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  • 常用级数展开式
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    2021-05-21 14:00:46

    函数的幂级数形式具有广泛的应用,如函数值的估算、数值计算、解微分方程等。虽然可以使用泰勒展开式来写成函数的幂级数展开形式,即直接展开法;但是由于一般来说,函数的

    阶导数不易求得,并且也不容易考察余项,因此这并不是较好的方法。我们更常用的间接求幂级数展开式的方法。我们利用的是幂级数的和函数的一些重要性质,以及一些重要的已知幂级数展开式,来间接求得幂级数展开式。

    首先我们要熟知以下的函数\(x\)的幂级数展开式,这是我们进行求和的基础。

    \(e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}(-\infty

    \(\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}(-\infty

    \(\frac1{x+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^n(-1

    这三个式子中,前两个是利用泰勒展开得到的幂级数展开式。注意第三个式子,它是经典的无穷等比级数的形式,如果等比级数首项为\(a_1\),公比为\(q\),\(|q|<1\),则等比级数收敛于\(S\),有\(S=\frac{a_1}{1-q}\).这个级数是利用等比级数求和公式得到的。记住这个形式,对于我们记住这个经典的级数展开式和求类似的级数展开式相当有帮助。

    大多数函数的幂级数展开,都可以以上述三种级数作为基础,通过微分、积分、变量代换、恒等变形、待定系数等方法,求出幂级数展开式。

    微分法

    如果上述的级数是待求幂级数展开式函数的原函数(如欲求\(y=\cos x\)在\(x=0\)处的幂级数展开式),则先写出所需的函数展开式,然后两边同时求微分。

    例:求\(\cos x\)关于\(x\)的幂级数展开式.

    解:注意到\((\sin x)'=\cos x\),而\(\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}(-\infty

    等号两侧同时求导,得\(\cos x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k)!}}{x^{2k}}( - \infty < x < + \infty )} \)

    积分法

    如果上述的级数是待求幂级数展开式的函数的导函数(如欲求\(y=\ln(1+x)\)在\(x = 0\)处的幂级数展开式),则先写出所需的函数展开式,再同时积分。

    求\(y=\ln (1+x)\)关于\(x\)的幂级数展开式

    解:\((\ln(1+x))'=\frac1{1+x}\),而\(\frac1{x+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^n(-1

    对此式两边同时积分,得:

    \(\begin{gathered}

    \ln (1 + x) = \int_0^x {\frac{1}{{1 + x}}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\int_0^x {{x^n}} dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n}} ( - 1 < x \leqslant 1) \hfill \\

    \end{gathered} \)

    这里要留意收敛域的变化。

    三、变量代换

    即在上面的幂级数展开式中作变量代换,从而得到幂级数展开式

    如求\(e^{x^2}\)在\(x = 0\)处的幂级数,直接将\(y=e^x\)的展开式中\(x\)用\(x ^2\)代替.

    得\({e^{{x^2}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{2n}}}}{{n!}}} \)

    利用上述三种方法,我们还可以求得:

    \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}{x^{2n}}} ( - 1 < x < 1)\)

    \(\arctan x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n + 1}}( - 1 \leqslant x \leqslant 1)} \)

    这就丰富了我们求幂级数的已知函数的素材。

    这也是教材中经常出现并作为经典案例的幂级数展开式的求法。如果面对一个稍复杂形式的幂级数展开,我们可以先做恒等变形,再求展开式。

    如果求得函数\(f(x)\)关于\(x\)的幂级数,那么函数\(x^mf(x)\)和\(\frac1{x^m}f(x)\)的幂级数展开式(其中\(m\)是小于\(f(x)\)的幂级数展开式中首项的次数的正整数)也迎刃而解,也可以作为“素材”。因而,我们的目标是通过等价变形,把函数变成以上“素材”的加减形式,然后再调整形式,求和合并。

    这是我们求幂级数最常用的方法。

    例1:把函数\(f(x) = (1 - x)\ln (1 + x)\)展开成\(x \)的幂级数

    函数可以写成\(\ln(1+x)\)和\(-x\ln(1+x)\)之和,两部分的幂级数都很好求出。

    解:\(\begin{gathered}

    f(x) = \ln (1 + x) - x\ln (1 + x)\\ = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{x^{n + 1}}}}{n}( - 1 < x \leqslant 1)} \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n}} - \sum\limits_{n = 2}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{{{x^n}}}{{n - 1}}( - 1 < x \leqslant 1)} \hfill \\

    = x + \sum\limits_{n = 2}^\infty {(\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n} - \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n - 1}}){x^n}} ( - 1 < x \leqslant 1) \hfill \\

    = x + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}(2n - 1)}}{{n(n - 1)}}{x^n}( - 1 < x \leqslant 1)} \hfill \\

    \end{gathered} \)

    这里两部分相加的时候,先调整了形式,使得两式子中

    的次数相等,可以进行合并。

    例2:设\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

    {\frac{{1 + {x^2}}}{x}\arctan x,x \ne 0} \\

    {1,x = 0}

    \end{array}} \right.\),将函数\(f(x)\)展开成\(x \)的幂级数。

    注意到我们可以写出\(y=\arctan x\)的幂级数形式,然后\({{1+x^2}\over x}=x+\frac1 x\)

    解:\(\begin{gathered}

    f(x) = (\frac{1}{x} + x)\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n + 1}}( - 1 \leqslant x \leqslant 1)} \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n}} + \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n + 2}}} ( - 1 \leqslant x \leqslant 1)} \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{2n - 1}}{x^{2n}}} ( - 1 \leqslant x \leqslant 1)} \hfill \\

    = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}} + \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{2n - 1}}} \right]{x^{2n}}( - 1 \leqslant x \leqslant 1)} \hfill \\

    = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} {x^{2n}}( - 1 \leqslant x \leqslant 1) \hfill \\

    \end{gathered} \)

    例3:将函数\(f(x)=\ln(4-3x-x^2)\)展开成

    的幂级数.

    分析:拆成\(\ln(1-x)+ln(4+x)\)是显然的,但是\(\ln(x+4)\)直接在\(x =0\)处展开就出了收敛域了,因而要把4提出来.

    解:\(\begin{gathered}

    f(x) = \ln [(1 - x)(4 + x)] = \ln (1 - x) + 2\ln 2\ln (1 + \frac{1}{4}x) \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{{( - x)}^n}}}{n}} + 2\ln 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{{(\frac{1}{4}x)}^n}}}{n}} \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 1}^\infty { - \frac{{{x^n}}}{n} + 2\ln 2} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{1}{{{2^{2n}}}}\frac{{{x^n}}}{n}} \hfill \\

    = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\ln 2\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{{2^{2n - 1}}}} - 1} \right]} \frac{{{x^n}}}{n} \hfill \\

    \end{gathered} \)

    最后再介绍一种不常用的方法,即待定系数法。待定系数法适合于可以写成分式的形式,该分式的分子与分母都可以写成幂级数形式的函数的展开。如函数\(y=\tan x\),它可以写成\(y=\frac{\sin x}{\cos x}\),而分子分母都可以展开成幂级数。这种函数我们可以用待定系数法求解。

    例4:写出\(y=\tan x\)关于\(x \)的幂级数(只要求展开到\(x ^5\)项).

    解:令\(\tan x=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n\)

    注意到\(\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}(-\infty

    \(\cos x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k)!}}{x^{2k}}( - \infty < x < + \infty )} \)

    由\(\sin x=\tan x\cdot\cos x\)

    \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k + 1)!}}} {x^{2k + 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k)!}}{x^{2k}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{x^n}} } \)

    依次对照\(x,x^3,x^5\)的系数,有

    \(1=a_1\)

    \(-\frac16=-\frac12a_1+a_3\)

    \(\frac1{120}=a_5-\frac12a_3+\frac1{24}a_1\)

    解得:

    \(a_1=1,a_3=\frac13,a_5=\frac2{15}\)

    \(\therefore\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac2{15}x^5+\cdots(-\frac\pi2

    总结起来,将函数展开成幂级数,最主要的是熟悉常见的幂级数展开式作为“素材”,然后对函数形式进行变形,写出展开式。

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    常用函数的幂级数展开式】 ex=∑n=0∞xnn!\displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}ex=n=0∑∞​n!xn​ sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\displaystyle sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n ...

    【常用函数的幂级数展开式】
    e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! \displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} ex=n=0n!xn

    s i n x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \displaystyle sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1

    c o s x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \displaystyle cosx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=n=0(1)n(2n)!x2n

    1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n \displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n 1+x1=n=0(1)nxn

    1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n 1x1=n=0xn

    l n ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 \displaystyle ln(1+x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} ln(1+x)=n=0(1)nn+1xn+1

    l n ( 1 − x ) = − ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 \displaystyle ln(1-x)=-\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} ln(1x)=n=0n+1xn+1



    【本文的LaTeX代码】

    【常用函数的幂级数展开式】
    $\displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
    
    $\displaystyle sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
    
    $\displaystyle cosx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
    
    $\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$
    
    $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n$
    
    $\displaystyle ln(1+x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}$
    
    $\displaystyle ln(1-x)=-\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$
    
    
    
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  • x0=0,麦克劳林级数

    频次: 1
    出处: 2009-16、

    知识树位置:

    • 无穷级数
      • 常数项级数
      • 幂级数
        • 幂级数展开
          • 泰勒级数
            • 麦克劳林级数
              • 常用的麦克劳林级数展开式

    知识点内容:

    定义

    设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( x 0 − R , x 0 + R ) (x_0-R,x_0+R) (x0R,x0+R) 上有定义,若
    f ( x ) = ∑ x = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n f(x)=\sum_{x=0}^\infin a_n(x-x_0)^n f(x)=x=0an(xx0)n

    对任意的 x ∈ ( x 0 − R , x 0 + R ) x\in(x_0-R,x_0+R) x(x0R,x0+R) 都成立,则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( x 0 − R , x 0 + R ) (x_0-R,x_0+R) (x0R,x0+R) 上能展开为 x − x 0 x-x_0 xx0 的幂级数.

    若函数 f ( x ) f(x) f(x) x = x 0 x=x_0 x=x0 处任意阶可导,则称幂级数
    ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n \sum_{n=0}^\infin\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n n=0n!f(n)(x0)(xx0)n

    为函数 f ( x ) f(x) f(x) x = x 0 x=x_0 x=x0 处的泰勒级数.

    特别地, x 0 = 0 x_0=0 x0=0 处的泰勒级数 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n \displaystyle\sum_{n=0}^\infin\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n n=0n!f(n)(0)xn 称为函数 f ( x ) f(x) f(x)麦克劳林级数.

    常用的麦克劳林级数展开式


    1、直接展开
    1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 ⋯ + x n + ⋯ = ∑ x = 0 ∞ x n , ( − 1 < x < 1 ) \dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3\cdots+x^n+\cdots=\sum_{x=0}^\infin x^n,(-1<x<1) 1x1=1+x+x2+x3+xn+=x=0xn(1<x<1)


    2、直接展开
    1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯ = ∑ x = 0 ∞ ( − 1 ) n x n , ( − 1 < x < 1 ) \dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots=\sum_{x=0}^\infin (-1)^nx^n,(-1<x<1) 1+x1=1x+x2x3++(1)nxn+=x=0(1)nxn(1<x<1)


    3、直接展开
    e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , ( − ∞ < x < + ∞ ) e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{x^n}{n!},(-\infin<x<+\infin) ex=1+x+2!x2+3!x3++n!xn+=n=0n!xn(<x<+)


    4、直接展开
    sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , ( − ∞ < x < + ∞ ) \sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},(-\infin<x<+\infin) sinx=x3!x3+5!x57!x7++(2n+1)!(1)nx2n+1+=n=0(2n+1)!(1)nx2n+1(<x<+)


    5、间接展开,由 sin ⁡ x \sin x sinx 求导得
    cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! , ( − ∞ < x < + ∞ ) \cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!},(-\infin<x<+\infin) cosx=12!x2+4!x46!x6++(2n)!(1)nx2n+=n=0(2n)!(1)nx2n(<x<+)


    6、间接展开,由 1 1 + x \dfrac{1}{1+x} 1+x1 积分得
    ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n , ( − 1 < x ⩽ 1 ) \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n},(-1<x\leqslant1) ln(1+x)=x2x2+3x34x4++n(1)n1xn+=n=0n(1)n1xn(1<x1)

    题目集:

    【2009-16】
    a n a_n an 为曲线 y = x n y=x^n y=xn y = x n + 1 ( n = 1 , 2 , . . . ) y=x^{n+1}(n=1,2,...) y=xn+1(n=1,2,...) 所围成区域的面积,记
    S 1 = ∑ n = 1 ∞ a n , S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 S_1=\sum_{n=1}^{\infin}a_n,S_2=\sum_{n=1}^{\infin}a_{2n-1} S1=n=1anS2=n=1a2n1

    S 1 、 S 2 S_1、S_2 S1S2 的值.

    解:
    常数项级数一节知,
    S 1 = 1 2 S_1=\dfrac{1}{2} S1=21

    S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 n − 1 2 n + 1 ) = 1 2 − 1 3 + 1 4 − 1 5 + 1 6 − ⋯ S_2=\sum_{n=1}^\infin a_{2n-1}=\sum_{n=1}^\infin\Big(\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\Big)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\cdots S2=n=1a2n1=n=1(2n12n+11)=2131+4151+61


    ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯ \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots ln(1+x)=x2x2+3x34x4++n(1)n1xn+

    x = 1 x=1 x=1,得
    ln ⁡ 2 = 1 − ( 1 2 − 1 3 + 1 4 ⋯ ) = 1 − S 2   S 2 = 1 − ln ⁡ 2 \ln2=1-\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\cdots\Big)=1-S_2\\ \ \\ S_2=1-\ln2 ln2=1(2131+41)=1S2 S2=1ln2

    综上, S 1 = 1 2 , S 2 = 1 − ln ⁡ 2 S_1=\dfrac{1}{2},S_2=1-\ln2 S1=21S2=1ln2.

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    常见函数的幂级数(泰勒级数展开与推导。
  • 【考研数学高数部分】泰勒展开式

    千次阅读 2022-01-21 12:01:05
    泰勒展开式 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(x0+θ(x−x0))(n+1)!(x−x0)n+1(0<θ<1)意义:可用n次多项式来近似表达函数f(x), 且误差是当x→x0 时比...
  • 级数展开公式

    万次阅读 多人点赞 2018-03-29 14:27:06
    这是从网上搜到的最全的幂级数展开公式,方便大家查阅使用。
  • 【调和级数】 调和级数是 的级数,在 n 趋于无穷时其部分和没有极限或部分和为无穷大。 一般情况下,我们需要求 其至今没有一个完全正确的公式,但当 n 很大时,可以使用欧拉给出的近似公式 其中,C 是欧拉常数...
  • 掌握方法后一些没有指令支持的数学函数计算,大家同样可以利用泰勒级数展开进行计算。关于泰勒级数、麦克劳林级数、泰勒多项式不是很清楚的同学,可以把藏在桌底的高等数学再拿出来回味一下,肯定会有所收获。.........
  • 泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数

    万次阅读 多人点赞 2018-10-17 14:34:11
    表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小。  余项 泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式: 1、佩亚诺(Peano)...
  • 泰勒级数的若干展开方法

    万次阅读 2021-01-12 06:38:44
    泰勒级数的若干展开方法*曹倩倩【摘要】摘要:泰勒级数是高等数学重要内容之一,但一般教材中有关泰勒级数展开方法介绍的不够详细,初学者不便掌握。文章综述了常见泰勒级数展开方法,并给出具体实例。【期刊名称】...
  • 傅里叶级数表述为: f(t)=a0+∑k=1∞{akcos⁡(2πkT0t)+bksin⁡(2πkT0t)} f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)...
  • 常见函数的级数展开

    千次阅读 2020-04-28 18:53:20
    麦克劳林级数 xxx范围 exe^xex ∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+…\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dotsn=0∑∞​n!xn​=1+x+2!x2​+3!x3​+… −∞<x<+∞-\infty<x&...
  • 求解级数展开和求和
  • 解析函数的泰勒展开、洛朗展开是解析函数应用的必备知识。文章介绍了解析函数的洛朗展开方法及洛朗展的相关性质,适合学习相关概念使用。
  • 傅里叶级数公式推导

    千次阅读 2021-08-03 10:44:09
    傅里叶 三角函数形式展开
  • 泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解

    万次阅读 多人点赞 2019-03-03 12:54:53
    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这...
  • 泰勒展开式及其推导

    万次阅读 2020-03-18 09:49:15
    泰勒级数用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 ——百度...
  • 数 展 开 可 用 s i n / c o s ( 即 多 项 长 除 法 ) 求tanx级数展开可用sin/cos(即多项式长除法) 求tanx级数展开可用sin/cos(即多项式长除法) s e c x = 1 + x 2 / 2 + ( 5 x 4 ) / 24 + O ( x 6 ) ( T a...

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