙死我了

    今天打一波对常微分的针对,处理一下线性微分方程组这一块儿。第三章是真的难受12f662cec441c52d3dd59f72a6ca9715.png,新df一堆,过程超长,分段证明,理论复杂,左手数分,右手高代,我觉得挺难消化,所以我们呢来提纲挈领操作一波。就是说重思路轻细节。要不太求多了写不完。先大总一下,第三章主要处理了两件事情:一般理论常系数解法后面是小总:矩阵分析——描述方法论,存在和唯一性定理——理论建立基础,齐次方程组处理办法—>非其次方程组处理办法,矩阵指数函数—>常系数齐次—>常系数非齐次,然后收官。因为个人原因,不变子空间那块儿关于解的分解结构,暂时隔过去不算进这个体系来。
    我们大一时候就知道,要搞线性方程组,用的最顺手的工具是——矩阵。矩阵,针不戳~

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    高代里处理线性方程组时取系数当矩阵,有着各种定理性质,纵横捭阖。到了线性微分这里,需要有一些变动,矩阵不能还是矩阵,需要变成相应的矩阵函数。也就是说,我们需要内部填充物为函数的矩阵,称之为矩阵函数。而我们都知道数学分析就是玩函数的。那对这些函数性质的研究,就顺口叫它:矩阵分析。有了矩阵分析的框架,我们就有合适的语言描述微分方程组,在其上进行各种操作。具体来说,我们现在手里有m×n个函数,不妨给他们排排座号,填进m×n个成矩形排列的座位里。那么第一行第一列的,就叫它f11(x),第一行第二列的就叫它f12(x)...依次类推,我们就得到了一个矩形的函数。因为这一群f的自变量都是x,我们就把这个阵记为A(x).隔壁克苏鲁圈子里有句话很适合描述A(x)和一群fij(x)的关系:一人化身为众,而众人终将为一A(x)和每一个fij(x)的性质都保持高度的一致性,同时也要求fij(x)们要保持高度的一致性。矩阵分析的内容除了范数其实一句话就概括了:每个f(x)都具有,那么A(x)就具有。什么极限、连续性、微分、积分、敛散性,都要落到每一个f上去。这样一来这些知识都从数分那里直接拿就可。最后补一刀范数定义,把每个f的绝对值加和,就可以作为矩阵函数的范数,它显然满足正定、正齐次、三角不等式。而引入矩阵还有一个极大的好处,之前我们也说过:形式上的简洁。我们不用一个一个列:y1对x微分等于blabla,y2对x微分等于blabla......列一个劲儿的,而是只需要一个小小的dy/dx=A(x)y+f(x)即可。因为是线性,每个y肯定都是一次的,我们就照搬当时高代的操作,把每个y前的“系数”函数取出来,放到一个阵里,就能得到A(x).
    接着是解的存在性和唯一性定理。、这个东西还是相当重要的,袁荣老师书里说,它是线性微分方程组理论建立的重要基础。我们往前翻翻会发现,变量分离那里有它,一阶齐次/非齐次线性方程那里也有它。我个人的感觉是,方程嘛,最重要的东西肯定是方程的解。要研究方程的解,首先我们得知道它是否真的有解(存在性),而从大一一路走来,和存在性条件反射般弹出来的就是唯一性。

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    这个在第五章其实还会有重复(这里的存在和唯一性应该是Picard定理的一种情况?因为线性,它显然对y满足Lipschitz条件),所以我们只一起来捋一捋它的整体思路,不再一步步说具体证明细节。我们用5个命题联动来推出来这个证明:

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    命题1

    这个命题告诉我们,可以把注意力从微分方程组的解转移到积分方程组的解,矛盾的焦点发生了一个小变化。我感觉这是一个研究ODE解的常规操作!之前也见过,是在处理一阶线性微分方程那里。由于它是一元的,所以来得并不像方程组这么复杂。而用这种变限积分形式去处理的好处,是在后面的证明中可以随后拿来积分的一些性质和定理来给我们打漂亮的辅助。为了叙述方便,后面我们用*代替命题1中提到的积分方程组。
    接下来的内容需要一些补充准备工作。我们先构建出一个序列如下:

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    Picard序列

    从形式上不难看出它的过程是逐次迭代。这一大堆内容,本质就是摆了一圈多米诺,很有数学归纳法那个味道:我们有第一个牌(Picard序列位于下面的式子),有相邻两牌之间的推倒方式/联系(Picard序列位于上方的式子),那我们把第一张牌一推,后面的牌就像一个简洁高效的机器运行起来啦!想法很美好,但是疑问也随之而来:第一,我们并不知道某一步产生的yk(x),在放回上方的式子里后满足不满足可以计算(可积),万一整出来个阴间的函数,直接把路给堵死了,这好吗,这不好。第二,我们对于解的存在性的讨论一定是放在区间里的,就是说制在某个范围内的,我们也不知道会不会出现某个yk(x),落不到下一阶段的定义域里去,导致“青黄不接”。所以为了说明Picard序列的可操作性,我们还需要进一步的严谨证明。这个保证由下面的命题来完成:

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    命题2

    命题2告诉我们,不用担心在迭代过程中产生不好的成分,使迭代过程中途断掉。对于所有的k,yk(x)都是可以放进Picard上方的式子里的。同时,每个yk(x)也都是限制在一个范围内,无人跳脱出去。上面的疑问得以解决。

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    命题3

    命题三告诉我们,函数序列收敛,即:极限存在,可求。要这个极限有什么用?

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    命题4

    命题4回答了这个问题:极限就是我们一直心心念念的解。到这里,解的存在性就跃然纸上了。然后补刀命题5说明解的唯一性,完事儿!

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    命题5

    下面是传统艺能:我们来回头再梳理下整个证明思路。最开始我们面对这个问题束手无策,这时【命题1】把方向转换为对积分方程组的求解,为下面的证明提供了积分那里的方法;为了说明解的存在,我们刻意构造了Picard序列这一组牌,如果说【命题2】保证了Picard的可行性,那么【命题3】【命题4】就是联合赋予了Picard意义——为了得到解而存在。最后附加【命题5】说明解的唯一性。
    对于n阶齐次线性微分方程组的解,我们有且易证如下定理:如果u(x)和v(x)是齐次线性微分方程组的解,那么它们的线性组合也是解。这个定理叫做叠加原理。那这个时候我们自然会想,有没有类似线性空间里基向量的存在——“基解”呢?也就是说,能不能够找一些方程的解,它们线性无关,却又能够线性地表出方程组的所有解,构成“解空间”?答案是肯定的。一系列定理告诉我们,只要找够n个线性无关解,它们就一定能线性表出任一解。那么我们就称这些线性无关解为基本解组。而把基本解组组成的矩阵叫做基解矩阵。我们也能够证明每一个齐次线性微分方程组必定有基解矩阵。以上是核心思路。至于Wronski行列式、Liouville公式、线性代数内容等等,它们或是为了说明线性无关,或是为了服从彼此证明,都是具体的处理。我们在齐次线性微分方程组这一块儿,目的只有一个,就是说明基解矩阵的存在性
    接着再开到非齐次线性微分方程组。根据以往的经验,只要解决了齐次,非齐次就可以顺藤摸瓜一点一点展开来。在这里我们分了三步:首先是定理1:

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    即:非齐次通解=齐次通解+非齐次特解和一阶齐次/非齐次线性微分方程的时候如出一辙。那问题的重心就落到怎么把非齐次线性微分方程组的一个特解给整出来了。对此我们回头找到了常数变易法,直说最后结果为:

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    可以看到,就算是非齐次线性微分方程组的特解,也是从对应的齐次方程组的基解矩阵里引出来的。于是我们就得到了最后的结果:

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    写成变限积分的形式就是:

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    In a word,求解的关键就是找基解矩阵。一般理论到这里就可以圆满收尾啦!
    上面的内容是没有讲怎么求基解矩阵的。如果是系数矩阵是常数矩阵的话,我们有求它基解矩阵的方法。同样还是准备工作:引入矩阵指数函数。考虑齐次常系数方程组dy/dx=Ay,它的基解矩阵Φ(x)显然满足Φ(x)一次导等于Φ(x)乘A,Φ(x)二次导等于Φ(x)乘A方...那么如果我们设Φ(0)=I,由Taylor展开,我们就得到了:

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    这时我们发现它在形式上和一元函数exp{xa}具有很高的相似性,于是我们定义Φ(x):=exp{xA}为矩阵指数函数。而在Φ(x)后乘上一个n维常向量,就得到了齐次常系数方程组的通解。于是套用之前的结论,我们也能得到相应的非齐次方程组的通解。但这里产生了一个新问题。我们这个矩阵指数函数是用一个无穷的级数来表示的,会造成很多不方便。是否能够用有限形式来表示呢?从Jordan标准型和过渡矩阵P出发的方法实在计算量太大太繁琐,我们直接跳过去搞常用的广义特征向量法1.求A的特征值λ1,λ2,...,λn2.再求相应特征向量r1,r2,...,rn3.exp{λx}乘上特征向量r就得到基本解组,也就有基解矩阵了。这是最理想的情况,所有特征根都不相等。那么...Question1.特征根不是一重怎么办?答:引入广义特征向量具体到某一个特征值λ来说,假如说它的重数是大于1的整数。不妨设为n,那么我们求特征向量时,乘的不再用(A-λI),而是用它的n次方。这样我们就得到了n个解,分别记为r10,r20,...,rn0.随后,我们再把每个ri0乘上(A-λI)得到r11,r21,...,rn1,以此类推,知道乘完(A-λI),得到r1n-1,r2n-1,...,rnn-1.完成上述求解,对于每一个rk0,我们就能得到对于每个λ的向量多项式,表达式如下:Pk(x)=rk0+x/1*rk1+x^2/2!*rk2+...+x^(n-1)/(n-1)!*rkn-1.之后我们让k取遍1到n之间的所有整数,与exp{(λx}相乘后横向排列,组成矩阵,就得到了基解矩阵。Question2.特征根解得复数怎么办?答:请神——欧拉。假如说我们得到的特征根λ=a+bi是一个复数,那按照上述方法应该也能得到一个复值的解,记为y=u(x)+iv(x).事实上,我们有证明:u(x)和v(x)也都是方程组的解,那问题的核心思想就很明确了:用负值解的实部和虚部构建出来实值解。而具体操作得益于Euler公式:exp{α+iβ}=exp{α(cosβ+isinβ)}按照这个方法我们一定能把一个复值解写成y(x)=u(x)+iv(x)的形式,而负值的特征根一定是成对出现的,稍微计算我们会发现数量不会有偏差。对于实值特征解,我们就把它方法不变得到的结果列在前排,把负值特征解得到结果的实部和虚部列在后面,就得到了基解矩阵。Question3特征根既不是一重的又是复数怎么办?答:......你tm做个人吧。Remark而如果常数矩阵又恰好是一个三角矩阵呢?

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    扫描王还真是个好东西。为什么要单独列出来它三角矩阵不省略呢?因为写成分量的形式后,按照一阶方程求解,再依次代入,各个击破,更加省事。

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    综上,会求基解矩阵,就能求非齐次的通解,第三章大部分内容呢我寻思着应该处理完了。晚安,早八人!!!!!晚安,数科人!!!!!

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  • 常微分方程

    2009-12-31 00:26:00
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    转载于:https://www.cnblogs.com/kangderui/archive/2009/12/31/1636517.html

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  • 第15

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