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  • 我们常看到傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等概念,本文对这些概念进行简单的梳理和介绍。1. 傅里叶级数考虑一个在区间 上可积的函数 ,其傅里叶级数 (Fourier Series - FS) 为其中说明...

    傅里叶变换是一种线性积分变换,用于信号在时域和频域之间的表示,在数学、物理、数字信号处理等领域有重要应用。

    我们常看到傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等概念,本文对这些概念进行简单的梳理和介绍。

    1. 傅里叶级数

    考虑一个在区间 上可积的函数 ,其傅里叶级数 (Fourier Series - FS) 为

    其中

    说明 为了简化括号,我们把, 简写为,下文以此类推。

    由欧拉公式

    代入可得

    则可以得到傅里叶级数的复数形式

    根据可写成如下形式:

    2. 傅里叶变换

    傅里叶变换 (Fourier Transform - FT) 可以看作傅里叶级数的连续形式。

    首先考虑定义在 上的函数的傅里叶级数展开:

    其中

    根据上式,我们也可以把理解为关于的一个函数, 即

    其中是一个常数,令

    我们有

    注意到

    下面把表示,我们有

    时, 中的求和变为积分

    相应地, 变为

    称为傅里叶变换,记作 称为傅里叶变换的逆变换,记作 。在信号分析中, 称为信号的时域表示, 称为信号的频域表示。

    需要明确的是,不管是用时域还是用频域来表示一个信号,它们代表的都是同一个信号。可以从线性空间的角度理解这一点。同一个信号在不同的表象(或者说基向量)下具有不同的坐标。

    同一个向量在不同表象下的坐标可以通过一个线性变换联系起来。如果是有限维的空间,这个线性变换可以表示为一个矩阵。而傅里叶变换则是无限维空间不同表象之间的一种变换。举例来说,在量子力学中,一个波函数的坐标表象到动量表象间的变换就是一个傅里叶变换。

    也可以将角频率 替换为自然频率 ,有 ,则

    3. 离散时间傅里叶变换

    一般情况下,我们处理的信号都是离散的。取 在时间上的离散采样

    是采样的时间间隔。

    傅里叶变换只能作用在连续函数上,为此我们引入

    其中

    为 Dirac 函数。 注意:Dirac函数是广义函数。换句话说,找不到满足上述条件的经典函数。我们可以把它理解为分布,具有如下性质:

    式中的第二部分 称为 Dirac 梳子(亦称 Shah 分布),是一个采样函数,常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。

    做傅里叶变换即可得到离散时间傅里叶变换 (Discrete-time Fourier Transform - DTFT)的形式。

    下面简单介绍一下采样定理

    若原信号 不包含高于 的频率,即 ,则只要采样频率 ,时域采样就能完全重建原信号。

    上展开为傅里叶级数

    其中

    注意到 ,而 ,故 。因此, 可改写为

    代入 ,得

    这里 说明原信号的傅里叶变换可以由采样信号确定,进而可以利用傅里叶逆变换重建原信号。

    此外,不难发现

    是一个周期为 的周期函数。离散傅里叶变换可以看作原信号连续傅里叶变换的周期延拓,时域的离散化造成了频域的周期化。

    4. 离散傅里叶变换

    离散时间傅里叶变换在频域上仍然是连续的。如果把频域也离散化,就得到了离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform - DFT)。

    也可以写成矩阵形式

    其中

    离散傅里叶变换的逆变换为

    5. 快速傅里叶变换

    直接根据定义计算离散傅里叶变换的复杂度是 。快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform - FFT) 是计算离散傅里叶变换及其逆变换的算法。FFT 基于分治法 (Divide and Conquer) 把计算复杂度降低到

    在 Python 中可以利用 scipy.fftpack 进行快速傅里叶变换。

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt

    from scipy.fftpack import fft, ifft

    x = np.linspace(02*np.pi, 200# 采样频率为 200Hz
    y = np.cos(5*x) + 0.5*np.sin(25*x) + 0.3*np.cos(75*x) # 根据采样定理,信号中不能包含超过 100Hz 的频率成分
    plt.figure(figsize=(10,12))
    ax1 = plt.subplot(311)
    ax1.plot(x, y, 'r')
    ax1.set_title('original signal in time domain')

    Y = fft(y) # 快速傅里叶变换,得到频域
    ax2 = plt.subplot(323)
    ax2.plot(range(200), abs(Y))
    ax2.set_title('original signal in frequency domain')

    Y[10:-9] = 0 # 滤波
    ax3 = plt.subplot(324)
    ax3.plot(range(200), abs(Y))
    ax3.set_title('filtered signal in frequency domain')

    filtered = ifft(Y).real # 逆变换,得到滤波后的时域信号
    ax4 = plt.subplot(313)
    ax4.plot(x, filtered, 'g')
    ax4.set_title('filtered signal in time domain')

    1c6d037e1a8a4eb3c4c03147f81245a5.png

    参考

    1. A.Boggess, F.J. Narcowich. 小波与傅里叶分析基础(第二版), 芮国胜,康健(译),电子工业出版社,2017.6
    2. Fourier transform, Wikipeida. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
    3. Discrete-time Fourier transform, Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform
    4. Discrete Fourier transform, Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
    5. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/fftpack.html

    作者介绍

    肖伟集,硕士,毕业于北京大学。2018年加入网易严选算法团队负责销量预测、补货决策、智能营销、异常检测等项目的技术研发。

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  • 简介离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析和处理时最常用的工具之一。在200多年前法国数学家、物理学家傅里叶提出后来以他名字命名的傅里叶级数...

    一. 简介

    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析和处理时最常用的工具之一。在200多年前法国数学家、物理学家傅里叶提出后来以他名字命名的傅里叶级数之后,用DFT这个工具来分析信号就已经为人们所知。但在很长时间内,这种分析方法并没有引起更多的重视,最主要的原因在于这种方法运算量比较大。

    快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)是1965年由库利(T.W.Cooley)和图基(J.W.Tukey)共同提出的一种快速计算DFT的方法。这种方法充分利用了DFT运算中的对称性和周期性,从而将DFT运算量从N2减少到N*log2N。当N比较小时,FFT优势并不明显。但当N大于32开始,点数越大,FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时,FFT的运算效率比DFT提高了100倍。

    在库利和图基提出的FFT算法中,其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT,然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合,得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上,这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯(1777年4月30日-1855年2月23日)提出过,只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代,伴随着计算机的发展和成熟,库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命,因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。

    库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算,每个蝶形运算包括两个输入点,因而也称为基-2算法。在这之后,又有一些新的算法,进一步提高了FFT的运算效率,比如基-4算法、分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内,远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说,FFT算法是里程碑式的。可以说,正是计算机技术的发展和FFT的出现,才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。

    只有周期信号可以通过傅里叶变换分解,随机信号、无规则信号是不能分解的。

    二. FFT(Matlab角度分析)

    现举例:

    假设我们有一个信号(如图一所示),它是一个与时间无关的常数。

    它含有

    ①2V的直流分量(注:信号的直流分量就是信号的平均值),

    ②频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号,

    以及一个

    ③频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。

    用数学表达式就是如下:

    b31edea489accd444c4bc99d2987c3f7.png

    式中cos参数的单位为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度,即各除以180。换算后,是:

    47ff31781956ed245272c37e350454da.png

    拓展:

    傅里叶级数的物理意义很明确:把一个周期信号表示为一系列不同频率的复指数信号的线性组合。上公示:

    ff2ec961299289745ebd6ffc200fed19.png

    注意,这个公式的最小组成单位是复指数(复数指数)信号,也就是这个:

    857bf2c61663bd3aa84543d2414f70e6.png

    (

    拓展:欧拉公式,对任意实数x,都存在

    18a617dc6ac43c084147576a0255e68e.png

    其中e是自然对数的底数,i是虚数单位,而cos和sin则是余弦、正弦对应的三角函数,参数x则以弧度为单位。

    )

    我们知道,复指数信号不是实信号,它在现实中是不存在的,因为它带有虚部i。

    那如何用复指数信号合成实信号呢?

    答案很简单:只要两个复数共轭就好,实部相加,虚部相抵。也就是欧拉公式:

    42c974011baa45c00b70a68b2f37a6c4.png

    所以我们在用傅里叶级数分析信号的时候,频谱绝对是对称的,用很多对指数相反的复指数信号,就可以合成实信号,也就是说:有k,则必然有-k,否则无法合成实信号。

    综上,出现负频率的根本原因就是傅里叶级数(变换)的最小单位是复指数信号,如果用傅里叶级数的另一种形式,把信号表示为一系列正余弦信号的组合,就不存在负频率了。

    至于形象的理解,可以看那个帖子的第一页,有图很容易理解。

    倍频?

    这个解释起来比较简单,采样的过程其实就是周期采样信号乘以模拟信号。

    00164f719fb57922acff6cdab573dac0.png

    时域的乘积等于频域的卷积,就是下面这个样子:

    38c0246c193292180b4d0ca0fbe519ea.png

    最终采样之后的信号的频谱就是这样,形成了频谱的延拓,这就是题主说的倍频吧。

    例子:

    07cb234d66a9634dc40f004654dbaedc.png

    图一

    式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样(频)率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

    424d6d2ac8d016305c23db6c07782599.png

    图二 FFT结果

    从图中我们可以看到,在第1个采样点、第51个采样点、和第76个采样点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:

    1点: 512+0i

    2点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

    3点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

    50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

    51点:332.55 - 192i

    52点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

    75点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i

    76点:3.4315E-12 + 192i

    77点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i

    很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,结果如下:

    1点: 512

    51点:384

    76点:192

    按照公式,可以计算出:

    直流分量为:512/N=512/256=2;

    50Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=3;

    75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。

    可见,从频谱分析出来的幅度是正确的。

    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度,换算为角度就是180*-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达式了,它就是我们开始提供的信号。

    总结:假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后,某一点n(n从1开始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值,范围从-pi到pi。要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就需要增加采样点数,这在一些实际的应用中是不现实的,需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数,再做FFT,这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。

    [附录:本测试数据使用的matlab程序]

    close all; % 先关闭所有图片

    Adc=2;   % 直流分量幅度

    A1=3;    % 频率F1信号的幅度

    A2=1.5; % 频率F2信号的幅度

    F1=50;   % 信号1频率(Hz)

    F2=75;   % 信号2频率(Hz)

    Fs=256; % 采样频率(Hz)

    P1=-30; % 信号1相位(度)

    P2=90;   % 信号2相位(度)

    N=256;   % 采样点数

    t=[0:1/Fs:N/Fs]; % 采样时刻

    % 信号

    S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);

    % 显示原始信号

    plot(S);

    title('原始信号');

    figure;

    Y = fft(S,N); % 做FFT变换

    Ayy = (abs(Y)); % 取模

    plot(Ayy(1:N)); % 显示原始的FFT模值结果

    title('FFT 模值');

    figure;

    Ayy=Ayy/(N/2);    % 换算成实际的幅度

    Ayy(1)=Ayy(1)/2;

    F=([1:N]-1)*Fs/N; % 换算成实际的频率值

    plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   % 显示换算后的FFT模值结果

    title('幅度-频率曲线图');

    figure;

    Pyy=[1:N/2];

    for i=[1:N/2]

    Pyy(i)=phase(Y(i)); % 计算相位

    Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; % 换算为角度

    end;

    plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   % 显示相位图

    title('相位-频率曲线图');

    Matlab的实验结果如下:

    c1ccc8a283ddb58c7a63d74fc321674e.png

    3bb415c4fada9323a8741f29e101110a.png

    f20bdd5e925b8b75bf54020632d1afde.png

    b3a576bc58d535b20b35ee1ea559e5c1.png

    看完这个你就明白谐波分析了。

    三. FFT(数学角度分析)

    FFT的具体计算过程可以通过蝶形图可视化:

    第一次分解:

    b57f4474ccdd055b9d65c423e55ebe31.png

    第二次分解:

    c7980065bb9a49805578f8f28f40d25a.png

    第三次分解:

    684a3d41044a9f6f73671a3fc6594cb9.png

    FFT与DFT的性能比较:

    1e08d4a788688fbdd29eaa60c91b18cb.png

    除了运算效率的大幅度提高外,FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差,这点常为人们所忽略。

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  • 对fourier变换微分性质的深入理解

    千次阅读 2017-02-22 14:38:09
    3 连续傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,序列的傅里叶变换,各自的定义,区别,联系。 3 快速傅里叶变换的实质,常用的算法之间的区别和联系,各自的优势。 4 fft的应用 讨论: 1、...
    1 变换的目的,意义,应用。


    2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别和联系


    3 连续傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,序列的傅里叶变换,各自的定义,区别,联系。


    3 快速傅里叶变换的实质,常用的算法之间的区别和联系,各自的优势。


    4 fft的应用
    讨论:
    1、变换是时间变量函数变成相应变换域的某种变量函数,这样使运算简单,处理方便。变换域变换有FT(以频域特性为主要研究对象)、LT与ZT(注重研究极点及零点分析)、DTFT、DFT、FFT、DTWT等。
    2、傅立叶变换是非周期信号作为周期信号的傅立叶级数(FST)一种极限。
      傅立叶级数—周期信号,傅立叶变换—非周期信号
    3、非周期连续—— FT ——连续非周期
             连续周期—— FST ——非周期离散
             非周期离散——DTFT ——连续周期
             离散周期——DFT ——周期离散
             离散傅里叶变换(DFT)与序列傅里叶变换(DTFT)都跟Z变换有关,DTFT是单位圆上的Z变换,DFT是Z变换在单位圆的均匀抽样。
    4、快速傅里叶变换(FFT)的实质是“分而治之”,利用对称性、周期性和可约性将某些项合并,将DFT序列分解为短序列,降低运算次数,提高运算速度。
    5、快速傅里叶变换的应用十分广泛,凡是可以利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的地方,都可以利用FFT算法及运用数字计算技术来加以实现。FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹配滤波等方面有广泛的应用。
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    时域上看不清,在频域上也许会简单,由于T与F的倒数关系,T上的采样会在F上无限,反之也是如此。
    宏观与微观之间的关系吧。


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    从滤波关点看,复立叶变换相当于等宽带的Q值不等的滤波器组对信号进行滤波,采用常数Q的滤波器组则是小波分析
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    傅里叶变换(FT)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、电信、电力系统、信号处理等领域有广泛的应用。我们希望能在计算机上实现信号的频谱分析或其它工作。计算机对信号的要求是:在时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换(FT)仅能处理连续信号,DFT就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT之前,其应用领域一直难以拓展,是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外,FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现,因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。


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    对傅立叶变换的理解
    傅立叶变化是对信号的正交分解,e^jwt经过现行时不变系统后输出信号的形式不变,这无论在理论上还是实践上都有很大的意义。在数字信号出现后,DFT的快速形式FFT实现了计算机处理信号,提高了它的实用价值。
    傅立叶级数是傅立叶变换的特殊形式,其所处理的信号是周期的。如果取出周期信号的一个周期作为时域有限信号,对它的变换进行可以得到级数形式。在郑君里的《信号与系统》讲得很透彻。
    离散傅立叶变换和序列的傅立叶变换是相同的,
    连续傅立叶变换(FT)时域和频域都是连续的(周期信号的变换频域离散),离散时间傅立叶变换(DTFT)时域离散,频域连续且周期,离散傅里叶变换(DFT)是对铁矾土的抽样。
    个人这么觉得
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    傅立叶级数一般可以理解为:信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数
         傅里叶变换就是对模拟信号进行数字化傅里叶处理,以便信号在处理后运算更方便。


    从物理方面来讨论
    傅立叶变换是一个密度函数的概念,是一个连续谱,包含了从零到无限高,     频的所有频率分量, 各频率分量的频率不成谐波 关系
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    还有一种说法,是我从别处看来的
    1:(时域)周期信号的频谱是离散的;离散的时间信号即(时间)序列的频谱是周期的。2:傅里叶变换主要是针对连续时间信号,离散时间信号也可以应用;数字信号(离散时间信号)主要使用离散FT,因为便于数字运算。3:离散FT等效于FT在在频域采样,变换后在频域也是离散序列。这样更利于数字运算。4:有限长序列可以看成周期序列的一个周期,所以有限长序列与周期序列没有本质区别(实际上就是一样的)。这样不论在时域还是频域,都可以表示(有限长)。同时还可以FFT。


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    从数学上看,离散傅立叶变换是一个特殊范德尔矩阵的变换,因为这种矩阵可以分解,才存在快速算法。
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    1.傅立叶分析的思想最早来自傅立叶对周期函数的研究,通过傅立叶级数可以把周期函数展开成无穷级数的形式.
    之后一百多年随着电力,电子,计算机技术的逐渐发展,傅立叶分析也得到越来越广泛的应用.
    对于变换的思想我觉得根本来说是为了从不同的角度来认识信号,而对于不同的应用,也有不同的变换方法.
    而与变换紧密相关的另一个就是卷积的概念.


    2.傅立叶级数是以三角函数或指数函数为基对周期信号的无穷级数展开.
    如果把周期函数的周期取作无穷大,对傅立叶级数取极限即得到傅立叶变换.
    除了针对的信号不同,对于傅立叶级数,得到的是信号的频谱(来源于物理学中谱的概念),而傅立叶变换得到的是信号的频谱密度.
    当然,在引入冲击函数后,傅立叶级数是可以统一于傅立叶变换的.


    3.傅立叶级数(FS)     对应时域连续周期信号
         傅立叶变换(FT)     对应时域连续非周期信号
         离散傅立叶级数(DFS)              对应时域离散周期信号
         离散时间傅立叶变换(DTFT)     对应时域离散非周期信号


         离散傅立叶变换(DFT)     更确切的说是把一个离散非周期信号(N点长的序列)周期延拓成周期信号后,取傅立叶级数的主值区间得到的,所以是一种近似的变换,但是这种方法却方便计算机计算,随后也就有了快速算法即快速傅立叶变换(FFT)


    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    DFT/FFT是将线性卷积转为循环卷积的有用工具,将卷积关系转为乘积关系,是绝大多数快速信号处理的出发点,几乎长盛不衰
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    最近毕设中用了下FFT的应用。
    在信号分析中,通过傅立叶换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱。幅度谱可表示对应频率的能量,而相位谱可表示对应频率的相位特征。这在生理电信号分析,雷达信号中都有应用。
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    FT就是在另外一个DOMAIN来表示信号


    确定F 空间的每一个点不仅要观察T 空间的一个点,而且要观察T 空间的所有的点以确定在该F 空间震动的强度(也就是频谱的数值)
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    TD-SCDMA
    midamble码信道估计利用了时域圆周卷积等效于频域点乘特性,用到FFT
    uppch检测匹配滤波,循环相关,用到FFT
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    对于连续时间周期信号而言,其Fourier级数就是他的一个周期的截取后的非周期信号的的傅立叶变换采样,连续时间信号采样后所得到的离散信号的DTFT可看成原来连续时间傅立叶变换在横轴做一下模拟——数字频率变换后进行周期延拓而成。离散傅里叶变换可以看成DTFT在主值区间(0到2*pi)的等间隔采样
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    今天才注意到这个帖子,谈谈我对连续信号的看法:
    对于时域上无限,频域上无限的连续信号,也就是最一般信号,
    用傅里叶变换分析它(当然需要满足傅里叶变换存在的条件)。


    对于时域上有限的连续信号,同样可以用傅里叶变换分析它,
    但是用傅里叶级数的表示要简洁得多,傅里叶级数分解可以理解为信号在
    频域上的采样。即时域傅里叶级数分解对应于频域采样。


    对于频域上有限的连续信号,同样可以用傅里叶变换分析它,
    但是用时域采样样本内插的表示要简洁得多,这其实就是在频域上
    对信号进行傅里叶级数分解。即时域采样对应于频域傅里叶级数分解。
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    1.对于傅里叶级数,无论是连续信号或是离散信号,均是使用一组正交函数(正交集),对其进行加权求和,来逼近原始周期信号,通常来说,连续时间傅里叶级数的正交集中有无穷多个函数,而由于离散时间正交函数都是周期的,若周期为N,则离散时间傅里叶级数的正交集中只有N个函数。
          在加权求和过程中所使用的加权系数就构成了周期信号的系数谱,对于连续周期信号,其系数谱是非周期的;而对于离散周期信号,其系数谱则是以N为周期的。


    2.傅里叶变换体现了信号的时域与频域之间的一种变换关系,我们可以由傅里叶级数的表达式不是十分严格的推导出来,连续时间信号的频谱是非周期的,而离散时间信号的频谱则是以2*pi为周期延拓的。并且,我们可以看到,傅里叶级数的系数是对应主值区间的非周期信号频谱的采样值;换句话说,一个非周期其信号的频谱是这个信号周期延拓所得信号傅里叶级数系数的包络,两者在采样点上的值是相等的。
          值得注意的是,一个周期信号的傅里叶变换是在其基波频率整数倍上的一串冲击,加权系数恰好是信号傅里叶级数的系数。


    3.DTFT与DFT的关系
         我们知道,一个N点离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)所的频谱是以(2*pi)为周期进行延拓的连续函数,由采样定理我们知道,时域进行采样,则频域周期延拓;同理,如果在频域进行采样,则时域也会周期延拓。离散傅里叶变换(DFT)就是基于这个理论,在频域进行采样,一个周期内采N个点(与序列点数相同) ,从而将信号的频谱离散化,得到一的重要的对应关系:一个N点的离散时间信号可以用频域内一个N点序列来唯一确定,这就是DFT表达式所揭示的内容。
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    我认为傅立叶的变换是对非周期信号的而言的 变换得到的是连续的谱密度函数 nw->W
    在B P.lathi 的 线性系统与信号 (刘树樘译)中有详细的讲述
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    付立叶变换是从付立叶级数推演而来的,付立叶级数是所有周期函数(信号)都可以分解成一系列的正交的三角函数,这样,周期函数对应的付立叶级数即是它的频谱函数,也就是分离的谱线。而为了分析非周期函数,引入了谱密度的概念,即非周期信号的谱函数无穷小,但是谱密度有值。这样,将非周期信号看成是周期无限长的周期信号,并引入F(t)/T,即为非周期函数的谱密度函数。为了概念上的统一,引入了冲激函数的概念,这样,周期信号也可以有付立叶变换,其谱密度函数为冲激。


    付立叶变换对于连续时间信号的分析具有重要作用,用于分析信号的频率分量,或将信号在频域上进行处理。引用频域概念后,通信与数学的结合就更加紧密了。通信的发展其实就是数学的发展。


    至于离散付立叶变换,其实也是对数字信号变换到频域进行分析处理,它对数字信号处理的作用相当大。数字信号处理脱离了模拟时期对信号进行处理完全依赖于器件的境况,可以直接通过计算来进行信号处理。如数字滤波器,只是用系统的系数对进入的数字信号进行一定的计算,信号出系统后即得到处理后的数据在时域上的表达。


    离散付立叶变换在理解上与连续信号的付立叶变换不太相同,主要是离散信号的付立叶变换汲及到周期延拓,以及圆周卷积等。


    快速离散付叶变换其实是一种对付立叶变换的算法,它的出现解决了离散付立叶变换的计算量极大、不实用的问题,使付立叶变换的计算量降低了一个或几个数量级,从而使离散付立叶变换得到了广泛应用。另外,FFT的出现也解决了相当多的计算问题,使得其它计算也可以通过FFT来解决。
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    意义 傅里叶变换具有惟一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质,目的在于
    了解特性的内在联系; 用性质求F(ω); 了解在通信系统领域中的应用.
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    傅氏级数与傅氏变换
    目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式,比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化;另一方面,对于正弦信号,如果知道其振幅、频率和相位,则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论,满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合,从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示,随着对信号研究的深入,我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示,即通常的傅里叶变换。
    对于周期信号,其频谱一般用傅里叶级数表示,而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱.
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    快速傅里叶变换 


    fast Fourier trans formation 


      进行有限离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。简称FFT。一个复杂的波形可以分解为一系列谐波。针对这一物理现象,在数学上建立并发展了一套有效的研究方法,这就是傅里叶分析。利用电子计算机进行傅里叶分析,主要处理离散函数的傅里叶展开,也就是三角函数的插值问题 。一维DFT所作的工作主要是把一个N元数组A(i)(i=0,1,…,N-1)通过一种线性变换变成另一个N元数组X(i)(i=0 ,…N ,-1 ) 。如果直接计算全部数组元素大约需要进行 N2次的乘法和加法运算,当N很大时其计算量是很惊人的 。1965年美国人库利和图基提出一种能大幅度减少运算次数的快速算法,即FFT算法 ,它的基本原 理是将一个变换分解为两个变换的乘积,并利用三角函数的周期性质,将原先的变换公式重新组合为新的公式 ,从而把运算次数减少到 Nlog2N 的量级 。这就是说,FFT算法比DFT算法提高工效 N/log2N倍 ,例如N=220时,约提高5万倍速度,可见当N很大时,这是一个了不起的提高。FFT技术在谱分析、数字滤波、结构分析 、系统分析、图像与信号处理,以及物探、天线、雷达、卫星 、医疗等众多技术领域已获得成功的应用。
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    1.这些变换的实质都一样,都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解,不同在于选择的基不同.付氏变换选择的是复指数与三角基,小波变换选择了其它的基.
    2.信号在时域与频域具有对偶性.一个域的周期性与连续性对应于另一个域的与非周期,比如对于周期性信号连续信号,具绝对可积条件时,在可以进行级数展开,得到了离散的非周期频谱.
    3.DFT,DTFT,DFS,FFT的联系与区别
    DFT与FFT是一个本质,FFT是DFT的一种算法.
    DFS是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.
    DTFT是对Discrete time fourier transformation,是对序列的FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱,不是一个.
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    傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交的级数,它不同频率的波形的叠加。
    而傅立叶变换就是完全的频域分析。
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    展开全文
  • //2015年1月17日 ...3 连续傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,序列的傅里叶变换,各自的定义,区别,联系。 4 快速傅里叶变换的实质,常用的算法之间的区别和联系,各自的优势。 5 fft

    //2015年1月17日

    //http://blog.sina.com.cn/s/blog_530fb60e0100ro4v.html

    1 变换的目的,意义,应用。

    2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别和联系

    3 连续傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,序列的傅里叶变换,各自的定义,区别,联系。

    4 快速傅里叶变换的实质,常用的算法之间的区别和联系,各自的优势。

    5 fft的应用

    讨论:
    1、变换是时间变量函数变成相应变换域的某种变量函数,这样使运算简单,处理方便。变换域变换有FT(以频域特性为主要研究对象)、LT与ZT(注重研究极点及零点分析)、DTFT、DFT、FFT、DTWT等。
    2、傅立叶变换是非周期信号作为周期信号的傅立叶级数(FST)一种极限。
      傅立叶级数—周期信号,傅立叶变换—非周期信号
    3、非周期连续—— FT ——连续非周期
             连续周期—— FST ——非周期离散
             非周期离散——DTFT ——连续周期
             离散周期——DFT ——周期离散
             离散傅里叶变换(DFT)与序列傅里叶变换(DTFT)都跟Z变换有关,DTFT是单位圆上的Z变换,DFT是Z变换在单位圆的均匀抽样。
    4、快速傅里叶变换(FFT)的实质是“分而治之”,利用对称性、周期性和可约性将某些项合并,将DFT序列分解为短序列,降低运算次数,提高运算速度。
    5、快速傅里叶变换的应用十分广泛,凡是可以利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的地方,都可以利用FFT算法及运用数字计算技术来加以实现。FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹配滤波等方面有广泛的应用。
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    时域上看不清,在频域上也许会简单,由于T与F的倒数关系,T上的采样会在F上无限,反之也是如此。
    宏观与微观之间的关系吧。
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    从滤波关点看,复立叶变换相当于等宽带的Q值不等的滤波器组对信号进行滤波,采用常数Q的滤波器组则是小波分析
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    傅里叶变换(FT)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、电信、电力系统、信号处理等领域有广泛的应用。我们希望能在计算机上实现信号的频谱分析或其它工作。计算机对信号的要求是:在时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换(FT)仅能处理连续信号,DFT就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT之前,其应用领域一直难以拓展,是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外,FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现,因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。
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    对傅立叶变换的理解
    傅立叶变化是对信号的正交分解,e^jwt经过现行时不变系统后输出信号的形式不变,这无论在理论上还是实践上都有很大的意义。在数字信号出现后,DFT的快速形式FFT实现了计算机处理信号,提高了它的实用价值。
    傅立叶级数是傅立叶变换的特殊形式,其所处理的信号是周期的。如果取出周期信号的一个周期作为时域有限信号,对它的变换进行可以得到级数形式。在郑君里的《信号与系统》讲得很透彻。
    离散傅立叶变换和序列的傅立叶变换是相同的,
    连续傅立叶变换(FT)时域和频域都是连续的(周期信号的变换频域离散),离散时间傅立叶变换(DTFT)时域离散,频域连续且周期,离散傅里叶变换(DFT)是对铁矾土的抽样。
    个人这么觉得
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    傅立叶级数一般可以理解为:信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数
    傅里叶变换就是对模拟信号进行数字化傅里叶处理,以便信号在处理后运算更方便。

    从物理方面来讨论
    傅立叶变换是一个密度函数的概念,是一个连续谱,包含了从零到无限高频的所有频率分量,各频率分量的频率不成谐波关系
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    还有一种说法,是我从别处看来的
    1:(时域)周期信号的频谱是离散的;离散的时间信号即(时间)序列的频谱是周期的。2:傅里叶变换主要是针对连续时间信号,离散时间信号也可以应用;数字信号(离散时间信号)主要使用离散FT,因为便于数字运算。3:离散FT等效于FT在在频域采样,变换后在频域也是离散序列。这样更利于数字运算。4:有限长序列可以看成周期序列的一个周期,所以有限长序列与周期序列没有本质区别(实际上就是一样的)。这样不论在时域还是频域,都可以表示(有限长)。同时还可以FFT。
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    从数学上看,离散傅立叶变换是一个特殊范德尔矩阵的变换,因为这种矩阵可以分解,才存在快速算法。
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    1.傅立叶分析的思想最早来自傅立叶对周期函数的研究,通过傅立叶级数可以把周期函数展开成无穷级数的形式.
    之后一百多年随着电力,电子,计算机技术的逐渐发展,傅立叶分析也得到越来越广泛的应用.
    对于变换的思想我觉得根本来说是为了从不同的角度来认识信号,而对于不同的应用,也有不同的变换方法.
    而与变换紧密相关的另一个就是卷积的概念.

    2.傅立叶级数是以三角函数或指数函数为基对周期信号的无穷级数展开.
    如果把周期函数的周期取作无穷大,对傅立叶级数取极限即得到傅立叶变换.
    除了针对的信号不同,对于傅立叶级数,得到的是信号的频谱(来源于物理学中谱的概念),而傅立叶变换得到的是信号的频谱密度.
    当然,在引入冲击函数后,傅立叶级数是可以统一于傅立叶变换的.

    3.傅立叶级数(FS)     对应时域连续周期信号
         傅立叶变换(FT)     对应时域连续非周期信号
         离散傅立叶级数(DFS)              对应时域离散周期信号
         离散时间傅立叶变换(DTFT)     对应时域离散非周期信号

         离散傅立叶变换(DFT)     更确切的说是把一个离散非周期信号(N点长的序列)周期延拓成周期信号后,取傅立叶级数的主值区间得到的,所以是一种近似的变换,但是这种方法却方便计算机计算,随后也就有了快速算法即快速傅立叶变换(FFT)

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    DFT/FFT是将线性卷积转为循环卷积的有用工具,将卷积关系转为乘积关系,是绝大多数快速信号处理的出发点,几乎长盛不衰
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    最近毕设中用了下FFT的应用。
    在信号分析中,通过傅立叶换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱。幅度谱可表示对应频率的能量,而相位谱可表示对应频率的相位特征。这在生理电信号分析,雷达信号中都有应用。
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    FT就是在另外一个DOMAIN来表示信号

    确定F 空间的每一个点不仅要观察T 空间的一个点,而且要观察T 空间的所有的点以确定在该F 空间震动的强度(也就是频谱的数值)
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    TD-SCDMA
    midamble码信道估计利用了时域圆周卷积等效于频域点乘特性,用到FFT
    uppch检测匹配滤波,循环相关,用到FFT
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    对于连续时间周期信号而言,其Fourier级数就是他的一个周期的截取后的非周期信号的的傅立叶变换采样,连续时间信号采样后所得到的离散信号的DTFT可看成原来连续时间傅立叶变换在横轴做一下模拟——数字频率变换后进行周期延拓而成。离散傅里叶变换可以看成DTFT在主值区间(0到2*pi)的等间隔采样
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    今天才注意到这个帖子,谈谈我对连续信号的看法:
    对于时域上无限,频域上无限的连续信号,也就是最一般信号,
    用傅里叶变换分析它(当然需要满足傅里叶变换存在的条件)。

    对于时域上有限的连续信号,同样可以用傅里叶变换分析它,
    但是用傅里叶级数的表示要简洁得多,傅里叶级数分解可以理解为信号在
    频域上的采样。即时域傅里叶级数分解对应于频域采样。

    对于频域上有限的连续信号,同样可以用傅里叶变换分析它,
    但是用时域采样样本内插的表示要简洁得多,这其实就是在频域上
    对信号进行傅里叶级数分解。即时域采样对应于频域傅里叶级数分解。
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    1.对于傅里叶级数,无论是连续信号或是离散信号,均是使用一组正交函数(正交集),对其进行加权求和,来逼近原始周期信号,通常来说,连续时间傅里叶级数的正交集中有无穷多个函数,而由于离散时间正交函数都是周期的,若周期为N,则离散时间傅里叶级数的正交集中只有N个函数。
          在加权求和过程中所使用的加权系数就构成了周期信号的系数谱,对于连续周期信号,其系数谱是非周期的;而对于离散周期信号,其系数谱则是以N为周期的。

    2.傅里叶变换体现了信号的时域与频域之间的一种变换关系,我们可以由傅里叶级数的表达式不是十分严格的推导出来,连续时间信号的频谱是非周期的,而离散时间信号的频谱则是以2*pi为周期延拓的。并且,我们可以看到,傅里叶级数的系数是对应主值区间的非周期信号频谱的采样值;换句话说,一个非周期其信号的频谱是这个信号周期延拓所得信号傅里叶级数系数的包络,两者在采样点上的值是相等的。
          值得注意的是,一个周期信号的傅里叶变换是在其基波频率整数倍上的一串冲击,加权系数恰好是信号傅里叶级数的系数。

    3.DTFT与DFT的关系
         我们知道,一个N点离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)所的频谱是以(2*pi)为周期进行延拓的连续函数,由采样定理我们知道,时域进行采样,则频域周期延拓;同理,如果在频域进行采样,则时域也会周期延拓。离散傅里叶变换(DFT)就是基于这个理论,在频域进行采样,一个周期内采N个点(与序列点数相同),从而将信号的频谱离散化,得到一的重要的对应关系:一个N点的离散时间信号可以用频域内一个N点序列来唯一确定,这就是DFT表达式所揭示的内容。
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    我认为傅立叶的变换是对非周期信号的而言的 变换得到的是连续的谱密度函数 nw->W
    在B P.lathi 的 线性系统与信号 (刘树樘译)中有详细的讲述
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    付立叶变换是从付立叶级数推演而来的,付立叶级数是所有周期函数(信号)都可以分解成一系列的正交的三角函数,这样,周期函数对应的付立叶级数即是它的频谱函数,也就是分离的谱线。而为了分析非周期函数,引入了谱密度的概念,即非周期信号的谱函数无穷小,但是谱密度有值。这样,将非周期信号看成是周期无限长的周期信号,并引入F(t)/T,即为非周期函数的谱密度函数。为了概念上的统一,引入了冲激函数的概念,这样,周期信号也可以有付立叶变换,其谱密度函数为冲激。

    付立叶变换对于连续时间信号的分析具有重要作用,用于分析信号的频率分量,或将信号在频域上进行处理。引用频域概念后,通信与数学的结合就更加紧密了。通信的发展其实就是数学的发展。

    至于离散付立叶变换,其实也是对数字信号变换到频域进行分析处理,它对数字信号处理的作用相当大。数字信号处理脱离了模拟时期对信号进行处理完全依赖于器件的境况,可以直接通过计算来进行信号处理。如数字滤波器,只是用系统的系数对进入的数字信号进行一定的计算,信号出系统后即得到处理后的数据在时域上的表达。

    离散付立叶变换在理解上与连续信号的付立叶变换不太相同,主要是离散信号的付立叶变换汲及到周期延拓,以及圆周卷积等。

    快速离散付叶变换其实是一种对付立叶变换的算法,它的出现解决了离散付立叶变换的计算量极大、不实用的问题,使付立叶变换的计算量降低了一个或几个数量级,从而使离散付立叶变换得到了广泛应用。另外,FFT的出现也解决了相当多的计算问题,使得其它计算也可以通过FFT来解决。
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    意义傅里叶变换具有惟一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质,目的在于
    了解特性的内在联系; 用性质求F(ω); 了解在通信系统领域中的应用.
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    傅氏级数与傅氏变换
    目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式,比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化;另一方面,对于正弦信号,如果知道其振幅、频率和相位,则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论,满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合,从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示,随着对信号研究的深入,我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示,即通常的傅里叶变换。
    对于周期信号,其频谱一般用傅里叶级数表示,而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱.
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    快速傅里叶变换fast Fourier trans formation

      进行有限离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。简称FFT。一个复杂的波形可以分解为一系列谐波。针对这一物理现象,在数学上建立并发展了一套有效的研究方法,这就是傅里叶分析。利用电子计算机进行傅里叶分析,主要处理离散函数的傅里叶展开,也就是三角函数的插值问题。一维DFT所作的工作主要是把一个N元数组A(i)(i=0,1,…,N-1)通过一种线性变换变成另一个N元数组X(i)(i=0 ,…N ,-1 ) 。如果直接计算全部数组元素大约需要进行 N2次的乘法和加法运算,当N很大时其计算量是很惊人的。1965年美国人库利和图基提出一种能大幅度减少运算次数的快速算法,即FFT算法 ,它的基本原理是将一个变换分解为两个变换的乘积,并利用三角函数的周期性质,将原先的变换公式重新组合为新的公式 ,从而把运算次数减少到 Nlog2N 的量级 。这就是说,FFT算法比DFT算法提高工效 N/log2N倍,例如N=220时,约提高5万倍速度,可见当N很大时,这是一个了不起的提高。FFT技术在谱分析、数字滤波、结构分析、系统分析、图像与信号处理,以及物探、天线、雷达、卫星 、医疗等众多技术领域已获得成功的应用。
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    1.这些变换的实质都一样,都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解,不同在于选择的基不同.付氏变换选择的是复指数与三角基,小波变换选择了其它的基.
    2.信号在时域与频域具有对偶性.一个域的周期性与连续性对应于另一个域的与非周期,比如对于周期性信号连续信号,具绝对可积条件时,在可以进行级数展开,得到了离散的非周期频谱.
    3.DFT,DTFT,DFS,FFT的联系与区别
    DFT与FFT是一个本质,FFT是DFT的一种算法.
    DFS是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.
    DTFT是对Discrete time fourier transformation,是对序列的FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱,不是一个.
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    傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交的级数,它不同频率的波形的叠加。
    而傅立叶变换就是完全的频域分析
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  • 常用傅里叶变换:傅里叶积分 离散傅里叶变换 时域 直观 时间和信号波形 但难以发现和解决问题。 频域 容易定位 解决问题 但其无明显指标咳参考   信号带宽: 把一个信号所包含谐波的最高频...
  • 在现代数字信号处理中,常用的变换方法就是离散傅里叶变换(DFT),然而,它的计算量较大。运算时间长,在某种程度上限制了它的使用范围。快速傅里叶变换(FFT)的提出使DFT的实现变得接近实时,DFT的应用领域也得以迅速...
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  • 在现代数字信号处理中,最常用的变换方法就是离散傅里叶变换(DFT),然而,它的计算量较大。运算时间长,在某种程度上限制了它的使用范围。快速傅里叶变换(FFT)的提出使DFT的实现变得接近实时,DFT的应用领域也得以...
  • 数字信号处理

    2021-01-28 17:51:28
    数字信号处理第一章、数字信号处理概述主要研究内容常用的术语:数字信号处理的流程为什么采用数字信号处理...离散时间信号的分析,包括时域及频率分析、离散傅里叶变换等 离散系统的分析,包括差分方程、单位冲激响
  • DFT与FFT

    2011-07-28 21:03:00
    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析和处理时最常用的工具之一。在200多年前法国数学家、物理学家傅里叶提出后来以他名字命名的傅里叶级数之后...
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  •  3.1.2 离散傅里叶变换  3.1.3 傅里叶变换的性质  3.1.4 快速傅里叶变换  3.2 离散余弦变换  3.2.1 离散余弦变换的定义  3.2.2 离散余弦变换的正交性  3.2.3 离散余弦变换的计算  3.3 沃尔什一哈达玛变换  ...
  • 实验三 连续时间 LTI 系统的时域分析 实验四 傅里叶变换系统的频域分析 实验五 信号抽样与恢复 实验六 信号与系统复频域分析 实验一 基本信号在 MATLAB 中的表示和运算 一实验目的 1 学会用 MA TLAB 表示常用连续...
  • Matlab FFT与IFFT与FFTSHIFT

    万次阅读 2017-11-07 14:10:15
    一、利用FFT 及 IFFT实现傅立叶正反变换 注:常用...例:x[n]=ejkw0nx[n] = e^{jkw_0n} 由于频率上相差2π2\pi 的整数倍的离散时间复指数信号都是一样的。(ejk(w0+2π)=ejkw0e^{jk(w_0+2\pi)} = e^{jkw_0})故N=2π/w0
  • 2.3.5 为什么离散傅里叶变换比其他变换得到了更广泛的应用? 78 2.3.6 什么是卷积定理? 79 B2.7 如果一个函数是两个其他函数的卷积,它的DFT 与另两个函数的DFT 是什么关系? 79 2.3.7 如何显示一幅图像的离散...
  • MATLAB程序设计与典型应用(源程序)

    热门讨论 2013-07-04 20:54:16
    离散时间傅里叶变换定义及计算... 269 9.2.2 离散时间傅里叶变换的特性... 271 9.3 数字滤波器的分析与实现... 273 9.3.1 数字滤波器知识... 273 9.3.2 数字滤波器的分析与实现... 274 9.4 IIR数字滤波器的设计法......
  • 语音识别技术文章.rar

    热门讨论 2011-05-12 10:31:08
    4.2.2 基于短时傅里叶变换的语谱图及其时频分辨率 4.2.3 短时傅里叶谱的采样 4. 3 小波变换 4.3.1 连续小波变换 4.3.2 二进小波变换 4.3.3 离散小波变换 4.3.4 多分辨分析 4.3.5 正交小波包 4.4 Wigner分布 ...
  • imageprocess

    2011-12-22 23:53:16
    近似压缩算法大都采用图像交换的途径,例如对图像进行快速傅里叶变换离散的余弦变换。著名的、已作为图像压缩国际标准的JPEG和MPEG均属于近似压缩算法。前者用于静态图像,后者用于动态图像。它们已由芯片实现。
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  • 1.0.9 为什么图像常用512×512,256×256,128×128 等来表示?........................4 1.0.10 需要多少个比特以存储一幅图像?...............................................................5 1.0.11 什么...
  • 实用语音识别基础

    热门讨论 2013-08-01 19:58:17
    2 基于短时傅里叶变换的语谱图及其时频分辨率  4. 2. 3 短时傅里叶谱的采样  4. 3 小波变换  4. 3. 1 连续小波变换  4. 3. 2 二进小波变换  4. 3. 3 离散小波变换  4. 3. 4 多分辨分析  4. 3....
  • 图像变换模块主要是傅里叶变换离散余弦变换、Hough变换和Radon变换;在边缘检测功能中,主要用到了Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子、LoG算子、Canny算子和零交叉法。 其他的模块主要是颜色空间的转换和显示...
  • 算法导论(原书第三版)

    热门讨论 2013-03-06 14:31:34
    第30章 多项式与快速傅里叶变换 30.1 多项式的表示 30.2 DFT与FFT 30.3 高效FFT实现 思考题 本章注记 第31章 数论算法 31.1 基础数论概念 31.2 最大公约数 31.3 模运算 31.4 求解模线性方程 31.5 中国余数...
  • 算法导论中文版

    2016-10-26 10:13:58
    第30章 多项式与快速傅里叶变换  30.1 多项式的表示  30.2 DFT与FFT  30.3 高效FFT实现  思考题  本章注记 第31章 数论算法  31.1 基础数论概念  31.2 最大公约数  31.3 模运算  31.4 求解模线性...

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常用离散时间傅里叶变换