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  • 常用傅里叶变换

    2017-11-23 22:04:32
    常用到的傅里叶变换对表,传上来就是为了以后方便下载。
  • 离散时间傅里叶变换(一)

    千次阅读 2020-09-15 22:31:14
    1)、X(ejw)称为离散时间傅里叶变换,这一对式子就是离散时间傅里叶变换对。 2)、上式称为综合公式,下式称为分析公式。 2、离散时间傅里叶变换和连续时间情况相比具有许多相似之处。两者的主要差别在于离散时间变换X...

    一、非周期信号的表示:离散时间博里叶变换

    1.1、离散时间傅里叶变换的导出

    1、 离散时间傅里叶变换对(要清楚推导过程)
    在这里插入图片描述

    1. X(ejw)称为离散时间傅里叶变换,这一对式子就是离散时间傅里叶变换对。

    2. 上式称为综合公式,下式称为分析公式

    2、离散时间傅里叶变换和连续时间情况相比具有许多相似之处。两者的主要差别在于离散时间变换X(ejw)的周期性和综合公式中的有限积分区间。

    例一:
    在这里插入图片描述
    例二:
    在这里插入图片描述
    例三:
    在这里插入图片描述

    1.2、关于离散时间博里叶变换的收敛问题

    1、在信号为无限长的情况下,必须考虑下式
    在这里插入图片描述
    中无穷项求和的收敛问题。

    如果x[n]是绝对可和的,即
    在这里插入图片描述
    或者,如果这个序列的能量是有限的,即
    在这里插入图片描述
    那么就一定收敛。

    2、下式
    在这里插入图片描述
    的积分是一个有限的积分区间内进行的,因此不存在收敛问题。

    二、周期信号的傅里叶变换

    1、考虑如下信号
    在这里插入图片描述
    x[n]的傅里叶变换正是如下冲激串
    在这里插入图片描述

    2、考虑一个周期序列x[n],周期为N,其傅里叶级数为
    在这里插入图片描述
    这时,傅里叶变换就是
    在这里插入图片描述
    这样,一个周期信号的傅里叶变换就能直接从他的傅里叶系数得到。

    三、由线性常系数差分方式表征的系统

    1、对于一个线性时不变系统而言,其输出y[n]和输入x[n]之间的线性常系数差分方程一般具有如下形式:
    在这里插入图片描述
    此性式的差分方程一般称为N阶差分方程。

    有两个方法来确定H(ejw)
    ①第一种是利用复指数是线性时不变系统特征函数来求。

    ②第二种是利用离散时间傅里叶变换的卷积,线性和时移性质来求。

    2、设X(ejw)、Y(ejw)和H(ejw)分别是输出x[n]、输出y[n]和单位冲脉冲响应h[n]的傅里叶变换,那么离散时间傅里叶变换的卷积性质就意味着有
    在这里插入图片描述
    两边应用傅里叶变换,并利用线性和时移性质,可得
    在这里插入图片描述
    或等效为
    在这里插入图片描述

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  • 离散时间傅里叶变换

    千次阅读 2018-11-03 20:52:07
    1. 离散时间傅里叶变换的导出 针对离散时间非周期序列,为了建立它的傅里叶变换表示,我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。 考虑某一序列 x[n]x[n]x[n],它具有有限持续期;也就是说,对于某个整数 N1N_1N1​...

    1. 离散时间傅里叶变换的导出

    针对离散时间非周期序列,为了建立它的傅里叶变换表示,我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。

    考虑某一序列 x [ n ] x[n] x[n],它具有有限持续期;也就是说,对于某个整数 N 1 N_1 N1 N 2 N_2 N2,在 − N 1 ⩽ N ⩽ N 2 -N_1\leqslant N\leqslant N_2 N1NN2 以外, x [ n ] = 0 x[n]=0 x[n]=0。下图给出了这种类型的一个信号。

    由这个非周期信号可以构成一个周期序列 x ~ [ n ] \tilde x[n] x~[n],使 x [ n ] x[n] x[n] 就是 x ~ [ n ] \tilde x[n] x~[n] 的一个周期。随着 N N N 的增大, x [ n ] x[n] x[n] 就在一个更长的时间间隔内与 x ~ [ n ] \tilde x[n] x~[n] 相一致。而当 N → ∞ N\to \infty N,对任意有限时间值 n n n 而言,有 x ~ [ n ] = x [ n ] \tilde x[n]=x[n] x~[n]=x[n]

    现在我们来考虑一下 x ~ [ n ] \tilde x[n] x~[n] 的傅里叶级数表示式

    (1) x ~ [ n ] = ∑ k = ( N ) a k e j k ( 2 π / N ) n \tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n} x~[n]=k=(N)akejk(2π/N)n(1)

    (2) a k = 1 N ∑ n = ( N ) x ~ [ n ] e − j k ( 2 π / N ) n \tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} ak=N1n=(N)x~[n]ejk(2π/N)n(2)

    因为在 − N 1 ⩽ N ⩽ N 2 -N_1 \leqslant N \leqslant N_2 N1NN2 区间的一个周期上 x ~ [ n ] = x [ n ] \tilde x[n]=x[n] x~[n]=x[n],因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上

    (3) a k = 1 N ∑ n = − N 1 N 2 x [ n ] e − j k ( 2 π / N ) n = 1 N ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] e − j k ( 2 π / N ) n \tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} ak=N1n=N1N2x[n]ejk(2π/N)n=N1n=+x[n]ejk(2π/N)n(3)

    现定义函数

    (4) X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] e − j ω n \tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n} X(ejω)=n=+x[n]ejωn(4)

    可见这些系数 a k a_k ak 正比于 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 的各样本值,即

    (5) a k = 1 N X ( e j k ω 0 ) \tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0}) ak=N1X(ejkω0)(5)

    式中, ω 0 = 2 π / N \omega_0=2\pi/N ω0=2π/N 用来记作在频域中的样本间隔。将(1) 和 (5)结合在一起, x ~ [ n ] \tilde x[n] x~[n] 就可以表示为

    (6) x ~ [ n ] = ∑ k = ( N ) 1 N X ( e j k ω 0 ) e j k ω 0 n = 1 2 π ∑ k = ( N ) X ( e j k ω 0 ) e j k ω 0 n ω 0 \tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0 x~[n]=k=(N)N1X(ejkω0)ejkω0n=2π1k=(N)X(ejkω0)ejkω0nω0(6)

    随着 N → ∞ N\to \infty N x ~ [ n ] \tilde x[n] x~[n] 趋近于 x [ n ] x[n] x[n],式(6)的极限就变成 x [ n ] x[n] x[n] 的表达式。再者,当 N → ∞ N\to \infty N 时,有 ω 0 → 0 \omega_0\to 0 ω00,式(6)的右边就过渡为一个积分。

    右边的每一项都可以看作是高度为 X ( e j k ω 0 ) e j k ω 0 n X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} X(ejkω0)ejkω0n 宽度为 ω 0 \omega_0 ω0 的矩形的面积。而且,因为这个求和是在 N N N ω 0 = 2 π / N \omega_0=2\pi/N ω0=2π/N 的间隔内完成的,所以总的积分区间总是有一个 2 π 2\pi 2π 的宽度。式(6)和式(4)就分别变成

    (7) x [ n ] = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω \tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega} x[n]=2π12πX(ejω)ejωndω(7)

    (8) X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] e − j ω n \tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}} X(ejω)=n=+x[n]ejωn(8)

    (7)式和 (8)式被称为离散时间傅里叶变换对。函数 X ( j ω ) X(j\omega) X(jω) 称为 X ( t ) X(t) X(t)离散时间傅里叶变换,也通常被称为频谱

    • 例 1

    • 例 2

    2. 周期信号的傅里叶变换

    考虑如下信号
    (9) x [ n ] = e j ω 0 n \tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n} x[n]=ejω0n(9)

    其傅里叶变换是如下的冲激串

    (10) X ( e j ω ) = ∑ l = − ∞ + ∞ 2 π δ ( ω − ω 0 − 2 π l ) \tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) X(ejω)=l=+2πδ(ωω02πl)(10)

    为了验证该式,必须求出其对应的反变换

    (11) 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω = 1 2 π ∫ 2 π ∑ l = − ∞ + ∞ 2 π δ ( ω − ω 0 − 2 π l ) e j ω n d ω \tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega 2π12πX(ejω)ejωndω=2π12πl=+2πδ(ωω02πl)ejωndω(11)

    注意,在任意一个长度为 2 π 2\pi 2π 的积分区间内,在上式的和中真正包括的只有一个冲激,因此,如果所选的积分区间包含在 ω 0 + 2 π r \omega_0+2\pi r ω0+2πr 处的冲激,那么

    (12) 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω = e j ( ω 0 + 2 π r ) n = e j ω 0 n \tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n} 2π12πX(ejω)ejωndω=ej(ω0+2πr)n=ejω0n(12)

    现在考虑一周期序列 x [ n ] x[n] x[n],周期为 N N N,其傅里叶级数为

    (13) x [ n ] = ∑ k = ( N ) a k e j k ( 2 π / N ) n \tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n} x[n]=k=(N)akejk(2π/N)n(13)

    这时,傅里叶变换就是

    (14) X ( e j ω ) = ∑ k = − ∞ + ∞ 2 π a k δ ( ω − 2 π k N ) = ∑ l = − ∞ + ∞ ∑ k = ( N ) 2 π a k δ ( ω − k ω 0 − 2 π l ) \tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega - k\omega_0 - 2\pi l) X(ejω)=k=+2πakδ(ωN2πk)=l=+k=(N)2πakδ(ωkω02πl)(14)

    这样,一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶级数系数得到。

    3. 离散时间傅里叶变换性质

    为了方便,我们将 x [ n ] x[n] x[n] X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 这一对傅里叶变换用下列符号表示

    x [ n ] ↔ F X ( e j ω ) x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) x[n]FX(ejω)

    3.1. 离散时间傅里叶变换的周期性

    (15) X ( e j ( ω + 2 π ) ) = X ( e j ω ) \tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})} X(ej(ω+2π))=X(ejω)(15)

    3.2. 线性

    x 1 [ n ] ↔ F X 1 ( e j ω ) x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega}) x1[n]FX1(ejω)

    x 2 [ n ] ↔ F X 2 ( e j ω ) x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega}) x2[n]FX2(ejω)

    (16) a x 1 [ n ] + b x 2 [ n ] ↔ F a X 1 ( e j ω ) + b X 2 ( e j ω ) \tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})} ax1[n]+bx2[n]FaX1(ejω)+bX2(ejω)(16)

    3.3. 时移与频移性质

    x [ n ] ↔ F X ( e j ω ) x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) x[n]FX(ejω)

    (17) x [ n − n 0 ] ↔ F e − j ω n 0 X ( e j ω ) \tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})} x[nn0]Fejωn0X(ejω)(17)

    (18) e j ω 0 n x [ n ] ↔ F X ( e j ( ω − ω 0 ) ) \tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})} ejω0nx[n]FX(ej(ωω0))(18)

    3.4. 共轭及共轭对称性

    x [ n ] ↔ F X ( e j ω ) x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) x[n]FX(ejω)

    (19) x ∗ [ n ] ↔ F X ∗ ( e − j ω ) \tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})} x[n]FX(ejω)(19)

    共轭性质就能证明,若 x ( t ) x(t) x(t) 为实函数,那么 X ( j ω ) X(j\omega) X(jω) 就具有共轭对称性,即

    (20) X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) [ x [ n ] 为 实 ] \tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 为实]} X(ejω)=X(ejω)[x[n]](20)

    这就是说,离散傅里叶变换的实部是频率的偶函数,而虚部则是频率的奇函数

    3.5. 差分与累加

    (21) x [ n ] − x [ n − 1 ] ↔ F ( 1 − e − j ω ) X ( e j ω ) \tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})} x[n]x[n1]F(1ejω)X(ejω)(21)

    (22) ∑ m = − ∞ n x [ m ] ↔ F 1 1 − e − j ω X ( e j ω ) + π X ( e j 0 ) ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( ω − 2 π k ) \tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)} m=nx[m]F1ejω1X(ejω)+πX(ej0)k=+δ(ω2πk)(22)

    3.6. 时间反转

    (23) x [ − n ] ↔ F X ( e − j ω ) \tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})} x[n]FX(ejω)(23)

    3.7. 时域扩展

    若令 是一个正整数,并且定义

    (24) x ( k ) [ n ] = { x [ n / k ] 当  n   为   k   的 整 数 倍 0 , 当  n   不 为   k   的 整 数 倍 \tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\ 0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍 \end{cases} x(k)[n]={x[n/k]0, n  k  n  k (24)

    (25) x ( k ) [ n ] ↔ F X ( e j k ω ) \tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})} x(k)[n]FX(ejkω)(25)

    3.8. 频域微分

    (26) n x [ n ] ↔ F j d X ( e j ω ) d ω \tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} } nx[n]FjdωdX(ejω)(26)

    3.9. 帕斯瓦尔定理

    (27) ∑ − ∞ + ∞ ∣   x [ n ]   ∣ 2 = 1 2 π ∫ 2 π ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 d ω \tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega } + x[n] 2=2π12πX(ejω)2dω(27)

    3.10. 卷积性质

    (28) y [ n ] = h [ n ] ∗ x [ n ] ↔ F Y ( e j ω ) = H ( e j ω ) X ( e j ω ) \tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})} y[n]=h[n]x[n]FY(ejω)=H(ejω)X(ejω)(28)

    两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

    3.11. 相乘性质

    (29) y [ n ] = x 1 [ n ] x 2 [ n ] ↔ F Y ( e j ω ) = 1 2 π ∫ 2 π X 1 ( e j θ ) X 2 ( e j ( ω − θ ) ) d θ \tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta} y[n]=x1[n]x2[n]FY(ejω)=2π12πX1(ejθ)X2(ej(ωθ))dθ(29)
    两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的周期卷积

    4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

    5. 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶型

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  • 离散时间傅里叶变换(理解推导)

    千次阅读 2020-05-15 20:22:10
    在学习离散傅里叶变换之前,首先我们要了解傅里叶级数(Fourier Series)和傅里叶变换 (Fourier Transform) x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}{\infty}{C_{k }e{jnwt}} \ C_k=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{{-T

    离散时间傅里叶变换(DTFT)

    Tips: 此贴适合有一定傅里叶变换和傅里叶级数基础的人观看。意在帮助大家更好的理解DTFT和CTFT的关系。
    讲解了从连续时间傅里叶变换(就是我们正常所用到的傅里叶变换)到离散时间傅里叶变换的简单推导

    在学习离散傅里叶变换之前,首先我们要了解傅里叶级数(Fourier Series)和傅里叶变换 (Fourier Transform)

    x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}{\infty}{C_{k }e{jnwt}}

    在这里插入图片描述
    傅里叶级数和傅里叶变换针对的都是连续函数,假如说有一个离散序列x(n),怎么找到它的相对应的傅里叶变换呢?

    假设我们有一个连续函数 x(t),对x(t)取样,取样周期为T_s 我们可以得到:
    x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(t\ -\ nT_s)}
    可以很容易看出后半部分为一个周期函数,周期

    \ {\ \ T}_s    (w_s=\frac{2\pi}{T_s}),而且每当 t = nT_s 时该函数值为1。

    根据傅里叶级数性质,我们可以将其写为傅里叶级数
    \sum_{n=-\infty}{\infty}{\delta(t - nT_s)}=\sum_{k=-\infty}{\infty}{C_ke^{jkw_st}}
    根据傅里叶级数公式,求得
    C_k=\frac{1}{T_s}

    然后我们得到了取样函数的另一种表达方式:
    在这里插入图片描述
    这里后半部分是以傅里叶级数的形式来表示出来的

    根据傅里叶函数的定义对x_s(t)求傅里叶变换

    在这里插入图片描述

    这里将我们上面所求的x_s(t)的表达式代入
    在这里插入图片描述

    根据积分性质将上述式子改写为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    根据时间平移特性,很容易观察出后面的积分项可以写成连续函数x(t)的傅里叶变换平移kf_s之后得到的图像。

    通过表达式我们很容易看出,离散时间傅里叶变换可以看成,连续时间傅里叶变换的幅度先变为原来的1/Ts,然后有规律的向左向右平移kf_s单位。 这意味着DTFT是周期函数。周期为f_s。
    我们可以根据下图来感受一些DTFT 和 CTFT的关系: (\mathrm{\Omega}=\frac{2\pi}{T}\ \ \  \mathrm{\Omega}_s=\frac{2\pi}{T_s}\  \ w_b=\frac{\mathrm{\Omega}}{T_s})

    在这里插入图片描
    其实很多工科的学生不需要理解推导,以上推导是帮助我们更好的理解DTFT,以及它和傅里叶变换的关系,通过推导我们可以明白为什么DTFT是周期性的。只对感兴趣如何计算的,可以直接看下页公式。
    DTFT的定义式:
    X(jw)=\sum_{n=-\infty}{\infty}{x(n)e{-jwn}}
    如果学过z变换的同学,看到这个公式肯定很熟悉,因为

    将其带入\bigmX(z)=\sum_{n=-\infty}{\infty}{x(n)z{-n}}
    这不就是z变换的定义式吗?
    所以我们可以通过z变换得到DTFT:
    在这里插入图片描述
    当然也可以根据定义来计算
    以下是一个很简单的计算,大家可以用两种方法试着计算来帮助自己理解。

    ](https://img-blog.csdnimg.cn/20200515201652257.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDM3MjQ3Ng==,size_16,color_FFFFFF,t_70)

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  • 离散时间傅里叶变换(序列的傅里叶变换) Discrete-Time Fourier transform ( DTFT ) 1.正变换(单位圆上的z变换) 一致收敛相对于均方收敛,即序列绝对可和 2.反变换(单位圆上的z反变换) 反变换也叫逆...

    离散时间傅里叶变换(序列的傅里叶变换)

    Discrete-Time Fourier transform  ( DTFT ) 

    1.正变换(单位圆上的z变换)

    一致收敛相对于均方收敛,即序列绝对可和

    2.反变换(单位圆上的z反变换) 

    反变换也叫逆变换,记为 IDTFT

    要熟记DTFT变换对

    3.序列傅里叶变换的性质

                z变换     傅里叶变换 

     

    4.共轭对称序列和共轭反对称序列

    1. 共轭对称序列

            条件:满足 xe(n) = xe*(-n) ,则称 xe(n) 为共轭对称序列 

    分析对称关系: 

    说明共轭对称序列的实部偶对称,而虚部奇对称 

    特殊地,如序列是实序列,共轭对称序列就是偶对称序列 

    2.共轭反对称序列 

    条件:满足xo(n) = - xo*(-n),  则称为共轭反对称序列

    说明共轭反对称序列的实部奇对称,而虚部偶对称 

    特殊地,如是实序列,共轭反对称序列就是奇对称序列 

    5.任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和 

     

    两分量的求取 

    6.序列的傅氏变换也可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量之和 

    7.两个基本性质

     

    8.序列的实、虚部与其傅氏变换

    共轭对称、反对称分量的对应关系 

    9.序列的共轭对称、反对称分量与其傅氏变换的实、虚部的对应关系

    10.序列为实序列的情况

    即是说,实序列的傅里叶变换是共轭对称 

     

     

              

     

     

     

     

     

     

     

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