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  • 双曲三角函数与三角函数是数学上最为常见的运算公式,这篇文章主要讲述一些关于双曲三角函数以及三角函数的泰勒展开式。双曲三角函数,我们由定义很容易知道 的展开式: 其他的双曲函数稍微有些复杂.这里我们采用一个...

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    双曲三角函数与三角函数是数学上最为常见的运算公式,这篇文章主要讲述一些关于双曲三角函数以及三角函数的泰勒展开式。


    双曲三角函数,我们由定义很容易知道

    的展开式:

    其他的双曲函数稍微有些复杂.这里我们采用一个小的技巧.我们可以知道,对于

    点处是不可导的.我们构造这样的一个表达式

    等式的左边是伯努利数列的定义表达式,具体的性质可以参考文章伯努利数与欧拉数.所以就会得到这样的一个表达式

    由于

    故而

    从而就得到了这样的一个表达式

    这个无穷递推表达式可以算是"泰勒展开式".设

    , 那么递推表达式可以写为

    即得到表达式

    对于

    函数,有公式
    ,所以就会得到

    对于函数

    ,我们可以得到

    所以就会得到

    对于函数

    ,它的泰勒展开式是由欧拉数所定义.即

    具体欧拉数的性质可以参考文章伯努利数与欧拉数.

    综上所述,所以我们得到双曲函数的泰勒展开式的表达式


    三角函数,来源于三角学而应用于三角学,这是最初解出三角函数的样子。很容易见到我们常见的三角函数泰勒展开式。通过求解$n$阶导数可以知道

    所以我们就可以得到

    ,

    所以我们就得到了它们的泰勒展开式

    对于

    展开式稍微有点麻烦.易知
    ,则可以得到

    注意到

    ,显然得到

    所以就会得到

    即表示为

    由于

    ,所以得到

    对于函数

    ,则可以得到

    所以得到

    所以得到

    对于函数

    ,它的泰勒展开式也是由欧拉数所定义.注意到,
    ,所以就会得到

    综上所述,我们可以得到三角函数的泰勒展开式


    下面讨论一些三角函数与反三角函数,由于三角函数可以互相递推,这里我们只考虑了

    的泰勒展开式

    对于

    ,我们可以知道

    ,则可以得到
    所以得到

    对于函数

    ,则有

    对于函数

    ,由定义可以得到
    ,而

    所以得到

    对于函数

    ,由定义我们可以得到

    综上所述,上述的四个函数的泰勒展开式表示为

    参考文献

    [1] 《微积分学教程》,菲赫金哥尔茨

    展开全文
  • 常见函数的级数展开及推导

    千次阅读 2020-09-19 19:39:18
    常见函数的幂级数(泰勒级数展开与推导。

    写在前面

    最近做极限的题目,很多都要用到泰勒展开(麦克劳林展开),然而一些结论总是记不住,于是在这里总结一下一些常见的函数的展开式,以及推导的过程,希望可以帮到大家。

    泰勒展开

    定义式

    函数f(x)f(x)在点x0x_0处展开(皮亚诺Peano余项)
    f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)22!(xx0)2+=k=0nf(k)(x0)k!(xx0)k+o((xx0)n) \begin{aligned} f(x) &=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)^2}{2!}(x-x_0)^2+\cdots\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n) \end{aligned}

    麦克劳林展开

    下面为方便表示,都使用麦克劳林级数的形式(需要注意这样写要满足1<x<1-1<x< 1)。

    1. 指数函数的展开(利用定义式即可得到,并注意到(ex)=ex(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x):
      ex=1+x+x22+x33!+=k=0xkk! \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}

    2. 最基本的一个幂级数(由等比数列求和公式取极限得到):
      11x=1+x+x2+=k=0xk \frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{k=0}^\infty x^k
      同理可得到
      11+x=1x+x2=k=0(1)kxk \frac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^k

    3. 对数函数的展开:
      ln(1+x)=11+xdx=k=0(1)kk+1xk+1=xx22+x33 \begin{aligned} \ln(1+x) &=\int\frac1{1+x}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots \end{aligned}

    4. 三角函数的展开,利用定义即可得到(注意到正弦函数的偶阶导仍为正弦,所以其在原点处的值均为00):
      sin(x)=xx33!+x55!=k=0x2n+1(2n+1)! \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
      上式求导即可得到:
      cos(x)=1x22!+x44!=k=0x2n(2n)! \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
      正切函数的展开式推导比较复杂,这里只列出前三项:
      tan(x)=x+x33+215x5+ \tan(x)=x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+\cdots

    5. 二项式的展开:

      这个展开式比较复杂,但也是比较重要的(极限的计算、组合数学常用),因为这个就是牛顿广义二项式定理(其中对组合数进行了推广)。推导过程可以从幂级数的高阶导数入手,归纳即可得到下面的式子。

      (y+x)α=k=0(αk)yαkxk=k=0α(α1)(αk+1)k!yαkxk \begin{aligned} (y+x)^\alpha &=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k !}y^{\alpha-k}x^{k} \end{aligned}
      其中αR\alpha\in\mathbb{R}

      上式中常取y=1y=1,这时就有下面几个常用结论:

      1. 1+bx=1+b2xb28x2+b316x3=1+b2x+k=2(1)k1(2k3)!!(2k)!!bkxk \begin{aligned}\sqrt{1+bx}&=1+\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2+\frac{b^3}{16}x^3-\cdots\\&=1+\frac b2x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}

      2. 1bx=1b2xb28x2b316x35b4128x4=1b2xk=2(2k3)!!(2k)!!bkxk \begin{aligned}\sqrt{1-bx}&=1-\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2-\frac{b^3}{16}x^3-\frac{5b^4}{128}x^4-\cdots\\&=1-\frac b2x-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}

      3. 11+bx=1b2x+1324b2x2135246b3x3+=1+k=1(1)k(2k1)!!(2k)!!bkxk \begin{aligned}\frac1{\sqrt{1+bx}}&=1-\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}

      4. 11bx=1+b2x+1324b2x2+135246b3x3+=1+k=1(2k1)!!(2k)!!bkxk \begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{1-bx}}&=1+\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}

      5. 1(1+x)2=(11+x)=(k=0(1)k+1xk)=k=1(1)k+1kxk1=k=0(1)k(k+1)xk \begin{aligned} \frac1{(1+x)^2}&=\left(-\frac1{1+x}\right)^\prime =\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k+1}x^k\right)^\prime\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}kx^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}(k+1)x^{k} \end{aligned}

    6. 反三角函数的展开式,可以由幂级数展开式积分直接得到。

      • y=arctan(x)y=\arctan(x):根据y=11+x2=k=0(1)kx2ky'=\dfrac1{1+x^2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{2k},得到
        arctanx=k=0(1)kx2k+12k+1=xx33+x55 \arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots

      • y=arcsin(x)y=\arcsin(x):根据y=(1x2)12y'=(1-x^2)^{-\frac12},使用上面的二项式定理可得到
        arcsinx=x+k=1(2k1)!!(2k)!!(2k+1)x2k+1=x+x36+340x5+5112x7+ \begin{aligned} \arcsin x &=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}x^{2k+1} \\ &=x+\frac{x^3}{6}+\frac3{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\cdots \end{aligned}

    等价无穷小代换

    根据上面的推导,很容易得到几个常见的等价无穷小替换。

    1. xsinxtanxarcsinxarctanx(ex1)ln(1+x)x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x \sim \arctan x\sim (\mathrm{e}^x-1)\sim\ln(1+x);

    2. (1cosx)x22(1- \cos x)\sim \dfrac{x^2}2;

    3. (1+bx)α1αbx(1+bx)^{\alpha}-1\sim \alpha bx;

    4. (xsinx)16x3(arcsinxx)(x-\sin x)\sim\dfrac16x^3\sim(\arcsin x-x);

    5. (tanxx)13x3(xarctanx)(\tan x-x)\sim\frac13x^3\sim(x-\arctan x);

    6. (tanxsinx)12x3(\tan x-\sin x)\sim\dfrac12x^3;

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  • 常用泰勒级数展开

    2021-01-25 15:37:16
    因为日常计算中经常需要做一些近似,而泰勒级数展开是其中最常用一种,所以本篇整理了部分常见的(一元函数)泰勒公式展开

    因为日常计算中经常需要做一些近似,而泰勒级数展开是其中最常用的一种,所以本篇整理了部分常见的(一元函数)泰勒公式展开


    一、泰勒中值定理

    对于简单的多项式函数,我们往往是很喜欢的,但是我们要接触的往往是一些比较复杂的函数,所以一种自然而然的想法也就出来了,那就是利用多项式来近似逼近这些复杂的函数,这就不得不提我们非常熟悉的泰勒展开了,在具体列出常见的泰勒展开之前,我觉得还是有必要提一嘴泰勒中值定理的(好吧,其实是为了凑字数),下面就介绍一下泰勒中值定理。

    • 泰勒(Taylor)中值定理(一元函数)

    如果函数f(x)f(x)在含有x0x_0的某个开区间(a,b)(a,b)内具有知道(n+1)(n+1)阶的导数,则对任一x(a,b)x\in(a,b),有
    f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)其中
    Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}这里的ξ\xix0x_0xx之间的某个值。
    这个定理则告诉我们,如果已知某个函数在某一点的n+1n+1阶导数,那么我们原则上是可以将这个函数在这个点附近用一个多项式进行逼近的,但是上面的这个定理其实是基于一元函数的,为了方便以后的扩展,下面在简单介绍一下多元函数的泰勒中值定理。

    • 多元函数的泰勒中值定理

    f=f(x1,x2,,xk)f=f(x^1,x^2,\cdots,x^k)在点(x01,x02,,x0k)(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)的某一领域内连续且有直到n+1n+1阶的连续偏导数,(x01+h1,x02+h2,,x0k+hk)\\(x^1_0+h_1,x^2_0+h_2,\cdots,x^k_0+h_k)为此邻域内的任一点,则有
    f(x01+h1,x02+h2,,x0k+hk)=f(x01,x02,,x0k) f(x^1_0+h_1,x^2_0+h_2,\cdots,x^k_0+h_k) = f(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)

    +i=1,2,,kf(x01,x02,,x0k)xihi+12!i1=1ki2=1k2f(x01,x02,,x0k)xi1xi2hi1hi2+ +\sum_{i=1,2,\cdots,k}\frac{\partial{f(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}}{\partial{x^i}}h_i+\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{ i_2=1}^{k}\frac{\partial^2f(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}}h_{i_1}h_{i_2}+

    +1n!i1=1ki2=1kin=1knf(x01,x02,,x0k)xi1xi2xinj=i1inhj+Rn(x01,x02,,x0k) \cdots+\frac{1}{n!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{i_2=1}^{k}\cdots\sum_{i_n=1}^{k}\frac{\partial^nf(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}\cdots\partial{x^{i_n}}}\prod_{j={i_1}}^{i_n}h_j+R_n(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)

    其中
    Rn(x01,x02,,x0k)=1(n+1)!i1=1ki2=1kin+1=1knf(x01+θh1,x02+θh2,,x0k+θhk)xi1xi2xinj=i1in+1hj,(0<θ<1) R_n(x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)=\frac{1}{(n+1)!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{i_2=1}^{k}\cdots\sum_{i_{n+1}=1}^{k}\frac{\partial^nf(x^1_0+\theta h_1,x^2_0+\theta h_2,\cdots,x^k_0+\theta h_k)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}\cdots\partial{x^{i_n}}}\prod_{j={i_1}}^{i_{n+1}}h_j ,(0<\theta<1)

    二、常用的泰勒级数展开

    基于上面的泰勒中值定理,可以导出一些常见函数的泰勒展开公式(具体推导不做展开,具体可参见同济版高数上册),然后由泰勒展开公式结合无穷级数可以得到下面的幂级数展开式:
    ex=n=0xnn!=1+x+x22!++xnn!+,<x<+ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots,-\infty<x<+\infty

    11+x=n=0(1)nxn=1x+x2+(1)nxn+,1<x<1 \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+\cdots,-1<x<1

    ln(1+x)=n=1(1)n1xnn=xx22+x33x44++(1)n1xnn+,1<x1 ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,-1<x\leqslant1

    sinx=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=xx33!+x55!x77!++x2n+1(2n+1)!+,<x<+ sinx=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty

    cosx=n=0(1)nx2n(2n)!=1x22!+x44!x66!++(1)nx2n(2n)!+,<x<+ cosx=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty

    (1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2++α(α1)(αn+1)n!xn+,{x(1,1),α1x(1,1],1<α<0x[1,1],α>0 (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha (\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,\begin{cases}x\in(-1,1),\alpha\leqslant-1 \\ x\in(-1,1],-1<\alpha<0 \\ x\in[-1,1],\alpha>0\end{cases}

    同济版高数

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  • 文章综述了常见泰勒级数展开方法,并给出具体实例。【期刊名称】阴山学刊(自然科学版)【年(卷),期】2016(030)003【总页数】4【关键词】函数;泰勒级数;展开法把一个函数展开成泰勒级数方法大体上分为两类,即直接...

    泰勒级数的若干展开方法

    *

    【摘

    要】

    要:泰勒级数是高等数学重要内容之一,但一般教材中有关泰勒

    级数展开方法介绍的不够详细,初学者不便掌握。文章综述了常见泰勒级数展

    开方法,并给出具体实例。

    【期刊名称】

    阴山学刊(自然科学版)

    【年

    (

    ),

    期】

    2016(030)003

    【总页数】

    4

    【关键词】

    函数;泰勒级数;展开法

    把一个函数展开成泰勒级数的方法大体上分为两类,即直接展开法和间接展开

    [1]

    1

    直接展开法

    直接展开法可按下列步骤进行:

    (1)

    求出函数的各阶导数

    f(x),f′(x),…,f(n)(x),…;

    (2)

    求函数

    f(x)

    及各阶导数在

    x=x0

    处的值:f(x0),f′(x0),…,f(n)(x0),…;

    (3)

    写出

    泰勒级数;

    (4)

    考察余项

    Rn(x)

    x0

    的某一邻域

    U(x0)

    内的极限是否为零。

    直接展开法是一种万无一失的方法,但也是一种呆板的、有时也比较繁杂的方

    法,实际应用中尽量利用间接展开法

    [2,3]

    。笔者主要通过具体实例综合各种间

    接展开方法。

    2

    间接展开法

    2.1

    代换法

    利用被展开函数与泰勒展开式已知的函数关系,进行适当变量替换得被展函数

    泰勒展开式,这是实际应用中广泛使用的一种间接展开法。

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空空如也

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常见函数的泰勒级数展开