n阶级滤波器的传递函数一般表达式为：



表示成零极点形式



 

在设计滤波器的电路时，直接实现3阶以上传递函数的电路是很难的。当需要设计大于或等于3阶的滤波器时，一般采取将高阶传递函数分解为几个低阶传递函数乘积的形式。如                                            Gn(s)=G1(S).G2(S)… Gk(s) 

式中，k≤n。例如，设计一个5阶滤波器，可用两个2阶滤波器和一个1阶滤波器级联得到，当然，还有其它的级联方式。  

  将k个低阶传递函数的滤波器的基本节级联起来，可构成n阶滤波器。因为用集成运放构成的低阶滤波器，其输出阻抗很低9所以不必考虑各基本节级联时的负载效应，保证了各基本节传递函数设计的独立性。  

  一阶滤波器和二阶滤波器是设计集成有源滤波器的基础，表列出了常用的一阶、二阶滤波器的传递函数和幅频特性。在设计滤波器时，可直接查表得到其传递函数，这样就避免了在设计滤波器时求解传递函数的麻烦。

常见的opencv滤波器以及一点点介绍
cv2.GussianBlur()函数（高斯滤波）
语法：GaussianBlur（src，ksize，sigmaX [，dst [，sigmaY [，borderType]]]）-> dst

——src输入图像；图像可以具有任意数量的通道，这些通道可以独立处理，但深度应为CV_8U，CV_16U，CV_16S，CV_32F或CV_64F。

——dst输出图像的大小和类型与src相同。

——ksize高斯内核大小。 ksize.width和ksize.height可以不同，但​​它们都必须为正数和奇数，也可以为零，然后根据sigma计算得出。

——sigmaX X方向上的高斯核标准偏差。

——sigmaY Y方向上的高斯核标准差；如果sigmaY为零，则将其设置为等于sigmaX；如果两个sigmas为零，则分别从ksize.width和ksize.height计算得出；为了完全控制结果，而不管将来可能对所有这些语义进行的修改，建议指定所有ksize，sigmaX和sigmaY。
Opencv 常见三种滤波器比较




滤波器种类
基本原理
特点




均值滤波
使用模板内所有像素的平均值代替模板中心像素灰度值
易收到噪声的干扰，不能完全消除噪声，只能相对减弱噪声


中值滤波
计算模板内所有像素中的中值，并用所计算出来的中值体改模板中心像素的灰度值
对噪声不是那么敏感，能够较好的消除椒盐噪声，但是容易导致图像的不连续性


高斯滤波
对图像邻域内像素进行平滑时，邻域内不同位置的像素被赋予不同的权值
对图像进行平滑的同时，同时能够更多的保留图像的总体灰度分布特征


一篇讲的不错的博客

Python+OpenCV图像处理之图像梯度

 

 

 

                                   常见滤波器简要介绍及Matlab实现

             简要收集关于“椭圆、切比雪夫、巴特沃斯、贝塞尔”滤波器的使用与特点，不完善之处还请提出意见与谅解！

1.椭圆滤波器Elliptic Filter

①椭圆滤波器又称考尔滤波器（Cauer filter），是在通带和阻带等波纹特性的一种滤波器，因此通带，阻带逼近特性良好。 

                                                      

②相较其他类型的滤波器，椭圆滤波器在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。

③相比其他滤波器其阻带下降最快，过渡带更为陡峭、更窄的特性（通带和阻带的起伏为代价来换取）。相同阶数时，椭圆滤波      器的幅频曲线下降最陡，其次为切比雪夫滤波器，再次为巴特沃斯滤波器，下降最平缓的为贝塞尔滤波器。

                                                        

 

Matlab实现方法：

[n,Wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs)；

椭圆滤波器最小阶数n和截止频率Wn的确定函数，并使滤波器在通带内(0 , Wp)的波纹系数小于通带最大衰减 R p ,阻带内(W s , 1)的波纹系数大于阻带最小衰减 R s 。Rp、Rs分别为通带最大波纹和阻带最小衰减；wp、ws分别为为通带边界频率和阻带边界频率，单位为rad/s。这四个参数为滤波器的基本性能指标.

[ b, a] = ellip(n , R p , R s , Wn)；

函数的功能是设计滤波器 ，参n表示最小阶数，参数R p表示通带最大波纹度（单位dB），参数R s表示阻带最小衰减（单位dB），参数Wn表示归一化的低通滤波器截止频率（如果阶数n与截止频率不由ellipord计算，可以假设截止频率为F，则有Wn =F/(Fs/2)=F*2/Fs）。

  如 : 设计一个带通椭圆数字滤波器 , 通带为 100 ～200 H z,过渡带均为 50 H z,通带波纹小于 3 db ,阻带衰减为 30 db ,采样频       率 f s =1 000 H z 。其程序为 : 

fs = 1000 ;

Rp =3; Rs =30 ;

Wp =2 *[ 100 200] /fs;

W s = 2 *[ 80 220] /f s;

[ n , W n] = ellipo rd (Wp , W s , Rp , Rs);

[ b , a] = ellip(n , Rp, Rs Wn);

dataOut = filter(b,a,dataIn);


2.巴特沃斯滤波器

① 巴特沃斯滤波器是一种在通带和阻带都平坦的滤波器，通带率响应曲线最平坦，没有起伏，阻带频带则逐渐下降为零，下降慢，在过渡带上很容易造成失真。

②在振幅对数与角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。

③一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。

④巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。

                                                       

 下图是巴特沃斯滤波器（左上）和同阶第一类切比雪夫滤波器（右上）、第二类切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。

                                                       

巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示：

巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示：



其中,  = 滤波器的阶数

 = 截止频率 = 振幅下降为 -3分贝时的频率

wp= 通频带边缘频率

 在通频带边缘的数值 

说明：buttord函数使用阻带指标计算3dB截止频率，这样阻带会刚好满足要求，而通带会有富余。

% [B,A] = butter(N,Wn,'high') ---用来设计高通滤波器
% [B,A] = butter(N,Wn,'low') --低通滤波器
[B,A] = butter(N,Wn)--带通滤波器

out_sign=filter(B,A,x_sign);        %输入信号最好是转化为double型

为了确定滤波器的最小阶数N，通过[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)函数获得 。

完整示例8-30Hz带通滤波：

fs = 1000 ; %信号的采样频率
wp=[8 30]*2/fs; %通带边界频率 ，单位为rad/s
ws=[7 32]*2/fs; %阻带边界频率 ，单位为rad/s
Rp=1;           %通带最大波纹度 ，单位dB (不要太小)
Rs=30;          %表示阻带最小衰减，单位dB
[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs);  %巴特沃斯数字滤波器的阶数n和-3dB归一化截止频率Wn

[B,A]=butter(N,Wn);           %得到n阶巴特沃斯滤波的分子分母
dataOut = filter(B,A,dataIn);


3.切比雪夫滤波器

①切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动（通带平坦、阻带等波纹或是阻带平坦、通带等波纹）的滤波器，振幅特性在通带内是等波纹。    

                 

                         

 

②切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。

③切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

④在通带（或称“通频带”）上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带（或称“阻频带”）上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“II型切比雪夫滤波器”

                                                          

 

fs = 1000;   % Hz采样频率
wp = 55/(fs/2);  %通带截止频率,取50~100中间的值,并对其归一化
ws = 90/(fs/2);  %阻带截止频率,取50~100中间的值,并对其归一化
Rp = 3;           %通带允许最大衰减为 db
Rs = 40;          %阻带允许最小衰减为 db
[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs); % 获取阶数和截止频率
[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn, 'low');  %获得转移函数系数
dataOut = filter(b,a,dataIn);          %信号滤波运算


4.贝塞尔滤波器Bessel filter

          贝赛尔(l)滤波器是具有最大平坦的群延迟（线性相位响应）的线性过滤器，即最平坦的幅度和相位响应，常用在音频天桥系统中。具有最平坦的幅度和相位响应。带通（通常为用户关注区域）的相位响应近乎呈线性。

     　由于具有向其截止频率以下的所有频率提供等量延时的特性，才被用于音频设备中，在音频设备中，必须在不损害频带内多信号的相位关系前提下，消除带外噪声。另外，贝塞尔滤波器的阶跃响应很快，并且没有过冲或振铃，这使它在作为音频DAC输出端的平滑滤波器，或音频ADC输入端的抗混叠滤波器方面，是一种出色的选择。贝塞尔滤波器还可用于分析D类放大器的输出，以及消除其它应用中的开关噪声，来提高失真测量和示波器波形测量的精确度。

                                                 

[b,a] = besself(n,Wn)                   %低通滤波器（Wn为二元向量时，为带通）

                                                     % Wn是一个实际频率值，不是相对量

[b,a] = besself(n,Wn,’ftype’);        % ftype类型low，hight，stop

dataOut = filter(b,a,dataIn);          %信号滤波运算

四种滤波器的区别对比

①贝塞尔滤波器具有最平坦的幅度和相位响应。带通（通常为用户关注区域）的相位响应近乎呈线性。

②巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。

③切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

④相同阶数时：椭圆滤波器的幅频曲线下降最陡，其次为切比雪夫滤波器，再次为巴特沃斯滤波器，下降最平缓的为贝塞尔滤波器。

⑤相同阶数时：巴特沃斯滤波器通带最平坦，阻带下降慢；切比雪夫滤波器通带等纹波，阻带下降较快；贝塞尔滤波器通带等纹波，阻带下降慢。也就是说幅频特性的选频特性最差。但是，贝塞尔滤波器具有最佳的线性相位特性；椭圆滤波器在通带等纹波（阻带平坦或等纹波），阻带下降最快。

转插两篇他人博客供大家参考：

博客地址  http://blog.sina.com.cn/s/blog_49c02a8c0100yszh.html （matlab提供了简便的产生各种滤波器的方法）

                https://blog.csdn.net/LYduring/article/details/80443573   （几种常见空间滤波器MATLAB实现）

                https://blog.csdn.net/colapin/article/details/52840075   （七种滤波方法的matlab实现和测试）

                https://www.cnblogs.com/alimy/p/9140695.html  （切比雪夫Ⅰ型滤波器设计：低通、高通、带通和带阻）

%  Cheby1Filter.m
%  切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计
%
 
clear;
close all;
clc;
 
fs = 1000; %Hz 采样频率
Ts = 1/fs;
N  = 1000; %序列长度
t = (0:N-1)*Ts;
delta_f = 1*fs/N;
f1 = 50;
f2 = 100;
f3 = 200;
f4 = 400;
x1 = 2*0.5*sin(2*pi*f1*t);
x2 = 2*0.5*sin(2*pi*f2*t);
x3 = 2*0.5*sin(2*pi*f3*t);
x4 = 2*0.5*sin(2*pi*f4*t);
x = x1 + x2 + x3 + x4; %待处理信号由四个分量组成
 
X = fftshift(abs(fft(x)))/N;
X_angle = fftshift(angle(fft(x)));
f = (-N/2:N/2-1)*delta_f;
 
figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
title('原信号');
subplot(3,1,2);
plot(f,X);
grid on;
title('原信号频谱幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_angle);
title('原信号频谱相位特性');
grid on;
 
%设计一个切比雪夫低通滤波器,要求把50Hz的频率分量保留,其他分量滤掉
wp = 55/(fs/2);  %通带截止频率,取50~100中间的值,并对其归一化
ws = 90/(fs/2);  %阻带截止频率,取50~100中间的值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为 db
alpha_s = 40;%阻带允许最小衰减为 db
%获取阶数和截止频率
[ N1 wc1 ] = cheb1ord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = cheby1(N1,alpha_p,wc1,'low');
%滤波
filter_lp_s = filter(b,a,x);
X_lp_s = fftshift(abs(fft(filter_lp_s)))/N;
X_lp_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_lp_s)));
figure(2);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(3);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_lp_s);
grid on;
title('低通滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_lp_s);
title('低通滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_lp_s_angle);
title('低通滤波后频域相位特性');
 
 
 
%设计一个高通滤波器,要求把400Hz的频率分量保留,其他分量滤掉
wp = 350/(fs/2);  %通带截止频率,取200~400中间的值,并对其归一化
ws = 380/(fs/2);  %阻带截止频率,取200~400中间的值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N2 wc2 ] = cheb1ord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = cheby1(N2,alpha_p,wc2,'high');
%滤波
filter_hp_s = filter(b,a,x);
X_hp_s = fftshift(abs(fft(filter_hp_s)))/N;
X_hp_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_hp_s)));
figure(4);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(5);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_hp_s);
grid on;
title('高通滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_hp_s);
title('高通滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_hp_s_angle);
title('高通滤波后频域相位特性');
 
 
%设计一个带通滤波器,要求把50Hz和400Hz的频率分量滤掉,其他分量保留
wp = [65 385 ] / (fs/2);  %通带截止频率,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
ws = [75 375 ] / (fs/2);  %阻带截止频率,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N3 wn ] = cheb1ord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = cheby1(N3,alpha_p,wn,'bandpass');
%滤波
filter_bp_s = filter(b,a,x);
X_bp_s = fftshift(abs(fft(filter_bp_s)))/N;
X_bp_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_bp_s)));
figure(6);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(7);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_bp_s);
grid on;
title('带通滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_bp_s);
title('带通滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_bp_s_angle);
title('带通滤波后频域相位特性');
 
 
%设计一个带阻滤波器,要求把50Hz和400Hz的频率分量保留,其他分量滤掉
wp = [65 385 ] / (fs/2);  %通带截止频率?,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
ws = [75 375 ] / (fs/2);  %阻带截止频率?,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N4 wn ] = cheb1ord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = cheby1(N4,alpha_p,wn,'stop');
%滤波
filter_bs_s = filter(b,a,x);
X_bs_s = fftshift(abs(fft(filter_bs_s)))/N;
X_bs_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_bs_s)));
figure(8);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(9);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_bs_s);
grid on;
title('带阻滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_bs_s);
title('带阻滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_bs_s_angle);
title('带阻滤波后频域相位特性');

效果：

原始信号：

                       

生成的低通滤波器和滤波后的效果：

                                   

                        

生成的高通滤波器和滤波后的结果：

                                

                          

生成的带通滤波器和滤波后的结果：

                               

                           

生成的带阻滤波器和滤波后的结果：