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  • 递归函数时间复杂度分析
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    2016-09-23 00:55:25

    递归函数时间复杂度分析

    (1) 递归执行过程
    例子:求N!。
    这是一个简单的”累乘”问题,用递归算法也能解决。
    n! = n * (n - 1)! n > 1
    0! = 1, 1! = 1 n = 0,1
    因此,递归算法如下:

    Java代码
    fact(int n) {
    if(n == 0 || n == 1)
    return 1;
    else
    return n * fact(n - 1);
    }
    以n=3为例,看运行过程如下:
    fact(3) —– fact(2) —– fact(1) —— fact(2) —–fact(3)
    ——————————> ——————————>
    递归 回溯
    递归算法在运行中不断调用自身降低规模的过程,当规模降为1,即递归到fact(1)时,满足停止条件停止递归,开始回溯(返回调用算法)并计算,从fact(1)=1计算返回到fact(2);计算2*fact(1)=2返回到fact(3);计算3*fact(2)=6,结束递归。
    算法的起始模块也是终止模块。
    (2) 递归实现机制
    每一次递归调用,都用一个特殊的数据结构”栈”记录当前算法的执行状态,特别地设置地址栈,用来记录当前算法的执行位置,以备回溯时正常返回。递归模块的形式参数是普通变量,每次递归调用得到的值都是不同的,他们也是由”栈”来存储。
    (3) 递归调用的几种形式
    一般递归调用有以下几种形式(其中a1、a2、b1、b2、k1、k2为常数)。
    <1> 直接简单递归调用: f(n) {…a1 * f((n - k1) / b1); …};

    <2> 直接复杂递归调用: f(n) {…a1 * f((n - k1) / b1); a2 * f((n - k2) / b2); …};
    <3> 间接递归调用: f(n) {…a1 * f((n - k1) / b1); …},
    g(n) {…a2 * f((n - k2) / b2); …}。
    2. 递归算法效率分析方法
    递归算法的分析方法比较多,最常用的便是迭代法。
    迭代法的基本步骤是先将递归算法简化为对应的递归方程,然后通过反复迭代,将递归方程的右端变换成一个级数,最后求级数的和,再估计和的渐进阶。
    <1> 例:n!
    算法的递归方程为: T(n) = T(n - 1) + O(1);
    迭代展开: T(n) = T(n - 1) + O(1)
    = T(n - 2) + O(1) + O(1)
    = T(n - 3) + O(1) + O(1) + O(1)
    = ……
    = O(1) + … + O(1) + O(1) + O(1)
    = n * O(1)
    = O(n)
    这个例子的时间复杂性是线性的。
    <2> 例:如下递归方程:

      T(n) = 2T(n/2) + 2, 且假设n=2的k次方。 
      T(n) = 2T(n/2) + 2 
           = 2(2T(n/2*2) + 2) + 2 
           = 4T(n/2*2) + 4 + 2 
           = 4(2T(n/2*2*2) + 2) + 4 + 2 
           = 2*2*2T(n/2*2*2) + 8 + 4 + 2 
           = ... 
           = 2的(k-1)次方 * T(n/2的(i-1)次方) + $(i:1~(k-1))2的i次方 
           = 2的(k-1)次方 + (2的k次方)  - 2 
           = (3/2) * (2的k次方) - 2 
           = (3/2) * n - 2 
           = O(n) 
      这个例子的时间复杂性也是线性的。 
    

    <3> 例:如下递归方程:

      T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假设n=2的k次方。 
      T(n) = 2T(n/2) + O(n) 
           = 2T(n/4) + 2O(n/2) + O(n) 
           = ... 
           = O(n) + O(n) + ... + O(n) + O(n) + O(n) 
           = k * O(n) 
           = O(k*n) 
           = O(nlog2n) //以2为底 
    
      一般地,当递归方程为T(n) = aT(n/c) + O(n), T(n)的解为: 
      O(n)          (a<c && c>1) 
      O(nlog2n)     (a=c && c>1) //以2为底 
      O(nlogca)     (a>c && c>1) //n的(logca)次方,以c为底 
    

    上面介绍的3种递归调用形式,比较常用的是第一种情况,第二种形式也有时出现,而第三种形式(间接递归调用)使用的较少,且算法分析
    比较复杂。 下面举个第二种形式的递归调用例子。
    <4> 递归方程为:T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n
    为了更好的理解,先画出递归过程相应的递归树:
    n ——–> n
    n/3 2n/3 ——–> n
    n/9 2n/9 2n/9 4n/9 ——–> n
    …… …… …… ……. ……
    ——–
    总共O(nlogn)
    累计递归树各层的非递归项的值,每一层和都等于n,从根到叶的最长路径是:

      n --> (2/3)n --> (4/9)n --> (12/27)n --> ... --> 1 
     设最长路径为k,则应该有: 
    
     (2/3)的k次方 * n = 1 
     得到 k = log(2/3)n  // 以(2/3)为底 
     于是 T(n) <= (K + 1) * n = n (log(2/3)n + 1) 
     即 T(n) = O(nlogn) 
    由此例子表明,对于第二种递归形式调用,借助于递归树,用迭代法进行算法分析是简单易行的。
    
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    原文链接:https://wiki.python.org/moin/TimeComplexity

    This page documents the time-complexity (aka "Big O" or "Big Oh") of various operations in current CPython. Other Python implementations (or older or still-under development versions of CPython) may have slightly different performance characteristics. However, it is generally safe to assume that they are not slower by more than a factor of O(log n).

    Generally, 'n' is the number of elements currently in the container. 'k' is either the value of a parameter or the number of elements in the parameter.

    list

    The Average Case assumes parameters generated uniformly at random.

    Internally, a list is represented as an array; the largest costs come from growing beyond the current allocation size (because everything must move), or from inserting or deleting somewhere near the beginning (because everything after that must move). If you need to add/remove at both ends, consider using a collections.deque instead.

    Operation

    Average Case

    Amortized Worst Case

    Copy

    O(n)

    O(n)

    Append[1]

    O(1)

    O(1)

    Pop last

    O(1)

    O(1)

    Pop intermediate

    O(k)

    O(k)

    Insert

    O(n)

    O(n)

    Get Item

    O(1)

    O(1)

    Set Item

    O(1)

    O(1)

    Delete Item

    O(n)

    O(n)

    Iteration

    O(n)

    O(n)

    Get Slice

    O(k)

    O(k)

    Del Slice

    O(n)

    O(n)

    Set Slice

    O(k+n)

    O(k+n)

    Extend[1]

    O(k)

    O(k)

    Sort

    O(n log n)

    O(n log n)

    Multiply

    O(nk)

    O(nk)

    x in s

    O(n)

    min(s), max(s)

    O(n)

    Get Length

    O(1)

    O(1)

    collections.deque

    A deque (double-ended queue) is represented internally as a doubly linked list. (Well, a list of arrays rather than objects, for greater efficiency.) Both ends are accessible, but even looking at the middle is slow, and adding to or removing from the middle is slower still.

    Operation

    Average Case

    Amortized Worst Case

    Copy

    O(n)

    O(n)

    append

    O(1)

    O(1)

    appendleft

    O(1)

    O(1)

    pop

    O(1)

    O(1)

    popleft

    O(1)

    O(1)

    extend

    O(k)

    O(k)

    extendleft

    O(k)

    O(k)

    rotate

    O(k)

    O(k)

    remove

    O(n)

    O(n)

    set

    See dict -- the implementation is intentionally very similar.

    Operation

    Average case

    Worst Case

    notes

    x in s

    O(1)

    O(n)

    Union s|t

    O(len(s)+len(t))

    Intersection s&t

    O(min(len(s), len(t))

    O(len(s) * len(t))

    replace "min" with "max" if t is not a set

    Multiple intersection s1&s2&..&sn

    (n-1)*O(l) where l is max(len(s1),..,len(sn))

    Difference s-t

    O(len(s))

    s.difference_update(t)

    O(len(t))

    Symmetric Difference s^t

    O(len(s))

    O(len(s) * len(t))

    s.symmetric_difference_update(t)

    O(len(t))

    O(len(t) * len(s))

    • As seen in the source code the complexities for set difference s-t or s.difference(t) (set_difference()) and in-place set difference s.difference_update(t) (set_difference_update_internal()) are different! The first one is O(len(s)) (for every element in s add it to the new set, if not in t). The second one is O(len(t)) (for every element in t remove it from s). So care must be taken as to which is preferred, depending on which one is the longest set and whether a new set is needed.

    • To perform set operations like s-t, both s and t need to be sets. However you can do the method equivalents even if t is any iterable, for example s.difference(l), where l is a list.

    dict

    The Average Case times listed for dict objects assume that the hash function for the objects is sufficiently robust to make collisions uncommon. The Average Case assumes the keys used in parameters are selected uniformly at random from the set of all keys.

    Note that there is a fast-path for dicts that (in practice) only deal with str keys; this doesn't affect the algorithmic complexity, but it can significantly affect the constant factors: how quickly a typical program finishes.

    Operation

    Average Case

    Amortized Worst Case

    Copy[2]

    O(n)

    O(n)

    Get Item

    O(1)

    O(n)

    Set Item[1]

    O(1)

    O(n)

    Delete Item

    O(1)

    O(n)

    Iteration[2]

    O(n)

    O(n)

    Notes

    [1] = These operations rely on the "Amortized" part of "Amortized Worst Case". Individual actions may take surprisingly long, depending on the history of the container.

    [2] = For these operations, the worst case n is the maximum size the container ever achieved, rather than just the current size. For example, if N objects are added to a dictionary, then N-1 are deleted, the dictionary will still be sized for N objects (at least) until another insertion is made.

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  • C语言函数时间复杂度自动计算方法的实现.pdf
  • 转自:http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/46994347  ... 函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n > N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长渐近快

    转自:http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/46994347 

      http://www.cnblogs.com/SCAU_que/articles/1735784.html

    函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n > N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

    算法时间复杂度定义 
    在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。 这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。 一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。

    推导大O阶: 
    1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 
    2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。 
    3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

    常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是 
    O(1) < O( logn ) < O( n ) < O( nlogn ) < O( n2 ) < O( n3 ) < O( 2n ) < O( n! ) < O( nn )



    O(1)


    Temp=i;i=j;j=temp;   

    以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。  

    O(n^2)

    2.1. 交换i和j的内容
      sum=0; (一次)
      for(i=1;i<=n;i++) (n次 )
      for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 )
      sum++; (n^2次 )
    解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

    2.2.   
      for (i=1;i<n;i++)
      {  
      y=y+1; ①   
      for (j=0;j<=(2*n);j++)   
      x++; ②   
      }   
    解: 语句1的频度是n-1
      语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
      f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
      该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).   

    O(n)   
        
    2.3.  
      a=0;
      b=1; ①
      for (i=1;i<=n;i++) ②
      {   
      s=a+b;    ③
      b=a;     ④   
      a=s;     ⑤
      }
    解: 语句1的频度:2,   
      语句2的频度: n,   
      语句3的频度: n-1,   
      语句4的频度:n-1,   
      语句5的频度:n-1,   
      T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
        
    O(log2n )

    2.4.  
      i=1; ①
      while (i<=n)
      i=i*2; ②
    解: 语句1的频度是1,   
      设语句2的频度是f(n), 则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n   
      取最大值f(n)= log2n,
      T(n)=O(log2n )

    O(n^3)

    2.5.  
      for(i=0;i<n;i++)
      {   
      for(j=0;j<i;j++)   
      {
      for(k=0;k<j;k++)
      x=x+2;   
      }
      }
    解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
        

    我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2),但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。  
    下面是一些常用的记法:  


    访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。  
    指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” ),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况, 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之
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    时间复杂度计算

    此笔记来源于左神算法,只用做笔记使用,已注明来源。

    此事件复杂度只适用于递归算法,并且递归过程中要求数据规模大体相同

    T ( N ) = a ∗ T ( N b ) + O ( N d ) T(N)=a*T\left(\frac{N}{b}\right)+O(N^d) T(N)=aT(bN)+O(Nd)

    • 1 当 log ⁡ b a > d \log_ba>d logba>d 复杂度为 O ( N log ⁡ b a ) O\left(N^{\log_ba}\right) O(Nlogba)
    • 2 当 log ⁡ b a < d \log_ba<d logba<d 复杂度为 O ( N d ) O\left(N^d\right) O(Nd)
    • 3 当 log ⁡ b a = d \log_ba=d logba=d 复杂度为 O ( N d × log ⁡ N ) O\left(N^d\times{\log{N}}\right) O(Nd×logN)

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空空如也

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