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各类曲线的参数方程_三、常见曲线的参数方程.ppt
2021-01-17 15:59:13三、常见曲线的参数方程第二章 轨迹与方程§1 平面曲线的方程§3 母线平行于坐标轴的柱面方程§4 空间曲线的方程§2 曲面的方程§1 平面曲线的方程一、曲线的方程二、曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程一、...三、常见曲线的参数方程
第二章 轨迹与方程
§1 平面曲线的方程
§3 母线平行于坐标轴的柱面方程
§4 空间曲线的方程
§2 曲面的方程
§1 平面曲线的方程
一、曲线的方程
二、曲线的参数方程
三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1
当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线之
间有着关系:
①满足方程的 必是曲线上某一点的坐标;
②曲线上任何一点的坐标 满足这个方程,
那么这个方程就叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做这个
方程的图形。
概括而言,曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系
例1 求圆心在原点,半径为R 的圆的方程
例2 已知两点 和 ,求满足条件
的动点M 的轨迹方程
二、曲线参数的方程
定义2
若取 的一切可能取值
①由 表示的向径 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点,总对应着以它为终点的向径,而这向径可由
的某一值 通过 完全决定
那么就把 叫做曲线的向量式参数方程,
其中 为参数。
其坐标式参数方程为
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线(cycloid)
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动,小圆周上一
定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid)
例4 已知大圆半径为a ,小圆半径为b,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
(a=4b)四尖点星形线(astroid)
圆的内摆线
(2)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动,小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线(epicycloid)
其参数方程为
特别当R=r时可以得到心脏线(cardioid)
其参数方程为
(3)把线绕在一个固定的圆周上,将线头拉紧后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来,使放出来的部分成为圆的切线,则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线(involute)
其坐标式参数方程为
(4)椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
第一种参数方程以角度 为参数:
第二种参数方程以斜率 为参数:
作业
P77 2 , 3
§2 曲面的方程
一、曲面的方程
二、曲面的参数方程
三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.
例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
例3 求坐标平面yOz 的方程.
例4 一平面平行于坐标平面xOz,且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ,求它的方程.
例5 设球面的中心是点C(a,b,c),而且半径等于r ,求它的方程.
求曲线方程一般需要下面的5个步骤:
1)选取适当的坐标系(如题中已给定,这一步可省);
2)在曲线上任取一点,也就是轨迹上的流动点;
3)根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式;
4)用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式,并化简得方程;
5)证明所得的方程就是曲线的方程,也就是证明它符合定义.
二、曲面的参数方程
例6 求球心在原点,半径为r 的球面的参数方程.
例7 求以z 轴为对称轴,半径为R 的圆柱面的参数方程.
结论 求空间曲面或曲线的参数方程时,经常是作向径 的坐标折线,将分解 为平行于坐标轴的三个向量之和,这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
一般按下列三个步骤进行:
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
2.柱坐标系
作业
P87~88
2(4) , 3(3),4(3)
§3 母线平行于坐标轴
的柱面方程
抛物柱面
平面
抛物柱面方程:
平面方程:
从柱面方程看柱面的特征:
(其他类推)
实 例
椭圆柱面,
双曲柱面 ,
抛物柱面,
母线//
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各类曲线的参数方程_常见曲线的参数方程
2021-01-17 15:59:12前言总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:\[\left\{\begin{array...前言
总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;
参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:
\[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.
\]
并且对于\(t\)的每一个允许的取值,由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。
例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线],建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,有了参数方程,就可以很容易表达。
直线参数方程
直线的参数方程的形式不唯一,当选定的参数不一样时,参数方程的形式也就不一样了。
[方式1]:已知直线所过的定点\((x_0,y_0)\)和倾斜角\(\theta\),则以定点到动点\((x,y)\)的有向线段的位移为参数,可知
直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)
[方式2]:以定比分点为参数
[方式3]:以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,
以坐标原点\(O\)为极点,\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\),曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\),以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,写出曲线\(M\)的参数方程;
分析:由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)
解方程,消去\(y\),解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\),代入②得到,\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\),由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\),得到\(k>\cfrac{1}{2}\)
故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数,\(k>\cfrac{1}{2}\))
圆参数方程
圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
椭圆参数方程
椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
抛物线参数方程
抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)
双曲线参数方程
双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
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各类曲线的参数方程_高中常见曲线的复数形式
2020-12-14 08:08:22↑↑相关文章在这里↑↑既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y),自然地,我也就想,那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。用复数表示的曲线,最简单的是圆。方程|z|=1表示单位圆,很容易理解,这个方程用x,...↑↑相关文章在这里↑↑
既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y),自然地,我也就想,那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。
用复数表示的曲线,最简单的是圆。
方程|z|=1表示单位圆,很容易理解,这个方程用x,y来表达就是
显然,方程|z|=1更简洁,我喜欢。
我们在这个最简单方程基础上,继续往复杂处挖掘。
方程|z−1|=2表示什么曲线?
还是用上面的手法研究。
哦,它表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆。
数学佬有理由猜:
很显然,用复数表示圆的方程很简洁。
我们可以从另一个角度来看圆的方程。
现在我们可以继续往复杂的图形上攻击了。
椭圆怎么表示?
椭圆的定义:到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。
这就是椭圆的轨迹方程。
在数学佬的角度看来,椭圆的复数形式方程,几何性质很清晰,却不及代数形式更漂亮。
顺理成章,双曲线方程就可以表示成
很容易,就是到两定点的距离之差的绝对值为定值
同样,在数学佬看来,这个形式也是几何性质清晰,却不漂亮。
那么抛物线呢?很遗憾,用复数表达两点间的距离很方便,表示点到直线的距离却非常难,而抛物线的定义是:到定点的距离等于到定直线的距离。
好吧,按照数学佬的习惯,先搞简单再搞复杂的,既然抛物线如此复杂,我们就不妨先放下吧。看看还有没有更简单的。
对了,直线还没有讨论呢。
直线有多种定义方式,最方便用复数来描述的形式,莫过于中垂线形式:到两定点距离相等的点的轨迹,是直线。
于是,直线的复数形式方程就可以简洁写成:
方程简单固然简单了,却不符合我们高中生的习惯。我们的习惯定义是:经过两点确定一条直线。
设两点为P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )则直线方程。。。。
哦,买,噶,不会复数形式啊,我只会写参数方程
参数方程是高中课本教了的,数学佬就不抄书了。
看着参数方程,我突然有个很棒的主意
通过“硬算”,我们居然得到了一个很简洁的结论,比参数方程还简洁漂亮。
这是数学佬一直推崇的“漂亮的数学”:原理简单,推导繁琐,结论好记。
现在,数学佬得到了有别于圆(依托距离概念)的思路,我们还可以直接将普通方程或者参数方程,通过计算转换成复数形式。
复数z和实数x,y的关系显然有以下:
太棒了!现在可以解决最后一个问题,抛物线了。
哈哈,完美!
数学佬还可以用同样的办法求直线的复数方程。
完美,second!
小结:求曲线的复数方程思路有二。利用复数的几何性质,或者利用复数与实数的互相转化。
如果觉得有趣,点个“在看”
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2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线)
3. 竖直判断法判断图形是否为函数图形
4. 曲线的参数方程
5. 直角坐标方程化为参数方程
6. 摆线
7. 常见曲线的参数方程
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