精华内容
下载资源
问答
  • 常用的积分方法有几种
    千次阅读
    2020-11-22 17:35:59

    笔者:YY同学Serendipity

    生命不息,代码不止。好玩的项目尽在GitHub



    一、积分表法(常用)

    1. ∫ k d x = k x + C \int kdx=kx+C kdx=kx+C
    2. ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C xndx=n+1xn+1+C
    3. ∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C x1dx=lnx+C
    4. ∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C exdx=ex+C
    5. ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C axdx=lnaax+C
    6. ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C \int \sin xdx=-\cos x+C sinxdx=cosx+C
    7. ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C \int \cos xdx=\sin x+C cosxdx=sinx+C
    8. ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C \int \sec^2xdx=\tan x+C sec2xdx=tanx+C
    9. ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C \int \csc^2xdx=-\cot x+C csc2xdx=cotx+C
    10. ∫ tan ⁡ x sec ⁡ x d x = sec ⁡ x + C \int \tan x\sec xdx=\sec x+C tanxsecxdx=secx+C
    11. ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C \int \csc x\cot xdx=-\csc x+C cscxcotxdx=cscx+C
    12. ∫ tan ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x ∣ + C \int \tan xdx=\ln|\sec x|+C tanxdx=lnsecx+C
    13. ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \int \cot xdx=\ln|\sin x|+C cotxdx=lnsinx+C
    14. ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C \int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C secxdx=lnsecx+tanx+C
    15. ∫ csc ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ csc ⁡ x + cot ⁡ x ∣ + C \int \csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C cscxdx=lncscx+cotx+C
    16. ∫ sec ⁡ 3 x d x = 1 2 ( sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ ) + C \int \sec^3xdx=\frac{1}{2}(\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|)+C sec3xdx=21(secxtanx+lnsecx+tanx)+C
    17. ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ ( x a ) + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin(\frac{x}{a})+C a2x2 1dx=arcsin(ax)+C
    18. ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ ( x a ) + C \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C a2+x21dx=a1arctan(ax)+C
    19. ∫ 1 x x 2 − a 2 d x = 1 a a r c s e c ∣ x a ∣ + C \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx=\frac{1}{a}arcsec|\frac{x}{a}|+C xx2a2 1dx=a1arcsecax+C

    二、换元法

    1. 第一换元积分法(右合法)

    将积分左边的子式凑成积分变量右侧所需的变元,从而改变积分变量,例如
    ∫ tan ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x d x cos ⁡ x = ∫ 1 cos ⁡ x d ( − cos ⁡ x ) \int \tan xdx=\int \frac{\sin xdx}{\cos x}=\int \frac{1}{\cos x}d(-\cos x) tanxdx=cosxsinxdx=cosx1d(cosx)


    2. 第二换元积分法(左拆法)

    将积分变量直接换元,然后将新变元拆到左侧,例如
    ∫ d ( e x ) = ∫ e x d x \int d(e^x)=\int e^xdx d(ex)=exdx


    3. 三角换元法

    将积分变量变换为三角函数形式,例如
    ∫ 1 + x 2 d x \int \sqrt{1+x^2}dx 1+x2 dx
    x = tan ⁡ θ x=\tan θ x=tanθ 替换, 0 < θ < π 2 0<θ<\frac{\pi}{2} 0<θ<2π,得 d x = sec ⁡ 2 θ d θ dx=\sec^2θdθ dx=sec2θdθ
    ∫ 1 + x 2 d x = ∫ sec ⁡ 3 θ d θ \int \sqrt{1+x^2}dx=\int \sec^3θdθ 1+x2 dx=sec3θdθ


    三、分部积分法

    F ( x ) F(x) F(x) f ( x ) f(x) f(x)的原函数,则有
    ∫ f ( x ) g ( x ) d x = F ( x ) g ( x ) − ∫ F ( x ) g ′ ( x ) d x \int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)dx
    该公式可由乘法求导的链式法则推导出
    [ f ( x ) g ( x ) ] ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)
    两边积分
    ∫ [ f ( x ) g ( x ) ] ′ d x = ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x + ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x \int [f(x)g(x)]'dx=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx [f(x)g(x)]dx=f(x)g(x)dx+f(x)g(x)dx
    移项后有
    ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x \int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx


    四、有理函数积分法(多项式分式积分法)

    将分式拆成分式多项式和的形式,例如:
    ∫ C x 2 + I x + J x 2 + x − 6 d x = ∫ M x + N x 2 + x − 6 d x + ∫ C d x \int \frac{Cx^2+Ix+J}{x^2+x-6}dx=\int \frac{Mx+N}{x^2+x-6}dx+\int Cdx x2+x6Cx2+Ix+Jdx=x2+x6Mx+Ndx+Cdx
    = ∫ A x + 3 d x + ∫ B x − 2 d x + ∫ C d x =\int \frac{A}{x+3}dx+\int \frac{B}{x-2}dx+\int Cdx =x+3Adx+x2Bdx+Cdx
    然后就可以分别积分求解啦~
    但是请注意:使用这种方法的前提条件是函数是有理分式,即分子分母部分必须是含 x x x 的多次多项式。并且最后分母多项式需要能够进行因式分解,例如例子中 x 2 + x − 6 = ( x + 3 ) ( x − 2 ) x^2+x-6=(x+3)(x-2) x2+x6=(x+3)(x2)

    更多相关内容
  • 几种常用数值积分方法的比较.doc
  • 传统的电流积分法、电池内阻法、放电试验法、开路电压法、负载电压法,也较为创新的Kalman滤波法、模糊逻辑理论法和神经网络法等,各种估算方法自己的优缺点,下面对常用几种SOC方法进行简要介绍: ...
  • 七、基本积分公式及常用积分方法 八、补充积分公式 九、常用凑微分公式 十、分部积分法公式 十一、第二换元积分法中的三角换元公式 十二、重要公式 十三、下列常用等价无穷小关系 十四、三角函数公式 1.两角和公式 2...
  • 积分公式和常用方法总结

    万次阅读 多人点赞 2018-01-31 23:47:30
    不定积分积分公式主要如下类:含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a&gt;0)的积分、含有√(a²+x^2) (a&gt;0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a&gt;0)的积分、含有√(|a|x...

    积分公式汇总

    不定积分

    不定积分的积分公式主要有如下几类:含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

    含a+bx的积分

    含有a+bx的积分公式主要有以下几类:

    含√(a+bx)的积分

    含有√(a+bx)的积分公式主要包含有以下几类:

    含有x^2±α^2的积分

    含有ax^2+b(a>0)的积分

    含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分

    被积函数中含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分有 :

    含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分

    被积函数中含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分有:

    对于a2>x2有:

    含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分

    被积函数中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分有


      

    含有三角函数的积分

    被积函数中含有三角函数的积分公式有:

    含有反三角函数的积分

    被积函数当中含有反三角函数的积分公式有:

    含有指数函数的积分

    被积函数当中包含有指数函数的积分公式

    含有对数函数的积分

    被积函数当中包含有对数函数的积分公式 

    含有双曲函数的积分

    被积函数当中包含有双曲函数的积分公式有

    定积分

    定积分公式有以下几种

    积分性质

     

    通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下积分区域

      

    的在黎曼积分意义上表示一个区间,在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分的性质有:线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

    线性性

    积分是线性的。如果一个函数可积,那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数fg可积,那么它们的和与差也可积。

    保号性

    如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论,如果两个

      

    上的可积函数f和g相比,f(几乎)总是小于等于g,那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。

    如果黎曼可积的非负函数f在

      

    上的积分等于0,那么除了有限个点以外,f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在

      

    上的积分等于0,那么f几乎处处为0。如果

      

    中元素A的测度μ (A)等于0,那么任何可积函数在A上的积分等于0。

    函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。如果对

      

    中任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分,那么f几乎处处等于(大于等于)g。 

    分部积分法

     

    分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式,将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型,将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂三指”。分别代指五类基本函数:反三角函数对数函数幂函数三角函数指数函数的积分。

    分部积分公式推导

      

      

    是两个关于

      

    的函数,各自具有连续导数

      

      

    ,则按照乘积函数求微分法则,则有

    或者

    对其两边进行积分,且因

      

    的原函数是

      

    ,得

    如果将

      

      

    用微分形式写出,则亦可得出

    上两式就表示出了分部积分法则。它把

      

    的积分化为

      

    的积分,也即分部积分的好处是,可将复杂的被积函数简化为另一较易求得的函数积分。

    例如,要求

      

    ,则依分部积分法则,令

    如此

    则按上述公式有

     

    四种典型模式

    编辑

    一般地,从要求的积分式中将

      

    凑成

      

    是容易的,但通常有原则可依,也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简,而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取

      

    ,因为一旦

      

    确定,则公式中右边第二项

     

    中的

      

    也随之确定,但为了使式子得到精简,如何选取

      

    则要依

      

    的复杂程度决定,也就是说,选取的

      

    一定要使

      

    比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验,可以得到下面四种典型的模式。  记忆模式口诀:反(函数)对(数函数)幂(函数)三(角函数)指(数函数)。


     

    模式一

    通过对

      

    求微分后,

      

    中的

      

      

    更加简洁,而

      

      

    的类型相似或复杂程度相当。

    例如,对于形如

      

    的不定积分(其中

      

      

    多项式),由于对多项式求微分可以降次,且三角函数或指函数的积分则较容易求得,所以可以令

      

    ,而将另一个函数看成

     

    通过分部求得积分。 

    例如 求

     

    首先,

     

    对该式第二项再按此模式进行分部积分,得

    故原式

     

    模式二

    通过对

      

    求微分使得它的类型与

      

    的类型相同或相近,然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如

      

    等的积分,总是令

      

    ,则

      

    则为一个

      

    次的多项式,另一个函数(

      

    等)看成

      

    。通过分部积分,很容易求出不定积分。 

    例如,求

     

    而该式第二项为

    故原积分式

     

    模式三

    利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质,通过一次或二次分部积分后,使等式右端再次产生

      

    ,只要它的系数不为1,就可以利用解方程的方法求出原积分

     

     

    例如,对于积分

      

     

    按法则对他们进行分部积分得

    这样,所求积分均由另一个积分所表示出来,将这两式相加和相减(即解方程)得到所求积分表达式

    以及

    这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式,比如

    模式四

    对某些形如

      

    不定积分,利用分部积分可降低

      

    的次数,求得递推公式,然后再次利用递推公式,求出

     

     

    例如,对于积分

     

      

    时,

     

      

    时,

     

    而该式的第二项又可变换为 

    将其带入上式,则得到

    最后,得到统一的递推关系式

    定积分

    编辑

    不定积分的分部积分法一样,可得 

    简写为

     

    例如

     

    示例

     

    例1:

     

    例2

    回代即可得到

      

    的值

    换元积分法

    换元积分法(Integration By Substitution)是求积分的一种方法,主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易,从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则微积分基本定理推导而来的。

    在计算函数导数时.复合函数是最常用的法则,把它反过来求不定积分,就是引进中间变量作变量替换,把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种,第一类换元积分法和第二类换元积分法。

    两种方法

     

    第一类

    第一类换元法,也称为凑微分法,推导过程如下:

      

      

    上有定义,

      

      

    上可导,且

      

      

    ,并记

      

    。若

      

      

    上存在原函数

      

    ,则

      

      

    上也存在原函数

      

      

    ,即

    在使用时,也可把它写成如下简便形式:

    使用这种方法的关键在于将

      

    凑成

      

    ,以及

      

    的原函数容易获得,下面通过一个例子来讲解:求

     

    解:

    第二类

      

      

    上有定义,

      

      

    上可导,且

      

      

    ,并记

      

    。若

      

      

    ,则当

      

      

    上存在原函数

      

    时,

      

      

    上也存在原函数

      

    ,且

      

    ,即

    (其中 是

      

    的反函数)[2] 

    此时观察这两类换元法的定理公式,发现它们是互相可逆的。

    例子

    编辑计算积分

      

    其中

      

    换元为

      

    后,

      

    亦变为

      

    ,是因为其形式为黎曼-斯蒂尔杰斯积分,但在黎曼-斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围。

    展开全文
  • 笔者最近做比赛,就顺便研究了一下几种常用的PID控制方法,首先我会对PID控制系统做一个简要的说明和自我理解,以方便刚入门的小白快速的理解和使用,不涉及深入的原理以及公式,如错误,烦请指出,(大佬务笑)...

            笔者最近做比赛,就顺便研究了一下几种常用的PID控制方法,首先我会对PID控制系统做一个简要的说明和自我理解,以方便刚入门的小白快速的理解和使用,不涉及深入的原理以及公式,如有错误,烦请指出,(大佬务笑)后面我会给出PID的初始化以及控制算法的源码,方便大家使用。需要的直接cv复制就可以了。

    1、什么是PID?
    P比例(proportional)

    I积分(integral)

    D微分(derivative)

    曾经, 在我们非计算机控制领域流传着这样一张图

     emmmm.....说的确实也没错,在控制领域中不得不说,PID真的是万能的,而且调起来更多的是体力活,费脑子的很少。。。。

    像笔者这种懒人就非常喜爱PID调参(所以我直接懒到和你们讲原理,并且直接放出源码。。。要是想看原理有很多优秀的文章写的比我好)

    好了,简单介绍一下: 

    kP(比例控制,最基本):目标值减去当前值,然后与控制系统建立一个一次函数的关系,其中kP越大,调节作用越强,kP越小,调节作用越弱。

    kI(积分控制,一般用的少):设置一个积分量。只要偏差存在,系统就会不断地对偏差进行积分(累加),并反应在调节力度上。

    kD(微分控制):与kP相反,相当于阻尼控制。让被控制物体的变换速度趋于0,且kD值越大,阻尼越强烈。

    好了你现在已经学会了(不是),下面放上源码,仅供参考
     

    2、PID初始化函数

    // pid参数初始化函数(非常简单)
    void PidInit()
    {
      pid->kp        = 0;    //KP为比例带的倒数,比例带越小,KP越大,对误差越敏感
      pid->ki        = 0;    //引入的积分的目的是消除稳态误差
      pid->kd        = 0;
      pid->imax      = 0;
      pid->out_p     = 0;
      pid->out_i     = 0;
      pid->out_d     = 0;
      pid->out       = 0;
      pid->integrator= 0;
      pid->last_error= 0;
      pid->last_darivative   = 0;
      pid->last_t    = 0;
    }

    3、位置式PID:

            当前的输出与过去的所有状态都有关系(积分累加也就是误差累加),并且控制器的输出就是实际的输出结果,一旦控制输出出错,那么整个系统都可能奔溃,并且在整定参数时,要防止过冲现象,需对积分处理部分进行特别处理。

    float PidLocCtrl()
    {
      /* 累积误差 */
      pid->integrator += error;
      /* 误差限幅 */
      constrain_float(pid->integrator, -pid->imax, pid->imax);
      pid->out_p = pid->kp * error;
      pid->out_i = pid->ki * pid->integrator;
      pid->out_d = pid->kd * (error - pid->last_error);
      
      pid->last_error = error;

    4、增量式PID

           增量式的PID输出只是控制量的增量,计算输出的结果是实际输出的增量。而实际的计算结果  +  当前的位置值   才是最终的输出,当控制输出出错时,对系统影响会小很多。

    float PidIncCtrl()
    {
      pid->out_p = pid->kp * (error - pid->last_error);
      pid->out_i = pid->ki * error;
      pid->out_d = pid->kd * ((error - pid->last_error) - pid->last_derivative)
      //derivative上次误差与上上次误差之差
      pid->last_derivative = error - pid->last_error;
      pid->last_error = error
      pid->out += pid->out_p + pid->out_i + pid->out_d
      return pid->out;
    }

    5、串级PID

    这个不太好说明,比较复杂,这里直接给个大概的公式:

    1、角速度环输出值= 角度环输出值-(角速度值-陀螺仪y轴零点偏差参数)

    2、角度环输出值=机械零点的角度值+陀螺仪安装位置角度值-速度环输出值

    3、速度环输出值=期望值-(编码器1+编码器2)/2

    4、方向环输出值=目标偏差值-(z轴角速度值-陀螺仪z轴零点偏差值)

    以上仅是本人的浅薄理解和方法提供,有误请指出,本方案仅供参考,谢谢~

    展开全文
  • 各种数值积分方法总结(龙贝格积分、高斯积分等)(一重积分的)常用的数值积分方法牛顿-科茨(Newton-Cotes)积分公式梯形法则(2点积分)辛普森法则(3点积分和4点积分)辛普森1/3法则(3点积分)辛普森3/8法则(4...

    本文整理了各种类型的数值积分,从简单的梯形积分、辛普森积分到高精度的自适应积分、龙贝格积分和高斯积分;对于多重积分(高维积分),本文先简单介绍一下蒙特卡洛方法(适用于积分维数大于4的积分),后续会发帖专门针对多重积分方法做介绍。
    (如有疏漏,欢迎指正,谢谢~)

    1 (一重积分)常用的数值积分方法

    常用积分方法包括梯形积分、辛普森积分、自适应积分、龙贝格积分和高斯积分等;其中自适应积分、龙贝格积分和高斯积分属于高精度积分。

    1.1 牛顿-科茨(Newton-Cotes)积分公式

    牛顿-科茨(Newton-Cotes)积分公式:
    在这里插入图片描述
    包含了梯形法则、辛普森法则、布尔法则等。

    1.1.1 梯形法则(2点积分)

    梯形法则积分计算公式:

    其中,在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    于是得:
    在这里插入图片描述
    梯形公式要计算两个点的函数值f(a)和f(b)。所以说是两点积分
    在这里插入图片描述
    梯形法则的误差为:
    在这里插入图片描述

    1.1.2-3 辛普森法则(3点积分和4点积分)

    辛普森法则分为辛普森1/3法则和辛普森3/8法则,就是用二次/三次插值曲线来代替直线进行积分。
    在这里插入图片描述

    1.1.2 辛普森1/3法则(3点积分)

    辛普森1/3法则法则积分计算公式:
    在这里插入图片描述

    1.1.3 辛普森3/8法则(4点积分)

    辛普森3/8法则法则积分计算公式:
    在这里插入图片描述

    1.1.4 布尔法则(5点积分)

    布尔法则与辛普森法则类似,只是更高阶的多项式积分,其公式为:
    在这里插入图片描述

    1.1.5牛顿-科茨积分公式总结

    在这里插入图片描述
    注意:1.对于3点积分与4点积分具有相同的误差阶;5点积分与6点积分具有相同的误差阶。对于点数更多的积分也一样。因此优先使用奇数个点的积分。
    2.对于点数大于等于9的牛顿-科茨积分,求积公式的稳定性得不到保证(具体原因可以找数值积分的数看看,本文源自《现代数值积分》第5章 数值积分与数值微分),积分不能保证收敛,因此实际计算中一般不采用高阶牛顿-科茨积分公式。(处于效率考虑,一般也很少用超过5个点的牛顿-科茨积分公式)。

    (穿插)积分改进思路1

    牛顿-科茨积分公式思想:根据积分点构造近似的插值多项式,进而利用多项式积分表示原积分。
    对于高次的多项式插值,会出现龙格现象(对于高次的多项式插值,插值多项式会出现不收敛的现象,成为龙格现象,想深入了解可以去查询相关资料。并且次数越高,越容易出现不收敛现象)。

    针对龙格现象,更好的选择切比雪夫节点来进行插值(想深入了解可以去查询相关资料,本文部分源自《现代数值积分》第3章 多项式插值与样条插值)。

    在这里插入图片描述
    由于切比雪夫节点的特殊性,对于高阶插值的可以收到较好的效果,因此,对于“牛顿-科茨积分公式总结”中提到的点数大于等于9的牛顿-科茨积分,可以采用切比雪夫计算节点,然后构造插值多项式,再计算积分(此方法实现和推广比较麻烦,此处不做扩展,感兴趣的可以自己下去推导实现)。

    1.2 复合积分(复合梯形积分、复合辛普森积分等)

    上述主要介绍的是单个区间的积分。为了计算更准确,我们可以将区间划分为若干个小的区间,然后对每个小区间进行积分,然后对各个小区间的积分求和。由于对于单个小区间的积分可分为梯形法则,辛普森法则,和布尔法则,因此复合积分的每个小区间的积分可以是这些方法中的任意一种。
    下面主要讲一下 复合梯形积分和复合辛普森积分。

    1.2.1 复合梯形积分

    小区间的划分又分为等长区间和不等长区间两种划分方法。
    不等长区间,复合梯形积分计算公式:
    在这里插入图片描述
    区间不等长情况应用场景很有限。

    等长区间,复合梯形积分计算公式:
    在这里插入图片描述
    等长区间,复合梯形积分计算误差:
    在这里插入图片描述

    1.2.2 复合辛普森积分

    同样的,复合辛普森积分区间的划分也可以分为等长区间和不等长区间两种划分方法。
    由于不等长区间应用很少,因此直接介绍等长区间,复合辛普森1/3积分计算公式:

    在这里插入图片描述
    等长区间,复合辛普森1/3积分计算误差:
    在这里插入图片描述

    由于3点积分(辛普森1/3积分)与4点积分(辛普森3/8积分)具有相同的误差阶,因此一般优先使用复合辛普森1/3积分,复合辛普森3/8积分应用极少,因此本文不做介绍。感兴趣的同学可以下去自己推一下复合辛普森3/8积分计算公式,应该也很简单。

    (穿插)积分改进思路2

    可以看出,将区间划分为更小的区间可以有效的提高积分计算的精度。那么我们是不是可以将积分区间不断地细分,从而来得到更精确的积分结果?理论上是可以的!!
    方法1:(区间折半法)
    a.计算2个区间的积分,用复合辛普森1/3法则(当然,也可以用梯形法则或者布尔法则等都可以,但是推荐复合辛普森1/3法则);
    b.将两个区间等分为4个区间,用复合辛普森1/3法则计算四个子区间的积分和;
    c.比较a和b两步计算的结果相对误差是否接近一个很小的数:(Ia - Ib)/Ib<e。如果相对误差满足要求,则结束,否则继续细分区间,用复合辛普森1/3法则计算积分,直到满足要求为止。

    方法2:改进方法1
    	a.对每个子区间一分为二后,比较两个区间的积分值与一个区间的积分值是否相近;
    	b.如果相近则返回该值;否则对每个子区间执行a。(递归实现)
    

    上面说,理论上是可以的!!理论上是可以的!!但是实际不行!!!
    因为计算机浮点数运算是存在误差的。当区间数量很大的时候,浮点数计算的舍入误差(不理解的可以自行去学习了解一下)变得很大,会限制积分的提高。下面就是一个很好的例子。
    在这里插入图片描述

    1.3常用的高精度积分

    上述区间二分的思想是很有用的。在龙贝格积分和自适应积分中都会找到它的影子。

    1.3.1 龙贝格积分

    龙贝格积分的思想,及推导过程:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    类推:联合两个误差为O(h^4)的积分,改进后可以得到一个误差为O(h ^ 6)的积分:
    在这里插入图片描述
    由此产生龙贝格积分:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (穿插)积分改进思路3

    龙贝格积分是用梯形公式推导得到的,那么我们是不是可以用辛普森公式做类似的推导,也能到达一套新的公式呢?答案是:理论上是可以的!!

    由辛普森1/3公式推导出来的加入误差修正的积分计算式:
    在这里插入图片描述
    那么问题就来了。
    我们的计算机表达的double值是有范围的,而对于辛普森外,采用递归,递归8次就是16^8 = 2 ^ 32。计算机递归计算的结果很容易就产生溢出了。除非采用多精度浮点数计算才行,而采用多精度浮点数可能存在一些计算效率的问题。。。更深入的问题我就不继续深入探讨了(有兴趣的可以试试)。。。好了,总之来说,用辛普森推导出来的方法不是很实用。还是梯形龙贝格积分经典好使。

    1.3.2 自适应积分

    龙贝格积分中有两点:
    a。每次都会将所有的步长折半;(那么我们能不能只对计算误差较大的那个区间进行折半成两个子区间再积分呢?)
    b。辛普森公式推导的方法,由于计算机double表示范围有限没用上。

    下面都会在自适应积分中派上用场。自适应积分思想:(递归方法)
    step1.辛普森1/3法则计算区间[a,b]的积分;
    step2.区间步长折半,复合辛普森1/3法则计算区间[a,b]的积分;
    如果两次误差小于给定的误差限,停止执行,返回计算结果
    在这里插入图片描述
    如果两次误差大于给定的误差限,对两个子区间分别执行step1和step2。

    伪代码:
    在这里插入图片描述

    1.3.3 高斯积分

    高斯积分应用比较广泛的是高斯-勒让德公式,此外还有高斯-切比雪夫公式;以及区间【0,正无穷】的广义积分 高斯-拉盖尔公式;以及区间【负无穷,正无穷】的广义积分 高斯-埃尔米特公式。

    高斯-勒让德公式

    介绍高斯积分的文档就很多了,本文不细讲推导的过程,给出计算方法:
    高斯-勒让德
    多点高斯-勒让德公式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    高斯勒让德公式的区间为【-1,1】.对于任意区间为【a,b】;需要做一下简单的变量代换,
    在这里插入图片描述

    高斯积分误差:

    高斯勒让德公式的区间为【-1,1】,误差:
    在这里插入图片描述
    对于任意区间为【a,b】,误差:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由上式继续往下推导,可以得出,当区间长度【b-a】> 2(n+1)时,误差会发散。因此对于高斯点为n的高斯积分,积分区间长度不要大于2(n+1),否则积分结果很可能会不准确。
    此外,高斯积分的误差还与被积函数的光顺性有关,被积函数光顺性越差,误差越大。详细可参考《现代数值积分》第5章 数值积分与数值微分,P139页)。

    高斯积分的优点:高斯积分时给定节点数下代数精度最高的求积公式。

    高斯积分的不足:高斯积分每次改变积分点的个数,所以的积分点的函数值都需要重新计算。

    高斯-切比雪夫公式

    高斯点为切比雪夫节点。

    (未完待续。。。)

    广义积分:高斯-拉盖尔公式

    广义积分:高斯-埃尔米特公式

    2 多重积分方法

    二重积分的辛普森公式

    二重积分的蒙特卡洛方法

    多重(高维)积分的蒙特卡洛方法

    展开全文
  • 精心整理了7种常用数据分析方法(建议收藏)

    万次阅读 多人点赞 2019-11-08 08:30:00
    一位朋友最近吐槽,他...今天DataHunter数猎哥就来给大家分享7常用的数据分析方法,让你轻松运用数据分析解决实际工作问题,提升核心竞争力。一、漏斗分析法漏斗分析法能够科学反映用户行为状态,以及从起点...
  • 本文介绍了近似积分求矿体截面积的方法,并对几种常用求积方法的精度作了比较。指出,积分法计算矿体截面积能满足矿量计算精度要求。
  • 常用的设置原子速度的方法有这么几种: (1)velocity命令 设置原子速度最常用的命令是velocity set命令。这个命令可以设置原子组一个初始的移动速度。 如设置top层原子沿z轴移动实现拉伸: velocity top set 0 0 1 ...
  • 几种常用的插值和分段插值方法Matlab算法实现

    万次阅读 多人点赞 2019-06-16 20:57:42
    几种常用的插值方法主要:Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值;分段插值方法主要:分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值。 接下来: 已知的插值公式: 已知的分段插值公式: 将以上插值公式...
  • 摘要 本文从几方面探求高等数学中无穷级数求和的几种常用方法。 关键词 高等数学;无穷级数;求和 中图分类号O1 文献标识码A 文章编号 1674-6708(2011)35-0091-02无穷级数求和是高等数学的一个重要组成部分,它在...
  • 数值积分方法

    万次阅读 多人点赞 2015-06-19 10:38:47
    数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具,用来计算无法解析求解的定积分的近似解。...那么我们就要通过数值积分方法来计算,数值积分的目的是,通过在有限个采样点上计算f(x) f (x)的值来逼近 f(x)f (x)在区间[a
  • 基于MATLAB圆周率的几种近似计算方法及实现 先简单回顾了圆周率pi的近似计算历史,然后较详细地介绍推导了:割圆术、级数法、迭代法、蒙特卡罗法、数值积分法等计算圆周率pi的近似值的常用方法,并利用matlab软件...
  • 传统的电流积分法、电池内阻法、放电试验法、开路电压法、负载电压法,也较为创新的Kalman滤波法、模糊逻辑理论法和神经网络法等,各种估算方法自己的优缺点,下面对常用几种SOC方法进行简要介绍: ...
  • 几种数值积分方法的误差理论总结及讨论学生:于欣蕊指导教师:任文秀课程设计的基本思路本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及列出具体算例,通过余项、代数精度等比较各种方法的异同。在我们解题时,用一些方法...
  • 本节介绍了无界函数的反常积分概念,三无界函数反常积分在瑕点的极限值如果存在,则无界函数的反常积分存在且收敛,同样可以利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算则无界函数的反常积分,否则该反常积分发散,无法求出。...
  • redis存储的几种方式

    千次阅读 2019-11-15 10:09:28
    一、redis的数据是存在内存里吗? 首先要明白redis是一个数据库 redis是一个内存数据库, 所有数据基本上都存在于内存当中, 会定时以追加或者快照的方式刷新到硬盘中....Redis最为常用的数据类型主要以下:...
  • 凑微分法解常见函数的积分方法

    千次阅读 2020-12-24 08:35:01
    而无论采用何种方法,理应是求得的结果,相同或者是恒等的。那么,总结一下,在面对函数的不定积分时,如何求得呢?思路应该是按下步骤。1. 公式法,常见的一元函数,或基本初等函数它的导数确定,也最常用,因此...
  • 几种采样方法总结

    千次阅读 2017-08-14 11:05:07
    一般遇到这种情况,人们经常会采用一些方法去得到近似解(越逼近精确解越好,当然如果一个近似算法与精确解的接近程度能够通过一个式子来衡量或者上下界,那么这种近似算法比较好,因为人们可以知道接近程度,换个...
  • C语言实现定积分求解方法

    千次阅读 2021-05-21 16:00:03
    求定积分方法有很多种,下面是我总结的几种比较常用方法。#include #include #include #include #define N3double fun(double x){double y;y = sqrt(4-(x)*(x));//y = sin(x);return y;}/*随机点法求定积分*/...
  • 布料仿真中常用积分方法

    千次阅读 2016-11-28 22:36:41
    1. 简介布料仿真中,我们通常将布料剖分为三角形网格(或四边形网格),并用弹簧-质点模型构造动力学系统:质点即三角形的顶点...常用方法有:显式/隐式欧拉法,Symplectic Euler,Midpoint method,Leapfrog integrati
  • 含指数函数的不定积分方法归纳

    万次阅读 2020-04-24 18:29:23
    本文给出了含指数函数的不定积分几种形式,并通过例子来归纳这 些形式的积分技巧。
  • 大家好,我是小马老师。...下面介绍lammps常用几种控温方式对应的实现代码,只讲代码不讲原理,兴趣的可以查阅分子动力学原理书籍。 Nose-Hoover热浴法 nvt和npt采用Nose-Hoover热浴法调节体系温度,因此,如
  • 考试内容概要 不定积分的概念与性质 ...三主要积分法 第一类换元法 第二类换元法 分部积分法 三类常见可积函数的积分 常考提醒与典型例题 求不定积分(换元、分部) ...
  • 电子设计竞赛(4)-常用的两PID算法

    千次阅读 2020-06-24 10:44:54
    4 在进行PID控制时,位置式PID需要有积分限幅和输出限幅,而增量式PID只需输出限幅 位置式PID优缺点: 优点: ①位置式PID是一非递推式算法,可直接控制执行机构(如平衡小车),u(k)的值和执行机构的实际位置...
  • 图像处理中的几种预处理方式

    千次阅读 2021-10-28 11:14:25
    文章目录一、为什么要使用归一化处理二、图像归一化的几种方式三、参考链接 一、为什么要使用归一化处理 归一化指特征工程中的特征缩放过程。归一化操作常用于图像预处理,它就是把你要处理的图像数据经过某种算法...
  • 二重积分的两个计算方法分别是化为累次积分与变量变换, 三重积分也是如此. 今天我们先学习三重积分如何化为二重积分, 即投影法与截面法:显然投影法是先求定积分, 再求重积分; 截面法是先求重积分, 再求定积分, 于是...
  • 轻松学会 Unity 的 UGUI基础控件 使用 Unity中的UI介绍 UI即User Interface(用户界面)的...据我所知Unity中自带的UI,一是UGUI,一是GUI Legacy GUI:旧版 UI,只有两个组件:文字和图片,配合鼠标事件来
  • 文章尝试用尝试用通俗的语言还原密码学应用逻辑与信息传输加密方法,梳理常用加密技术原理及学科学习中的关键要点。

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 23,606
精华内容 9,442
热门标签
关键字:

常用的积分方法有几种