一文了解参数检验和非参数检验：

前言

假设检验

概念：是一种根据样本数据来推断总体的分布或均值、方差等总体统计参数的方法。

根据样本来推断总体的原因：

• 总体数据不可能全部收集到。如：质量检测问题
• 收集到总体全部数据要耗费大量的人力和财力

假设检验包括：

• 参数检验
• 非参数检验

基本原理: 利用小概率原理进行反证明。小概率事件在一次实验中不可能发生。

基本步骤：

1. 根据检验的目标，对有待推断的总体参数或分布作一个零假设 $H_0$
2. 构造检验统计量, 且该统计量服从某种已知分布.（卡方分布、t分布、F分布）
3. 利用收集到的样本数据和基本假设计算检验统计量的值，并得到相应的相伴概率 $P$ 值，即：检验统计量在某个特定的极端区域取值在 $H_0$ 成立时的概率.
4. 给定显著性水平，如果概率 $P$ 值小于用户给定的显著性水平 $\alpha$ (一般取0.05或0.01)，则拒绝零假设 $H_0$ 而接受备择假设 。否则，不拒绝零假设 $H_0$ （类似一种反证法）。显著性水平指的是零假设正确却被错误拒绝的概率，一般取 $0.01$ 或 $0.05$，即零假设正确且正确接受的概率为 $99$ 或 $95$.

区别

简而言之，若可以假定样本数据来自具有特定分布的总体，也就是在总体分布形式已知的情况下，对总体分布的参数如均值、方差等进行推断, 则使用参数检验。如果不能对数据集作出必要的假设, 或者在总体方差未知或知道甚少的情况下，无法对总体分布形态作简单假定，则使用非参数检验。其中非参数的意思是推断过程中不涉及有关总体分布的参数.

1、定义不同：

参数检验：假定数据服从某分布（一般为正态分布），通过样本参数的估计量（x±s）对总体参数（μ）进行检验，比如t检验、u检验、方差分析。

非参数检验：不需要假定总体分布形式，也就是当总体分布未知时, 直接对数据的分布进行检验。由于不涉及总体分布的参数，故名「非参数」检验。比如，卡方检验。

2、趋势的衡量

参数检验的集中趋势的衡量为均值，而非参数检验为中位数。

3、总体分布信息

参数检验需要关于总体分布的信息；非参数检验不需要关于总体的信息。

4、适用性

参数检验只适用于变量，而非参数检验同时适用于变量和属性。

5、测量两个定量变量之间的相关程度

参数检验用Pearson相关系数，非参数检验用Spearman秩相关。

6、优缺点

参数检验：优点是符合条件时，检验效率高；其缺点是对资料要求严格，如等级数据、非确定数据（＞50mg）不能使用参数检验，而且要求资料的分布型已知和总体方差相等。

非参数检验：优点是应用范围广、简便、易掌握；缺点是若对符合参数检验条件的资料用非参数检验，则检验效率低于参数检验。如无效假设是正确的，非参数法与参数法一样好，但如果无效假设是错误的，则非参数检验效果较差，如需检验出同样大小的差异的差异往往需要较多的资料。另一点是非参数检验统计量是近似服从某一部分，检验的界值表也是有近似的（如配对秩和检验）因此其结果有一定近似性。

参数检验

常见方法：

1.正态总体均值的假设检验（t检验）
检验1组数据样本的均值是否等于，大于或小于某个值，或者检验两组数据样本的均值的大小情况。其中的统计量Z一般服从t分布。
2.正态总体方差的假设检验
检验1组数据样本的方差是否等于，大于或小于某个值，或者检验两组数据样本的方差的大小情况。其中单样本检验的统计量X2一般服从卡方分布。双样本检测的统计量F一般服从F分布。
3.二项分布总体的假设检验（非正态总体的假设检验）
非正态总体的假设检验有很多，二项分布总体的假设检验相对较为常用。常用于随机抽样实验的成功概率的检验。

非参数检验

常见方法：

1. Wilcoxon Signed Ranks test：也称配对符号秩检验，适用于连续型资料，用来检验配对资料的差值是否来自于中位数为0的总体，也可推断总体中位数是否等于某个指定值，该方法利用配对资料差值大小的信息，检验效率高于符号检验。

2. Sign test：也称差数秩检验，根据配对资料差值正负号检验其效果有无差异，由于检验效能较低，当配对设计资料不满足非参数检验时可考虑使用。

3. McNemar test：在卡方检验时学习过，该方法适用于计数资料，指标变量为二分类，可用来检验配对设计资料处理前后的结果是否存在差异或者配对组之间的频率有无差异。

4. Marginal Homogeneity test: McNemar 检验的扩展，适用于指标变量为多分类的有序或无序资料，即平方表格资料(R×R列联表资料)。

5. Neyman-Pearson χ2 拟合优度检验
   检验样本数据是否符合某种分布，Neyman-Pearson 拟合优度检验是非常重要的非参数检验方法， 既可以用于检验数据的分布特性，又可以检验不同组数据之间的分布关系（是否是同一分布）。

6. Kolmogorov-Smirnov检验
   也是一个相当重要的检验方法，和Pearson方法一样属于拟合优度检验方法。但是Kolmogorov-Smirnov方法无需对要检验的数据分组，且使用经验累积分布函数（ECDF）来定义统计量，可以用于任何分布的检验。但Kolmogorov-Smirnov只适用于一元分布的情况。因此适用面与Pearson方法相比稍小。

7. 独立性检验
   很重要的检验方法，具体有Pearson卡方检验，Fisher精确独立性检验。这些检验方法通常用于检验数据的分布和假设影响因素的关系。

8. 符号检验和秩和检验
   检验样本与总体的情况，或样本总体间的差异。

适用情形

（1）等级顺序资料。
（2）偏态资料。当观察资料呈偏态或极度偏态分布而有未经变量变换，或虽经变量变换但仍未达到正态或近似正态分布时，宜用非参数检验。
（3）未知分布型资料
（4）要比较的各组资料变异度相差较大，方差不齐，且不能变换达到齐性。
（5）初步分析。有些医学资料由于统计工作量过大，可采用非参数统计方法进行初步分析，挑选其中有意义者再进一步分析（包括参数统计内容）

（6）对于一些特殊情况，如从几个总体所获得的数据，往往难以对其原有总体分布作出估计，在这种情况下可用非参数统计方法。

reference

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文章目录

• • @[toc]
  • Mann-Whitney U检验
  • • 适用条件
    • R语言示例
  • Wilcoxon配对秩和检验
  • • 适用条件
    • R语言示例
  • Kruskal-Wallis检验
  • • 适用条件
    • R语言示例
  • Friedman检验
  • • 适用条件
    • R语言示例

非参数检验是在总体方差未知或知道甚少的情况下，利用样本数据对总体分布形态进行推断的方法。它利用数据的大小间的次序关系(秩Rank)，而不是具体数值信息，得出推断结论。

它是参数检验所需要的某些条件不满足时所使用的方法。

和参数检验相比，非参数检验的优势如下：

• 稳健性。对总体分布的条件要求放宽
• 对数据类型要求不严格，适用有序分类变量
• 适用范围广

劣势：

• 没有利用实际数值，损失了部分信息，检验的有效性较差。

非参数性检验的方法非常多，基于方法的检验功效性角度，本文只涉及

• 双独立样本：Mann-Whitney U检验
• 双配对样本：Wilcoxon配对秩和检验
• 多独立样本：Kruskal-Wallis检验
• 多配对样本：Friedman检验

Mann-Whitney U检验

曼-惠特尼U检验(曼-惠特尼秩和检验)，是由H.B.Mann和D.R.Whitney于1947年提出的。它假设两个样本分别来自除了总体均值以外完全相同的两个总体，目的是检验这两个总体的均值是否有显著的差别。

适用条件

• 双独立样本检验

R语言示例

函数及格式：wilcox.test(y~x,data)

其中，y是连续变量，x是一个二分变量。

也可以使用这种形式：

wilcox.test(y1,y2)

其中，y1和y2为变量名。可选参数data的取值为一个包含这些变量的矩阵或数据框。

示例：

#载入MASS包
library(MASS)
#使用UScrime数据集
#Prob为监禁率，So为是否南方地区
#检验美国监禁率是否存在南方和非南方差异
#wilcox.test检验
wilcox.test(Prob~So,data = UScrime)
#结果
	Wilcoxon rank sum test

data:  Prob by So
W = 81, p-value = 8.488e-05
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
#结果显示P小于0.001,美国监禁率存在南方和非南方地区差异。

Wilcoxon配对秩和检验

Wilcoxon配对秩和检验是对Sign符号检验的改进。它的假设被归结为总体中位数是否为0。

适用条件

• 双配对样本检验

R语言示例

Wilcoxon配对秩和检验调用函数格式与Mann-Whitney U检验相同。不同之处在于可以添加paired=TRUE参数。

示例：

#u1(14-24岁年龄段城市男性失业率)
#u2(35-39岁年龄段城市男性失业率)
#检验失业率是否在两个年龄段存在差异
#Wilcoxon配对秩和检验
with(UScrime,wilcox.test(U1,U2,paired = TRUE))
#结果
	Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  U1 and U2
V = 1128, p-value = 2.464e-09
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
#结果显示，存在差别。

Kruskal-Wallis检验

由克罗斯考尔和瓦里斯1952年提出，用来解决多独立样本难以满足方差分析条件(独立性、正态性、方差齐性)时统计推断问题。

适用条件

• 多独立样本检验

R语言示例

函数格式：

kruskal.test(y~A,data)

其中，y为连续变量，A为两个或更多水平的分组变量。

示例：

#检验美国四个地区文盲率是否存在差异
#数据皆来自R自带数据集
#通过state.region数据集获取地区名称，即分组变量。
states <- data.frame(state.region,state.x77)
#调用kruskal.test函数
kruskal.test(Illiteracy~state.region,data = states)
#结果
	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  Illiteracy by state.region
Kruskal-Wallis chi-squared = 22.672, df = 3, p-value =
4.726e-05
#结果显示，文盲率存在地区差异。

Friedman检验

Friedman检验也称弗里德曼双向评秩方差分析。由Friedman在1937年提出，基本思想是独立对每一个区组分别对数据进行排秩，消除区组间的差异以检验各种处理之间是否存在差异。

适用条件

• 多配对样本检验

Fiedman检验在样本量有限的情况下，实际应用价值不大。

R语言示例

函数格式：

friedman.test(y~A|B,data)

其中，y为连续变量，A是一个分组变量，B是一个用以认定匹配观测的区组变量。

或者
friedman.test(data=matrix格式)

其中，data要求矩阵格式。可以通过as.matrix转换

示例：

(虚构)有30名女性分为三组每组10人，试吃三种药。经过一段时间后，药效如下。问三种药药效是否有区别。

药1
4.4,5,5.8,4.6,4.9,4.8,6,5.9,4.3,5.1

药2
6.2,5.2,5.5,5,4.4,5.4,5,6.4,5.8,6.2

药3
7.0,6.2,5.9,6,4.6,6.4,5,6.4,5.8,6.2

#生成数据集
drug1 <- c(4.4,5,5.8,4.6,4.9,4.8,6,5.9,4.3,5.1)
drug2 <- c(6.2,5.2,5.5,5,4.4,5.4,5,6.4,5.8,6.2)
drug3 <- c(7.0,6.2,5.9,6,4.6,6.4,5,6.4,5.8,6.2)
#矩阵
data <- matrix(c(drug1,drug2,drug3),nrow = 10,dimnames = list(ID=1:10,c('drug1','drug2','drug3')))
#查看数据
data
    
ID   drug1 drug2 drug3
  1    4.4   6.2   7.0
  2    5.0   5.2   6.2
  3    5.8   5.5   5.9
  4    4.6   5.0   6.0
  5    4.9   4.4   4.6
  6    4.8   5.4   6.4
  7    6.0   5.0   5.0
  8    5.9   6.4   6.4
  9    4.3   5.8   5.8
  10   5.1   6.2   6.2
#调用friedman.test函数
friedman.test(data)

	Friedman rank sum test

data:  data
Friedman chi-squared = 6.8889, df = 2, p-value =
0.03192
#结果显示，三种药之间存在区别。

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