前言
研究各种常见的数学条件的给出方式，能帮助我们更好的理解题意，更快的入题。
案例：正切值的给出方式
- 限定条件以简单变形形式给出，如已知\(tan\theta=2\)，求\(\cfrac{sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\cfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=2\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\theta\)角的终边过点\((4，3)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\theta\)角的终边在直线\(3x+4y=0\)上，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知如图，\(\tan\theta=AT\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\sin\theta=2\cos\theta\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\tan2\theta=-\cfrac{4}{3}\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\sin(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)=\cos(\cfrac{\pi}{6}+\alpha)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
以双曲线的渐近线的夹角形式给出
案例：直线斜率的给出方式
利用斜率\(k=\tan\alpha\)的定义；
利用过两点的坐标，
利用导函数\(k=f'(x_0)\)给出，
如若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，则\(k=tan\alpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4\)。
- 利用函数的切线的方向向量的坐标。
案例 ： 圆的给出方式
定义式：\(|OA|=r\)
方程式：标准式方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)；
一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)\)；
直径式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)(其中圆的直径的端点是\(A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)\))。
参数式：\(x=r\cdot cos\theta，y=r\cdot sin\theta\)或\((r\cdot cos\theta，r\cdot sin\theta)\)
极坐标式：\(\rho=3，\theta\in [0，2\pi)\)
向量式：已知点\(M\)为曲线上的动点，点\(A,B\)为两个定点，且满足关系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，则点\(M\)的轨迹方程是圆。
引申：若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}>0\)，则点\(M\)在以\(AB\)为直径的圆外部；若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}<0\)，则点\(M\)在以\(AB\)为直径的圆内部；
案例 ：三点共线的给出方式或证明思路
向量表示形式：\(\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)或\(\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}\)
距离表示形式：\(|AB|+|BC|=|AC|\)
斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
案例 ： 等差数列的给出方式
直接给出：\(a_{n+1}-a_n=3\)
变形给出：\(a_{n+1}=a_n+3\)
运算给出：\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0\)，\(a_n>0\)
向量给出：\(\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1，a_{n+1}-a_n)=(1，3)\)
案例 ：对称中心的给出方式
直接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)的对称中心是\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)
间接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)过点是\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
间接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)，满足\(\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\, dx=0\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
隐晦给出：如函数满足\(f(x)+f(\cfrac{2\pi}{3}-x)=0\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
案例 ：相等关系的给出方式
直接给出：如\(f(2)=4\)，
以不等关系给出：如\(2x\leq f(x)\leq \cfrac{1}{2}x^2+2\)对任意\(x\in R\)恒成立，则赋值可得\(4\leq f(2)\leq 4\)，即\(f(2)=4\)；
再比如\(|k|\leq 0\)，即等于给出\(k=0\)；\((m-1)^2\leq 0\)，即等于给出\(m=1\)；
案例 ：不等式的解的给出方式
直接给出：\(x=1\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解，求\(a\)的范围。
间接给出：集合\(\{1\}\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解集\(A\)的真子集，求\(a\)的范围。
间接给出：\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)是真命题，求\(a\)的范围；\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a> 0\)是假命题，求\(a\)的范围。
隐晦给出：集合\(A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}\)，\(1\notin A\)，求\(a\)的范围；
案例 ：函数的性质的给出方式
案例 ：ω的给出方式
直接给出：函数\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{3}\)，即新的\(\omega=3\)；
间接给出：\(f(x)=2sin(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标扩大了\(2\)倍，即图像的横坐标扩大为原来的\(3\)倍，即新的\(\omega=\cfrac{1}{3}\)；
间接给出：\(f(x)=2tan\omega x(\omega>0)\)的图像的相邻两支截直线\(y=2\)所得的线段长为\(\cfrac{\pi}{2}\)，即\(T=\cfrac{\pi}{\omega}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\omega=2\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两个最高(低)点之间的距离是3，即\(T=3\)，求得\(\omega=\cfrac{2\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的最高点和最低点之间的距离是5，由勾股定理求得\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两个零点之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两条对称轴之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻对称轴和零点之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{4}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{6}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的最高点和零点之间的距离是\(2\sqrt{2}\)，由勾股定理求得\(\cfrac{T}{4}=2\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{4}\)；
案例 ：二次函数的系数的给出方式
直接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)的系数\(a=?\)，
间接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，有且只有一个零点，则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；
间接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，\(f(x)\)的值域为\([0，+\infty)\)，则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；
案例 ：数列的周期性的给出方式：
- \(a_{n+2}=a_n\)或\(a_{n+2}-a_n=0\)；则数列的\(T=2\)；
分析：类比\(f(n+2)=f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x)\)；
- \(a_{n+2}=-a_n\)或 \(a_{n+2}+a_n=0\)；则数列的\(T=4\)；
分析：类比\(f(n+2)=-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=-f(x)\)；
- \(a_{n+2}=\cfrac{k}{a_n}\)或\(a_{n+2}\cdot a_n=k\)；\(k\)为常数；等积数列，则数列的\(T=4\)；
分析：类比\(f(n+2)=\cfrac{k}{f(n)}\)，再类比\(f(x+2)=\cfrac{k}{f(x)}\)；
- \(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)或\(a_{n+2}+a_n=a_{n+1}\)；则数列的\(T=6\)；
分析：类比\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\)；
- \(a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1)\)；通过计算前面的有限项得到周期；
案例 ：分段函数的给出方式
直接给出：函数\(f(x)=\begin{cases}2x+a,&x< 1\\-x-2a,&x\ge 1 \end{cases}\).
间接给出：已知奇函数\(f(x)\)满足\(x>0\)时，\(f(x)=2^x\)，则利用奇偶性可知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x，x>0}\\{0，x=0}\\{-2^{-x}，x<0}\end{array}\right.\)
用程序框图给出：
案例 ：线段等分点的向量给出方式
二等分点(中点)：\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的中点；即\(|OA|=|OB|\)；
三等分点：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的三等分点；即\(|OA|=2|OB|\)；
相关变形技巧：\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，
将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，
如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，
即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
四等分点：\(\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的四等分点；即\(|OA|=3|OB|\)；
案例 ：三角形的重心的给出方式
直接给出：点\(O\)是\(\triangle ABC\)的重心；
间接给出：点\(O\)是\(\triangle ABC\)的边\(BC\)上的靠近\(BC\)上的三等分点；
间接给出：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，点\(O\)是中位线\(DE\)的三等分点，是\(\triangle BCD\)的重心；
间接给出：\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，点\(O\)是中位线\(DE\)的三等分点，是\(\triangle BCD\)的重心；
间接给出：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}\)，点\(D\)是\(\triangle ABC\)的重心；
案例：长度型几何概型的事件的给出方式
在区间\([-5，5]\)上随机取一个数\(k\)，则事件\(A：\)“直线\(y=kx\)与圆\((x-5)^2+y^2=9\)相交”发生的概率为____________。
则①以直线和圆相交的方式给出；
比如，在区间\([-1，1]\)上随机取一个数\(k\)，则事件“直线\(y=kx\)与圆\((x-5)^2+y^2=9\)相交”发生的概率为____________.
②以定义域的方式给出；
比如，记函数\(f(x)=\sqrt{6+x-x^2}\)的定义域为\(D\)，在区间\([4，5]\)上随机取一个数\(x\)，则\(x\in D\)的概率为______________。
③以函数单调递增的方式给出，比如使得函数\(f(x)=x^3+mx^2+3x\)在\(R\)上单调递增的概率，即求\(f'(x)\ge 0\)的解集；
④以不等式的解集形式给出，比如\(A=\{x\mid \cfrac{x-1}{2-x}>0\}\)；
⑤以三角不等式的形式给出，比如\(A：sinx+\sqrt{3}cosx\leq 1\)；
