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  • NP问题求解综述

    万次阅读 2020-09-29 05:34:14
    摘要:定义NP问题及P类问题,并介绍一些常见的NP问题,以及NP问题的一些求解方法,最后最NP问题求解的发展方向做一些展望。 关键词:NP难问题 P类问题 算法 最优化问题 正文: 一.NP难问题及P类问题 为了解释NP...

     

    摘要:定义NP问题及P类问题,并介绍一些常见的NP问题,以及NP问题的一些求解方法,最后最NP问题求解的发展方向做一些展望。 

    关键词:NP难问题 P类问题 算法 最优化问题

    正文:

    一.NP难问题及P类问题

    为了解释NP难问题及P类问题,先介绍确定性算法和非确定性算法这两个概念,设A是求解问题Π的一个算法,如果在算法的整个执行过程中,每一步只有一个确定的选择,则称算法A是确定性(Determinism)算法。设A是求解问题Π的一个算法,如果算法A以如下猜测并验证的方式工作,就称算法A是非确定性(Nondeterminism)算法:(1)猜测阶段:在这个阶段,对问题的输入实例产生一个任意字符串y,在算法的每一次运行时,串y的值可能不同,因此,猜测以一种非确定的形式工作。(2)验证阶段:在这个阶段,用一个确定性算法验证:① 检查在猜测阶段产生的串y是否是合适的形式,如果不是,则算法停下来并得到no;② 如果串y是合适的形式,则验证它是否是问题的解,如果是,则算法停下来并得到yes,否则算法停下来并得到no。

    什么是NP难问题,如果对于某个判定问题Π,存在一个非负整数k,对于输入规模为n的实例,能够以O(nk)的时间运行一个非确定性算法,得到yes或no的答案,则该判定问题Π是一个 NP 类(Nondeterministic Polynomial)问题

    令Π是一个判定问题,如果对于NP类问题中的每一个问题Π',都有Π'∝pΠ,则称判定问题Π是一个NP难问题

    什么是P类问题,如果对于某个判定问题Π,存在一个非负整数k,对于输入规模为n的实例,能够以O(nk)的时间运行一个确定性算法,得到yes或no的答案,则该判定问题Π是一个 P 类(Polynomial)问题。所有易解问题都是P类问题。

    P类问题和NP类问题的主要差别:P类问题可以用多项式时间的确定性算法来进行判定或求解;NP类问题可以用多项式时间的非确定性算法来进行判定或求解。

     

    二.常见的NP类问题

    上面介绍了什么是NP问题,下面我将介绍我查阅到的一些常见的NP问题,他们同时也是著名的NP问题。

    ①图着色问题 按图中所示方式将16条边着色,那么不管你从哪里出发,按照“蓝红红蓝红红蓝红红”的路线走9步,你最后一定达到黄色顶点。路线着色定理就是说在满足一定条件的有向图中,这样的着色方式一定存在。严格的数学描述如下。我们首先来定义同步着色。G是一个有限有向图并且G的每个顶点的出度都是k。G的一个同步着色满足以下两个条件:1)G的每个顶点有且只有一条出边被染成了1到k之间的某种颜色;2)G的每个顶点都对应一种走法,不管你从哪里出发,按该走法走,最后都结束在该顶点。有向图G存在同步着

      

    色的必要条件是G是强连通而且是非周期的。一个有向图是非周期的是指该图中包含的所有环的长度没有大于1的公约数。路线着色定理这两个条件(强连通和是非周期)也是充分的。也就是说,有向图G存在同步着色当且仅当G是强连通而且是非周期的。

    ②哈密顿回路问题:天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton) 提出,在一个有多个城市的地图网络中, 寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径。这个问题和著名的过桥问题的不同之处在于,某些城市之间的旅行不一定是双向的。比如A→B,但B→A是不允许的。换一种说法,对于一个给定的网络,确定起点和终点后,如果存在一条路径,穿过这个网络,我们就说这个网络存在哈密顿路径。哈密顿路径问题在上世纪七十年代初,终于被证明是“NP完备”的。据说具有这样性质的问题,难于找到一个有效的算法。实际上对于某些顶点数不到100的网络,利用现有最好的算法和计算机也需要很长的时间(可能要几百年之久)才能确定其是否存在一条这样的路径。

    ③TSP问题:旅行商问题,即TSP问题(Traveling Salesman Problem)是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市,他必须选择所要走的路径,路经的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。TSP问题是一个组合优化问题。该问题可以被证明具有NPC计算复杂性。

    上面三个即是非常著名的NP问题,也是比较常见的NP问题。它们的求解算法非常复杂,要寻找到一个最优算法需要花费很长的时间,但正因为这些问题的复杂性,使得它们备受人们的关注。当然NP问题本身也是世界七大数学难题之一。

     

    三.求解NP类问题的常见方法

    对于那些棘手的NP问题,我们也并非束手无策,有一些方法可供我们去探究NP问题。

    ①近似算法:所有已知的解决NP难问题算法都有指数型运行时间。但是,如果我们要找一个“好”解而非最优解,有时候多项式算法是存在的。给定一个最小化问题和一个近似算法,我们按照如下方法评价算法:首先给出最优解的一个下界,然后把算法的运行结果与这个下界进行比较。对于最大化问题,先给出一个上界然后把算法的运行结果与这个上界比较。近似算法比较经典的问题包括:最小顶点覆盖、旅行售货员问题、集合覆盖等。

    ②概率算法:很多算法的每一个计算步骤都是固定的,而概率算法允许算法在执行的过程中随机选择下一个计算步骤。许多情况下,当算法在执行过程中面临一个选择时,随机性选择常比最优选择省时。因此概率算法可在很大程度上降低算法的复杂度。概率算法的一个基本特征是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。这两次求解问题所需的时间甚至所得到的结果可能会有相当大的差别。一般情况下,可将概率算法大致分为四类:数值概率算法,蒙特卡罗(Monte Carlo)算法,拉斯维加斯(Las Vegas)算法和舍伍德(Sherwood)算法。

    ③并行计算:并行计算或称平行计算是相对于串行计算来说的。所谓并行计算可分为时间上的并行和空间上的并行。 时间上的并行就是指流水线技术,而空间上的并行则是指用多个处理器并发的执行计算。并行计算(Parallel Computing)是指同时使用多种计算资源解决计算问题的过程。为执行并行计算,计算资源应包括一台配有多处理机(并行处理)的计算机、一个与网络相连的计算机专有编号,或者两者结合使用。并行计算的主要目的是快速解决大型且复杂的计算问题。此外还包括:利用非本地资源,节约成本 ― 使用多个“廉价”计算资源取代大型计算机,同时克服单个计算机上存在的存储器限制。包含以下三个特征:1,将工作分离成离散部分,有助于同时解决;2,随时并及时地执行多个程序指令;,3,

     

     

    多计算资源下解决问题的耗时要少于单个计算资源下的耗时。

    ④智能算法:在工程实践中,经常会接触到一些比较“新颖”的算法或理论,比如模拟退火,遗传算法,禁忌搜索,神经网络等。这些算法或理论都有一些共同的特性(比如模拟自然过程),通称为“智能算法”。智能优化算法要解决的一般是最优化问题。最优化问题可以分为(1)求解一个函数中,使得函数值最小的自变量取值的函数优化问题和(2)在一个解空间里面,寻找最优解,使目标函数值最小的组合优化问题。典型的组合优化问题有:旅行商问题(Traveling Salesman Problem,TSP),加工调度问题(Scheduling Problem),0-1背包问题(Knapsack Problem),以及装箱问题(Bin Packing Problem)等。优化算法有很多,经典算法包括:有线性规划,动态规划等;改进型局部搜索算法包括爬山法,最速下降法等,本文介绍的模拟退火、遗传算法以及禁忌搜索称作指导性搜索法。而神经网络,混沌搜索则属于系统动态演化方法。

     

    四.NP问题求解未来发展方向

    NP问题是世界七大数学难题之一,在名称上就有别于其它六个问题,也是其中唯一一个不是用人名来命名的数学难题。因为它不是某个数学家火花一闪、灵机一动所提出的理论或是猜测,而是一个非常古老的问题,涉及到了最基础的数学理论,并且经过了几百年来无数数学家们持之以恒的努力,直到现在仍然是一个没有得到解决的公开问题。

    NP问题排在世界七大数学难题之首,七个问题都是经过美国克雷数学研究所的科学顾问委员会精心挑选出来的,这些问题的获解上哪怕是获得了些许的进展,就将对数学理论的发展和应用产生极其巨大的推动作用。研究这些“千年大奖问题”已经成为世界数学界的热点,不少国家的数学家正在组织联合攻关,同时它们也是任何一个数学工作者都梦寐以求予以摘取的数学皇冠上的耀眼明珠。可以预期,这些“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。因此NP问题的求解将会不断地被注视着,当然如果有一天它被人求解出来,那么我们身边的许多问题将会被解决。

     

    参考文献:

    [1] 黄文奇 许如初. 《近世计算理论导引:NP难度问题的背景、前景及其求解算法研究》. 科学出版社 2004.  87

    [2] 陈志平 徐宗本. 《计算机数学:计算复杂性理论与NPC、NP难问题的求解》 科学出版社.  2001.  292

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  • 第一个NPC问题Circuit Satisfiability(电路满足性问题)NPC问题的证明NP-hard问题常见的NP完全问题 P问题 多项式时间可求解的问题,例如利用分治,贪心算法等能够求解的问题都是P问题。结果是positive...

    P问题

    多项式时间可求解的问题,例如利用分治,贪心算法等能够求解的问题都是P问题。结果是positive的

    NP问题

    多项式时间可验证的问题。即这类问题可以被一个多项式时间的算法验证。

    NPC问题(NP-Complete)

    至今没有多项式时间算法可以解决它,结果是negative的

    为了更好理解NPC问题,引入多项式规约(Polynomial Reductions)的概念

    多项式规约

    • 问题A多项式规约至B,记作A ≤p B (A,B皆视作问题集合)

    • 如果问题A中的任何实例α都可以被转化为B中的一个实例β,且满足以下特征:

       1.这个转化算法为多项式时间算法
       2.α的结果为yes当且仅当β的结果为yes
      
    • 如果问题B是多项式时间可解的,那么问题A也是多项式时间可解的

    • 如果问题A不是多项式时间可解的,那么问题B也不是多项式时间可解的

    用集合来理解,问题A问题B都为集合,那么有:
    在这里插入图片描述
    即B中存在一个子集,使得子集里的实例可与A中实例一一对应。

    用优化性问题与判断性问题来理解:
    优化性问题常常可以简化成判断性问题来求解,下面给出一个简单例子:
    在这里插入图片描述
    可见,判断性问题在经过多项式时间算法后,可以转化成为优化性问题。
    故而可以理解,问题B是更难解决的。 (A ≤p B )

    深入理解NPC问题(NP-Complete)

    有了多项式规约的概念,再次深入理解一遍NP完全问题。给出下面的定义:

    1. A∈NP
    2. 对于任一问题B∈NP, 有B ≤p A

    即,A∈NP问题集合中最难问题的集合(子集)
    那么,NPC={A|A is NP-Complete}

    所以,NPC是NP的子集。

    再考虑一下P问题与NP问题的关系:
    P问题是多项式时间可解的问题,NP问题是多项式时间可验证的问题。
    那么有P⊆NP,多项式时间可解的问题总是多项式时间可验证的,多项式时间可验证的问题就不一定是多项式时间可解的。

    于是有下图的关系:
    在这里插入图片描述

    P=NP?

    P是否等于NP还是未知的

    第一个NPC问题

    我们将计算机看作是可以求解任何问题的,那么将计算机可解决的问题抽象出一类问题,就有任何问题都可以规约成计算机可解决的问题。即,任何问题 ≤p 计算机可解决的问题。

    Circuit Satisfiability(电路满足性问题)

    电路满足性问题是第一个NPC问题,也就是通过与、或、非门,可以实现多个输入(无论是0或1)都能得到一个输出1
    在这里插入图片描述
    有了第一个NPC问题,那么其他NPC问题也就能相应地找出来。

    NPC问题的证明

    若想要证明问题Lnew是一个NP-Complete问题

    1. 证明Lnew∈NP
    2. 选出一个相应的老问题Lknown
    3. 设计一个多项式时间算法使得对于每一个老问题的实例,都能转化成新问题的实例。
    4. 证明老问题的实例结果为yes当且仅当新问题的实例结果为yes

    即,Lknown ≤p Lnew
    那么,可证新问题Lnew是一个NP完全问题。
    注:一定是老问题规约到新问题,才得证新问题为NP完全问题。顺序不能搞反

    NP-hard问题

    在证明过程中,由于第一步证明Lnew∈NP,即新问题是多项式时间可验证的。该步骤很容易证明,若省略的话,则得到的Lnew称为是NP-hard问题。

    常见的NP完全问题

    最大团问题(Clique)、顶点覆盖问题(Vertex-Cover)
    旅行商问题(Traveling-Salesman)、哈密顿回路问题(Hamiltonian-Cycle)
    其中,顶点覆盖问题可由最大团问题规约,旅行商问题可由哈密顿回路问题规约

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  • P问题、NP问题、NPC问题、NP难问题的概念 离入职尚有几天时间,闲...你要知道,大多数人此时所说的NP问题其实都是指的NPC问题。他们没有搞清楚NP问题和NPC问题的概念。NP问题并不是那种“只有搜才行”的问题,NPC问...

    P问题、NP问题、NPC问题、NP难问题的概念

    离入职尚有几天时间,闲来无事,将大家常见却又很容易搞糊涂的几个概念进行整理,希望对大家有所帮助。
    你会经常看到网上出现“这怎么做,这不是NP问题吗”、“这个只有搜了,这已经被证明是NP问题了”之类的话。你要知道,大多数人此时所说的NP问题其实都是指的NPC问题。他们没有搞清楚NP问题和NPC问题的概念。NP问题并不是那种“只有搜才行”的问题,NPC问题才是。好,行了,基本上这个误解已经被澄清了。下面的内容都是在讲什么是P问题,什么是NP问题,什么是NPC问题,你如果不是很感兴趣就可以不看了。接下来你可以看到,把NP问题当成是 NPC问题是一个多大的错误。
    还是先用几句话简单说明一下时间复杂度。时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间,而是当问题规模扩大后,程序需要的时间长度增长得有多快。也就是说,对于高速处理数据的计算机来说,处理某一个特定数据的效率不能衡量一个程序的好坏,而应该看当这个数据的规模变大到数百倍后,程序运行时间是否还是一样,或者也跟着慢了数百倍,或者变慢了数万倍。不管数据有多大,程序处理花的时间始终是那么多的,我们就说这个程序很好,具有O(1)的时间复杂度,也称常数级复杂度;数据规模变得有多大,花的时间也跟着变得有多长,这个程序的时间复杂度就是O(n),比如找n个数中的最大值;而像冒泡排序、插入排序等,数据扩大2倍,时间变慢4倍的,属于O(n^2)的复杂度。还有一些穷举类的算法,所需时间长度成几何阶数上涨,这就是O(a^n)的指数级复杂度,甚至O(n!)的阶乘级复杂度。不会存在O(2*n^2)的复杂度,因为前面的那个“2”是系数,根本不会影响到整个程序的时间增长。同样地,O (n^3+n^2)的复杂度也就是O(n^3)的复杂度。因此,我们会说,一个O(0.01*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低,尽管在n很小的时候,前者优于后者,但后者时间随数据规模增长得慢,最终O(n^3)的复杂度将远远超过O(n^2)。我们也说,O(n^100)的复杂度小于O(1.01^n)的复杂度。
    容易看出,前面的几类复杂度被分为两种级别,其中后者的复杂度无论如何都远远大于前者:一种是O(1),O(log(n)),O(n^a)等,我们把它叫做多项式级的复杂度,因为它的规模n出现在底数的位置;另一种是O(a^n)和O(n!)型复杂度,它是非多项式级的,其复杂度计算机往往不能承受。当我们在解决一个问题时,我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度,非多项式级的复杂度需要的时间太多,往往会超时,除非是数据规模非常小。
    自然地,人们会想到一个问题:会不会所有的问题都可以找到复杂度为多项式级的算法呢?很遗憾,答案是否定的。有些问题甚至根本不可能找到一个正确的算法来,这称之为“不可解问题”(Undecidable Decision Problem)。The Halting Problem就是一个著名的不可解问题,在我的Blog上有过专门的介绍和证明。再比如,输出从1到n这n个数的全排列。不管你用什么方法,你的复杂度都是阶乘级,因为你总得用阶乘级的时间打印出结果来。有人说,这样的“问题”不是一个“正规”的问题,正规的问题是让程序解决一个问题,输出一个“YES”或“NO”(这被称为判定性问题),或者一个什么什么的最优值(这被称为最优化问题)。那么,根据这个定义,我也能举出一个不大可能会有多项式级算法的问题来:Hamilton回路。问题是这样的:给你一个图,问你能否找到一条经过每个顶点一次且恰好一次(不遗漏也不重复)最后又走回来的路(满足这个条件的路径叫做Hamilton回路)。这个问题现在还没有找到多项式级的算法。事实上,这个问题就是我们后面要说的NPC问题。
    下面引入P类问题的概念:如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法,那么这个问题就属于P问题。P是英文单词多项式的第一个字母。哪些问题是P类问题呢?通常NOI和NOIP不会出不属于P类问题的题目。我们常见到的一些信息奥赛的题目都是P问题。道理很简单,一个用穷举换来的非多项式级时间的超时程序不会涵盖任何有价值的算法。
    接下来引入NP问题的概念。这个就有点难理解了,或者说容易理解错误。在这里强调(回到我竭力想澄清的误区上),NP问题不是非P类问题。NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。NP问题的另一个定义是,可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。比方说,我RP很好,在程序中需要枚举时,我可以一猜一个准。现在某人拿到了一个求最短路径的问题,问从起点到终点是否有一条小于100个单位长度的路线。它根据数据画好了图,但怎么也算不出来,于是来问我:你看怎么选条路走得最少?我说,我RP很好,肯定能随便给你指条很短的路出来。然后我就胡乱画了几条线,说就这条吧。那人按我指的这条把权值加起来一看,嘿,神了,路径长度98,比100小。于是答案出来了,存在比100小的路径。别人会问他这题怎么做出来的,他就可以说,因为我找到了一个比100 小的解。在这个题中,找一个解很困难,但验证一个解很容易。验证一个解只需要O(n)的时间复杂度,也就是说我可以花O(n)的时间把我猜的路径的长度加出来。那么,只要我RP好,猜得准,我一定能在多项式的时间里解决这个问题。我猜到的方案总是最优的,不满足题意的方案也不会来骗我去选它。这就是NP问题。当然有不是NP问题的问题,即你猜到了解但是没用,因为你不能在多项式的时间里去验证它。下面我要举的例子是一个经典的例子,它指出了一个目前还没有办法在多项式的时间里验证一个解的问题。很显然,前面所说的Hamilton回路是NP问题,因为验证一条路是否恰好经过了每一个顶点非常容易。但我要把问题换成这样:试问一个图中是否不存在Hamilton回路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了,因为除非你试过所有的路,否则你不敢断定它“没有Hamilton回路”。
    之所以要定义NP问题,是因为通常只有NP问题才可能找到多项式的算法。我们不会指望一个连多项式地验证一个解都不行的问题存在一个解决它的多项式级的算法。相信读者很快明白,信息学中的号称最困难的问题——“NP问题”,实际上是在探讨NP问题与P类问题的关系。
    很显然,所有的P类问题都是NP问题。也就是说,能多项式地解决一个问题,必然能多项式地验证一个问题的解——既然正解都出来了,验证任意给定的解也只需要比较一下就可以了。关键是,人们想知道,是否所有的NP问题都是P类问题。我们可以再用集合的观点来说明。如果把所有P类问题归为一个集合P中,把所有 NP问题划进另一个集合NP中,那么,显然有P属于NP。现在,所有对NP问题的研究都集中在一个问题上,即究竟是否有P=NP?通常所谓的“NP问题”,其实就一句话:证明或推翻P=NP。
    NP问题一直都是信息学的巅峰。巅峰,意即很引人注目但难以解决。在信息学研究中,这是一个耗费了很多时间和精力也没有解决的终极问题,好比物理学中的大统一和数学中的歌德巴赫猜想等。
    目前为止这个问题还“啃不动”。但是,一个总的趋势、一个大方向是有的。人们普遍认为,P=NP不成立,也就是说,多数人相信,存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。人们如此坚信P≠NP是有原因的,就是在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题,也即所谓的 NPC问题。C是英文单词“完全”的第一个字母。正是NPC问题的存在,使人们相信P≠NP。下文将花大量篇幅介绍NPC问题,你从中可以体会到NPC问题使P=NP变得多么不可思议。
    为了说明NPC问题,我们先引入一个概念——约化(Reducibility,有的资料上叫“归约”)。
    简单地说,一个问题A可以约化为问题B的含义即是,可以用问题B的解法解决问题A,或者说,问题A可以“变成”问题B。《算法导论》上举了这么一个例子。比如说,现在有两个问题:求解一个一元一次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说,前者可以约化为后者,意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我们可以写出两个程序分别对应两个问题,那么我们能找到一个“规则”,按照这个规则把解一元一次方程程序的输入数据变一下,用在解一元二次方程的程序上,两个程序总能得到一样的结果。这个规则即是:两个方程的对应项系数不变,一元二次方程的二次项系数为0。按照这个规则把前一个问题转换成后一个问题,两个问题就等价了。同样地,我们可以说,Hamilton回路可以约化为TSP问题(Travelling Salesman Problem,旅行商问题):在Hamilton回路问题中,两点相连即这两点距离为0,两点不直接相连则令其距离为1,于是问题转化为在TSP问题中,是否存在一条长为0的路径。Hamilton回路存在当且仅当TSP问题中存在长为0的回路。
    “问题A可约化为问题B”有一个重要的直观意义:B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说,问题A不比问题B难。这很容易理解。既然问题A能用问题B来解决,倘若B的时间复杂度比A的时间复杂度还低了,那A的算法就可以改进为B的算法,两者的时间复杂度还是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程难,因为解决前者的方法可以用来解决后者。
    很显然,约化具有一项重要的性质:约化具有传递性。如果问题A可约化为问题B,问题B可约化为问题C,则问题A一定可约化为问题C。这个道理非常简单,就不必阐述了。
    现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了:如果能找到这样一个变化法则,对任意一个程序A的输入,都能按这个法则变换成程序B的输入,使两程序的输出相同,那么我们说,问题A可约化为问题B。
    当然,我们所说的“可约化”是指的可“多项式地”约化(Polynomial-time Reducible),即变换输入的方法是能在多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间完成才有意义。
    好了,从约化的定义中我们看到,一个问题约化为另一个问题,时间复杂度增加了,问题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化,我们能够不断寻找复杂度更高,但应用范围更广的算法来代替复杂度虽然低,但只能用于很小的一类问题的算法。再回想前面讲的P和NP问题,联想起约化的传递性,自然地,我们会想问,如果不断地约化上去,不断找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题,那么最后是否有可能找到一个时间复杂度最高,并且能“通吃”所有的 NP问题的这样一个超级NP问题?答案居然是肯定的。也就是说,存在这样一个NP问题,所有的NP问题都可以约化成它。换句话说,只要解决了这个问题,那么所有的NP问题都解决了。这种问题的存在难以置信,并且更加不可思议的是,这种问题不只一个,它有很多个,它是一类问题。这一类问题就是传说中的NPC 问题,也就是NP-完全问题。NPC问题的出现使整个NP问题的研究得到了飞跃式的发展。我们有理由相信,NPC问题是最复杂的问题。再次回到全文开头,我们可以看到,人们想表达一个问题不存在多项式的高效算法时应该说它“属于NPC问题”。此时,我的目的终于达到了,我已经把NP问题和NPC问题区别开了。到此为止,本文已经写了近5000字了,我佩服你还能看到这里来,同时也佩服一下自己能写到这里来。
    NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先,它得是一个NP问题;然后,所有的NP问题都可以约化到它。证明一个问题是 NPC问题也很简单。先证明它至少是一个NP问题,再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它(由约化的传递性,则NPC问题定义的第二条也得以满足;至于第一个NPC问题是怎么来的,下文将介绍),这样就可以说它是NPC问题了。
    既然所有的NP问题都能约化成NPC问题,那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法,那么所有的NP问题都能用这个算法解决了,NP也就等于P 了。因此,给NPC找一个多项式算法太不可思议了。因此,前文才说,“正是NPC问题的存在,使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解,NPC问题目前没有多项式的有效算法,只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。
    顺便讲一下NP-Hard问题。NP-Hard问题是这样一种问题,它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条(就是说,NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广)。NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法,但它不列入我们的研究范围,因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法,NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上,由于NP-Hard放宽了限定条件,它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。
    不要以为NPC问题是一纸空谈。NPC问题是存在的。确实有这么一个非常具体的问题属于NPC问题。下文即将介绍它。
    下文即将介绍逻辑电路问题。这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约化而来的。因此,逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。
    逻辑电路问题是指的这样一个问题:给定一个逻辑电路,问是否存在一种输入使输出为True。
    什么叫做逻辑电路呢?一个逻辑电路由若干个输入,一个输出,若干“逻辑门”和密密麻麻的线组成。看下面一例,不需要解释你马上就明白了。
    ┌───┐
    │ 输入1├─→┐ ┌──┐
    └───┘ └─→┤ │
    │ or ├→─┐
    ┌───┐ ┌─→┤ │ │ ┌──┐
    │ 输入2├─→┤ └──┘ └─→┤ │
    └───┘ │ ┌─→┤AND ├──→输出
    └────────┘┌→┤ │
    ┌───┐ ┌──┐ │ └──┘
    │ 输入3├─→┤ NOT├─→────┘
    └───┘ └──┘
    这是个较简单的逻辑电路,当输入1、输入2、输入3分别为True、True、False或False、True、False时,输出为True。
    有输出无论如何都不可能为True的逻辑电路吗?有。下面就是一个简单的例子。
    ┌───┐
    │输入1 ├→─┐ ┌──┐
    └───┘ └─→┤ │
    │AND ├─→┐
    ┌─→┤ │ │
    │ └──┘ │ ┌──┐
    │ └→┤ │
    ┌───┐ │ │AND ├─→输出
    │输入2 ├→─┤ ┌──┐ ┌→┤ │
    └───┘ └→┤NOT ├→──┘ └──┘
    └──┘
    上面这个逻辑电路中,无论输入是什么,输出都是False。我们就说,这个逻辑电路不存在使输出为True的一组输入。
    回到上文,给定一个逻辑电路,问是否存在一种输入使输出为True,这即逻辑电路问题。
    逻辑电路问题属于NPC问题。这是有严格证明的。它显然属于NP问题,并且可以直接证明所有的NP问题都可以约化到它(不要以为NP问题有无穷多个将给证明造成不可逾越的困难)。证明过程相当复杂,其大概意思是说任意一个NP问题的输入和输出都可以转换成逻辑电路的输入和输出(想想计算机内部也不过是一些 0和1的运算),因此对于一个NP问题来说,问题转化为了求出满足结果为True的一个输入(即一个可行解)。
    有了第一个NPC问题后,一大堆NPC问题就出现了,因为再证明一个新的NPC问题只需要将一个已知的NPC问题约化到它就行了。后来,Hamilton 回路成了NPC问题,TSP问题也成了NPC问题。现在被证明是NPC问题的有很多,任何一个找到了多项式算法的话所有的NP问题都可以完美解决了。因此说,正是因为NPC问题的存在,P=NP变得难以置信。P=NP问题还有许多有趣的东西,有待大家自己进一步的挖掘。攀登这个信息学的巅峰是我们这一代的终极目标。现在我们需要做的,至少是不要把概念弄混淆了。
    PS:整个博文的主体内容来源于N年前看到的Matrix67的博客,我少有的持续follow的技术博客之一

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  • 概念P问题:如果一个问题可以找到一个能在多项式时间里解决它算法,那么这个问题就属于P问题。...之所以要定义NP问题,是因为通常只有NP问题才可能找到多项式算法。 所有P类问题都是NP问题。也就

    概念

    P问题:如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法,那么这个问题就属于P问题。通常NOI和NOIP不属于P类问题,我们常见到的一些信息奥赛的题目都是P问题。
    NP问题:可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。NP问题不是非P类问题。NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。之所以要定义NP问题,是因为通常只有NP问题才可能找到多项式的算法。
    所有的P类问题都是NP问题。也就是说,能多项式地解决一个问题,必然能多项式地验证一个问题的解。
    注:信息学中的号称最困难的问题——“NP问题”,实际上是在探讨NP问题与P类问题的关系。

    NP

    “NP”的全称为“Nondeterministic Polynomial”,而不是“Non-Polynomial”。NP 类问题指的是,能在多项式时间内检验一个解是否正确的问题。比如我的机器上存有一个密码文件,于是就能在多项式时间内验证另一个字符串文件是否等于这个密码,所以“破译密码”是一个 NP 类问题。NP 类问题也等价为能在多项式时间内猜出一个解的问题。这里的“猜”指的是如果有解,那每次都能在很多种可能的选择中运气极佳地选择正确的一步。
    不妨举个例子:给出 n 个城市和两两之间的距离,求找到一个行走方案,使得到达每个城市一次的总路程最短。我们可以这样来“猜测”它的解:先求一个总路程不超过 100 的方案,假设我们可以依靠极好的运气“猜出”一个行走路线,使得总长度确实不超过 100,那么我们只需要每次猜一条路一共猜 n 次。接下来我们再找总长度不超过 50 的方案,找不到就将阈值提高到75…… 假设最后找到了总长度为 90 的方案,而找不到总长度小于 90 的方案。我们最终便在多项式时间内“猜”到了这个旅行商问题的解是一个长度为 90 的路线。它是一个 NP 类的问题

    NPC

    同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先,它得是一个NP问题;然后,所有的NP问题都可以约化到它。证明一个问题是 NPC问题也很简单。先证明它至少是一个NP问题,再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它(由约化的传递性,则NPC问题定义的第二条也得以满足;至于第一个NPC问题是怎么来的,下文将介绍),这样就可以说它是NPC问题了。
    既然所有的NP问题都能约化成NPC问题,那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法,那么所有的NP问题都能用这个算法解决了,NP也就等于P 了。因此,给NPC找一个多项式算法太不可思议了。因此,前文才说,“正是NPC问题的存在,使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解,NPC问题目前没有多项式的有效算法,只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。

    约化

    约化(Reducibility,有的资料上叫“归约”。一个问题A可以约化为问题B的含义即是,可以用问题B的解法解决问题A,或者说,问题A可以“变成”问题B。《算法导论》上举了这么一个例子。比如说,现在有两个问题:求解一个一元一次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说,前者可以约化为后者,意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我们可以写出两个程序分别对应两个问题,那么我们能找到一个“规则”,按照这个规则把解一元一次方程程序的输入数据变一下,用在解一元二次方程的程序上,两个程序总能得到一样的结果。这个规则即是:两个方程的对应项系数不变,一元二次方程的二次项系数为0。按照这个规则把前一个问题转换成后一个问题,两个问题就等价了。同样地,我们可以说,Hamilton回路可以约化为TSP问题(Travelling Salesman Problem,旅行商问题):在Hamilton回路问题中,两点相连即这两点距离为0,两点不直接相连则令其距离为1,于是问题转化为在TSP问题中,是否存在一条长为0的路径。Hamilton回路存在当且仅当TSP问题中存在长为0的回路。
    “问题A可约化为问题B”有一个重要的直观意义:B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说,问题A不比问题B难。这很容易理解。既然问题A能用问题B来解决,倘若B的时间复杂度比A的时间复杂度还低了,那A的算法就可以改进为B的算法,两者的时间复杂度还是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程难,因为解决前者的方法可以用来解决后者。
    很显然,约化具有一项重要的性质:约化具有传递性。如果问题A可约化为问题B,问题B可约化为问题C,则问题A一定可约化为问题C。这个道理非常简单,就不必阐述了。
    现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了:如果能找到这样一个变化法则,对任意一个程序A的输入,都能按这个法则变换成程序B的输入,使两程序的输出相同,那么我们说,问题A可约化为问题B。
    当然,我们所说的“可约化”是指的可“多项式地”约化(Polynomial-time Reducible),即变换输入的方法是能在多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间完成才有意义。
    好了,从约化的定义中我们看到,一个问题约化为另一个问题,时间复杂度增加了,问题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化,我们能够不断寻找复杂度更高,但应用范围更广的算法来代替复杂度虽然低,但只能用于很小的一类问题的算法。再回想前面讲的P和NP问题,联想起约化的传递性,自然地,我们会想问,如果不断地约化上去,不断找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题,那么最后是否有可能找到一个时间复杂度最高,并且能“通吃”所有的NP问题的这样一个超级NP问题?答案居然是肯定的。也就是说,存在这样一个NP问题,所有的NP问题都可以约化成它。换句话说,只要解决了这个问题,那么所有的NP问题都解决了。这种问题的存在难以置信,并且更加不可思议的是,这种问题不只一个,它有很多个,它是一类问题。这一类问题就是传说中的NPC问题,也就是NP-完全问题。NPC问题的出现使整个NP问题的研究得到了飞跃式的发展。我们有理由相信,NPC问题是最复杂的问题。再次回到全文开头,我们可以看到,人们想表达一个问题不存在多项式的高效算法时应该说它“属于NPC问题”。此时,我的目的终于达到了,我已经把NP问题和NPC问题区别开了。到此为止,本文已经写了近5000字了,我佩服你还能看到这里来,同时也佩服一下自己能写到这里来。
    NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先,它得是一个NP问题;然后,所有的NP问题都可以约化到它。证明一个问题是NPC问题也很简单。先证明它至少是一个NP问题,再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它(由约化的传递性,则NPC问题定义的第二条也得以满足;至于第一个NPC问题是怎么来的,下文将介绍),这样就可以说它是NPC问题了。
    既然所有的NP问题都能约化成NPC问题,那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法,那么所有的NP问题都能用这个算法解决了,NP也就等于P了。因此,给NPC找一个多项式算法太不可思议了。因此,前文才说,“正是NPC问题的存在,使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解,NPC问题目前没有多项式的有效算法,只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。

    其他问题

    顺便讲一下NP-Hard问题。NP-Hard问题是这样一种问题,它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条(就是说,NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广)。NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法,但它不列入我们的研究范围,因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法,NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上,由于NP-Hard放宽了限定条件,它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。

    不要以为NPC问题是一纸空谈。NPC问题是存在的。确实有这么一个非常具体的问题属于NPC问题。下文即将介绍它。
    下文即将介绍逻辑电路问题。这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约化而来的。因此,逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。
    逻辑电路问题是指的这样一个问题:给定一个逻辑电路,问是否存在一种输入使输出为True。
    什么叫做逻辑电路呢?一个逻辑电路由若干个输入,一个输出,若干“逻辑门”和密密麻麻的线组成。看下面一例,不需要解释你马上就明白了。

    ┌───┐
    │ 输入1├─→┐ ┌──┐
    └───┘ └─→┤ │
    │ or ├→─┐
    ┌───┐ ┌─→┤ │ │ ┌──┐
    │ 输入2├─→┤ └──┘ └─→┤ │
    &
    nbsp;└───┘ │ ┌─→┤AND ├──→输出
    └────────┘┌→┤ │
    ┌───┐ ┌──┐ │ └──┘
    │ 输入3├─→┤ NOT├─→────┘
    └───┘ └──┘
    这是个较简单的逻辑电路,当输入1、输入2、输入3分别为True、True、False或False、True、False时,输出为True。
    有输出无论如何都不可能为True的逻辑电路吗?有。下面就是一个简单的例子。
    ┌───┐
    │输入1 ├→─┐ ┌──┐
    └───┘ └─→┤ │
    │AND ├─→┐
    ┌─→┤ │ │
    │ └──┘ │ ┌──┐
    │ └→┤ │
    ┌───┐ │ │AND ├─→输出
    │输入2 ├→─┤ ┌──┐ ┌→┤ │
    └───┘ └→┤NOT ├→──┘ └──┘
    └──┘
    上面这个逻辑电路中,无论输入是什么,输出都是False。我们就说,这个逻辑电路不存在使输出为True的一组输入。
    回到上文,给定一个逻辑电路,问是否存在一种输入使输出为True,这即逻辑电路问题。
    逻辑电路问题属于NPC问题。这是有严格证明的。它显然属于NP问题,并且可以直接证明所有的NP问题都可以约化到它(不要以为NP问题有无穷多个将给证明造成不可逾越的困难)。证明过程相当复杂,其大概意思是说任意一个NP问题的输入和输出都可以转换成逻辑电路的输入和输出(想想计算机内部也不过是一些 0和1的运算),因此对于一个NP问题来说,问题转化为了求出满足结果为True的一个输入(即一个可行解)。

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    下面引入P类问题概念:如果一个问题可以找到一个能在多项式时间里解决它算法,那么这个问题就属于P问题。P是英文单词多项式第一个字母。... 接下来引入NP问题的概念。这个就有点难理解了,或者说容易理解
  • 时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间,而是当问题规模扩大后,程序需要时间长度增长得有多快。 常见复杂度: 不管数据有多大,程序处理花时间始终是那么多,我们就说这个程序很好,...
  • 常见的问题

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    使用print(tensor)时,中间有省略号。...np.set_printoptions(threshold=np.inf) tensorflow中屏蔽输出log信息方法 TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL 取值 0 : 0也是默认值,输出所有信息 TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL 取...
  • NP-hard问题证明

    千次阅读 2019-02-23 12:26:07
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