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  • 数学中的各类曲线函数

    万次阅读 2017-07-12 14:43:34
    最近偶然看到一款非常有意思的东西,很全面。里面有全部的Math的曲线函数。 函数的小游戏地址 在这个界面右上角,可以选择函数。然后随便点点、小球就会按照曲线函数移动过去。并且坐标轴上也会显示出该曲线函数

    最近偶然看到一款非常有意思的东西,很全面。里面有全部的Math的曲线函数

    函数的小游戏地址

    在这个界面右上角,可以选择函数。然后随便点点、小球就会按照曲线函数移动过去。并且坐标轴上也会显示出该曲线函数

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  • ## 三次抛物线,半立方抛物线,概率曲线,箕舌线,蔓叶线,笛卡儿叶形线,星形线,摆线,心形线,阿基米德螺线,对数螺线,双曲螺线,伯努利双纽线,三叶玫瑰线,四叶玫瑰线。

    1.三次抛物线

                                                                          y=ax^3   


    2.半立方抛物线

                                                                      y^2=ax^3


     3.概率曲线

                                                                            y=e^-x^2


    4.箕舌线

                                                                     y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}


    5.蔓叶线

                                                                   y^2(2a-x)=x^3


    6.笛卡儿叶形线

                                                               x^3+y^3-3axy=0

                                                        x=\frac{3at}{1+t^3}         y=\frac{3at^2}{1+t^3}


    7.星形线(内摆线的一种)

                                                                         x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}

                                                                         x=a\cos ^3\Theta

                                                                         y=a\sin ^3\Theta


     8.摆线

                                                               x=a\left ( \Theta -\sin \Theta \right )

                                                               y=a\left ( 1-\cos \Theta \right )


    9.心形线(外摆线的一种)

                                                               x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}

                                                                       \rho =a\left ( 1-\cos \theta \right )


     10.阿基米德螺线

     

     

                                                                          \rho =a\theta(a>0)

                                                                         \rho =-a\theta(a>0)


     11.对数螺线

     

     

     

                                                                         \rho =e^a\theta


    12.双曲螺线

                                                                          \rho \theta =a


     13.伯努利双纽线

                                                              \left ( x^2+y^2 \right )^2=2a^2xy

                                                                     \rho ^2=a^2\sin 2\theta

                                                              \left ( x^2+y^2 \right )^2=a^2(x^2-y^2)

                                                                      \rho =a^2\cos 2\theta


    14.三叶玫瑰线

    \rho =a\cos 3\theta 

                                                                                 \rho =a\sin 3\theta


     15.四叶玫瑰线

                                                                        \rho =a\sin 2\theta

                                                                   

                                                                    \rho =a\cos 2\theta


    ## 在以上的曲线图像中,我们已经将a赋予了适当的值,从而使图像更加直观。

     

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  • 曲线积分ds: 1.直接代入法,直角坐标或者极坐标直接代入 2.直接使用公式法,具体可以参照第一类曲面计算公式 注:参数方程的表示极其重要 二. 曲面积分dS: 1.公式法,具体参照第一类曲面公式 2.代入法, 注...

    对于该章节的考研考点汇总如下:

    一.曲线积分ds:

    1.直接代入法,直角坐标或者极坐标直接代入

    2.直接使用公式法,具体可以参照第一类曲面计算公式

    注:参数方程的表示极其重要

    二. 曲面积分dS:

    1.公式法,具体参照第一类曲面公式

    2.代入法,

    注:一投二代三计算

    其他的:利用奇偶性,积分轮换对称性,stokes公式,格林公式,高斯公式(一般是选面方程表示法向量),一般会有补线面的形式,需要注意。

    三. 第一类第二类区别(个人做题时没考虑这么多):

    从概念上讲,第一类的,都是和方向无关的,对标量的积分。第二类的,都是和方向有关的,对某种意义上的矢量的积分。具体地说:第一类曲线积分是对长度的积分,第二类曲线积分是对坐标的积分,讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分,是对面积的积分,第二类区面积分是对二维坐标的积分,强调面积朝向某侧的情况。
    从计算上讲,第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式,因此计算公式似乎复杂,但是可以记公式。第二类的,不用考虑微元的表示式,直接就是对坐标积分,形式上简单,不过,在具体到某个线或者面的时候,要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段,在每个方向一致的小段上,还要考虑正负号,是否为零等等,实际上相对麻烦许多。

    要求:打好二重三重积分,积分微元表示方法,自己可以多做几道题好好练练

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  • 高等数学常见曲线

    2011-12-07 08:21:31
    常见的高等数学曲线,包括阿基米德螺线、三叶玫瑰线、摆线等等,很详细哦
  • 常见曲线的参数方程

    千次阅读 2021-01-17 15:59:12
    前言总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:\[\left\{\begin{array...

    前言

    总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;

    参数方程

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:

    \[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.

    \]

    并且对于\(t\)的每一个允许的取值,由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

    例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线],建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,有了参数方程,就可以很容易表达。

    直线参数方程

    直线的参数方程的形式不唯一,当选定的参数不一样时,参数方程的形式也就不一样了。

    [方式1]:已知直线所过的定点\((x_0,y_0)\)和倾斜角\(\theta\),则以定点到动点\((x,y)\)的有向线段的位移为参数,可知

    直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)

    [方式2]:以定比分点为参数

    [方式3]:以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,

    以坐标原点\(O\)为极点,\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\),曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\),以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,写出曲线\(M\)的参数方程;

    分析:由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)

    解方程,消去\(y\),解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\),代入②得到,\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\),由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\),得到\(k>\cfrac{1}{2}\)

    故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数,\(k>\cfrac{1}{2}\))

    圆参数方程

    圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    椭圆参数方程

    椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    抛物线参数方程

    抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)

    双曲线参数方程

    双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

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空空如也

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