三、常见曲线的参数方程
第二章 轨迹与方程
§1  平面曲线的方程
§3　母线平行于坐标轴的柱面方程
§4  空间曲线的方程
§2　曲面的方程
§1 平面曲线的方程
一、曲线的方程
二、曲线的参数方程
三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1
当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的      必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标      满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个
方程的图形。
概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系
例1     求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
例2     已知两点               和            ，求满足条件
的动点M 的轨迹方程
二、曲线参数的方程
定义2
若取                     的一切可能取值
①由                                                表示的向径        的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由
的某一值                      通过                                                  完全决定
那么就把                                                 叫做曲线的向量式参数方程，
其中    为参数。
其坐标式参数方程为
例3   一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线(cycloid)
三、常见曲线的参数方程
(1)    一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一
定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid)
例4   已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
(a＝4b)四尖点星形线(astroid)
圆的内摆线
(2)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线(epicycloid)
其参数方程为
特别当R＝r时可以得到心脏线(cardioid)
其参数方程为
(3)把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线(involute)
其坐标式参数方程为
(4)椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
第一种参数方程以角度   为参数：
第二种参数方程以斜率   为参数：
作业
P77       2 , 3
§2 曲面的方程
一、曲面的方程
二、曲面的参数方程
三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
例1  求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.
例2  求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
例3  求坐标平面yOz 的方程.
例4  一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ，求它的方程.
例5  设球面的中心是点C(a,b,c)，而且半径等于r ，求它的方程.
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1)选取适当的坐标系(如题中已给定，这一步可省)；
2)在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3)根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式；
4)用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简得方程；
5)证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义.
二、曲面的参数方程
例6  求球心在原点，半径为r 的球面的参数方程.
例7  求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程.
结论   求空间曲面或曲线的参数方程时，经常是作向径       的坐标折线，将分解   为平行于坐标轴的三个向量之和，这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.
注意   空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
一般按下列三个步骤进行：
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
2.柱坐标系
作业
P87～88
2(4) ， 3(3)，4(3)
§3  母线平行于坐标轴
的柱面方程
抛物柱面
平面
抛物柱面方程：
平面方程：
从柱面方程看柱面的特征：
(其他类推)
实 例
椭圆柱面，
双曲柱面 ，
抛物柱面，
母线//

前言
总结梳理常见曲线的参数方程；其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握；
参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数：
\[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.
\]
并且对于\(t\)的每一个允许的取值，由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。
例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线]，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，有了参数方程，就可以很容易表达。
直线参数方程
直线的参数方程的形式不唯一，当选定的参数不一样时，参数方程的形式也就不一样了。
[方式1]：已知直线所过的定点\((x_0，y_0)\)和倾斜角\(\theta\)，则以定点到动点\((x，y)\)的有向线段的位移为参数，可知
直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)
[方式2]：以定比分点为参数
[方式3]：以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数，
以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\)，曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\)，以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数，写出曲线\(M\)的参数方程；
分析：由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)
解方程，消去\(y\)，解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\)，代入②得到，\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\)，由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\)，得到\(k>\cfrac{1}{2}\)
故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数，\(k>\cfrac{1}{2}\))
圆参数方程
圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
椭圆参数方程
椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
抛物线参数方程
抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)
双曲线参数方程
双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

	

↑↑相关文章在这里↑↑
既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y)，自然地，我也就想，那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。
用复数表示的曲线，最简单的是圆。
方程|z|=1表示单位圆，很容易理解，这个方程用x,y来表达就是
显然，方程|z|=1更简洁，我喜欢。
我们在这个最简单方程基础上，继续往复杂处挖掘。
方程|z−1|=2表示什么曲线？
还是用上面的手法研究。
哦，它表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆。
数学佬有理由猜：
很显然，用复数表示圆的方程很简洁。
我们可以从另一个角度来看圆的方程。
现在我们可以继续往复杂的图形上攻击了。
椭圆怎么表示？
椭圆的定义：到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。
这就是椭圆的轨迹方程。
在数学佬的角度看来，椭圆的复数形式方程，几何性质很清晰，却不及代数形式更漂亮。
顺理成章，双曲线方程就可以表示成
很容易，就是到两定点的距离之差的绝对值为定值
同样，在数学佬看来，这个形式也是几何性质清晰，却不漂亮。
那么抛物线呢？很遗憾，用复数表达两点间的距离很方便，表示点到直线的距离却非常难，而抛物线的定义是：到定点的距离等于到定直线的距离。
好吧，按照数学佬的习惯，先搞简单再搞复杂的，既然抛物线如此复杂，我们就不妨先放下吧。看看还有没有更简单的。
对了，直线还没有讨论呢。
直线有多种定义方式，最方便用复数来描述的形式，莫过于中垂线形式：到两定点距离相等的点的轨迹，是直线。
于是，直线的复数形式方程就可以简洁写成：
方程简单固然简单了，却不符合我们高中生的习惯。我们的习惯定义是：经过两点确定一条直线。
设两点为P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )则直线方程。。。。
哦，买，噶，不会复数形式啊，我只会写参数方程 
参数方程是高中课本教了的，数学佬就不抄书了。
看着参数方程，我突然有个很棒的主意
通过“硬算”，我们居然得到了一个很简洁的结论，比参数方程还简洁漂亮。
这是数学佬一直推崇的“漂亮的数学”：原理简单，推导繁琐，结论好记。
现在，数学佬得到了有别于圆(依托距离概念)的思路，我们还可以直接将普通方程或者参数方程，通过计算转换成复数形式。
复数z和实数x,y的关系显然有以下：
太棒了！现在可以解决最后一个问题，抛物线了。
哈哈，完美！
数学佬还可以用同样的办法求直线的复数方程。
完美，second！
小结：求曲线的复数方程思路有二。利用复数的几何性质，或者利用复数与实数的互相转化。
如果觉得有趣，点个“在看”
	

 

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2. 参数方程的概念 （一元函数y=f(x)，方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线）





 

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7. 常见曲线的参数方程