精华内容
下载资源
问答
  • 三、常见曲线参数方程第二章 轨迹与方程§1 平面曲线的方程§3 母线平行于坐标轴的柱面方程§4 空间曲线的方程§2 曲面的方程§1 平面曲线的方程一、曲线的方程二、曲线的参数方程三、常见曲线参数方程一、...

    三、常见曲线的参数方程

    第二章 轨迹与方程

    §1 平面曲线的方程

    §3 母线平行于坐标轴的柱面方程

    §4 空间曲线的方程

    §2 曲面的方程

    §1 平面曲线的方程

    一、曲线的方程

    二、曲线的参数方程

    三、常见曲线的参数方程

    一、曲线的方程

    定义1

    当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线之

    间有着关系:

    ①满足方程的 必是曲线上某一点的坐标;

    ②曲线上任何一点的坐标 满足这个方程,

    那么这个方程就叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做这个

    方程的图形。

    概括而言,曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系

    例1 求圆心在原点,半径为R 的圆的方程

    例2 已知两点 和 ,求满足条件

    的动点M 的轨迹方程

    二、曲线参数的方程

    定义2

    若取 的一切可能取值

    ①由 表示的向径 的终点总在一条曲线上

    ②在这条曲线上的任意点,总对应着以它为终点的向径,而这向径可由

    的某一值 通过 完全决定

    那么就把 叫做曲线的向量式参数方程,

    其中 为参数。

    其坐标式参数方程为

    例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一定点的轨迹

    该定点的轨迹为旋轮线或摆线(cycloid)

    三、常见曲线的参数方程

    (1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动,小圆周上一

    定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid)

    例4 已知大圆半径为a ,小圆半径为b,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,求动圆周上某一定点P 的轨迹方程

    (a=4b)四尖点星形线(astroid)

    圆的内摆线

    (2)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动,小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线(epicycloid)

    其参数方程为

    特别当R=r时可以得到心脏线(cardioid)

    其参数方程为

    (3)把线绕在一个固定的圆周上,将线头拉紧后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来,使放出来的部分成为圆的切线,则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线(involute)

    其坐标式参数方程为

    (4)椭圆的参数方程

    设椭圆的方程为

    第一种参数方程以角度 为参数:

    第二种参数方程以斜率 为参数:

    作业

    P77 2 , 3

    §2 曲面的方程

    一、曲面的方程

    二、曲面的参数方程

    三、球坐标系与柱坐标系

    一、曲面的方程

    例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.

    例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.

    例3 求坐标平面yOz 的方程.

    例4 一平面平行于坐标平面xOz,且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ,求它的方程.

    例5 设球面的中心是点C(a,b,c),而且半径等于r ,求它的方程.

    求曲线方程一般需要下面的5个步骤:

    1)选取适当的坐标系(如题中已给定,这一步可省);

    2)在曲线上任取一点,也就是轨迹上的流动点;

    3)根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式;

    4)用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式,并化简得方程;

    5)证明所得的方程就是曲线的方程,也就是证明它符合定义.

    二、曲面的参数方程

    例6 求球心在原点,半径为r 的球面的参数方程.

    例7 求以z 轴为对称轴,半径为R 的圆柱面的参数方程.

    结论 求空间曲面或曲线的参数方程时,经常是作向径 的坐标折线,将分解 为平行于坐标轴的三个向量之和,这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.

    注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.

    一般按下列三个步骤进行:

    三、球坐标系与柱坐标系

    1.球坐标系

    2.柱坐标系

    作业

    P87~88

    2(4) , 3(3),4(3)

    §3 母线平行于坐标轴

    的柱面方程

    抛物柱面

    平面

    抛物柱面方程:

    平面方程:

    从柱面方程看柱面的特征:

    (其他类推)

    实 例

    椭圆柱面,

    双曲柱面 ,

    抛物柱面,

    母线//

    展开全文
  • 前言总结梳理常见曲线参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:\[\left\{\begin{array...

    前言

    总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;

    参数方程

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:

    \[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.

    \]

    并且对于\(t\)的每一个允许的取值,由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

    例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线],建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,有了参数方程,就可以很容易表达。

    直线参数方程

    直线的参数方程的形式不唯一,当选定的参数不一样时,参数方程的形式也就不一样了。

    [方式1]:已知直线所过的定点\((x_0,y_0)\)和倾斜角\(\theta\),则以定点到动点\((x,y)\)的有向线段的位移为参数,可知

    直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)

    [方式2]:以定比分点为参数

    [方式3]:以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,

    以坐标原点\(O\)为极点,\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\),曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\),以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,写出曲线\(M\)的参数方程;

    分析:由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)

    解方程,消去\(y\),解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\),代入②得到,\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\),由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\),得到\(k>\cfrac{1}{2}\)

    故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数,\(k>\cfrac{1}{2}\))

    圆参数方程

    圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    椭圆参数方程

    椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    抛物线参数方程

    抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)

    双曲线参数方程

    双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    展开全文
  • ↑↑相关文章在这里↑↑既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y),自然地,我也就想,那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。用复数表示的曲线,最简单的是圆。方程|z|=1表示单位圆,很容易理解,这个方程用x,...

    ↑↑相关文章在这里↑↑

    既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y),自然地,我也就想,那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。

    用复数表示的曲线,最简单的是圆

    方程|z|=1表示单位圆,很容易理解,这个方程用x,y来表达就是

    9fd62344f928c459daa6488635cc1391.png

    显然,方程|z|=1更简洁,我喜欢。

    我们在这个最简单方程基础上,继续往复杂处挖掘。

    方程|z−1|=2表示什么曲线?

    还是用上面的手法研究。

    748f0a407d01895d1f0563a8099e6761.png

    哦,它表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆。

    数学佬有理由猜:

    d99b153a51a9e9ca5825b0c70b95a9d9.png

    1f99b800193ef26c9a5c1651f5db3c1f.png

    很显然,用复数表示圆的方程很简洁

    我们可以从另一个角度来看圆的方程。

    11fa66eb5c418094f1806c5f3d22acee.png

    现在我们可以继续往复杂的图形上攻击了。

    椭圆怎么表示?

    椭圆的定义:到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。

    0340e5cc0bff9ed8f9c1e96e9ff2bcd6.png

    这就是椭圆的轨迹方程

    在数学佬的角度看来,椭圆的复数形式方程,几何性质很清晰,却不及代数形式更漂亮。

    顺理成章,双曲线方程就可以表示成

    6bb1eb863462115dacce915a7f648e6e.png

    很容易,就是到两定点的距离之差的绝对值为定值

    同样,在数学佬看来,这个形式也是几何性质清晰,却不漂亮。

    那么抛物线呢?很遗憾,用复数表达两点间的距离很方便,表示点到直线的距离却非常难,而抛物线的定义是:到定点的距离等于到定直线的距离

    好吧,按照数学佬的习惯,先搞简单再搞复杂的,既然抛物线如此复杂,我们就不妨先放下吧。看看还有没有更简单的。

    对了,直线还没有讨论呢。

    直线有多种定义方式,最方便用复数来描述的形式,莫过于中垂线形式:到两定点距离相等的点的轨迹,是直线

    于是,直线的复数形式方程就可以简洁写成:

    d22194af27e569a957ad0c9801df2e68.png

    方程简单固然简单了,却不符合我们高中生的习惯。我们的习惯定义是:经过两点确定一条直线。

    设两点为P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )则直线方程。。。。

    哦,买,噶,不会复数形式啊,我只会写参数方程 

    d1caf07acbbd419f474a68afd47faed4.png

    参数方程是高中课本教了的,数学佬就不抄书了。

    看着参数方程,我突然有个很棒的主意

    c58db80d8724765917e55d24717a1e61.png

    通过“硬算”,我们居然得到了一个很简洁的结论,比参数方程还简洁漂亮。

    这是数学佬一直推崇的“漂亮的数学”:原理简单,推导繁琐,结论好记

    现在,数学佬得到了有别于圆(依托距离概念)的思路,我们还可以直接将普通方程或者参数方程,通过计算转换成复数形式。

    复数z和实数x,y的关系显然有以下:

    bd74a5a9d7a87d10724529c14852c7df.png

    太棒了!现在可以解决最后一个问题,抛物线了。

    8d2c920457a285c1aad31e38003d12f7.png

    哈哈,完美!

    数学佬还可以用同样的办法求直线的复数方程。

    22b3524a852d01857894060c0a468adf.png

    完美,second!

    小结:求曲线的复数方程思路有二。利用复数的几何性质,或者利用复数与实数的互相转化

    如果觉得有趣,点个“在看”

    展开全文
  • 1. 引例(如何描述动点的轨迹?) 2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线) ...4. 曲线的参数方程 ...5. 直角坐标方程化为参数方程 ...7. 常见曲线参数方程 ...

     

    1. 引例(如何描述动点的轨迹?)

     

    2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线)

     

    3. 竖直判断法判断图形是否为函数图形

     

    4. 曲线的参数方程

     

    5. 直角坐标方程化为参数方程

     

    6. 摆线

     

    7. 常见曲线的参数方程

     

    展开全文
  • 参数方程与极坐标问题引入曲线的参数方程曲线参数方程直角坐标方程化为参数方程例1 方法三,利用三角恒等式例2,方法四,几何背景常见的参数方程如何把直角坐标方程转化为参数方程极坐标与极坐标方程直角坐标系与极...
  • 点击“高中数学资料共享”关注我们 为了让各位能够给自学、预习、复习高中数学课程提供方便,本公众号整理了高考中比较常见、巧妙的题型、方法、技巧供大家学习、参考。 也希望各位能够转发、分享,让更多的学习爱好...
  • 目 录• 教材分析• 考纲要求• 解决高考中常见四类问题• 平面直角坐标系中图象的变换教材分析1、极坐标系和参数方程是“平面解析几何”和“圆锥曲线”的延续与拓展,是解析几何与函数、三角函数、向量等内容的综合...
  • QCPCurve用于绘制参数方程曲线常见参数方程有以下几种: QCPCurve与QCPGraph的区别在于它引入了第三个坐标t,而QCPGraph只有x,y两个坐标,这是因为在参数方程曲线中,可能会有多个点对应同个key坐标,而t坐标的...
  • 贝塞尔曲线直观图

    2019-10-08 01:59:58
    在历史上,研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”,也就是说,随着点有规律地移动,曲线将产生皮筋伸引一样的变换...
  • 曲线函数

    千次阅读 2018-11-29 18:49:36
    许多曲线函数在对象建模、动画轨迹的描述、数据和函数的图形化以及其他图形...沿曲线轨迹的位置可直接从表达式y =f (x)或参数方程中得到。此外,还可以使用增量中点算法绘制用隐式函数f(x,y) = 0描述的曲线。 显示一...
  • 沿曲线轨迹的位置可直接从表达式y =f (x)或参数方程中得到。此外,还可以使用增量中点算法绘制用隐式函数f(x,y) = 0描述的曲线。 显示一指定的曲线函数的简单方法是使用直线段来逼近曲线。这时,对于要得到沿曲线...
  • 具体求解了多孔催化剂和多孔电极两个数学模型,给出了在不同参数下二者解的曲线。与传统的打靶法相比,此方法回避了复杂的迭代运算,只需用简单的二分法求解一个变上限函数表达的初值满足的方程。此方法利用MATLAB计算...
  • 支持普通函数,极坐标函数,参数方程,直接输入数据点 可以删除指定函数图像 可以在一个坐标系中绘制多条数学曲线 显示坐标轴,网格,刻度值,图例 可以选择不同颜色线型来绘制不同的曲线 当鼠标移动到曲线上...
  • 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型.doc2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据...
  • 本文的目的是对球形和扁平冲头压痕的载荷曲线进行物理推导,特别是因为对于非自相似... 这样的抛物线图在大的R / h比率和低的h值下,显然具有良好的相关性,无法抵御推导出的球形压痕载荷曲线的物理方程。 这样的图对
  • 霍夫变换利用点与线之间的对偶性,将图像空间中直线上离散的像素点通过参数方程映射为霍夫空间中的曲线,并将霍夫空间中多条曲线的交点作为直线方程的参数映射为图像空间中的直线。给定直线的参数方程,可以利用霍夫...
  • 经典对数型凹凸性函数模型1今日题目2视频讲解3解题分析4往期视频往期视频题型分类汇总函数三角函数概率与统计导数圆锥曲线排列组合数列立体几何二项式集合平面向量不等式复数直线与圆极坐标参数方程压轴题简易逻辑...
  • 前言 求弦长问题,常见于直线和圆,直线和椭圆,直线和双曲线,...B、直角坐标系下,针对直线的参数方程曲线的普通方程,\(|AB|=|t_1-t_2|\), C、极坐标系下,针对过极点的直线和曲线的极坐标方程,\(|AB|=|\...
  • 27、scratch教程-画心形

    2020-02-23 14:49:32
    不同形状的心形有不同的参数方程,我们最常见的就是桃心形,而桃心形曲线参数方程是: x=16 * (sin(t)) ^ 3; y=13 * cos(t) – 5 * cos(2 * t) – 2 * cos(3 * t) – cos(4 * t)。 t是从0到360度一...
  • 有理二次贝塞尔曲线是一个常见的样条曲线,然而固定参数后一方面限制了自由度,另一方面不利于寻找提高光顺度的方法 在表面张力的作用下生成的曲面具有非常好的光滑性,但是由于绝大多数张力生成曲面的方程都无法...
  • 张宇带你学高数

    2018-06-11 13:35:26
    2.3.2.参数方程求导 2.3.3.幂指函数求导 2.3.4.简单的高阶导数的计算 常见函数的高阶导数公式 莱布尼茨公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 3.1.中值定理 3.1.1.罗尔定理 3.1.2.拉格朗日中值定理 3.1.3.柯西中值...
  • 主要内容包括:二元显函数曲面图、等值线图、三元方程确定的曲面图、空间曲线图、参数曲面图、球坐标方程绘图、旋转曲面图、不等式描述的空间区域图、基本图元、平面图形投影和空间图形的投影等.【注】本文介绍的...
  • 第28章 几种常见的偏微分方程数值求解问题 第29章 应用模式 第四篇 样条工具箱 第30章 样条工具箱及样条曲线简介 第31章 三次样条曲线 第32章 分段多项式(PP)样条曲线 第33章 B样条曲线 第34章 有理样条曲线 第35...
  •  Canvas提供了一系列的方法来绘制曲线,比如quadraticCurveTo(通过起始两个点以及一个控制点来绘制,前两个参数为控制点横纵坐标,后两个参数为终点横纵坐标,使用的是数学上的二次贝赛尔方程)。下面我们来看一下...
  • Hough变换的基本原理在于,利用点与线的对偶性,将图像空间的线条变为参数空间的聚集点,从而检测给定图像是否存在给定性质的曲线。圆的方程为:(x-a)^2+(y-2)^2=r^2,通过Hough变换,将图像空间对应到参数空间。...
  • 机智的数学 开源的数学书 pdf文件:书在这里繁体中文版的更新略落后于简体中文版,请见谅。使用方法:所有文件下载至同一目录,用Jupyter Lab或Jupyter notebook打开ipynb文件即可。...参数方程
  • Hough变换检测圆(附:MATLAB程序)

    万次阅读 多人点赞 2011-12-11 21:37:25
    Hough变换的基本原理在于,利用点与线的对偶性,将图像空间的线条变为参数空间的聚集点,从而检测给定图像是否存在给定性质的曲线。圆的方程为:(x-a)^2+(y-2)^2=r^2,通过Hough变换,将图像空间对应到参数空间。...
  • Hough变换检测圆

    千次阅读 2016-04-02 10:52:17
    Hough变换的基本原理在于,利用点与线的对偶性,将图像空间的线条变为参数空间的聚集点,从而检测给定图像是否存在给定性质的曲线。圆的方程为:(x-a)^2+(y-2)^2=r^2,通过Hough变换,将图像空间对应到参数空间。...

空空如也

空空如也

1 2 3
收藏数 44
精华内容 17
关键字:

常见曲线参数方程