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  • 对数函数泰勒级数展开

    千次阅读 2021-05-22 23:01:39
  • 本代码的具体实现细节,可以参考我的博文--Sigmoid函数的特性及硬件实现方法--含matlab代码及讲解 https://blog.csdn.net/qq_35721810/article/details/85320293 直接运行test.m就可以看到运行结果
  • 常见函数泰勒展开

    2019-01-06 14:40:34
    常见函数泰勒展开。使用的时候可以选取前几个展开项并搭配拉格朗日余项进行使用
  • 常用泰勒级数展开

    千次阅读 2021-01-25 15:37:16
    因为日常计算中经常需要做一些近似,而泰勒级数展开是其中最常用的一种,所以本篇整理了部分常见的(一元函数)泰勒公式展开

    因为日常计算中经常需要做一些近似,而泰勒级数展开是其中最常用的一种,所以本篇整理了部分常见的(一元函数)泰勒公式展开


    一、泰勒中值定理

    对于简单的多项式函数,我们往往是很喜欢的,但是我们要接触的往往是一些比较复杂的函数,所以一种自然而然的想法也就出来了,那就是利用多项式来近似逼近这些复杂的函数,这就不得不提我们非常熟悉的泰勒展开了,在具体列出常见的泰勒展开之前,我觉得还是有必要提一嘴泰勒中值定理的(好吧,其实是为了凑字数),下面就介绍一下泰勒中值定理。

    • 泰勒(Taylor)中值定理(一元函数)

    如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在含有 x 0 x_0 x0的某个开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内具有知道 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶的导数,则对任一 x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x(a,b),有
    f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!f(x0)(xx0)2++n!f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)其中
    R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1这里的 ξ \xi ξ x 0 x_0 x0 x x x之间的某个值。
    这个定理则告诉我们,如果已知某个函数在某一点的 n + 1 n+1 n+1阶导数,那么我们原则上是可以将这个函数在这个点附近用一个多项式进行逼近的,但是上面的这个定理其实是基于一元函数的,为了方便以后的扩展,下面在简单介绍一下多元函数的泰勒中值定理。

    • 多元函数的泰勒中值定理

    f = f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x k ) f=f(x^1,x^2,\cdots,x^k) f=f(x1,x2,,xk)在点 ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) (x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0) (x01,x02,,x0k)的某一领域内连续且有直到 n + 1 n+1 n+1阶的连续偏导数, ( x 0 1 + h 1 , x 0 2 + h 2 , ⋯   , x 0 k + h k ) \\(x^1_0+h_1,x^2_0+h_2,\cdots,x^k_0+h_k) (x01+h1,x02+h2,,x0k+hk)为此邻域内的任一点,则有
    f ( x 0 1 + h 1 , x 0 2 + h 2 , ⋯   , x 0 k + h k ) = f ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) f(x^1_0+h_1,x^2_0+h_2,\cdots,x^k_0+h_k) = f(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0) f(x01+h1,x02+h2,,x0k+hk)=f(x01,x02,,x0k)

    + ∑ i = 1 , 2 , ⋯   , k ∂ f ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) ∂ x i h i + 1 2 ! ∑ i 1 = 1 k ∑ i 2 = 1 k ∂ 2 f ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 h i 1 h i 2 + +\sum_{i=1,2,\cdots,k}\frac{\partial{f(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}}{\partial{x^i}}h_i+\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{ i_2=1}^{k}\frac{\partial^2f(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}}h_{i_1}h_{i_2}+ +i=1,2,,kxif(x01,x02,,x0k)hi+2!1i1=1ki2=1kxi1xi22f(x01,x02,,x0k)hi1hi2+

    ⋯ + 1 n ! ∑ i 1 = 1 k ∑ i 2 = 1 k ⋯ ∑ i n = 1 k ∂ n f ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 ⋯ ∂ x i n ∏ j = i 1 i n h j + R n ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) \cdots+\frac{1}{n!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{i_2=1}^{k}\cdots\sum_{i_n=1}^{k}\frac{\partial^nf(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}\cdots\partial{x^{i_n}}}\prod_{j={i_1}}^{i_n}h_j+R_n(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0) +n!1i1=1ki2=1kin=1kxi1xi2xinnf(x01,x02,,x0k)j=i1inhj+Rn(x01,x02,,x0k)

    其中
    R n ( x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) = 1 ( n + 1 ) ! ∑ i 1 = 1 k ∑ i 2 = 1 k ⋯ ∑ i n + 1 = 1 k ∂ n f ( x 0 1 + θ h 1 , x 0 2 + θ h 2 , ⋯   , x 0 k + θ h k ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 ⋯ ∂ x i n ∏ j = i 1 i n + 1 h j , ( 0 < θ < 1 ) R_n(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)=\frac{1}{(n+1)!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{i_2=1}^{k}\cdots\sum_{i_{n+1}=1}^{k}\frac{\partial^nf(x^1_0+\theta h_1,x^2_0+\theta h_2,\cdots,x^k_0+\theta h_k)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}\cdots\partial{x^{i_n}}}\prod_{j={i_1}}^{i_{n+1}}h_j ,(0<\theta<1) Rn(x01,x02,,x0k)=(n+1)!1i1=1ki2=1kin+1=1kxi1xi2xinnf(x01+θh1,x02+θh2,,x0k+θhk)j=i1in+1hj,(0<θ<1)

    二、常用的泰勒级数展开

    基于上面的泰勒中值定理,可以导出一些常见函数的泰勒展开公式(具体推导不做展开,具体可参见同济版高数上册),然后由泰勒展开公式结合无穷级数可以得到下面的幂级数展开式:
    e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots,-\infty<x<+\infty ex=n=0n!xn=1+x+2!x2++n!xn+,<x<+

    1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯   , − 1 < x < 1 \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+\cdots,-1<x<1 1+x1=n=0(1)nxn=1x+x2+(1)nxn+,1<x<1

    l n ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯   , − 1 < x ⩽ 1 ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,-1<x\leqslant1 ln(1+x)=n=1(1)n1nxn=x2x2+3x34x4++(1)n1nxn+,1<x1

    s i n x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ sinx=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty sinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=x3!x3+5!x57!x7++(2n+1)!x2n+1+,<x<+

    c o s x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ cosx=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty cosx=n=0(1)n(2n)!x2n=12!x2+4!x46!x6++(1)n(2n)!x2n+,<x<+

    ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n + ⋯   , { x ∈ ( − 1 , 1 ) , α ⩽ − 1 x ∈ ( − 1 , 1 ] , − 1 < α < 0 x ∈ [ − 1 , 1 ] , α > 0 (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha (\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,\begin{cases}x\in(-1,1),\alpha\leqslant-1 \\ x\in(-1,1],-1<\alpha<0 \\ x\in[-1,1],\alpha>0\end{cases} (1+x)α=1+αx+2!α(α1)x2++n!α(α1)(αn+1)xn+,x(1,1),α1x(1,1],1<α<0x[1,1],α>0

    同济版高数

    展开全文
  • matlab函数泰勒级数展开,通过编程实战掌握具体应用。包括matlab函数泰勒级数展开前、matlab函数泰勒级数展开中、matlab函数泰勒级数展开后。
  • 题目要求:按照三角函数泰勒级数展开式计算正弦函数值:   ,直到最后一项的绝对值小于106 解题思路: 1. 输入弧度 2. 确定初始化值 3. 求阶梯函数   代码: public class E201_06_02_正弦函数 {  ...

    E201_06_02_正弦函数

    题目要求:按照三角函数泰勒级数展开式计算正弦函数值:

     

    ,直到最后一项的绝对值小于106

    解题思路:

    1. 输入弧度

    2. 确定初始化值

    3. 求阶梯函数

     

    代码:


    public class E201_06_02_正弦函数 {
        public static void main(String[] args) {
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            System.out.println("请输入弧度");
         double x =scanner.nextDouble();
         double sum=0;
         double fenzi = x;
         double fenmu = 1;
         int sign = 1;
         double item = x;//某一项·
         int n = 1;
         while (Math.abs(item) >= 1e-6){
              sum +=item;
              sign = -sign;
                n += 2;
             fenzi = Math.pow(x,n);//x的n次方
             fenmu = fact(n);//n的阶梯
              item = sign*fenzi/fenmu;//计算当前项分数
         }
            System.out.printf("sin(%f)=%f",x,sum);
        }

        /**
         *
         * @param n
         * @return
         */
        private static double fact(int n) {
             long sum = 1;
            for (int i = 2;i<=n;i++){
                sum *= i;
            }
           return sum;
        }
    }

     

    运行结果:

     

    展开全文
  • 三课时精通matlab函数泰勒级数展开
  • 本程序是用c语言写的一个利用泰勒级数展开公式来求解log(x)的值,从而实现对数计算功能。
  • 常见函数级数展开及推导

    万次阅读 多人点赞 2020-09-19 19:39:18
    常见函数的幂级数(泰勒级数展开与推导。

    写在前面

    最近做极限的题目,很多都要用到泰勒展开(麦克劳林展开),然而一些结论总是记不住,于是在这里总结一些常见的函数的展开式及推导过程,希望可以帮到大家。

    定义式

    函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处展开(皮亚诺Peano余项)
    f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ = ∑ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + o ( ( x − x 0 ) n ) \begin{aligned} f(x) &=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)^2}{2!}(x-x_0)^2+\cdots\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n) \end{aligned} f(x)=f(x0)+1!f(x0)(xx0)+2!f(x0)2(xx0)2+=k=0nk!f(k)(x0)(xx0)k+o((xx0)n)

    麦克劳林展开

    下面为方便表示,都使用麦克劳林级数的形式(需要注意这样写要满足幂级数收敛条件即 − 1 < x < 1 -1<x< 1 1<x<1)。

    1. 指数函数的展开(利用定义式即可得到,并注意到 ( e x ) ′ = e x (\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x (ex)=ex):
      e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x k k ! \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} ex=1+x+2x2+3!x3+=k=0k!xk

    2. 最基本的一个幂级数(由等比数列求和公式取极限得到):
      1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x k \frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{k=0}^\infty x^k 1x1=1+x+x2+=k=0xk
      同理可得到
      1 1 + x = 1 − x + x 2 − ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x k \frac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^k 1+x1=1x+x2=k=0(1)kxk

    3. 对数函数的展开:
      ln ⁡ ( 1 + x ) = ∫ 1 1 + x   d x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 x k + 1 = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ \begin{aligned} \ln(1+x) &=\int\frac1{1+x}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots \end{aligned} ln(1+x)=1+x1dx=k=0k+1(1)kxk+1=x2x2+3x3

    4. 三角函数的展开,利用定义即可得到(注意到正弦函数的偶阶导仍为正弦,所以其在原点处的值均为 0 0 0):
      sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} sin(x)=x3!x3+5!x5=n=0(2n+1)!(1)nx2n+1
      上式求导即可得到:
      cos ⁡ ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} cos(x)=12!x2+4!x4=n=0(2n)!(1)nx2n
      正切函数的展开式推导比较复杂,这里只列出前三项:
      tan ⁡ ( x ) = x + x 3 3 + 2 15 x 5 + ⋯ \tan(x)=x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+\cdots tan(x)=x+3x3+152x5+

    5. 二项式的展开:

      这个展开式比较复杂,但也是比较重要的(极限的计算、组合数学常用),因为这个就是牛顿广义二项式定理(其中对组合数进行了推广)。推导过程可以从幂级数的高阶导数入手,归纳即可得到下面的式子。

      ( y + x ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) y α − k x k = ∑ k = 0 ∞ ( α ) k k ! y α − k x k = ∑ k = 0 ∞ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! y α − k x k \begin{aligned} (y+x)^\alpha &=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k !}y^{\alpha-k}x^{k} \end{aligned} (y+x)α=k=0(kα)yαkxk=k=0k!(α)kyαkxk=k=0k!α(α1)(αk+1)yαkxk
      其中 α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} αR, ( α ) k (\alpha)_k (α)k代表 k k k次下阶乘。

      上式中常取 y = 1 y=1 y=1,这时就有下面几个常用结论(主要推导过程需要借助牛顿二项式定理):

      1. 1 + b x = 1 + b 2 x − b 2 8 x 2 + b 3 16 x 3 − ⋯ = 1 + b 2 x + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\sqrt{1+bx}&=1+\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2+\frac{b^3}{16}x^3-\cdots\\&=1+\frac b2x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1+bx =1+2bx8b2x2+16b3x3=1+2bx+k=2(1)k1(2k)!!(2k3)!!bkxk

      2. 1 − b x = 1 − b 2 x − b 2 8 x 2 − b 3 16 x 3 − 5 b 4 128 x 4 − ⋯ = 1 − b 2 x − ∑ k = 2 ∞ ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\sqrt{1-bx}&=1-\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2-\frac{b^3}{16}x^3-\frac{5b^4}{128}x^4-\cdots\\&=1-\frac b2x-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1bx =12bx8b2x216b3x31285b4x4=12bxk=2(2k)!!(2k3)!!bkxk

      3. 1 1 + b x = 1 − b 2 x + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 b 2 x 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 b 3 x 3 + ⋯ = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\frac1{\sqrt{1+bx}}&=1-\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1+bx 1=12bx+2413b2x2246135b3x3+=1+k=1(1)k(2k)!!(2k1)!!bkxk

      4. 1 1 − b x = 1 + b 2 x + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 b 2 x 2 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 b 3 x 3 + ⋯ = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{1-bx}}&=1+\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1bx 1=1+2bx+2413b2x2+246135b3x3+=1+k=1(2k)!!(2k1)!!bkxk

      5. 1 ( 1 + x ) 2 = ( − 1 1 + x ) ′ = ( ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ) ′ = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k x k − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) x k \begin{aligned} \frac1{(1+x)^2}&=\left(-\frac1{1+x}\right)^\prime =\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k+1}x^k\right)^\prime\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}kx^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}(k+1)x^{k} \end{aligned} (1+x)21=(1+x1)=(k=0(1)k+1xk)=k=1(1)k+1kxk1=k=0(1)k(k+1)xk

    6. 反三角函数的展开式,可以由幂级数展开式积分直接得到。

      • y = arctan ⁡ ( x ) y=\arctan(x) y=arctan(x):根据 y ′ = 1 1 + x 2 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k y'=\dfrac1{1+x^2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{2k} y=1+x21=k=0(1)kx2k,得到
        arctan ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ \arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots arctanx=k=0(1)k2k+1x2k+1=x3x3+5x5

      • y = arcsin ⁡ ( x ) y=\arcsin(x) y=arcsin(x):根据 y ′ = ( 1 − x 2 ) − 1 2 y'=(1-x^2)^{-\frac12} y=(1x2)21,使用上面的二项式定理可得到
        arcsin ⁡ x = x + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 = x + x 3 6 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + ⋯ \begin{aligned} \arcsin x &=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}x^{2k+1} \\ &=x+\frac{x^3}{6}+\frac3{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\cdots \end{aligned} arcsinx=x+k=1(2k)!!(2k+1)(2k1)!!x2k+1=x+6x3+403x5+1125x7+

    等价无穷小代换

    根据上面的推导,很容易得到几个常见的等价无穷小替换。

    1. x ∼ sin ⁡ x ∼ tan ⁡ x ∼ arcsin ⁡ x ∼ arctan ⁡ x ∼ ( e x − 1 ) ∼ ln ⁡ ( 1 + x ) x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x \sim \arctan x\sim (\mathrm{e}^x-1)\sim\ln(1+x) xsinxtanxarcsinxarctanx(ex1)ln(1+x);

    2. ( 1 − cos ⁡ x ) ∼ x 2 2 (1- \cos x)\sim \dfrac{x^2}2 (1cosx)2x2;

    3. ( 1 + b x ) α − 1 ∼ α b x (1+bx)^{\alpha}-1\sim \alpha bx (1+bx)α1αbx;

    4. ( x − sin ⁡ x ) ∼ 1 6 x 3 ∼ ( arcsin ⁡ x − x ) (x-\sin x)\sim\dfrac16x^3\sim(\arcsin x-x) (xsinx)61x3(arcsinxx);

    5. ( tan ⁡ x − x ) ∼ 1 3 x 3 ∼ ( x − arctan ⁡ x ) (\tan x-x)\sim\frac13x^3\sim(x-\arctan x) (tanxx)31x3(xarctanx);

    6. ( tan ⁡ x − sin ⁡ x ) ∼ 1 2 x 3 (\tan x-\sin x)\sim\dfrac12x^3 (tanxsinx)21x3;

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  • 泰勒级数展开

    千次阅读 2018-07-09 10:29:06
    1.1 雅各比矩阵 1.2 海森矩阵 1.3 变量为向量的泰勒级数展开
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  • 运行代码 taylor 将向您展示在复平面上可视化函数的几个示例,并在 n 从 1 增加到 20 时为它们的 n 项泰勒级数设置动画。这提供了一个演示分析(整个)函数、奇点和收敛区域必须采取圆盘的形式这一事实。 一个美观的...
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  • 泰勒级数来估计函数的近似值

    千次阅读 2019-04-08 10:13:23
    这是《机器学习中的数学基础》系列的第16篇,也是微积分...不过在正式介绍泰勒级数之前,我们先来看看高阶导数与函数的凹凸性。 高阶导数与函数的凹凸性 那么什么是高阶导数?顾名思义,高阶导就是求了很多次导...
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  • 多元函数泰勒展开

    千次阅读 2018-09-10 21:56:07
    转载自 https://blog.csdn.net/allenlzcoder/article/details/78358982 ...并在一些地方做出修改。  实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为...
  • [matlab笔记]多元函数泰勒展开

    千次阅读 2019-04-19 11:02:05
    [matlab笔记]多元函数泰勒展开 只是学习matlab时的一个笔记。 如下所示。 syms x y f = exp(x)*y; f1=taylor(f, [x y],4) %f1 里的4是展开点,f2里的4是阶 f2=taylor(f, [x y],'order',4) %没有写展开点默认在...
  • 多元函数泰勒(Taylor)展开

    万次阅读 多人点赞 2017-04-20 15:17:22
    多元函数泰勒展开式实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 一元函数在点xkx_k处的泰勒展开式为: f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12...
  • 一些次常用函数泰勒(麦克劳林)展开式 感觉很不错
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  • 泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数

    万次阅读 多人点赞 2018-10-17 14:34:11
    目录 泰勒公式 余项 1、佩亚诺(Peano)余项: 2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche...泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0的某个...
  • 函数展开成幂级数 利用泰勒级数,得到高精度的函数值
  • matlab求解泰勒展开

    2013-03-14 23:00:53
    matlab 求解一元或多元函数泰勒展开
  • 多元函数泰勒展开公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-04 10:48:02
    泰勒定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的x,x0∈[a,b]x,x0∈[a,b]x,x_0\in [a,b],至少存在一点ξ∈(a,b)ξ∈(a,b)\xi \in (a,b),使得 ...

空空如也

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常见函数的泰勒级数展开