各种数值积分方法总结（龙贝格积分、自适应积分、高斯积分等）
1 (一重积分)常用的数值积分方法
1.1 牛顿-科茨（Newton-Cotes）积分公式
1.1.1 梯形法则（2点积分）
1.1.2-3 辛普森法则（3点积分和4点积分）
1.1.2 辛普森1/3法则（3点积分）
1.1.3 辛普森3/8法则（4点积分）
1.1.4 布尔法则（5点积分）
1.1.5牛顿-科茨积分公式总结
（穿插）积分改进思路1
1.2 复合积分（复合梯形积分、复合辛普森积分等）
1.2.1 复合梯形积分
1.2.2 复合辛普森积分
（穿插）积分改进思路2
1.3常用的高精度积分
1.3.1 龙贝格积分
（穿插）积分改进思路3
1.3.2 自适应积分
1.3.3 高斯积分
高斯-勒让德公式
高斯积分误差：
高斯-切比雪夫公式
广义积分：高斯-拉盖尔公式
广义积分：高斯-埃尔米特公式
2 多重积分方法
二重积分的辛普森公式
二重积分的蒙特卡洛方法
多重（高维）积分的蒙特卡洛方法

本文整理了各种类型的数值积分，从简单的梯形积分、辛普森积分到高精度的自适应积分、龙贝格积分和高斯积分；对于多重积分（高维积分），本文先简单介绍一下蒙特卡洛方法（适用于积分维数大于4的积分），后续会发帖专门针对多重积分方法做介绍。

（如有疏漏，欢迎指正，谢谢~）
1 (一重积分)常用的数值积分方法
常用积分方法包括梯形积分、辛普森积分、自适应积分、龙贝格积分和高斯积分等；其中自适应积分、龙贝格积分和高斯积分属于高精度积分。
1.1 牛顿-科茨（Newton-Cotes）积分公式
牛顿-科茨（Newton-Cotes）积分公式：



包含了梯形法则、辛普森法则、布尔法则等。
1.1.1 梯形法则（2点积分）
梯形法则积分计算公式：
其中，



于是得：



梯形公式要计算两个点的函数值f(a)和f(b)。所以说是两点积分



梯形法则的误差为：


1.1.2-3 辛普森法则（3点积分和4点积分）
辛普森法则分为辛普森1/3法则和辛普森3/8法则，就是用二次/三次插值曲线来代替直线进行积分。


1.1.2 辛普森1/3法则（3点积分）
辛普森1/3法则法则积分计算公式：


1.1.3 辛普森3/8法则（4点积分）
辛普森3/8法则法则积分计算公式：


1.1.4 布尔法则（5点积分）
布尔法则与辛普森法则类似，只是更高阶的多项式积分，其公式为：


1.1.5牛顿-科茨积分公式总结


注意：1.对于3点积分与4点积分具有相同的误差阶；5点积分与6点积分具有相同的误差阶。对于点数更多的积分也一样。因此优先使用奇数个点的积分。

2.对于点数大于等于9的牛顿-科茨积分，求积公式的稳定性得不到保证（具体原因可以找数值积分的数看看，本文源自《现代数值积分》第5章 数值积分与数值微分），积分不能保证收敛，因此实际计算中一般不采用高阶牛顿-科茨积分公式。（处于效率考虑，一般也很少用超过5个点的牛顿-科茨积分公式）。
（穿插）积分改进思路1
牛顿-科茨积分公式思想：根据积分点构造近似的插值多项式，进而利用多项式积分表示原积分。

对于高次的多项式插值，会出现龙格现象（对于高次的多项式插值，插值多项式会出现不收敛的现象，成为龙格现象，想深入了解可以去查询相关资料。并且次数越高，越容易出现不收敛现象）。
针对龙格现象，更好的选择切比雪夫节点来进行插值（想深入了解可以去查询相关资料，本文部分源自《现代数值积分》第3章 多项式插值与样条插值）。


由于切比雪夫节点的特殊性，对于高阶插值的可以收到较好的效果，因此，对于“牛顿-科茨积分公式总结”中提到的点数大于等于9的牛顿-科茨积分，可以采用切比雪夫计算节点，然后构造插值多项式，再计算积分（此方法实现和推广比较麻烦，此处不做扩展，感兴趣的可以自己下去推导实现）。
1.2 复合积分（复合梯形积分、复合辛普森积分等）
上述主要介绍的是单个区间的积分。为了计算更准确，我们可以将区间划分为若干个小的区间，然后对每个小区间进行积分，然后对各个小区间的积分求和。由于对于单个小区间的积分可分为梯形法则，辛普森法则，和布尔法则，因此复合积分的每个小区间的积分可以是这些方法中的任意一种。

下面主要讲一下 复合梯形积分和复合辛普森积分。
1.2.1 复合梯形积分
小区间的划分又分为等长区间和不等长区间两种划分方法。

不等长区间，复合梯形积分计算公式：



区间不等长情况应用场景很有限。
等长区间，复合梯形积分计算公式：



等长区间，复合梯形积分计算误差：


1.2.2 复合辛普森积分
同样的，复合辛普森积分区间的划分也可以分为等长区间和不等长区间两种划分方法。

由于不等长区间应用很少，因此直接介绍等长区间，复合辛普森1/3积分计算公式：


等长区间，复合辛普森1/3积分计算误差：


由于3点积分（辛普森1/3积分）与4点积分（辛普森3/8积分）具有相同的误差阶，因此一般优先使用复合辛普森1/3积分，复合辛普森3/8积分应用极少，因此本文不做介绍。感兴趣的同学可以下去自己推一下复合辛普森3/8积分计算公式，应该也很简单。
（穿插）积分改进思路2
可以看出，将区间划分为更小的区间可以有效的提高积分计算的精度。那么我们是不是可以将积分区间不断地细分，从而来得到更精确的积分结果？理论上是可以的！！

方法1：（区间折半法）

a.计算2个区间的积分，用复合辛普森1/3法则（当然，也可以用梯形法则或者布尔法则等都可以，但是推荐复合辛普森1/3法则）;

b.将两个区间等分为4个区间，用复合辛普森1/3法则计算四个子区间的积分和；

c.比较a和b两步计算的结果相对误差是否接近一个很小的数:(Ia - Ib)/Ib<e。如果相对误差满足要求，则结束，否则继续细分区间，用复合辛普森1/3法则计算积分，直到满足要求为止。
方法2：改进方法1
	a.对每个子区间一分为二后，比较两个区间的积分值与一个区间的积分值是否相近;
	b.如果相近则返回该值；否则对每个子区间执行a。（递归实现）

上面说，理论上是可以的！！理论上是可以的！！但是实际不行！！！

因为计算机浮点数运算是存在误差的。当区间数量很大的时候，浮点数计算的舍入误差（不理解的可以自行去学习了解一下）变得很大，会限制积分的提高。下面就是一个很好的例子。


1.3常用的高精度积分
上述区间二分的思想是很有用的。在龙贝格积分和自适应积分中都会找到它的影子。
1.3.1 龙贝格积分
龙贝格积分的思想，及推导过程：











类推：联合两个误差为O(h^4)的积分，改进后可以得到一个误差为O(h ^ 6)的积分：



由此产生龙贝格积分：




（穿插）积分改进思路3
龙贝格积分是用梯形公式推导得到的，那么我们是不是可以用辛普森公式做类似的推导，也能到达一套新的公式呢？答案是：理论上是可以的！！
由辛普森1/3公式推导出来的加入误差修正的积分计算式：



那么问题就来了。

我们的计算机表达的double值是有范围的，而对于辛普森外，采用递归，递归8次就是16^8 = 2 ^ 32。计算机递归计算的结果很容易就产生溢出了。除非采用多精度浮点数计算才行，而采用多精度浮点数可能存在一些计算效率的问题。。。更深入的问题我就不继续深入探讨了（有兴趣的可以试试）。。。好了，总之来说，用辛普森推导出来的方法不是很实用。还是梯形龙贝格积分经典好使。
1.3.2 自适应积分
龙贝格积分中有两点：

a。每次都会将所有的步长折半；（那么我们能不能只对计算误差较大的那个区间进行折半成两个子区间再积分呢？）

b。辛普森公式推导的方法，由于计算机double表示范围有限没用上。
下面都会在自适应积分中派上用场。自适应积分思想：（递归方法）

step1.辛普森1/3法则计算区间[a,b]的积分；

step2.区间步长折半，复合辛普森1/3法则计算区间[a,b]的积分；

如果两次误差小于给定的误差限，停止执行，返回计算结果

；

如果两次误差大于给定的误差限，对两个子区间分别执行step1和step2。
伪代码：


1.3.3 高斯积分
高斯积分应用比较广泛的是高斯-勒让德公式，此外还有高斯-切比雪夫公式；以及区间【0，正无穷】的广义积分 高斯-拉盖尔公式；以及区间【负无穷，正无穷】的广义积分 高斯-埃尔米特公式。
高斯-勒让德公式
介绍高斯积分的文档就很多了，本文不细讲推导的过程，给出计算方法：



多点高斯-勒让德公式：





高斯勒让德公式的区间为【-1，1】.对于任意区间为【a，b】；需要做一下简单的变量代换，


高斯积分误差：
高斯勒让德公式的区间为【-1，1】，误差：



对于任意区间为【a，b】，误差：





由上式继续往下推导，可以得出，当区间长度【b-a】> 2(n+1)时，误差会发散。因此对于高斯点为n的高斯积分，积分区间长度不要大于2(n+1)，否则积分结果很可能会不准确。

此外，高斯积分的误差还与被积函数的光顺性有关，被积函数光顺性越差，误差越大。详细可参考《现代数值积分》第5章 数值积分与数值微分，P139页）。
高斯积分的优点：高斯积分时给定节点数下代数精度最高的求积公式。
高斯积分的不足：高斯积分每次改变积分点的个数，所以的积分点的函数值都需要重新计算。
高斯-切比雪夫公式
高斯点为切比雪夫节点。
（未完待续。。。）
广义积分：高斯-拉盖尔公式
广义积分：高斯-埃尔米特公式
2 多重积分方法
二重积分的辛普森公式
二重积分的蒙特卡洛方法
多重（高维）积分的蒙特卡洛方法

二重积分的数值方法
《数值分析课程设计》
报  告
专业：
学号：
学生姓名：
指导教师：
一、题目
数值积分中二重积分探究。
二、理论
数值积分就是用数值方法近似计算定积分。其原理很简单，就是将积分核用插值多项式替代，用多项式的结果近似定积分的值。
一般常用的方法是，将积分区间等分为个子区间，即取步长
，
子区间端点为(k=0,1,…，n)，在每个子区间上套用插值积分公式，再将个区间的结果累加起来。
比较常用的有梯形公式，是在每个子区间上用1阶多项式(即直线段)近似并积分的结果：
另外一种在实际应用中很受欢迎的方法是，在每个子区间上用2阶多项式(即抛物线)近似并积分，得到著名的辛普森(Simpson)公式：
其中。
三、方法、算法与程序设计
Ⅰ.辛普森公式求二重积分
考虑二重积分，它是曲面与平面区域R围成的体积，对于矩形区域，可将它写成累次积分
。
若用复合辛普森公式，可分别将,分成N,M等份，步长
,，
先对积分，应用复合辛普森公式，令，，则
从而得
。对每个积分再分别用复合辛普森公式即可求得积分值。MATLAB程序见附录1，MATLAB中自带自适应辛普森公式dblquad()，对于变量区域同样适用。
对于变量区域，写成累次积分的形式：
进行数值计算的表达式为：
上面的表达式中、表示权重，取决于一维积分方法。我们常用复合辛普森公式，先对内积分进行计算，在计算外积分，与矩形区域情况基本一致。
Ⅱ高斯求积公式求二重积分
在高斯求积公式中，若取权函数，区间为，则得公式
。
勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多多项式的零点就是求积公式的高斯点。
若取的零点做节点构造求积公式
；
若取的零点构造求积公式
；
当时，求积公式为
同样先用高斯求积公式求内积分，再求外积分，可得二重积分值。
四、算例、应用实例
算例：
计算二重积分。
(1)若区域，试分别用复合辛普森公式(取n=4)及高斯求积公式(取n=4)求积分。
(2)若区域用复合辛普森公式(取n=4)求积分。
解：
(1)
=
对各个积分应用复合辛普森公式。
也可应用MATLAB中的函数进行计算，程序见附录2。
先将区域变换为区域，其中
，等价于，有
。
对于取时的高斯求积公式节点及系数，即
，，，，
，，，
用的高斯积分公式计算积分I，
(2)
，
等分为4等份，对应值为的值，用
节点应用辛普森公式对内积分求积，再用复合辛普森公式对外积分求积，
也可用MATLAB中的函数实现，结果和程序如下(附录3)。
五、参考文献
【1】  数值分析   李庆扬，王朝能，易大义    清华大学出版社
【2】  数值分析课程设计   陈越，童若锋    浙江大学出版社
【3】  MATLAB教程    张志涌       北京航空航天大学出版社
六、附录
附录1：
function q=DblSimpson(f,a,A,b,B,m,n)if(m==1 && n==1)??%辛普森公式q=((B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,b})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,(B-b)/2})+...   4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,(B-b)/2})+...16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,(B-b)/2}));else?? %复合辛普森公式q=0;for i=0:n-1for j=0:m-1x=a+2*i*(A-a)/2/n;y=b+2*j*(B-b)/2/m;?????????

coffee最近在复习重积分、曲线积分、曲面积分和常微分方程，时常会用到一元积分，然而距coffee学一元积分已有快一年时间了，有些积分公式早已忘得一干二净。所以我们就以一元积分作为本专栏的开头吧。
然而从题头也可以看出，积分公式多得可以写成一本书。除了题头图片展示的《常用积分表》（中国科学技术大学出版社）外，coffee还推荐另一本书：《积分的方法与技巧》（中国科学技术大学出版社）。coffee翻过后者，该书涉及到（不）定积分、重积分、曲线积分、曲面积分、傅里叶积分与积分变换、复变函数的积分、特殊函数的积分等等许多方法，解析过程十分详细，强烈推荐感兴趣的朋友学习这本书。鉴于coffee能力有限，这里只列出一些常用的积分公式：
常用积分公式
其中：
常用积分方法
换元积分法
分部积分法
有理函数的积分
可化为有理函数的积分的情况
有理三角函数的积分
其他方法
一般教材上都会讲解换元积分法和分部积分法的原理和应用，在这里coffee分享一下陈纪修版教材上出现的小技巧（例题详见教材）：
1.换元积分法
2.分部积分法
3.有理函数的积分
根据教材中定理6.3.1和定理6.3.2的证明，可将形如 
 的有理函数（其中 
 和 
 分别为 
 次和 
 次多项式）最终分解为如下两种形式有理函数的线性组合：
再利用换元积分法和分部积分法，理论上可以圆满解决有理函数的积分问题。上述两种类型的有理函数在教材上都给出了具体的计算公式，但过于繁琐，coffee就不贴出来了。而且完全没有必要去记这两个公式，实际计算中都是现推。
对于上述过程，一般都是利用待定系数法将各个有理函数的线性组合的系数求解出来。见例6.3.1。
4.可化为有理函数的积分的形式
5.有理三角函数的积分
这里着重介绍一下万能公式在积分中的应用：
令 
 ，则
那么，形如 
 的有理三角函数就可化为关于参数 
 的积分：
接下来的工作一般就是一系列的约分、通分、分解，最终化为“4.可化为有理函数的积分的形式”。要注意的是，如果是定积分，参数 
的取值范围依赖于 
 的取值范围。当然，如果能用换元积分法或分部积分法就用，到万不得已的情况下再考虑用万能公式来“硬解”，毕竟，公式不好记啊，用得少很快就忘了。
6.其他方法
积分的方法要列举出来肯定数不胜数，在《积分的方法与技巧》一书中，还详细地介绍了欧拉替换法、倍角法等等许多积分方法。coffee不才，如读者感兴趣，还请另寻高“人”。

积分学：
一、不定积分：
二、基本初等函数不定积分表：
三、常用特殊函数不定积分表：
四、初等积分方法：
五、阿贝尔积分：
六、定积分 / 黎曼积分：
七、反常积分：
八、含参积分：
九、二重积分：
十、三重积分：
十一、曲线积分：
十二、曲面积分：
十三、场论：
十四、关于牛顿-莱布尼兹公式及其衍生公式的一点思考：



一、不定积分：






概念
释义
性质




原函数
对于函数$f(x)$，若存在同定义域的函数$F(x)$，使得：$F'(x) = f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$的原函数
设$F_0(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$F_0(x)+C$也是$f(x)$的原函数


不定积分
函数$f(x)$的全体原函数称为$f(x)$的不定积分，记为$\int f(x)dx$，
其中$f(x)$称为积分函数，$f(x)dx$称为积分表达式,$dx$称为积分变量
$\int f(x)dx = F(x)+C$


积分曲线
若$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则把函数图像$y = F(x)$称为$f(x)$的一条积分曲线
$f(x)$的不定积分的所有积分曲线构成积分曲线簇


=> 微分运算和不定积分的关系：
$d[\int f(x)dx] = f(x)dx$
$[\int df(x)] = f(x)+C$
=> 不定积分的性质：
$\int k\cdot f(x)dx = k\cdot \int f(x) dx$
$\int (f(x)\pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
$[\int (f(x)\cdot g(x))dx] ^2 \le [\int f(x) dx]^2 \cdot [\int g(x) dx]^2$（柯西不等式）



二、基本初等函数不定积分表：






函数
不定积分




$f(x) = a$
$F(x) = ax+C$


$f(x) = x^{\alpha}(\alpha \neq -1)$
$F(x) = \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C$


$f(x) = a^x$
$F(x) = \frac{1}{\ln a}a^x+C$


$f(x) = \log_a x$
$F(x) = x\log_a x - \frac{x}{\ln a}+C$


$f(x) = sinx$
$F(x) = -cosx+C$


$f(x) = cosx$
$F(x) = sinx+C$


$f(x) = tanx$
$F(x) = -\ln \mid cosx\mid+C$


$f(x) = cotx$
$F(x) = \ln \mid sinx\mid+C$


$f(x) = secx$
$F(x) = ln\mid secx + tanx\mid + C$


$f(x) = cscx$
$F(x) = ln\mid cscx - cotx\mid + C$


$f(x) = arcsinx$
$F(x) = xarcsinx+\sqrt{1-x^2}+C$


$f(x) = arccosx$
$F(x) = xarccosx-\sqrt{1-x^2}+C$


$f(x) = arctanx$
$F(x) = xarctanx-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$





三、常用特殊函数不定积分表：






函数
不定积分




$f(x) = \frac{1}{x}$
$F(x) = \ln\mid x\mid+C$


$f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$F(x) = arcsinx + C$


$f(x) = \cfrac{1}{1+x^2}$
$F(x) = arctanx + C$


$f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$
$F(x) = ln \mid x+\sqrt{x^2\pm a^2}\mid + C$


$f(x) = e^x$
$F(x) = e^x+C$


$f(x) = \ln x$
$F(x) = x\ln x - x+C$


$f(x) = sec^2 x$
$F(x) = tanx + C$


$f(x) = csc^2 x$
$F(x) = -cotx + C$


$f(x) = shx$
$F(x) = chx+C$


$f(x) = chx$
$F(x) = shx+C$





四、初等积分方法：


1）第一类换元法：



2）第二类换元法：



3）三角换元法：


含$(a^2-x^2), (x^2+a^2), (x^2-a^2)$等项的积分

一般可以通过分别令：$x = asint,atant,asect$换元转化为有理式积分


含$\sqrt{(x-a)(b-x)}$项的积分 (a<x<b)

一般可以通过令$x = acos^2t+bsin^2t$换元转化为有理式积分


含三角函数的函数$f(sinx,cosx)$的积分

一般可以通过万能公式代换，令：$t = tan\frac{x}{2}$换元转化为有理式积分


含三角函数$sin^ax\times cos^bx$的积分：

若$a$,$b$其中之一为奇数，可以令：$t = cosx$ (a为奇数)或 $t= sinx$ (b为奇数)；

若$a$,$b$都是奇数/偶数，可以令：$t = tanx$

=> 或者可以直接通过分部积分得到递推公式进行求解


4）双曲换元法：

含$(a^2-x^2), (x^2+a^2), (x^2-a^2)$等项的积分

一般可以通过分别令：$x = atht,asht,acht$换元转化为有理式积分

5）倒代换法：

当有理分式的分母的次数较高而分子形式又较简单时

可以尝试通过令：$x = \frac{1}{t}$将其转化为形式更为简单的有理分式积分

6）根式替换法：

含一次分式的根式的函数$f(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{s_1},(\frac{ax+b}{cx+d})^{s_2},..,(\frac{ax+b}{cx+d})^{s_n})$

一般可以通过令：$t = (\frac{ax+b}{cx+d})^s$，其中$s = [s_1,s_2,...s_n]$将其转化为有理式积分

7）二项式微分的换元法：

含二项式微分的函数$f(z,z^q(a+bz)^p)$

如果$p,q,p+q$之中有一个是整数，则

一般可以通过令：$t = \sqrt[n]{a+bz},或者t = \sqrt[n]{\cfrac{a+bz}{z}}$, 其中$n$是$p$的分母

8）二次根式的欧拉替换法：
含二次根式的函数$f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$：

若$Δ> 0$,可以令：$\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x -λ)$ , 其中$λ$为二次式的一实根
若$Δ=0$,可以令：$\sqrt{ax^2+bx+c} = (x -λ)$, 其中$λ$为二次式的唯一实根
若$Δ< 0$ 且$a>0$, 可以令： $\sqrt{ax^2+bx+c} = t -\sqrt{ax}$

9）奇次根式的阿贝尔替换法：

含奇次根式分式的函数$f(x,\cfrac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}})$

可以考虑令：$t = \cfrac{ax+\frac{b}{2}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$

10）二次根式的部分分式法：
含二次根式的函数$f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$

按照分解定律一定可以被化成三种类型的积分：


$\int\cfrac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$：利用待定系数法，可以令：

$\int\cfrac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx= Q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda \int \cfrac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$

其中$Q(x)$是比$P(x)$低一次的多项式，$λ$为常数


$\int\cfrac{A}{(x-\alpha)^k\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$：利用倒变换，可以令：

$(x-\alpha) = \frac{1}{t}$将该类型化为上种类型


$\int\cfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$：利用分式线性替换，可以令：

$x = \cfrac{ct+d}{t+1}$，选择合适的$c,d$将原积分化为：$\int \cfrac{P(t)dt}{(t^2+s)^k\sqrt{\alpha t^2+\beta}}$的形式，然后再继续分解化为若干个$\int \cfrac{A_itdt}{(t^2+s)^{k_i}\sqrt{\alpha t^2+\beta}}$和$\int \cfrac{B_idt}{(t^2+s)^{k_i}\sqrt{\alpha t^2+\beta}}$，再分别利用倒变换和阿贝尔变换求解即可


11）分部积分法：


12）  有理函数积分：
根据实系数多项式分解定理：


因此所有有理函数只需要研究去除整式部分后的真分式再分解为的最简分式，如下所示：





分别讨论$I_k^1$和$I_k^2$的解法：






=> 有理式分解方法：


待定系数法：设出所有可能的部分分式，再通分求解系数；


奥氏方法：直接通过分离积分的:

有理部分（有理部分的分母一定是各个部分分式分母的次高次项的乘积，分子利用待定系数）;

无理部分（无理部分的导数的分母一定是各个部分分式分母的一次项的乘积，分子利用待定系数）;

然后再通分求解系数





五、阿贝尔积分：
1）定义：形如$f(x,y)$的函数的积分（其中$y$是$x$的代数函数，即满足代数方程$P(x,y) = 0$）叫做阿贝尔积分，例如$f(x,\sqrt{x^2+px+q})$；
2）有限形状表示定理：阿贝尔积分是否可以表示成有限形状，主要以$P(x,y)=0$决定的曲线的性质所决定，若该曲线能够用参数方程$x = x(t),y = y(t)$表示，其中$x(t),y(t)$是有理函数，则对应的阿贝尔积分一定能够在有限形状中求得；
3）椭圆积分：一般形如$f(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e})$的函数的积分，不能在有限形状中求出的，称为椭圆积分
=> 任何椭圆积分可分解成三类标准椭圆积分：
Ⅰ：$F(k,z)  = \int \cfrac{dz}{ \sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}  \xrightarrow{z=sinx} F(k,x)  =  \int \cfrac{dx}{ \sqrt{1-k^2sin^2x}}$

Ⅱ：$E(k,z)  = \int \cfrac{z^2dz }{ \sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}\xrightarrow{z=sinx} E(k,x) = ∫ \sqrt{1-k^2sin^2x}dx$

Ⅲ：$\Pi(k,h,z) = \int \cfrac{dz}{ (1+hz^2)\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}  \xrightarrow{z=sinx}\Pi(k,h,x) =\int \cfrac{dx}{(1+hsin^2x)\sqrt{(1-k^2sin^2x)}}$





六、定积分 / 黎曼积分：



=> 函数可积的必要条件和常见类型：




=> 可积函数的性质：

1）函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则函数$|f(x)|$在$[a,b]$上可积；
2）可积性对于加法、减法和乘法运算封闭；
3）函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$的任一子区间上可积；
4）改变可积函数在有限个点上的值，既不会破坏其可积性，也不会改变原定积分的值
=> 定积分运算性质：
1）$\int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx$；
2）$|\int_a^bf(x)dx| \le\int_a^b|f(x)|dx$ ；
3）柯西不等式：$(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2 \le \int_a^bf^2(x)dx\times\int_a^bg^2(x)dx$
4）牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的原函数
5）积分中值定理：






七、反常积分：
1）两种类型：
无穷区间上：$\int_a^{+\infty}f(x)dx = \lim_{b\rightarrow+∞}\int_a^bf(x)dx$；
无界函数：$\int_a^bf(x)dx = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx$，

其中上限$b$为$f(x)$的奇点（下限为奇点可类似定义）
2）牛顿-莱布尼兹公式：
无穷区间上：$\int_a^{+\infty}f(x)dx = F(+∞) - F(a)$
无界函数： $\int_a^bf(x)dx =  \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}[F(b-\varepsilon) - F(a)]$
3）敛散性判定定理：
Ⅰ. 比较定理：
至少从某处$x(x>a)$开始时不等式$f(x)\le g(x)$恒成立，则:

从$\int_a^{+∞}g(x)dx$收敛，知$\int_a^{+∞}f(x)dx$收敛；

从$\int_a^{+∞}f(x)dx$发散，知$\int_a^{+∞}g(x)dx$发散 ；
=> 令$K = \lim\cfrac{f(x)}{g(x)}$, 则当$0<K<+∞$时，两函数保持相同的敛散性；
Ⅱ. 柯西判别法：

=> 设x充分大时，可令$f(x) = \cfrac{g(x)}{x^λ}(λ> 0)$，则：

若$λ> 1$且$g(x)\le c<+∞$，则$\int_a^{+∞}f(x)dx$收敛；

若$λ\le 1$且$g(x)\ge c>0$，则$\int_a^{+∞}f(x)dx$发散；
=> 设x充分靠近b，可令$f(x) = \cfrac{g(x)}{ (b-x)^λ}(λ> 0)$，则：

若$λ< 1$且$g(x)\le c<+∞$，则$\int_a^{b}f(x)dx$收敛；

若$λ\ge 1$且$g(x)\ge c>0$，则$\int_a^{b}f(x)dx$发散；
Ⅲ. 阿贝尔判别法：

若$f(x)$在$[a,+∞]$可积，且$g(x)$在区间内单调有界，则：

积分$\int_a^{+∞}f(x)g(x)dx$收敛
Ⅳ. 狄里克雷判别法：

若$\int_a^{b}f(x)dx$在任何有限区间$[a,b]$可积且有界，且$g(x)$在区间内单调趋近于零，则：

积分$\int_a^{+∞}f(x)g(x)dx$收敛





八、含参积分：


1）欧拉积分：

Ⅰ. 第一型欧拉积分（$B$函数）：
$B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$
=> 性质：
$B(x,y) = B(y,x)$
$B(x,y) = \cfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$
Ⅱ. 第二型欧拉积分（$Γ$函数）：
$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$
=> 性质：
$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$，特殊地，当$x = n \in N$时，$\Gamma(n+1) = n!$

$\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \cfrac{\pi}{sin\pi x}(0<x<1)$，此性质称为余元公式
2）变限积分：（仅以变上限积分的定义为例，其他情况类似）


=> 变限积分求导法则：





九、二重积分：





=> 二重积分中值定理：



=> 二重积分计算方法：
① 累次积分法：（仅以先对y积分，再对x积分为例，反之类似）



则：


② 换元积分法：




常见地有：
极坐标变换：若$x = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta$，则：

$dxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = ρdρdθ$
广义极坐标变换：若$x = a\rho cos\theta,y = b\rho sin\theta$，则：

$dxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = abρdρdθ$



十、三重积分：



=> 二重积分计算方法：
① 累次积分法：
先对积分区域任意一条平行于z轴的直线进行积分，再对xy投影面进行积分：（简称先一后二）

设：


则：


先对积分区域任意一个z轴的法切面进行积分，再对z轴进行积分：（简称先二后一）
设：



则：


② 换元积分法：


常见地有：
柱坐标变换：若$x = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta,z=z$，则：

$dxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(ρ,θ,z)}|dρdθdz = ρdρdθdz$
球坐标变换：若$x = r cos\theta sin\varphi,y = r sin\theta sin\varphi,z = r cos\varphi$，则：

$dxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = r^2sin\varphi drdθd\varphi$
广义球坐标变换：若$x = ar cos\theta sin\varphi,y = br sin\theta sin\varphi,z = cr cos\varphi$，则：

$dxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = abcr^2sin\varphi drdθd\varphi$



十一、曲线积分：
1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：



=> 无向性：第一类曲线积分不依赖于积分曲线的走向，即：$\int_{AB}fds = \int_{BA}fds$
=> 对平面曲线积分的计算公式：
① 直角坐标：$∫_Cf(x,y)ds = ∫_a^bf(x,y)\sqrt{1+(y'_x)^2} dx$
② 参数坐标：$∫_Cf(x,y)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt$
③ 极坐标：$∫_Cf(x,y)ds = ∫_{θ1}^{θ_2}f(rcosθ,rsinθ)\sqrt{r(θ)^2+r'(θ)^2}dθ$
=> 对空间曲线积分的计算公式：
① 参数坐标：$∫_Cf(x,y,z)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} dt$
② 直角坐标 / 极坐标：一般需要化为参数坐标，再代入公式①进行计算
2）第二类曲线积分：（对坐标的曲线积分）



=> 有向性：第二类曲线积分依赖于积分曲线的走向，且有：$\int_{AB}fds = -\int_{BA}fds$
=> 对平面曲线积分的计算公式：
① 直角坐标：$∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_C[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx$
② 参数坐标：$∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt$
③ 极坐标：一般化为参数坐标或直角坐标，再代入公式②或①进行计算
=> 对空间曲线积分的计算公式：
① 参数坐标：$∫_CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t) ]dt$
② 直角坐标 / 极坐标：一般需要化为参数坐标，再代入公式①进行计算
3）两类曲线积分的转化：


4）曲线积分与积分路径无关的充要条件：
=> 对于平面曲线积分：



=> 对于空间曲线积分：


5）对平面曲线积分的格林公式：



=> 格林公式是二重积分和平面曲线积分之间的连接桥梁，也可看作“二维版”的牛顿-莱布尼兹公式
6）对空间曲线积分的斯托克斯公式：



另有行列式写法：


=> 斯托克斯公式是曲面积分和空间曲线积分之间的连接桥梁，也可看作“弯曲版”的格林公式



十二、曲面积分：


1）第一类曲面积分：（对曲面面积的积分）



=> 第一类曲面积分的计算公式：
① 参数方程：$\iint_Sf(x,y,z)dS = \iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv$
其中：$E = r_u'\cdot r_u', G = r_v'\cdot r_v', F = r_u'\cdot r_v'$，$r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
② 直角方程：$\iint_Sf(x,y,z)dS =\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy$
2）第二类曲面积分：（对坐标平面的曲面积分）



=> 第二类曲面积分的计算公式：
① 参数方程：$\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy = \iint_{D_{uv}}[PA+QB+RC]dudv$
其中：$(A,B,C) = r_u'\times r_v'$，$r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
② 直角方程：$\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy =\pm\iint_{D_{xy}}[P(-z_x')+Q(-z_y')+R]dxdy$
其中的正负号有S的定向决定，法向量指向上侧时为正，反之为负（仅以$\rm XY$平面为坐标投影面为例；同理，若以$\rm XZ$平面为坐标投影面，则法向量指向右侧为正，反之为负；若以$\rm YZ$平面为坐标投影面，则法向量指向前侧为正，反之为负）
3）两类曲面积分的转化：


4）对曲面积分的高斯公式：（“三维版的格林公式”）


=> 高斯公式是三重积分和曲面积分之间的连接桥梁，也可看作“三维版”的格林公式



十三、场论：


1）数量场的梯度：
考虑数量场$u = f(x,y,z)$:




2）向量场的散度：





3）向量场的旋度：




4）场论形式的斯托克斯公式：
$\oint_C Adr = \iint_S rot A\cdot n dS$，其中：$n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)$
5）场论形式的高斯公式：
$\oiint_S A\cdot ndS = \iiint_V div A dV$，其中：$n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)$



十四、关于牛顿-莱布尼兹公式及其衍生公式的一点思考：
经读者思考，我们其实可以从某个角度将牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、斯托克斯公式、高斯公式统一起来，即：

它们均表达的是将若干个函数对某一个有界几何区域上的积分转化为该若干个函数的原函数或偏原函数对该区域的边界上的积分，例如：
① 牛顿-莱布尼兹公式：将一维线段上的积分$\int_a^b f(x)dx$转化为其原函数对该一维线段的两端点上的积分$F(x)|^b_a$；
② 格林公式：将二维单连通平面上的积分$\iint_D (\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy$转化为其偏原函数对该二维平面的闭合边界曲线上的积分$\oint_C Pdx+Qdy$；

③ 斯托克斯公式：将二维单连通曲面上的积分$\iint_S [(\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy]$转化为其偏原函数对该二维曲面的闭合边界曲线上的积分$\oint_C Pdx+Qdy+Rdz$；
④ 高斯公式：将三维闭区域上的积分$\iiint_V [\cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z}]dxdydz$转化为其偏原函数对该三维区域的闭合边界曲面上的积分$\oiint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$；