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  • 二阶系统分析

    2020-03-10 17:55:43
    我在学习自控原理过程中,起初面对二阶系统感到费解,主要原因在于没有实际对照的物理模型和参数物理意义。为此,我专门对二阶系统进行了深入的分析了理解,对其物理含义有了直观的认识,并整理成文与大家分享。 ...

    我在学习自控原理过程中,起初面对二阶系统感到费解,主要原因在于没有实际对照的物理模型和参数物理意义。为此,我专门对二阶系统进行了深入的分析了理解,对其物理含义有了直观的认识,并整理成文与大家分享。
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  • 二阶系统的性能一个典型的二阶系统如图所示输入输出关系为考虑单位脉冲函数的输入(拉普拉斯变换为1),系统输出为对应的瞬态响应为二阶控制系统的典型阶跃响应如下图所示(欠阻尼系统)系统的瞬态响应性能主要体现...
    控制系统本质上是时域系统

    常见的标准测试信号有单位脉冲信号(测试系统对冲击的抵抗能力),阶跃信号(测试系统对输入的响应能力),斜坡信号和抛物线信号(测试系统对一阶和二阶轨迹的跟随能力)。

    二阶系统的性能

    一个典型的二阶系统如图所示

    f2760947e0a1838f4ec557b6097f2e4a.png

    输入输出关系为

    62db80974f4d859fe38e7ad183f4d3b4.png

    考虑单位脉冲函数的输入(拉普拉斯变换为1),系统输出为

    a2110d15a6e82b0da07f2e8e932e31c1.png

    对应的瞬态响应为

    533a6c9b628b333e88a05075fd453ab7.png

    二阶控制系统的典型阶跃响应如下图所示(欠阻尼系统)

    ee533575e6a55eef6bd9626d50ce13ea.png

    系统的瞬态响应性能主要体现在以下两个方面

    • 响应的快速性:由上升时间和峰值时间表征
    • 实际相应对预期响应的逼近程度:由超调量和调节时间表征

    这些量的计算公式如下,通过公式可以看到系统瞬态响应性能的两个方面是相互冲突的。

    99b1ba17acc3d2b202575b206a9ec750.png
    调节时间(误差为2%时,近似表达)

    47c4a14902d570e3a31102e4544e1b18.png

    c6824be997cbe57290e5ee797223d778.png
    峰值时间

    ffe8101f943e62ddabb5e1362d5de77e.png
    上升时间(近似表达)

    一些结论:

    • 误差要求为2%时,调节时间约为时间常数的4倍
    • 阻尼比越大,超调量越小-->系统对乐器响应的逼近程度越好;同时峰值时间增加-->系统响应的快速性减弱
    • 给定阻尼比,当系统频率增加时,系统响应变快,且超调量不变
    • 给定系统频率,阻尼比越小,系统响应速度越快,但是逼近程度减小

    高阶系统的简化分析

    • 具有一堆主导极点的高阶系统,可用和高阶系统具有相同主导极点的二阶系统近似,以避免复杂的运算。
    • 系统同时收到零点的影响,具有零点的二阶及更高阶的系统需要另行分析

    系统阻尼的简单辨识

    二阶系统在调节时间内可观测到的振荡的次数约为

    092b23ffd442297e8090de5467f917d7.png

    可以以此来对系统阻尼进行粗略辨识。


    反馈控制系统的稳态误差

    忽略测量噪声和干扰信号时,单位负反馈系统的跟踪误差为

    9f07db4cef22b701ecebc67439ed1e51.png

    由终值定理得,稳态跟踪误差为

    26aae268409e1708db28202b52880e08.png

    可以看到,稳态误差完全由开环传递函数决定。

    若开环传递函数中有N个积分器,则该系统得型数为N

    可将阶跃信号视为0次曲线,斜坡信号视为1次曲线,抛物线信号视为2次曲线。

    若系统型数大于信号的次幂数,则系统稳态误差为0,若系统型数等于信号的次幂数,则系统稳态误差为常数;若系统型数小于信号的次幂数,则系统稳态误差为无穷大

    对应关系如下表。该表中阶跃响应的稳态误差和其他两个信号不同,因为阶跃信号不连续

    aaa609bd671efa19028da1c52c7630f7.png

    位置误差常数、速度误差常数和加速度误差常数很有规律,分别为

    ebab684aee126c7857dd97175650e4e4.png
    位置误差常数

    d4a4184d9c7ecca8bdd58cedc885ad7b.png
    速度误差常数

    895d2470bf43c299d586770114bae72c.png
    加速度误差常数

    综合性能指标

    综合性能指标包括误差平方积分指标,误差绝对值积分指标,时间误差积积分指标,时间误差平方积积分指标

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  • 二阶系统模型

    2021-02-16 23:24:30
    经典数学模型线性系统 线性系统 R-L-C震荡电路 微分方程形式: 根据克希荷夫定律,电路平衡方程 ur(t)=Ldi(t)dt+Ri(t)+1C∫idtuc=1C∫idt u_r(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{}{}i\...

    经典数学模型

    线性系统

    1. R-L-C震荡电路

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-JsXIIO4n-1613488245941)(%E5%9B%BE%E7%89%87/RLC.png)]

    • 微分方程形式:

    根据克希荷夫定律,电路平衡方程
    ur(t)=Ldi(t)dt+Ri(t)+1Cidtuc=1Cidt u_r(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t\\ u_c=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t
    消去中间变量i(t)i(t),整理得:
    d2uc(t)dt2+RLduc(t)dt+1LCuc(t)=1LCur(t) \frac{\text{d}^2u_c(t)}{\text{d}t^2}+\frac{R}{L}\frac{\text{d}u_c(t)}{\text{d}t}+\frac{1}{LC}u_c(t)=\frac{1}{LC}u_r(t)

    • 传递函数形式:

    G(s)=UcUr=1LCs2+RLs+1LC=wn2s2+2ξwns+wn2 G(s)=\frac{U_c}{U_r}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2}

    • 动态方程形式:

    动态系统:能储存输入信息(或能量)得系统。

    状态变量
    x1=i,x2=1Cidt x_1=i,x_2=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t
    状态方程为
    x1˙=RLx11Lx2+1Lurx2˙=1Cx1 \dot{x_1}=-\frac{R}{L}x_1-\frac{1}{L}x_2+\frac{1}{L}u_r\\ \dot{x_2}=\frac{1}{C}x_1
    输出方程
    y=x2 y=x_2
    整理可得动态方程为:
    x˙=Ax+Bury=Cx \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx}
    其中
    A=[RL1L1C0]B=[1L0]C=[01] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} -\frac{R}{L}&-\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}&0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} \frac{1}{L}\\0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix}

    1. 弹簧-质量-阻尼器系统

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-t2EsJnFf-1613488245943)(%E5%9B%BE%E7%89%87/MKF.png)]

    • 微分方程形式:

    d2y(t)dt2+fmdy(t)dt+kmy(t)=u(t)m \frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{f}{m}\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+\frac{k}{m}y(t)=\frac{u(t)}{m}

    • 传递函数形式:

    G(s)=UY=1ms2+fms+km=wn2ks2+2ξwns+wn2 G(s)=\frac{U}{Y}=\frac{\frac{1}{m}}{s^2+\frac{f}{m}s+\frac{k}{m}}=\frac{\frac{w_n^2}{k}}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2}

    • 动态方程形式:

    状态变量
    x1(t)=y(t),x2=y˙(t) x_1(t)=y(t),\quad x_2=\dot{y}(t)
    状态方程
    x1˙=x2x2˙=kmx1fmx2+1mu \dot{x_1}=x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{k}{m}x_1-\frac{f}{m}x_2+\frac{1}{m}u
    输出方程
    y=x2 y=x_2
    整理可得动态方程为:
    x˙=Ax+Bury=Cx \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx}
    其中
    A=[01kmfm]B=[01m]C=[10] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{f}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 0\\\frac{1}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix}

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  • 二阶系统在不同参数下对单位阶跃信号的响应 一二阶系统 所谓二阶系统就是其输入信号输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统比如 常见的 RLC 电路图a 单自由度振动系统等 图a 图b 二阶系统传递函数的标准形式为 ...
  • 阶系统在不同参数下对单位阶跃信号的响应 二阶系统 所谓二阶系统就是其输入信号输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统比 如常见的RLC电路图a单自由度振动系统等 LIDIJ LI DI J 1 EQ r 阶系统传递函数的标准...
  • MATLAB下二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统在不同参数下对单位阶跃信号的响应 一、二阶系统 所谓二阶系统就是其输入信号、输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统。比如常见的RLC电路(图a)、单自由度振动系统等...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifMATLAB下二阶系统的单位阶跃响应

    二阶系统在不同参数下对单位阶跃信号的响应 一、二阶系统 所谓二阶系统就是其输入信号、输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统。比如常见的RLC电路(图a)、单自由度振动系统等。 图a 图b 二阶系统传递函数的标准形式为 二、二阶系统的Bode图(=1) MATLAB程序为 >> clear >> num=[1]; >> den=[1 0.2 1]; >> bode(num,den); grid on hold on den=[1 0.4 1]; bode(num,den); >> den=[1 0.6 1]; >> bode(num,den); >> den=[1 0.8 1]; >> bode(num,den); >> den=[1 1.4 1]; >> bode(num,den); >> den=[1 2 1]; >> bode(num,den); >> legend( 0.1 , 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7 , 1.0 ) 运行结果为 三、二阶系统对单位阶跃信号的响应(=1) MATLAB程序为 >> clear >> num=[1]; >> den=[1 0 1]; >> t=0:0.01:25; >> step(num,den,t) >> grid on >> hold on >> den=[1 0.2 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 0.4 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 0.6 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 0.8 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 1.0 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 1.2 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 1.4 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 1.6 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 1.8 1]; >> step(num,den,t) >> den=[1 2.0 1]; >> step(num,den,t) >> legend( 0 , 0.1 , 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8 , 0.9 , 1.0 ,-1) 执行结果为 由上面2图可得结论: 1、=0(无阻尼)时,系统处于等幅振荡,超调量最大,为100%,并且系统发生不衰减的振荡,永远达不到稳态。 2、0> clear >> num=[1]; >> den=[1 0.6 1]; >> t=0:0.01:25; >> step(num,den,t) >> grid on >> hold on >> num=[25]; >> den=[1 3 25]; >> num=[100]; >> den=[1 6 100]; >> step(num,den,t) >> clear >> num=[1]; >> den=[1 0.6 1]; >> t=0:0.01:25; >> step(num,den,t) >> grid on >> hold on >> num=[25]; >> den=[1 3 25]; >> step(num,den,t) >> num=[100]; >> den=[1 6 100]; >> step(num,den,t) >> legend( wn=1 , wn=5 , wn=10 ,-1) 执行结果为 由上图可得结论 1.二阶系统有相同的和不同的时,振荡特性相同但是响应速度不同,越大响应速度越快。

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  • 随着科学技术的不断的向前发展,人类社会的不断进步。自动化技术取得了巨大的进步,自动控制技术广泛应用于制造业、农业、交通、航空及航天等众多...因此我们有必要对一些典型、常见的控制系统进行设计或者是研究分析。
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空空如也

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