关于短除法求两个数的最小公倍数的公式的解释
 
公式: 两个数的乘积 = 两数的最小公倍数 x 最大公约数
 
 
 
例如: 求 18 和 366 的最小公倍数
 假设:
 1.前面已经求出最大公约数 为 6
 2.最小公倍数为 k
 那么:
 18 * 366 = k * 6
 k = 18 * 366 / 6
 k = 1098
 
 
短除法求最小公倍数: 把短处号左边的所有质因数和短处号下面的两个数相乘
 
 
 

 18 和 366 的最小公倍数 用短除法 可以得到: 2 * 3 * 3 * 61 = 1098
 18 和 366 的最大公约数 用短除法 可以得到: 2 * 3 = 6
 
 
3. 公式 2 求证过程
 
 
 
假设有两个数 m 和 n 其公因数分别为(以下相乘的部分*省略):
 m = abe
 n = abcd
 可以看到 ab 是 m n 两个数的最大公约数
 
 
 
 
现在
 想要 ab 变成 m 的倍数 那么 ab 至少需要 乘以 e 才可以
 abe 是 m 的倍数
 想要 ab 变成 n 的倍数 那么 ab 至少要需要乘以 c 和 d 才可以
 abcd 是 n 的倍数
 想要 abcd 变成 m 的倍数 至少需要 abcd 乘以 一个数才可以(其实就是乘以e 但现在需要证明这个数就是e)
 假设这个数是 x 那么 abcdx 就是 m的倍数
 那么 当 x 的值是最小的时候 abcd * x 的值就是 m 的最小公倍数
 那么就会有: abcd 乘以 x 可以整除 整数 m 即: abcdx 对 m 整除的结果是一个整数
 写成数学计算式:
 abcd * x // m
 abcd * x // abe
 约去ab 得到 cd * x // e
 那么要整除 e cd 所乘的数 至少是 e 才可以完成将 e 约去
 即: cd * e // e = cd
 因此得到: x 的值就是 e
 那么最终得到: abcd * x // m 起始就是 abcd * e // m
 因此: 短除号左边 和 下边的所有数乘积 就是 要求的两个数的最小公倍数
 
 
 
 
写个例子看下:
 用短除法 求数字 8 和 36 的最小公约数
 
 8 = 2 * 2 * 2
 36 = 2 * 2 * 9
 想让 2 * 2 * 9 变成 8的倍数 而且是最小倍数 那么 2 * 2 * 9 (36) 至少要乘以 2 才可以 (36 * 1 不能整除 8 而 36 * 2 能整除 8)
 即: 2 * 2 * 9 * 2 = 72 (到此就可以查看出短除法得到的数字之积就是两个数字的最小公倍数)
 
 
4.由第 3 步的推导结果就可以轻易的得到公式 1
 
 
 
接上面的例子:
 8 和 36 的最大公约数是 2 * 2 = 4
 8 和 36 的最小公倍数是 72
 那么 8 * 36 = 72 * 4
 得到: 两个数的乘积 = 两数的最小公倍数 x 最大公约数
 
 
<个人理解的推导过程 如果在推导的过程中有不合理的地方 欢迎指出 感谢!!!>

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最大公约数 解释
 
 
最小公倍数 解释
 
 
求两个数的最大公约数和最小公倍数，只要计算出最大公约数可以求得最小公倍数
 
 
两个数字a和b，假设最大公约数为m，a=a1*m，b=b1*m，最小公倍数是a1*b1*m=(a*b)/m
 
 
 
 
 
算法一 穷举法
 
 
按1、2、3...的顺序判断，能同时被两个数整除的最大的数是最大公约数
 
 
改进
 
 
假设a<b，按a、a-1、a-2...的顺序判断，第一个能同时被两个数整除的是最大公约数
 
 
 
  
int GetGCD(int x, int y)
{
	int i;
	for(i=x;;i--)
	{
		if(x%i==0&&y%i==0)
		break; 
	}
	return i;
}
 
 
 
 
　　
 
 
 
 
 
算法二 辗转相除法（欧几里得算法）
 
 
第一步：令r为a/b所得余数（0≤r<b）
若 r= 0，算法结束；b 即为答案。
第二步：互换，置 a←b，b←r，并返回第一步。
 
 
 
  
int GetGCD(int m,int n)
{
　　if(m == 0||n == 0)
	return 0;

　　if(m < n)
	return GetGCD(n, m);
		
    if (m % n == 0)
        return n;
　　else
        return GetGCD(n,m % n);
}
 
 
 
 
　　
 
 
 
 
 
算法三 更相减损法
 
 
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。
 
 
 
  
int GetGCD(int a,int b)
{
    while(a!=b)
    {
        if(a>b)     
		a-=b;
	else  
		b-=a;
    }
    
    return a;
}
 
 
 
 
　　
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 以上代码只是提供思路并未进行验证。
 
 
来源：内部测试
 
 
 
 
转载于:https://www.cnblogs.com/alex09/p/4690295.html