本节是本专栏的第一节，更是后续学习的基础。 
 
说明：复变函数和实变函数的计算在matlab中是相同的，但是，对于多值函数，matlab仅仅是对主值进行计算。
 
matlab表现四维数据的方法是在三维数据的基础上加上颜色，具体的画法是以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，用颜色表示复变函数值的虚部。为了能明确表示颜色和数值的对应关系，一般还需要用指令colorbar表示各种颜色所代表的数值。
 
一、matlab画复变函数图形的指令
 
matlab画复变函数图形的指令有以下3个
 
（1）CPLXGRID    构建一个极坐标的复数数据网络
 
格式：Z=CPLXGRID(m)
 
这是一个（m+1）*(2*m+1)的复数的极坐标下的数据网络
 
在指令窗口输入：edit cplxgrid,将显示该指令的源程序
 
function z = cplxgrid(m)
%CPLXGRID Polar coordinate complex grid.
%   Z = CPLXGRID(m) is an (m+1)-by-(2*m+1) complex polar grid.
%   See CPLXMAP.

%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

r = (0:m)'/m;
theta = pi*(-m:m)/m;
z = r * exp(i*theta);
 
（2）CPLXMAP 对复变函数作图
 
格式：CPLXMAP(z,f(z),(optional bound))
 
这将画出复变函数

 
文章目录
 
2.1
        
         
          
           
          
          
           \quad
          
         
        复变函数
2.1.1
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的定义
2.1.2
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的图像表示
2.1.3
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数在不同坐标下的形式转换
2.1.4
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的反函数
   
   
2.2
        
         
          
           
          
          
           \quad
          
         
        复变函数的极限和连续性
2.2.1
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的极限
$Ⅰ.$极限的定义
$Ⅱ.$极限定理
$Ⅲ.$无穷远点的极限
     
2.2.2
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的连续性
$Ⅰ.$连续的定义
$Ⅱ.$连续性定理
    
   
   
2.3
        
         
          
           
          
          
           \quad
          
         
        复变函数的导数和微分
2.3.1
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的导数
$Ⅰ.$导数的定义
$Ⅱ.$导数的性质
     
2.3.2
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          复变函数的微分
   
   
2.4
        
         
          
           
          
          
           \quad
          
         
        解析函数
2.4.1
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          解析函数的定义
2.4.2
          
           
            
             
            
            
             \quad
            
           
          柯西-黎曼方程
$Ⅰ.$解析的充要条件
$Ⅱ.$解析函数的性质
    
   
  
 

 
2.1
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数
 
2.1.1
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的定义
 
对应实变函数，同样也可以建立从复变量映射到复变量的函数。
 即可以定义映射 $f:S\mapsto S^{\ast }$，$S,S^{\ast }\subseteq \mathbb{C}$，对于任一复数 $z\in S$，都对应一个或多个 $w\in S^{\ast }$. 用记号表示为 $w=f(z)$.
 上述表述中，$S$ 为 定义集合，$S^{\ast }$ 为 函数值集合；$S$ 是 $f$ 的 定义域；$w$ 是 $z$ 的 象（映象），$z$ 是 $w$ 的 原象 。
 为了形象地表示复变函数的映射情况，通常用从一个复平面映射到另一个复平面的方式来体现函数的几何特征。
 
 
2.1.2
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的图像表示
 
【例 $2\text{-}1$】用图像表示函数 $w=z^2$.
 
 具体变换式与曲线对应方程如下：
 第一组方程描述 $x\text{-}y$ 平面映射到 $u\text{-}v$ 平面的变换。
 第二、三组方程描述 $u\text{-}v$ 平面上平行于 $x,y$ 两轴的直线对应在 $x\text{-}y$ 平面中的原象。
 当然也可以观察辐角的变化：
 
 同时也可以观察 $u\text{-}v$ 平面上的每个单位小正方形区域对应在 $x\text{-}y$ 平面中的原象：
 
 不难看出，在两复平面内，原象中的两条相交直线形成的夹角在经过变换后没有发生变化。称满足此条件的函数映射本身为 共形映射 或 保形映射 。共形映射和的具体内容会在之后提及。
 
 
2.1.3
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数在不同坐标下的形式转换
 
同一个函数在不同类型的平面内几何特征也不同。上例中若将 $x\text{-}y$ 平面与 $u\text{-}v$ 平面都转化为极坐标，可得到下面的图像：
 
 容易看出，该例中极坐标下函数的图像变得尤其简单。转化坐标对研究某些函数很有帮助。
 
同样地，也可以将复变函数用指数函数形式来表示。
 

 【例 $2\text{-}2$】用图像表示函数 $w=e^z$.
 以下直接给出图像的两复平面上的等值线与辐角的对应关系图像。
 
 
            
  
 

 
2.1.4
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的反函数
 
复变函数也有反函数的概念。按照实变函数的定义进行类比，可以得到如下定义：
 若函数 $w=f(z)$ 的定义集合为 $z$ 平面上的集合 $S$，函数值集合为 $w$ 平面上的集合 $S^{\ast }$。对于映射 $f:S\mapsto S^{\ast }$，$S^{\ast }$上每一点 $w$ 必对应着 $S$ 中的一个（或多个）点，由此在 $S^{\ast }$ 上就确定了一个单值（或多值）函数 $z=\phi (w)$，称为函数 $w=f(z)$ 的 反函数，也称为映射 $w=f(z)$ 的 逆映射。
 
也即：对于任意的 $w\in S^{\ast }$，有$$w=f[\phi (w)],$$当反函数为单值函数时，也有$$z=\phi [f(z)],z\in G.$$
 
称正映射与逆映射都为单值的函数是 一一的，称对应的集合 $S$ 和 $S^{\ast }$ 是 一一对应 的。
 
 
2.2
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的极限和连续性
 
2.2.1
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的极限
 
$Ⅰ.$极限的定义
 
设函数 $f$ 在$z_0$ 的去心邻域中有定义，当 $z$ 趋近于 $z_0$ 时，$$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=w_0$$指 $w=f(z)$ 可以无限接近于 $w_0$，只要 $z$ 足够接近 $z_0$ 而不等于它。
 
按照实变函数中极限的 $\epsilon \text{-}\delta$ 定义，即：对于 $\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，$\text{s.t.}$ $0<|z-z_0|<\delta$ 时，$|f(z)-w_0|<\epsilon .$
 
注意：极限定义中 $z$ 趋向于 $z_0$ 的方式是任意的。（类比多元实变函数极限）
 
 
$Ⅱ.$极限定理
 
定理一 【极限唯一定理】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    设函数 $f(z)$ 在一点 $z_0$ 处存在极限值，那么极限值唯一。
 
定理二 【极限分部定理】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u_0+i{v}_0,z_0=x_0+i{y}_0,$ 那么$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$ 的充要条件是 $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }u(x,y)=u_0,\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }v(x,y)=v_0.$$ 
 定理三 【极限四则运算】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    设 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A,\underset{z\to z_0}{\lim }g(z)=B$，那么
 $1.\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)\pm g(z)=A\pm B;$
 $2.\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)g(z)=AB;$
 $3.\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}(B\ne 0).$
 
$Ⅲ.$无穷远点的极限
 
将无穷远点 $\infty$ 归入复平面，并且使用相关的极限能够带来许多便利。将纳入了无穷远点的复平面称为 扩充复平面 。
 
在扩充复平面上表示无穷远点时，可以先想象在复平面原点的正上方存在一个球与之相切于原点。定义球的北极 $N$ 为球上在原点正上方的点，南极 $S$ 即为原点 $O$ ，则原来的复平面上任一点 $z$ 都能与 $N$ 相连并交于球面与另一点 $P$ ，如图所示。由此，我们可以建立 $P$ 与 $z$ 的一一对应关系。而北极点 $N$ 则定义为无穷远点。上述定义的球面被称为 复球面 或 黎曼球面。它是一种对复数平面加上一个无穷远点的扩张。
 
 

 
引入无穷远点以后，我们可以在原有极限的定义中，把 $z$ 或 $w$ 的适当的领域替换为 $\infty$ ，并且以下定理成立：
           
 上述定理均可用 $\epsilon \text{-}\delta$ 定义证明。
 

 
2.2.2
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的连续性
 
$Ⅰ.$连续的定义
 
类比实变函数，复变函数的连续性定义也以极限的概念为基础。
 
复变函数的连续性定义由以下三个条件共同决定：
 
$f(z_0)$ 存在 $;$
$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$ 存在 $;$
$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0)$ $.$
 
当然，第三个条件也可以用极限的 $\epsilon \text{-}\delta$ 定义描述。
 
如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 范围内处处连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续。
 
$Ⅱ.$连续性定理
 
定理一 【连续分部定理】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_0+i{y}_0$ 处连续的充要条件是：$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。
 
定理二 【连续四则运算】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    在 $z_0$ 处连续的两个函数 $f(z),g(z)$ 的和、差、积、商（$z_0$ 分母不为 $0$） 在 $z_0$ 处仍连续。
 
定理三 【连续复合定理】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    若函数 $h=g(z)$ 在 $z_0$ 处连续，函数 $w=f(h)$ 在 $h_0=g(z_0)$ 处连续，则复合函数 $w=f[g(z)]$在 $z_0$ 处连续。
 
定理三 【有界性定理】
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    在闭曲线或包括曲线在内的曲线段上连续的函数 $f(z)$ 在曲线上有界。即存在一正数 $M$，在曲线上恒有$$|f(z)|\le M.$$
 
 
2.3
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的导数和微分
 
2.3.1
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的导数
 
$Ⅰ.$导数的定义
 
设函数 $w=f(z)$ 定义于区域 $D$，$z_0$为 $D$ 中的一点，点 $z_0+\Delta z$ 不出 $D$ 的范围。如果极限 $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ 存在，那么就说 $f(z)$ 在 $z_0$ 处 可导 ，这个极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的 导数，记作：$$f^{\prime }(z_0)=\frac{dw}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}.$$
 
注意：导数定义中 $z_0+\Delta z\to z_0$（即$\Delta z\to 0$）的方式是任意的，所以复变函数对于导数的限制比对一元实变函数的类似限制要严格很多，并且是复变可导函数有了独特的性质和应用。
 
若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内可导 。
 
$Ⅱ.$导数的性质
 
四则运算
 
$(c{)}^{\prime }=0$
$(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$
$[f(z)\pm g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)\pm g^{\prime }(z)$
$[f(z)g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)g(z)+f(z)g^{\prime }(z)$
$[\frac{f(z)}{g(z)}{]}^{\prime }=\frac{1}{g^2(z)}[g(z)f^{\prime }(z)-f(z)g^{\prime }(z)]$
${f[g(z)]}^{\prime }=f^{\prime }[g(z)]g^{\prime }(z)$
$f^{\prime }(z)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(w)}(w=f(z)$ 与 $z=\phi (w)$ 互为反函数$)$
 
性质
 可导一定连续，连续不一定可导。
 
2.3.2
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    复变函数的微分
 
复变函数的微分概念在形式上和实变函数的微分概念完全相同。
 
设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $$\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z.$$其中$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\rho (\Delta z)=0.$ 因此，$|\rho (\Delta z)\Delta z|$ 是 $\Delta z$ 的高阶无穷小量，而 $f^{\prime }(z_0)\Delta z$ 是函数 $w=f(z)$ 的线性部分，称为函数 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处的微分，记作：$$dw=f^{\prime }(z_0)dz,$$即$$f^{\prime }(z_0)=\frac{dw}{dz}{|}_{z=z_0}.$$
 
若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内可微 。
 
从上述过程中可以知道，函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可导与在 $z_0$ 处可微是等价的。
 
 
2.4
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    解析函数
 
2.4.1
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    解析函数的定义
 
复变函数中，解析的概念比可导更重要。
 
如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 及其邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析 。而函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，或称 $f(z)$ 是 $D$ 内的一个 解析函数 。
 如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 奇点 。
 
由定义我们就直接可以看出：函数在某点可导，不一定在该点解析（邻域不可导）；函数在某点解析，则一定在该点可导。
 
而根据求导法则，我们也可以得出：
 
在区域 $D$ 内解析的两个函数 $f(z),g(z)$ 的和、差、积、商（去除分母为 $0$ 的点） 在 $D$ 内仍解析。
若函数 $h=g(z)$ 在 $D$ 内解析，函数 $w=f(h)$ 在 $h)$ 平面上的区域 $G$ 解析。如果对 $D$ 内的每一个点 $z$，函数 $g(z)$ 的对应值 $h$ 都属于 $G$，则复合函数 $w=f[g(z)]$在 $D$ 内解析。
 
2.4.2
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    柯西-黎曼方程
 
$Ⅰ.$解析的充要条件
 
与实变函数的全微分类似，复变函数对于一个函数是否解析只用定义判断是不够的。从导数的定义出发，我们可以得到更好的函数解析的充要条件——柯西-黎曼方程。
 
函数在某点处可导的充要条件
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 定义在区域 $D$ 内，则 $f(z)$ 在 $D$ 内一点 $z=x+iy$ 可导的充要条件为：$u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，并且在该点满足 柯西-黎曼方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$
 
函数解析的充要条件
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定义域 $D$ 内解析的充要条件为：$u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微，并且满足柯西-黎曼方程。
 
同时，我们也可以得到可导函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在点 $z=x+iy$ 处的导数公式：$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}.$$
 
当然，上述的讨论只是在直角坐标下的。极坐标下对于函数解析可以利用上述结论，用链式法则推出。
 
函数在某点处可导的充要条件（极坐标下）
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
    设函数 $f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$ 定义在区域 $D$ 内，则 $f(z)$ 在 $D$ 内一点 $z=r{e}^{i\theta }(z\ne 0)$ 可导的充要条件为：$u(r,\theta )$ 与 $v(r,\theta )$ 在点 $(r,\theta )$ 可微，并且在该点满足 柯西-黎曼方程$$r\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{\partial u}{\partial \theta }=-r\frac{\partial v}{\partial r}.$$
 
此时 $f^{\prime }(z)$ 可以写为$$f^{\prime }(z)=e^{-i\theta }(\frac{\partial u}{\partial r}+i\frac{\partial v}{\partial r}).$$
 
解析函数有许多好的性质，所以也相当重要。之后要学习的初等函数都是在整个复平面上解析的函数。我们把这样的函数称为 整函数 。
 
$Ⅱ.$解析函数的性质
 
以上的内容能够更快速地对函数是否解析作出判别。而知道了一个函数是解析函数后，也能带来一些好的性质。
 
如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 是解析的，且在区域 $D$ 内处处满足 $f^{\prime }(z)=0$，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内为一常数。
如果 $f(z)=u+iv$ 为一解析函数，且 $f^{\prime }(z)\ne 0$，那么曲线组 $u(x,y)=c_1$ 和 $v(x,y)=c_2$ 必互相正交，其中 $c_1,c_2$ 为常数。
 
第二条性质在上一部分中有所提及。由此可猜测，解析函数对应的映射属于共形映射。而此性质的确成立。

傅里叶级数针对周期函数，为了可以处理非周期函数，需要傅里叶变换。关于傅里叶级数的内容参见傅里叶级数
 
1 傅里叶级数
 
1.1 傅里叶级数是向量
 
从代数上看，傅里叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为T的函数$f(x)$：
 
 这一过过程，实际上是把$f(x)$当作了如下基的向量：
 
 那么上面的式子就可以解读为：
 
 以一个例子来说明，比如一个$T=2\pi$的方波$f(x)$，可以粗略的写作$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi }sin(x)$
 
 我们可以认为上面函数的基为
    
     
      
       
        {
       
       
        1
       
       
        ,
       
       
        s
       
       
        i
       
       
        n
       
       
        (
       
       
        x
       
       
        )
       
       
        }
       
      
      
       \{1,sin(x)\}
      
     
    {1,sin(x)}，则$f(x)$相当于向量$(1,\frac{4}{\pi })$，画到图上如下（注意横纵坐标不是$x,y$，而是$1,sin(x)）$：
 
 
2.1.2 频域图
 
在上面的示例函数中增加几个三角函数：
 
 此时从几何上来看，图像更为接近：
 
 这时的基为：
 
 对应的向量为：
 
 六维的向量我们是没有办法通过坐标图来表示的，因此数学家使用了一个频域图来表示这个向量：
 
 上图中的0，1，2，3，4，5分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：
 
$$0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)\cdots$$
 
高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。
 
这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图，此外还有一种结合正弦和余弦的方式，这个放在后面。
 
原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样才能较为完整的反映傅里叶级数。
 
 不管是时域还是频域，其实反映的都是同一个直线，只不过一个用了函数的观点，而另一个用了向量的观点。
 
当习惯了频域后，再看频域图似乎就看到了傅里叶级数的展开：
 
 
2 非周期函数：
 
以上关于傅里叶级数的说明都是基于周期函数，假如有如下一个非周期函数，那么傅里叶级数该怎么处理？
 
 我们可以变换一下思路，如果刚才方波的周期：
 $$T=2\pi \to T=\infty$$
 那么可以得到一个如下的函数：
 
 
在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数
 
 
观察下频域，对于周期为T的函数$f(x)$,其基为：
 

     
      
       
        
         {
        
        
         1
        
        
         ,
        
        
         c
        
        
         o
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         
          
           2
          
          
           π
          
          
           n
          
         
         
          T
         
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         ,
        
        
         s
        
        
         i
        
        
         n
        
        
         (
        
        
         
          
           2
          
          
           π
          
          
           n
          
         
         
          T
         
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         }
        
       
       
        \{1,cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\}
       
      
     {1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}
 
刚才举例的方波$T=2\pi$，对应的基就为（没有余弦波）：
 
 对应的频率就是：
 
 按照刚才的思路，如果T不断变大，比如让$T=4\pi$，对应的基就为（没有余弦波）：
 
 对应的频率就为：
 
 和刚才相比，频率更加密集
 
 之前方波的频域图，画了前五十个频率，可以看到随着$T$不断变大，这50个频率越来越集中：
 
 
 
 
 可以想象，如果真的：$T=2\pi \to T=\infty$，这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：
 
 傅里叶变换就是，让$T=\infty$，求出上面这根频域曲线。
 
3 傅里叶变换
 
傅里叶级数是：
 
 这里有正弦波和余弦波，画频域图不方便，通过欧拉公式，可以转变为复数形式：
 
 其中：
 
 复数形式也是向量，可以理解为：
 
 只不过这里$c_n$是复数，不好画频域图，当周期推向无穷的时候可以得到：
 
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}(T=\infty )⟹f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwx}dw$$
 
上面进行了一些简化，用$w$代表频率。(?)
 
其中$F(w)$得到的过程如下所示：
 
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}dx}(T=\infty )⟹F(w)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-iwx}dx$$
 
$F(w)$就是傅里叶变换，得到的就是频域曲线。
 
下面两者称为傅里叶变换对，可以相互转换：
 
$$f(x)⟺F(w)$$
 
正如之前所说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。
 
https://www.matongxue.com/madocs/712.html

1 对周期函数进行分解的猜想
 
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图：
 
 而后，其他数学家猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。
 
2 分解的思路
 
常数项的分解
 
根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，其周期是任意实数，所以，对于 $y=C,C\in \mathbb{R}$ 这样的常数函数，分解里面要添加一个常数项与之对应。
 
其他部分的分解
 
其他部分可以通过$\sin (x),\cos (x)$两个三角进行分解，主要思路如下：
 
$\sin (x),\cos (x)$是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数，且它们的微分和积分都很简单。
任意函数都可以分解成奇偶函数之和：
 $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_{even}+f_{odd}$$
$\sin (x)$是奇函数，奇函数与奇函数加减永远是奇函数
$\cos (x)$是偶函数，偶函数和偶函数加减永远是偶函数
 
保证组合的周期为T
 
之前提到$f(x)$是周期为T的函数，那么怎么保证组合出来的函数周期仍然为T呢？
 
首先，我们知道$\sin (x)$的周期为$2\pi$，$\sin (2x)$的周期也是$2\pi$，但是最小周期是$\pi$，很显然，$sin(nx),n\in N$的周期都是$2\pi$。所以更一般地，如果$f(x)$的周期为T，那么 $sin(\frac{2\pi n}{T}x),cos(\frac{2\pi n}{T}x),n\in N$ 这些函数的周期也为T，将这些函数进行加减，就保证了得到的函数周期也为T。
 
调整振幅
 
假如有如下这个函数，周期为$2\pi$：
 
 现在我们也有一些周期为$2\pi$的函数，比如$sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)$：
 
 通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如$sin(x)$处处小于目标函数：
 
 将其振幅增大一倍可得 $2\sin (x)$ ：
 
 此时 $2sin(x)$ 有地方超出目标函数，此时我们从周期为$2\pi$的函数中选择一个，减去一点（下面以$2sin(x)-sin(2x)$为例）：
 
 通过调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：
 
 
综上，构造出来的三角函数和类似于如下的样子：
 

 这符合之前的分析：
 
有常数项
用奇函数和偶函数组合出任意函数
周期为T
调整振幅，逼近原函数
 
3 $\sin (x),\cos (x)$的另外一种表示方法
 
欧拉公式：
 
$e^{i\theta }$ 代表复平面一个夹角为 $\theta$ 的向量：
 
 
当 $\theta$ 不再是常数，而是代表时间的变量t的时候：$e^{i\theta }\to e^{it}$，随着时间t的增长，$\theta$不断增大，这个向量就会旋转起来，$2\pi$的时间会旋转一圈，这就是$T=2\pi$
 
通过欧拉公式表示$sin(t)$
 
根据欧拉公式，有：$e^{it}=cos(t)+isin(t)$，所以，在时间轴t上，把 $e^{it}$ 向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是$sin(t)$：
 
 代数上用$Im$表示虚部：
 
$$sin(t)=Im(e^{it})$$
 
作为对比，记录$e^{i2t}$的虚部，此时我们可以得到$sin(2t)$：
 
 
如果在时间轴t上，把 $e^{it}$ 的实部（横坐标）记录下来，得到的就是 $cos(t)$ 的曲线：
 
 代数上使用$Re$代表实部：
 
$$cos(t)=Re(e^{it})$$
 
更一般的，在$e^{iwt}$图像中，我们可以观察到旋转的频率（能反应不同频率旋转的快慢，下面的动图更好理解），所以称为频域；而在$\sin (t)$图像中我们可以观察到流逝的时间，所以称为时域：
 
 
 
4 通过频域求系数：
 
假设有这么一个函数：
 
$$g(x)=sin(x)+sin(2x)$$
 
可以看出这是一个 $T=2\pi$ 的函数：
 
 如果转到频域去，那么函数$g(x)$就是下面这个复数函数的虚部：
 
$$g(t)=Im(e^{it}+e^{2it})$$
 
我们先看下 $e^{i\theta }+e^{i2\theta }$ ，其中 $\theta$ 是常数，很显然这是两个向量之和：
 
 将$\theta$换成流逝的时间t，并将虚部记录下来，此时就得到了$g(t)$：
 
 函数向量
 
从上面的讨论我们可以看出，$e^{iwt}$是一个旋转的向量。而根据欧拉公式，有：
 
$$e^{iwt}=cos(wt)+isin(wt)$$
 
从图像上看：
 
 这里$sin(wt),cos(wt)$也是向量。
 
$e^{iwt},sin(wt),cos(wt)$都称为函数向量，其点积定义如下：
 
待补充
 
g(t)是一个线性组合
 
从上面的讨论，我们可以得到$sin(t),sin(2t)$是函数向量，那么它们的线性组合得到的也是函数向量：
 
$$g(t)=sin(t)+sin(2t)$$
 
根据点积定义有：
 
$$sin(t)\cdot sin(2t)={\int }_0^{2\pi }sin(t)sin(2t)dt=0$$
 
根据点积的代数和几何意义（待补充），$sin(t)\cdot sin(2t)=0$说明了这两个函数向量正交、线性无关且是正交基。
 
如果写成如下形式：
 
$$g(t)=1sin(t)+1sin(2t)$$
 
那么就可以理解为$g(t)$在正交基$sin(t),sin(2t)$下的坐标为$(1,1)$。
 
如何求正交基的坐标
 
假设
 
$$\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$$
 
其中，$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$
 
通过点积：
 
$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$
 
可知这两个向量正交，是正交基，$\overrightarrow{w}$在基$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$下的坐标为$(2,3)$，其中在基$\overrightarrow{u}$下的坐标可以通过这种点积操作来计算（注意只有对正交基才能这么做）：
 
$$\frac{\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\frac{(-1,5)\cdot (1,1)}{(-1,1)\cdot (-1,1)}=2$$
 
如何求 $\sin (nt)$ 基下的坐标
 
对于
 
$$g(x)=sin(x)+sin(2x)$$
 
其中$g(x)$是向量，$sin(t),sin(2t)$是正交基，周期$T=2\pi$。
 
因为是正交基，根据刚才的分析，我们可以通过如下的方式求基$sin(t)$下的坐标：
 
$$\frac{g(t)\cdot sin(t)}{sin(t)\cdot sin(t)}=\frac{{\int }_0^{2\pi }g(x)sin(x)dx}{{\int }_0^{2\pi }si{n}^2(x)dx}=1$$
 
更一般的情况
 
对于之前的假设，其中$f(x)$的周期为T：
 
 可以改写成这样：
 
 也就是说向量$f(x)$是以下正交基的线性组合：
 
 这里$1$也是一个基，那么可以得到：
 
 
 C也可以通过点积来表示，最终可以得到傅里叶级数的表达式：
 
 其中（下面的式子其实就是在求坐标）：
 
 
5 傅里叶级数的另外一种表现形式
 
根据欧拉公式：
 
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
 
我们可以推出：
 
$$\begin{gathered} sin\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i} \\ cos\theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} \end{gathered}$$
 
根据上式，我们可以写出傅里叶级数的另外一种形式：
 
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}$$
 
其中：
 
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}dx$$
 
解读一下：
 

 对于复数函数，定义的点积为：
 
 
其中$f(x),g(x)$为复数函数，$\overline{f(x)}$是$f(x)$的共轭，所以$c_n$的代数表达式中有一个负号。
 
注意，这样顶级点积是为了保证：
 
$$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}\ge 0$$
 
参考：
 
https://www.matongxue.com/madocs/619.html