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  • 离散傅里叶变换DFT分析信号频谱解析.ppt
    2021-04-26 18:50:14

    利用DFT分析信号频谱 问题的提出 四种信号频谱之间的关系 利用DFT分析连续非周期信号频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 DFT参数选取 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 2. 泄漏现象:选择合适的窗函数 凯塞窗(Kaiser) 窗函数五: 时域波形 幅度频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 2. 泄漏现象:选择合适的窗函数 常用窗函数特性 窗函数类型 主瓣宽度 旁瓣峰值衰耗(dB) 矩形 4p / N -13 Hanning 8p / N -31 Hamming 8p / N -41 Blackman 12p / N -57 Kaiser( ) 10p / N -57 86 . 5 = b 例:为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响,现分析一无穷长的余弦信号的频谱。 加窗 抽样 DFT 加窗 抽样 DFT 例:已知一连续信号为 若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样,试求由DFT分析 其频谱时,能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 矩形窗 DFT分析信号频谱 * 问题的提出 有限长序列的傅里叶分析 离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱 第2章 离散傅里叶变换(DFT) 1.连续时间非周期信号 图1 连续非周期信号及其频谱 问题的提出 2.连续时间周期信号 问题的提出 图2 连续周期信号及其频谱 3.离散时间非周期信号 问题的提出 图3 离散非周期信号及其频谱 问题的提出 4.离散时间周期信号 图4 离散周期信号及其频谱 问题的提出 如何利用数字方法分析信号的频谱? 问题的提出 有限长序列xN[k]的傅里叶变换DFT DFT可以直接计算周期序列的DFS 问题的提出 可否利用DFT分析以上四种信号的频谱? 基本原理 利用信号傅里叶变换具有的信号时域与频域之间的对应关系,建立信号的DFT与四种信号频谱之间的关系。 时域的离散化 时域的周期化 频域周期化 频域离散化 四种信号的时域与频域对应关系 FT FS DTFT DFS 抽样 离散化 周期化 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 DFT实现 假设连续信号持续时间有限,频带有限 m N ] [ m X T A m N ] [ m X T A N ] [ m X T A ~ 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 序列DTFT和DFT的关系为: 综合两式,连续信号的频谱与DFT的关系为: 表明,DFT计算出的频谱是连续信号频谱周期化后的抽样值,其抽样间隔为 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 X[m]与X(jw)对应关系: m N ] [ m X T A m N ] [ m X T A N ] [ m X T A ~ 0?m?(N/2-1), N/2?m?N-1, N点X[m]重排: 对应的连续信号的抽样点为: Matlab提供fftshift(x)函数完成重排。 例:已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz, 用fsam=8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT,试确定X[m]中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1 和f2 (kHz)。 对连续信号x(t)按fsam=8kHz进行抽样,得到对应的离散序列x[k],在利用离散序列x[k]的DFT X[m]分析连续信号x(t)的频谱时,X[m] 与X(jw)存在以下对应关系: 当m=600时,由于0?m?(N/2-1),所以 当m=1200时,由于N/2?m?N,所以 解: 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 1. 无限长,其频带有限 加窗 抽样 DFT 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 2. 有限长,其频带无限 抽样 DFT 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 3. 无限长,其频带无限 加窗 出现三种现象:混叠、泄漏、栅栏 抽样 DFT 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 1. 混叠现象:减小抽样间隔T,抗混滤波 抗混滤波 抽样间隔T 抽样 DFT 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 2. 泄漏现象:对时域截短,使频谱变宽拖尾现象。 解决方法: 1. 增加w(k)的长度;2. 缓慢截断-——选择合适的窗函数 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 2. 泄漏现象:选择合适的窗函数 加窗 DFT 其中: ? ? ? ? ? í ì = 凯塞窗 布拉克曼窗 哈明窗 汉宁窗 矩形窗 ] [ k w N 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 2. 泄漏现象:选择合适的窗函数 矩形窗 窗函数一: 时域波形

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    3 . 线性时不变系统
    信号可以分解成离散时间脉冲 δ[n] 表示:

    x[n]=k=x[n]δ[nk]

    通过一个线性是不变系统
    y[n]=T{k=x[n]δ[nk]}=k=x[n]T{δ[nk]}

    hk[n] 是系统对发生在 n=k 的单位样本序列 δ[nk] 的相应
    y[n]=k=x[n]hk[n]

    由于线性时不变性,如果 h[n] 是系统对 δ[n] 的响应,那么系统对 δ[nk] 的响应应该是 h[nk] ,上面式子可以变为:
    y[n]=k=x[n]h[nk]=x[n]h[n]

    表示卷积
    如果输入信号x[n]=ejwn(w看做常量,n是自变量),那么输出为
    y[n]=x[n]h[n]=h[n]x[n]=k=h[k]x[nk]=k=h[k]ejw[nk]=ejwnk=h[k]ejwk

    若定义
    H(ejw)=k=h[k]ejwk

    那么上面式子可以变为
    y(n)=H(ejw)ejwn

    如何理解这个式子
    ejwn 是一个单频指数信号,频率为w
    H(ejw) 是一个关于变量 w 的函数,对每个输入的w0都会有一个特定的输出,一般为复数
    这个单频信号x[n]通过系统h[n],可以看做系统对信号有一个幅值修正和相位偏移
    特征值 H(ejw) 称为系统的频率响应, h[n] 为系统的单位脉冲响应
    如果一个信号x[n]可以分解为多个这样单频信号的叠加和

    x[n]=kakejwkn

    根据系统的线性
    y[n]=(kakejwkn)h[n]=kakejwknh[n]=kakH(ejwk)ejwkn

    DFT离散傅里叶变换

    上面这部分从LTI(线性时不变)系统的概念推导出出了离散信号的傅里叶变换

    X(ejw)=n=x[n]ejwn

    傅里叶反变换
    x[n]=12πππX(ejw)ejwndw


    傅里叶变换定理:

    序列傅里叶变换
    x[n] X(ejw)
    y[n] Y(ejw)
    x[nnd] ejwndX(ejw)
    ejw0nx[n] X(ej(ww0))
    x(n) X(ejw)
    nx[n] jdX(ejw)dw
    ax[n]+by[n] aX(ejw)+bY(ejw)
    x[n]y[n] X(ejw)Y(ejw)
    x[n]y[n] 12πππX(ejθ)Y(ej(wθ))dθ
    n=|x[n]|2=12πππ|X(ejw)|2dθ 帕斯瓦尔定理,两个域的能量保持不变

    任意实信号的傅里叶变换:

    • X(ejw)=X(ejw) 共轭对称
    • XR(ejw)=XR(ejw) 实部为偶函数
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    • -

    matlab相关函数功能分析

    窗函数
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    凯瑟窗kaiser(n, β ), β 越大,波形越陡峭,旁瓣衰减越好,但是过渡带变宽
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    布莱克曼窗blackman
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    窗函数工具 wintool
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    连续非周期信号频谱剖析及Matlab实现

    连续非周期信号频谱剖析及Matlab实现

    摘 要: 为了便于计算机辅助计算复杂的连续信号频谱,经常采用DFT方法。DFT不仅能反映信号的频域特征更便于用计算机处理。这里先对连续非周期信号做离散化处理,然后截短得到有限长序列,最后做DFT变换。针对常用信号DFT谱分析的原理及谱分析中的相关问题进行了较为深入的探讨,并结合实例用Matlab仿真软件进行了分析和验证。

    关键词: DFT; 频谱分析; Matlab; 矩形窗; Hamming窗

    中图分类号:TN911.72?34 文献标识码: A 文章编号: 1004?373X(2013)11?0053?04

    0 引 言

    频谱分析在数字信号处理中用途广泛:如滤波、检测等方面,这些都需要DFT(Discrete Fourier Transform)运算[1?3]。信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应关系,可以借助DFT来分析。有限长序列的DFT可以由数字方法直接计算,且DFT存在快速算法,便于用计算机处理[4?6]。本文介绍具体的连续非周期信号结合Matlab软件来分析其频谱。

    1 连续非周期信号谱DFT分析

    在已知连续信号数学解析式的情况下,非周期信号的频谱可以根据Fourier变换的定义进行解析计算。实际应用中的多数信号不存在数学解析式,信号的频谱无法利用傅里叶分析公式方法直接计算,一般需采用数值方法进行近似计算分析频谱,在进行数字计算时,需对计算的连续变量进行离散化。由于连续非周期信号[x(t)]的频谱函数[X(jω)]是连续函数,因此,需要对其进行离散化处理得到[x[n]]以近似分析相应的频谱。通过建立序列[x[n]]的离散Fourier变换[X[m]]与连续非周期信号[x(t)]的Fourier变换[X(jω)]之间的关系,可以利用DFT对连续非周期信号频谱进行近似分析,此近似分析过程中一般将会出现三种现象:混叠现象、泄漏现象和栅栏现象[7?8]。这些现象与应用中信号和DFT的参数选择有关。下面分别讨论近似过程中可能出现的问题及其解决方法。

    2 DFT分析过程中出现的若干问题

    2.1 混叠现象

    由DFT计算出的频谱是信号[x(t)]的频谱[X(jω)]周期化的抽样值,如果连续信号不是带限信号,或者抽样频率不满足抽样定理,在连续信号离散化时,就会出现信号频谱的混叠。解决连续信号离散化过程中的频谱混叠主要有两种方法:对于带限连续信号,只要提高抽样频率使之满足时域抽样定理;对于非带限连续信号,可根据实际信号对其进行低通滤波,使之成为带限信号。工程实际中的连续信号一般都不是带限信号,连续信号在抽样前通常都经过一个模拟低通滤波器(称为抗混叠滤波器)进行低通滤波,以减少混叠误差,提高频谱分析精度。

    2.2 泄漏现象

    对连续非周期信号的采样序列[x[n]]进行DFT运算时,时间长度总是取有限值,在将信号截短即时域加窗处理的过程中,出现了分散的扩展谱线的现象,称为频谱泄漏。对离散序列的加窗实际上是将离散序列与窗函数相乘,加窗后信号的频谱是加窗前信号的频谱与窗函数频谱的卷积,造成截短后信号的频谱与截短前信号的频谱不同,所得的频谱在原来没有频谱的区间出现了频谱。原来比较尖锐的谱峰变得比较平缓,当两个不同频率的谱峰靠得比较近时,可能显现不出两个明显的峰值。特别是强信号谱的旁瓣可能淹没弱信号的主谱或误认为是另一假信号的主谱线。矩形窗的旁瓣幅度大,谱间干扰严重。频谱泄漏使频谱变模糊,分辨率(事实上通常规定DFT的频率分辨率为[fsN],[fs]为采样频率,[N]是指信号[x[n]]的有效长度)变差,泄漏程度与窗函数幅度谱主瓣宽度有关。窗型一定,窗口越长,主瓣越窄,频谱泄漏越小;窗口长度一定,矩形窗主瓣最窄,频谱泄漏最小,但其旁瓣的幅度最大。因此为了尽量减少泄漏现象,应选用旁瓣幅度小、主瓣窄,即“泄漏”小的窗函数。相对而言,布莱克曼窗的旁瓣幅度比矩形窗小,谱间干扰小,但其主瓣过渡带宽,分辨率差。采样频率或采样周期是在满足混叠误差前提下选取的,当采样频率或采样周期确定后,适当增加窗口长度有利于减小泄漏误差。

    2.3 栅栏现象

    DFT得到的频谱[X[m]]只能是连续非周期信号频谱[X(jω)]上的有限离散频点采样,由于[X[m]]是离散序列,因而无法反映抽样点之间的细节,就如同隔着百叶窗观察窗外的景色,这种现象称为栅栏现象。栅栏现象是利用DFT分析连续非周期信号频谱过程中无法克服的现象,有时频谱中的某些重要信息恰好就在抽样点之间,将被错过,而检测不出。为了改善栅栏现象,把被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来,可在原记录序列后面补零,增加DFT的长度,即增加频域[X(jω)]上的采样点数N,改变离散谱线的

    展开全文
  • 一、离散时间信号 与 连续时间信号 关系、 二、序列的表示方法、 1、列表法、 2、函数表示法、 3、图示法





    一、离散时间信号 与 连续时间信号 关系



    对于一个 连续时间信号 x a ( t ) x_a(t) xa(t) ,

    如果 t t t 为间隔进行采样 , n t nt nt 时间的采样为 x a ( n t ) x_a(nt) xa(nt) ,

    其中 t t t 可以省略 , 直接 使用 n n n 代表 n t nt nt 即可 ,

    原来的 时间序列为 t , 2 t , 3 t , 4 t , ⋯   , n t t, 2t, 3t , 4t , \cdots, nt t,2t,3t,4t,,nt , 省略 t t t 后 , 时间序列变为 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯   , n 1, 2, 3 , 4 , \cdots, n 1,2,3,4,,n ;

    则有 x a ( n t ) = x a ( n ) = x ( n ) x_a(nt) = x_a(n) = x(n) xa(nt)=xa(n)=x(n) , n n n 取正整数 ;


    连续时间信号与离散时间信号之间的关系 : x ( n ) = x a ( n t ) x(n) = x_a(nt) x(n)=xa(nt)

    其中 x a ( n t ) x_a(nt) xa(nt) 是连续时间信号 , x ( n ) x(n) x(n) 是离散时间信号 ;


    如 : 44100 Hz 的音频采样 , 其采样间隔 t = 1 44100 t = \cfrac{1}{44100} t=441001 秒 ,
    t t t 表示 1 44100 \cfrac{1}{44100} 441001 秒 , 使用序号 1 1 1 表示 ;
    2 t 2t 2t 表示 2 44100 \cfrac{2}{44100} 441002 秒 , 使用序号 2 2 2 表示 ;
    3 t 3t 3t 表示 3 44100 \cfrac{3}{44100} 441003 秒 , 使用序号 3 3 3 表示 ;
    4 t 4t 4t 表示 4 44100 \cfrac{4}{44100} 441004 秒 , 使用序号 4 4 4 表示 ;
                                ⋮ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots                            
    n t nt nt 表示 n 44100 \cfrac{n}{44100} 44100n 秒 , 使用序号 n n n 表示 ;





    二、序列的表示方法



    x ( n ) x(n) x(n) 离散时间信号 , 又称为 " 序列 " , 序列有如下表示方法 :


    1、列表法


    列表法 : 使用列表的方式 , 直接将序列中的各个值列举出来 , 放在集合中 ;


    如 : x ( n ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } [ 0 , 4 ] x(n) = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}_{[0,4]} x(n)={0,1,2,3,4}[0,4]

    x ( n ) x(n) x(n) 表示离散时间信号的值 , 当时间为 n t nt nt 时 , 当前的信号值是多少 ;

    后面的 [ 0 , 4 ] [0,4] [0,4] 表示 n n n 的取值范围 ;

    n = 0 n=0 n=0 时 , x ( 0 ) = 0 x(0) = 0 x(0)=0 ;
    n = 1 n=1 n=1 时 , x ( 0 ) = 1 x(0) = 1 x(0)=1 ;
    n = 2 n=2 n=2 时 , x ( 0 ) = 2 x(0) = 2 x(0)=2 ;
    n = 3 n=3 n=3 时 , x ( 0 ) = 3 x(0) = 3 x(0)=3 ;
    n = 4 n=4 n=4 时 , x ( 0 ) = 4 x(0) = 4 x(0)=4 ;


    2、函数表示法


    函数表示法 : 使用函数的方式 , 表示 离散时间信号 ( 序列 ) 的值 ;

    x ( n ) = s i n ( 0.5 π n ) x(n) = sin(0.5 \pi n) x(n)=sin(0.5πn)

    x ( n ) x(n) x(n) 表示离散时间信号的值 , 当时间为 n t nt nt 时 , 当前的信号值是多少 ;


    3、图示法


    图示法 : 使用线图 , 包络图表示序列 ;

    在这里插入图片描述

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  • 其实,大家如果已经熟悉了连续时间周期信号的傅里叶级数的表示形式:x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t}x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t 那么,其实 DFS 就只是直接类比过来就行了...
  • 周期矩形脉冲信号频谱分析.PPT

    千次阅读 2020-12-28 21:22:52
    周期矩形脉冲信号频谱分析(2) 互相关函数R12(τ)=R21(-τ)。 (3) 自相关函数R(τ)=R(-τ)是偶函数。 (4) 自相关函数R(0)的物理意义是:对于能量信号 对功率信号 (5) R(0)≥R(τ)。 2.6.2 归一化相关函数和相关系数...

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常用离散信号频谱