精华内容
下载资源
问答
  • 常见曲线参数方程
    千次阅读
    2021-01-17 15:59:12

    前言

    总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;

    参数方程

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:

    \[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.

    \]

    并且对于\(t\)的每一个允许的取值,由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

    例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线],建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,有了参数方程,就可以很容易表达。

    直线参数方程

    直线的参数方程的形式不唯一,当选定的参数不一样时,参数方程的形式也就不一样了。

    [方式1]:已知直线所过的定点\((x_0,y_0)\)和倾斜角\(\theta\),则以定点到动点\((x,y)\)的有向线段的位移为参数,可知

    直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)

    [方式2]:以定比分点为参数

    [方式3]:以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,

    以坐标原点\(O\)为极点,\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\),曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\),以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,写出曲线\(M\)的参数方程;

    分析:由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)

    解方程,消去\(y\),解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\),代入②得到,\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\),由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\),得到\(k>\cfrac{1}{2}\)

    故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数,\(k>\cfrac{1}{2}\))

    圆参数方程

    圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    椭圆参数方程

    椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    抛物线参数方程

    抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)

    双曲线参数方程

    双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    更多相关内容
  • 三、常见曲线参数方程.ppt

    千次阅读 2021-01-17 15:59:13
    三、常见曲线参数方程第二章 轨迹与方程§1 平面曲线的方程§3 母线平行于坐标轴的柱面方程§4 空间曲线的方程§2 曲面的方程§1 平面曲线的方程一、曲线的方程二、曲线的参数方程三、常见曲线参数方程一、...

    三、常见曲线的参数方程

    第二章 轨迹与方程

    §1 平面曲线的方程

    §3 母线平行于坐标轴的柱面方程

    §4 空间曲线的方程

    §2 曲面的方程

    §1 平面曲线的方程

    一、曲线的方程

    二、曲线的参数方程

    三、常见曲线的参数方程

    一、曲线的方程

    定义1

    当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线之

    间有着关系:

    ①满足方程的 必是曲线上某一点的坐标;

    ②曲线上任何一点的坐标 满足这个方程,

    那么这个方程就叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做这个

    方程的图形。

    概括而言,曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系

    例1 求圆心在原点,半径为R 的圆的方程

    例2 已知两点 和 ,求满足条件

    的动点M 的轨迹方程

    二、曲线参数的方程

    定义2

    若取 的一切可能取值

    ①由 表示的向径 的终点总在一条曲线上

    ②在这条曲线上的任意点,总对应着以它为终点的向径,而这向径可由

    的某一值 通过 完全决定

    那么就把 叫做曲线的向量式参数方程,

    其中 为参数。

    其坐标式参数方程为

    例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一定点的轨迹

    该定点的轨迹为旋轮线或摆线(cycloid)

    三、常见曲线的参数方程

    (1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动,小圆周上一

    定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid)

    例4 已知大圆半径为a ,小圆半径为b,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,求动圆周上某一定点P 的轨迹方程

    (a=4b)四尖点星形线(astroid)

    圆的内摆线

    (2)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动,小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线(epicycloid)

    其参数方程为

    特别当R=r时可以得到心脏线(cardioid)

    其参数方程为

    (3)把线绕在一个固定的圆周上,将线头拉紧后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来,使放出来的部分成为圆的切线,则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线(involute)

    其坐标式参数方程为

    (4)椭圆的参数方程

    设椭圆的方程为

    第一种参数方程以角度 为参数:

    第二种参数方程以斜率 为参数:

    作业

    P77 2 , 3

    §2 曲面的方程

    一、曲面的方程

    二、曲面的参数方程

    三、球坐标系与柱坐标系

    一、曲面的方程

    例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.

    例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.

    例3 求坐标平面yOz 的方程.

    例4 一平面平行于坐标平面xOz,且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ,求它的方程.

    例5 设球面的中心是点C(a,b,c),而且半径等于r ,求它的方程.

    求曲线方程一般需要下面的5个步骤:

    1)选取适当的坐标系(如题中已给定,这一步可省);

    2)在曲线上任取一点,也就是轨迹上的流动点;

    3)根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式;

    4)用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式,并化简得方程;

    5)证明所得的方程就是曲线的方程,也就是证明它符合定义.

    二、曲面的参数方程

    例6 求球心在原点,半径为r 的球面的参数方程.

    例7 求以z 轴为对称轴,半径为R 的圆柱面的参数方程.

    结论 求空间曲面或曲线的参数方程时,经常是作向径 的坐标折线,将分解 为平行于坐标轴的三个向量之和,这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.

    注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.

    一般按下列三个步骤进行:

    三、球坐标系与柱坐标系

    1.球坐标系

    2.柱坐标系

    作业

    P87~88

    2(4) , 3(3),4(3)

    §3 母线平行于坐标轴

    的柱面方程

    抛物柱面

    平面

    抛物柱面方程:

    平面方程:

    从柱面方程看柱面的特征:

    (其他类推)

    实 例

    椭圆柱面,

    双曲柱面 ,

    抛物柱面,

    母线//

    展开全文
  • 常见曲线参数方程.doc
  • 常见曲线参数方程PPT学习教案.pptx
  • 极坐标系和常见曲线参数方程习题.doc
  • 1. 引例(如何描述动点的轨迹?) 2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线) ...4. 曲线的参数方程 ...5. 直角坐标方程化为参数方程 ...7. 常见曲线参数方程 ...

     

    1. 引例(如何描述动点的轨迹?)

     

    2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线)

     

    3. 竖直判断法判断图形是否为函数图形

     

    4. 曲线的参数方程

     

    5. 直角坐标方程化为参数方程

     

    6. 摆线

     

    7. 常见曲线的参数方程

     

    展开全文
  • 介绍了奇异函数的特点,通过奇异函数给出了作用在梁上常见的几种外荷载的线分布集度的表达式,建立了梁的挠曲线的初参数方程,最后介绍了该方法的应用分析实例.
  • 空间曲线及其方程

    千次阅读 2020-03-09 19:47:35
    一、空间曲线一般方程 就是两个曲面的交线 1.1、例 二、空间曲线参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 3.1、例

    一、空间曲线一般方程

    • 就是两个曲面的交线

    在这里插入图片描述

    1.1、例

    在这里插入图片描述

    二、空间曲线参数方程

    在这里插入图片描述

    三、空间曲线在坐标面上的投影

    在这里插入图片描述

    3.1、例

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 常见空间曲线和曲面标准方程及其 Matlab 绘图数学实验 常见空间曲线和曲面 常见空间曲线与曲面方程 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 圆柱螺线和圆锥螺线 抛物螺线 轴截面的曲边为一条抛物线的螺线 球面的绘制 球面的...
  • 增长曲线 Growthcurver是一个R包,可将生长曲线数据与生态和进化中常见的逻辑方程的标准形式拟合,其参数(增长率,初始种群大小和承载力)可提供有意义的种群级信息,并且简单明了生物学解释。 您可以使用以下命令...
  • 参数方程表示的平面方程的法向量 一个平面可以用参数方程这样表示: {x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\left\{\begin{aligned}x&=x(u,v)\\y&=y(u,v)\\z&=z(u,v)\end{aligned}\right.⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=x(u,v)...
  • 简单的情景就是一条直线绕着某个坐标轴旋转形成的曲面,怎么写方程,那我们先看看旋转这个过程有什么特征,显然我们取一个平面垂直于旋转轴,发现截出来一个圆或一个点,用一下这个到中心距离一样的特征,下面以z轴...
  • 高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线参数方程参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识....
  • ProE_各种曲线方程集合,集合了常见的螺旋线、渐开线、星形线……共30余种曲线
  • 曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 为圆心坐标,r 为圆半径,θ 为参数,(x,y) 为经过点的坐标椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ(θ∈[0,2π))...
  • 4参数逻辑曲线公式及其含义

    千次阅读 2018-07-26 11:09:25
    曲线回归中的4参数逻辑曲线为例 其回归公示为 y=d+a−d1+(xc)by=d+a−d1+(xc)b y = d +\dfrac{a-d}{1+{(\dfrac{x}{c})^b}} 其中: d为浓度最大时的吸光度值 a为浓度为0时的吸光度值 ...
  • Bezier曲线和Catmull-Rom曲线是工程中常见曲线实现方式,他们本身原理十分简单,只是个多项式方程组,拿到公式带入就能实现。 Bezier曲线和Catmull-Rom曲线之间可以相互转换,所以本篇内容只针对Bezier曲线进行...
  • 曲线拟合是数据处理中经常用到的数值方法,其本质是使用某一个模型(或者称为方程方程组),将一系列离散的数据拟合成平滑的曲线或曲面,数值求解出对应函数的参数,从而得到离散点组所表示的坐标与函数值之间的...
  • 参数方程和极坐标

    2021-11-10 22:19:07
    27.参数方程和极坐标 坐标 xxx 和 yyy 不直接相关,而是通过一个公共参数相联系 27.1 参数方程 圆方程 x2+y2=9 x^2+y^2=9 x2+y2=9 圆的参数化方程 {x=3cos⁡(t)其中0≤t≤2πy=3sin⁡(t)\left\{ \begin{aligned} x &...
  • 定积分之几种常见曲线

    千次阅读 多人点赞 2021-06-27 17:35:21
    弧微分的基本公式: ( d s ) 2 = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 , (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2, (ds)2=(dx)2+(dy)2,其中: (1)设 L : y = f ( x ) , 则 d s = 1 + f...dx D=∫02πa​f(x)dx,再根据参数方程换元。 ∫ 0 2 π ...
  • 参数方程与极坐标问题引入曲线的参数方程曲线参数方程直角坐标方程化为参数方程例1 方法三,利用三角恒等式例2,方法四,几何背景常见的参数方程如何把直角坐标方程转化为参数方程极坐标与极坐标方程直角坐标系与极...
  • 坐标系与参数方程知识点总结先看知识点再解题轻松又快捷!【电子档领取】如果想要获取往期电子版讲义、数学笔记手写稿 可以加我微信:daigemath666备注:一轮复习讲义电子版或...1.3常见曲线的极坐标方程2、常数方...
  • 电机控制 | S曲线加减速

    千次阅读 2021-05-23 12:10:11
    S型曲线加减速1、 S型曲线1.1 简介Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数,也称为S型生长曲线。Sigmoid函数也叫Logistic函数,取值范围为(0,1),它可以将一个实数映射到(0,1)的区间,可以用来做二分类。该S型...
  • 利用matlab实现非线性拟合0 前言1 线性拟合1.1 多项式拟合1.2 线性拟合2 一维非线性拟合2.1 简单的非线性拟合2.2 matlab中Curve Fitting App2.3...高维非线性方程组拟合3.1 一般形式高维方程方程组的拟合3.2 一般形式
  • 高中数学回归课本校本教材24(一)基础知识 参数极坐标1....2.常见曲线的极坐标方程(1)直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系:正弦定理sin sin OP OMOMP OPM=∠∠,0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-; (2...
  • 三维曲线

    千次阅读 2021-01-28 00:10:03
    三维曲线的表示方式有几种方式:包括参数多项式曲线,艾特肯多项式算法,拉格朗日基多项式,埃尔米特形式曲线,贝塞尔曲线等。最后我们会讨论样条曲线的方式。 一:参数多项式曲线: 说道曲线,我们很自然的想到...
  • 数学建模之微分方程模型详解

    千次阅读 多人点赞 2022-03-10 21:44:44
    要掌握常微分方程的一些基础知识,对一些可以求解的微分方程及其方程组,要求掌握其解法,并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系 (1)初等积分法(一阶方程及几类可降阶为一阶的方程) (2)一阶线性微分方程组...
  • 【Matlab 控制】微分方程 ode45() 求解并绘制曲线

    万次阅读 多人点赞 2020-11-02 23:18:45
    Matlab 微分方程求解并绘制曲线 1. 用 dsolve() 求解 >> clear >> clc >> syms y(t) >> Dy = diff(y,1) Dy(t) = diff(y(t), t) >> y=dsolve(Dy==y-2*t/y,y(0)==1) y = (2*t...
  • Mathematica绘制常见曲线

    万次阅读 2016-05-05 15:24:33
    Mathematica绘制常见曲线才疏学浅,资历欠佳,难免有误,望有心人批评指正。 本文主要用于展示自己使用mathematica绘制的数学上的常见和常用曲线(本来是动图的,只因技术不精,变成静图了)阿基米德螺线Manipulate...
  • nbsp室内设计几种常见的曲面及其方程.ppt32页本文档一共被下载:次,您可全文免费在线阅读后下载本文档。 下载提示1.本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 9,854
精华内容 3,941
热门标签
关键字:

常见曲线参数方程