精华内容
下载资源
问答
  • 三、常见曲线的参数方程第二章 轨迹与方程§1 平面曲线的方程§3 母线平行于坐标轴的柱面方程§4 空间曲线的方程§2 曲面的方程§1 平面曲线的方程一、曲线的方程二、曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程一、...

    三、常见曲线的参数方程

    第二章 轨迹与方程

    §1 平面曲线的方程

    §3 母线平行于坐标轴的柱面方程

    §4 空间曲线的方程

    §2 曲面的方程

    §1 平面曲线的方程

    一、曲线的方程

    二、曲线的参数方程

    三、常见曲线的参数方程

    一、曲线的方程

    定义1

    当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线之

    间有着关系:

    ①满足方程的 必是曲线上某一点的坐标;

    ②曲线上任何一点的坐标 满足这个方程,

    那么这个方程就叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做这个

    方程的图形。

    概括而言,曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系

    例1 求圆心在原点,半径为R 的圆的方程

    例2 已知两点 和 ,求满足条件

    的动点M 的轨迹方程

    二、曲线参数的方程

    定义2

    若取 的一切可能取值

    ①由 表示的向径 的终点总在一条曲线上

    ②在这条曲线上的任意点,总对应着以它为终点的向径,而这向径可由

    的某一值 通过 完全决定

    那么就把 叫做曲线的向量式参数方程,

    其中 为参数。

    其坐标式参数方程为

    例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一定点的轨迹

    该定点的轨迹为旋轮线或摆线(cycloid)

    三、常见曲线的参数方程

    (1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动,小圆周上一

    定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid)

    例4 已知大圆半径为a ,小圆半径为b,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,求动圆周上某一定点P 的轨迹方程

    (a=4b)四尖点星形线(astroid)

    圆的内摆线

    (2)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动,小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线(epicycloid)

    其参数方程为

    特别当R=r时可以得到心脏线(cardioid)

    其参数方程为

    (3)把线绕在一个固定的圆周上,将线头拉紧后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来,使放出来的部分成为圆的切线,则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线(involute)

    其坐标式参数方程为

    (4)椭圆的参数方程

    设椭圆的方程为

    第一种参数方程以角度 为参数:

    第二种参数方程以斜率 为参数:

    作业

    P77 2 , 3

    §2 曲面的方程

    一、曲面的方程

    二、曲面的参数方程

    三、球坐标系与柱坐标系

    一、曲面的方程

    例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.

    例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.

    例3 求坐标平面yOz 的方程.

    例4 一平面平行于坐标平面xOz,且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ,求它的方程.

    例5 设球面的中心是点C(a,b,c),而且半径等于r ,求它的方程.

    求曲线方程一般需要下面的5个步骤:

    1)选取适当的坐标系(如题中已给定,这一步可省);

    2)在曲线上任取一点,也就是轨迹上的流动点;

    3)根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式;

    4)用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式,并化简得方程;

    5)证明所得的方程就是曲线的方程,也就是证明它符合定义.

    二、曲面的参数方程

    例6 求球心在原点,半径为r 的球面的参数方程.

    例7 求以z 轴为对称轴,半径为R 的圆柱面的参数方程.

    结论 求空间曲面或曲线的参数方程时,经常是作向径 的坐标折线,将分解 为平行于坐标轴的三个向量之和,这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.

    注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.

    一般按下列三个步骤进行:

    三、球坐标系与柱坐标系

    1.球坐标系

    2.柱坐标系

    作业

    P87~88

    2(4) , 3(3),4(3)

    §3 母线平行于坐标轴

    的柱面方程

    抛物柱面

    平面

    抛物柱面方程:

    平面方程:

    从柱面方程看柱面的特征:

    (其他类推)

    实 例

    椭圆柱面,

    双曲柱面 ,

    抛物柱面,

    母线//

    展开全文
  • 前言总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:\[\left\{\begin{array...

    前言

    总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;

    参数方程

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:

    \[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.

    \]

    并且对于\(t\)的每一个允许的取值,由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

    例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线],建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,有了参数方程,就可以很容易表达。

    直线参数方程

    直线的参数方程的形式不唯一,当选定的参数不一样时,参数方程的形式也就不一样了。

    [方式1]:已知直线所过的定点\((x_0,y_0)\)和倾斜角\(\theta\),则以定点到动点\((x,y)\)的有向线段的位移为参数,可知

    直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)

    [方式2]:以定比分点为参数

    [方式3]:以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,

    以坐标原点\(O\)为极点,\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\),曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\),以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,写出曲线\(M\)的参数方程;

    分析:由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)

    解方程,消去\(y\),解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\),代入②得到,\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\),由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\),得到\(k>\cfrac{1}{2}\)

    故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数,\(k>\cfrac{1}{2}\))

    圆参数方程

    圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    椭圆参数方程

    椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    抛物线参数方程

    抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)

    双曲线参数方程

    双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

    展开全文
  • ↑↑相关文章在这里↑↑既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y),自然地,我也就想,那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。用复数表示的曲线,最简单的是圆。方程|z|=1表示单位圆,很容易理解,这个方程用x,...

    ↑↑相关文章在这里↑↑

    既然一个复数z=x+yi可以表示一个点(x,y),自然地,我也就想,那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。

    用复数表示的曲线,最简单的是圆

    方程|z|=1表示单位圆,很容易理解,这个方程用x,y来表达就是

    9fd62344f928c459daa6488635cc1391.png

    显然,方程|z|=1更简洁,我喜欢。

    我们在这个最简单方程基础上,继续往复杂处挖掘。

    方程|z−1|=2表示什么曲线?

    还是用上面的手法研究。

    748f0a407d01895d1f0563a8099e6761.png

    哦,它表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆。

    数学佬有理由猜:

    d99b153a51a9e9ca5825b0c70b95a9d9.png

    1f99b800193ef26c9a5c1651f5db3c1f.png

    很显然,用复数表示圆的方程很简洁

    我们可以从另一个角度来看圆的方程。

    11fa66eb5c418094f1806c5f3d22acee.png

    现在我们可以继续往复杂的图形上攻击了。

    椭圆怎么表示?

    椭圆的定义:到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。

    0340e5cc0bff9ed8f9c1e96e9ff2bcd6.png

    这就是椭圆的轨迹方程

    在数学佬的角度看来,椭圆的复数形式方程,几何性质很清晰,却不及代数形式更漂亮。

    顺理成章,双曲线方程就可以表示成

    6bb1eb863462115dacce915a7f648e6e.png

    很容易,就是到两定点的距离之差的绝对值为定值

    同样,在数学佬看来,这个形式也是几何性质清晰,却不漂亮。

    那么抛物线呢?很遗憾,用复数表达两点间的距离很方便,表示点到直线的距离却非常难,而抛物线的定义是:到定点的距离等于到定直线的距离

    好吧,按照数学佬的习惯,先搞简单再搞复杂的,既然抛物线如此复杂,我们就不妨先放下吧。看看还有没有更简单的。

    对了,直线还没有讨论呢。

    直线有多种定义方式,最方便用复数来描述的形式,莫过于中垂线形式:到两定点距离相等的点的轨迹,是直线

    于是,直线的复数形式方程就可以简洁写成:

    d22194af27e569a957ad0c9801df2e68.png

    方程简单固然简单了,却不符合我们高中生的习惯。我们的习惯定义是:经过两点确定一条直线。

    设两点为P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )则直线方程。。。。

    哦,买,噶,不会复数形式啊,我只会写参数方程 

    d1caf07acbbd419f474a68afd47faed4.png

    参数方程是高中课本教了的,数学佬就不抄书了。

    看着参数方程,我突然有个很棒的主意

    c58db80d8724765917e55d24717a1e61.png

    通过“硬算”,我们居然得到了一个很简洁的结论,比参数方程还简洁漂亮。

    这是数学佬一直推崇的“漂亮的数学”:原理简单,推导繁琐,结论好记

    现在,数学佬得到了有别于圆(依托距离概念)的思路,我们还可以直接将普通方程或者参数方程,通过计算转换成复数形式。

    复数z和实数x,y的关系显然有以下:

    bd74a5a9d7a87d10724529c14852c7df.png

    太棒了!现在可以解决最后一个问题,抛物线了。

    8d2c920457a285c1aad31e38003d12f7.png

    哈哈,完美!

    数学佬还可以用同样的办法求直线的复数方程。

    22b3524a852d01857894060c0a468adf.png

    完美,second!

    小结:求曲线的复数方程思路有二。利用复数的几何性质,或者利用复数与实数的互相转化

    如果觉得有趣,点个“在看”

    展开全文
  • ProE_各种曲线方程集合,集合了常见的螺旋线、渐开线、星形线……共30余种曲线。
  • 1. 引例(如何描述动点的轨迹?) 2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线) ...4. 曲线的参数方程 ...5. 直角坐标方程化为参数方程 ...7. 常见曲线的参数方程 ...

     

    1. 引例(如何描述动点的轨迹?)

     

    2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线)

     

    3. 竖直判断法判断图形是否为函数图形

     

    4. 曲线的参数方程

     

    5. 直角坐标方程化为参数方程

     

    6. 摆线

     

    7. 常见曲线的参数方程

     

    展开全文
  • 定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程常见一些基本曲线的定义如下:①圆:到定点的距离等于定长...
  • 显然一条平面曲线绕某条直线旋转一周可以形成一个曲面,称为“旋转曲面”,本节我们来介绍旋转曲面的基本知识,主要包括与旋转曲面相关的一些概念,旋转曲面的方程,以及一些重要的旋转曲面,例如圆锥面、旋转单叶...
  • 概念最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点,而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。...常见曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3....
  • 更多精彩内容请关注我们 为了让各位能够给自学、预习、复习高中数学课程提供方便,本公众号整理了高考中比较常见、巧妙的题型、方法、技巧供...通过常见函数的单调性去缩小单调区间图象很复杂,求解很常规圆锥曲线...
  • 从今天开始进入双曲型方程的差分方法构造....与抛物型方程相比, 双曲线方程缺乏耗散机制, 相应数值困难更为突出.参考书:(1) J.W. Thomas - Numerical Partial Differential Equations_ Finite Difference Method...
  • 圆锥曲线是高考压轴大题,解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。解答题中以待定系数法为多,一旦变换考法,想必不少学生都会懵。为了更好的解决这一问题,清北助学团针对轨迹方程常见考法做出了系统总结。(想...
  • 点击“高中数学资料共享”关注我们 为了让各位能够给自学、预习、复习高中数学课程提供方便,本公众号整理了高考中比较常见、巧妙的题型、方法、技巧供大家学习、参考。 也希望各位能够转发、分享,让更多的学习爱好...
  • 参数方程与极坐标问题引入曲线的参数方程曲线参数方程直角坐标方程化为参数方程例1 方法三,利用三角恒等式例2,方法四,几何背景常见的参数方程如何把直角坐标方程转化为参数方程极坐标与极坐标方程直角坐标系与极...
  • 公众号“潘越高中数学”创建于2020年7月10日,创建以来受到广大热爱数学的朋友的关注和支持,也有热心朋友对办好...本系列前面四篇文章分别讲述了圆锥曲线方程、定义、焦点三角形、点差法等基本内容。这些只是“饭...
  • 曲线函数

    千次阅读 2018-11-29 18:49:36
    常见曲线包括圆锥曲线、三角和指数函数、概率分布、通用多项式和样条函数。这些曲线的显示可采用类似于前面讨论的圆和椭圆函数来生成。沿曲线轨迹的位置可直接从表达式y =f (x)或参数方程中得到。此外,还可以使用...
  • 贝塞尔曲线直观图

    2019-10-08 01:59:58
    在历史上,研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”,也就是说,随着点有规律地移动,曲线将产生皮筋伸引一样的变换...
  • 数控加工是在计算机控制下进行零件和产品的制造和加工。数控加工涉及使用计算机数控(CNC)机床,通过自动去除材料的方式来对...常见数控机床的类型数控加工过程包括最常见的铣削和车削,其次还有磨削、电火花加工等。...
  • 我们在初中高中学习中学习了各种直线,圆,椭圆,正玄…曲线等对应的坐标系方程吧,接下来我们回顾一下我们的直线和曲线方程。 第一步我们还是定义一个类新建坐标系,屏幕可旋转横屏显示 package ...
  • 求动点的轨迹方程,是学习解析几何的基础,也是高考的常考点之一。今天给同学们总结了7种求解轨迹方程的方法此外老师还整理了关于数学各...常见一些基本曲线的定义如下:①圆:到定点的距离等于定长②椭圆:到两定...
  • 定义: 椭圆/双曲线上两条相互垂直的切线的交点 的轨迹方程为圆称为外准圆,也叫蒙日圆方程:椭圆 ,外准圆方程曲线 ,外准圆方程 以椭圆为例,推导有很多种方法,这里写几种常见的.当切线斜率存在时设 ,过点 的切线...
  • 免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有208天 定义法运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立...
  • QCPCurve用于绘制参数方程曲线常见的参数方程有以下几种: QCPCurve与QCPGraph的区别在于它引入了第三个坐标t,而QCPGraph只有x,y两个坐标,这是因为在参数方程曲线中,可能会有多个点对应同个key坐标,而t坐标的...
  • 常见曲线包括圆锥曲线、三角和指数函数、概率分布、通用多项式和样条函数。这些曲线的显示可采用类似于前面讨论的圆和椭圆函数来生成。沿曲线轨迹的位置可直接从表达式y =f (x)或参数方程中得到。此外,还可以使用...
  • 另外一个常用到的场景就是曲线拟合,常见的是基于多项式拟合,可以根据设定的多项式幂次生成多项式方程,然后根据方程进行一系列的点生成,形成完整的曲线,这个车道线检测,轮廓曲线拟合等场景下特别有用。...
  • 对于在反应工程中常见的一类特殊的二阶常微分方程边值问题,给出了二分法初值化求解的一种新方法。具体求解了多孔催化剂和多孔电极两个数学模型,给出了在不同参数下二者解的曲线。与传统的打靶法相比,此方法回避了...
  • 欧拉法 首先先来介绍欧拉法,如果对于一条曲线,用Δ\DeltaΔttt来将线段划分成许多小段,那么我们就可以近似认为每一段的斜率都是常数,且对于第iii段的斜率表示为...以最为常见的一阶微分方程为例 dydt=a0y+f(t) \...
  • 点击“高中数学资料共享”关注我们 为了让各位能够...(温馨提示:在做题时,不妨轻点题目,将呈现题目图片,看不见答案哦)方法指导01导数的几何意义:求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法典例剖析02【思路分析】【...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 7
收藏数 126
精华内容 50
关键字:

常见曲线方程