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  • 常见的二阶系统
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    2021-04-23 10:39:19

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    86614f4a739f4b2832d9f1b3021f5fd9.png

    控制理论的第一课往往以拉普拉斯变换开头,但往往让人困惑的也是这个拉普拉斯变换,为什么要做这样一个变换?先来看个电路的例子:

    fd23575c6cf54f6f470154893356ede2.png

    由电路知识,可以列写方程:

    拿到了这个方程,如果没学过微分方程的解法,该怎么办?

    1887年,Oliver Heaviside遇到了这个问题,他拿到了类似的微分方程,里面有一阶导数、二阶导数等等,这位大佬看着一阶、二阶这些阶数,突然想到了一个对应关系,如果我们把求一次导看成乘一次数,这不就简单了吗?例如:

    Oliver随后引入了传递函数的概念,即:

    他根据工程经验进行了验证,发现这种变换分析电子电路时可以采用。

    但问题同样也出现了,这种变换有没有什么数学依据,虽然工程上可以这样变换。

    为这种变换找个数学上靠谱的依据不是容易事,1940年左右,有可能是一位数学家的跨行研究导致,人们才意识到,早在1782年,Pierre-Simon-Laplace导出的拉普拉斯变换,早就涵盖了这种方法。

    于是,带着探索之心,工程界的众人拿起了数学课本,开始审视拉普拉斯变换。

    一个函数

    的Laplace变换定义为

    知乎上另一篇文章具体解释了为何能得出Oliver的结果:

    李寒潭:【自动控制原理】1.传递函数​zhuanlan.zhihu.com
    首先, 定义复空间上两个函数
    的内积

    易证
    是复空间中的一组正交基。那么根据
    内积的意义——一个函数与另一个函数的内积,是这个函数在另一个函数方向上的 投影,可得实函数
    在复空间基底
    上的投影为

    为方便起见,令
    表示虚变量。(我们后面可以看到它更深层的意义。)则可将该投影式记为

    (这里的s与实数域中的t相对应,都表示空间上的变量)
    同理可证
    在实空间中的投影。

    有了实空间中
    与复空间中
    的一一对应投影关系,我们就可以通过在复空间中对
    进行分析和运算,从而获知实空间中
    的性质和运算结果。在做这件事情之前,首先需要对实空间和复空间中的运算关系进行定义。

    定义微分算子(这里的define等号表示的是对应关系,而不表示相等)

    这是因为
    (设初值为0)

    从复空间中微分算子的定义就可以看出选择
    作为基底的好处了。因为复指数函数有一个最大的优点,就是对它求导等于它自身乘一个数。因此,当我们在实空间中对
    求一次导数时,在复空间中只需要将它对应的投影式乘以微分算子
    。这样就极大地简化了求导运算。

    类似可定义积分算子为

    即对
    进行一次积分,只需对其投影式除以

    拿到了数学上的依据,传递函数获得了自己的根基,正式走入了课本。也拥有了正式的定义

    传递函数是指零初始条件下线性时不变系统响应(即输出)量的拉普拉斯变换(或z变换)与激励(即输入)量的拉普拉斯变换之比。

    拉普拉斯变换从形式上看比较麻烦,所幸控制工程师无需过于纠结,毕竟有整理好的表格

    拉普拉斯变换表 - 百度文库​wenku.baidu.com

    除了从微分方程导出传递函数,一些典型环节的传递函数经常用到,有时候还需要处理多个系统连接的情况,需要用到梅森增益公式、结构图化简等技巧。(不作展开)

    https://www.bilibili.com/video/av71857275?from=search&seid=5072051921356333345​www.bilibili.com https://www.bilibili.com/video/av40046656?p=4​www.bilibili.com

    (2.3-2.4)

    但是,当我们重新审视传递函数定义时,线性时不变系统,这个词让人有点棘手,因为工程里很少有这样的系统,虽然我们可以使用后续的非线性特性来处理,然而在这里,我们可以简单的线性化。线性化的基础是泰勒展开。详见下个链接

    [图文]微分方程的线性化 - 百度文库​wenku.baidu.com

    另一种方式可以设计补偿环节,使得系统非常接近线性时不变。

    参考文献:

    1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272

    2、线性系统理论与设计,Chi-Tsong Chen著

    3、控制系统设计指南,George Eills著

    System control:控制理论基础(二)时域分析与稳定性​zhuanlan.zhihu.com
    ecd3052b7f03b98df00cd2a3bb8408d0.png
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  • 一阶和二阶系统的动态特性参数

    千次阅读 2021-03-07 11:13:00
    检测系统的时域动态性能指标一般都是用阶跃输入时检测系统的输出响应,即过渡过程曲线上的特性参数来表示。1.一阶系统的时域动态特性参数一阶测量系统时域动态特性参数主要是时间常数及与之相关的输出响应时间。(1)...

    检测系统的时域动态性能指标一般都是用阶跃输入时检测系统的输出响应,即过渡过程曲线上的特性参数来表示。

    1.一阶系统的时域动态特性参数

    一阶测量系统时域动态特性参数主要是时间常数及与之相关的输出响应时间。

    (1)时间常数

    3c52497151b26bd35ebb27edad10643f.gif

    时间常数是一阶系统的最重要的动态性能指标,一阶测量系统为阶跃输入时,其输出量上升到稳态值的63.2%所需的时间,就为时问常数

    4feb46aa264922203ec41de66aa1961d.gif。一阶测量系统为阶跃输入时响应曲线的初始斜率为1/

    8356200d74f482a96a8b93788a2fd3f2.gif

    (2)响应时间

    3901294fc984e85f5df9f8cc88f67d6f.gif

    当系统阶跃输入的幅值为a时,对一阶测量系统传递函数式(1-54)进行拉氏反变换,得一阶测量系统的对阶跃输入的输出响应表达式为

    47a28c4f06f5b185f31e5c13d3df6a57.gif(1)

    其输出响应曲线如图1所示。

    从式(1)和图1,可知一阶测量系统响应y(t)随时间t增加而增大,当t=∞时趋于最终稳态值,即y(∞)=ka。理论上,在阶跃输入后的任何具体时刻都不能得到系统的最终稳态值,即总是y (t(这时有一阶测量系统的输出y (4τ)≈ y (∞)×98.2%=0.982ka)当作一阶测量系统对阶跃输入的输出响应时间。一阶检测系统的时间常数越小,其系统输出的响应就越快。顺便指出,在某些实际工程应用中根据具体测量和试验需要,也有把tr=5

    eb0bcd55557790ca6984b528e224c818.gif或tr=3

    c86426e73670ea72bf0e1fb632c50e27.gif作为一阶测量系统对阶跃输入输出响应时间的情况。

    b4bc15242fcfa98b0b39ae871ba73483.gif

    图1 一阶测量系统对阶跃输入的响应

    2.二阶系统的时域动态特性参数和性能指标

    对二阶测量系统,当输入信号x(t)为幅值等于a的阶跃信号时,通过对二阶测量系统传递函数式进行拉氏反变换,可得常见二阶测量系统(通常有0<

    2ba88bbc50a5b4b3ab41b65d476f34cb.gif<1,称为欠阻尼)的对阶跃输入的输出响应表达式

    2e5dde1ea9c381c2343e3009a7d76cc4.gif

    上式右边括号外的系数与一阶测量系统阶跃输入时的响应相同,其全部输出由二项叠加而成。其中一项为不随时间变化的稳态响应ka,另一项为幅值随时间变化的阻尼衰减振荡(暂态响应)。暂态响应的振荡角频率wd称为系统有阻尼自然振荡角频率。暂态响应的幅值按指数

    30927904ec82456fe3904867379459a8.gif规律衰减,阻尼比善愈大暂态幅值衰减愈快。如果

    2e42c690aa1296d12cbdb775e0e90efa.gif=0,则二阶测量系统对阶跃的响应将为等幅无阻尼振荡;如果

    0eb93410837bc17c1d675d2b260e3560.gif=1,称为临界阻尼,这时二阶测量系统对阶跃的响应为稳态响应ka叠加上一项幅值随时间作指数减少的暂态项,系统响应无振荡;如果

    87cde930af45ffa86cf2c5bbfbcd1156.gif>;1,称为过阻尼,其暂态响应为两个幅值随时间作指数减少的暂态项,且因其中一个衰减很快(通常可忽略其影响)。整个系统响应与一阶系统对阶跃输入响应相近,可把其近似地作为一阶系统分析对待。在阶跃输入下,不同阻尼比对(二阶测量)系统响应的影响如图2所示。

    55c28fbda8ca4be0b3893bdeea7a00b5.gif

    图2 阶跃输入下,二阶测量(不同阻尼比对)响应

    可见,阻尼比

    8de2a428843c0c8496c5cfa18d948537.gif和系统有阻尼自然振荡角频率

    758a483fae47ce9777f0ddf61804bd71.gif是二阶测量系统最主要的动态时域特性参数。常见0<

    2f31d965a9522568d4da3db01757609a.gif<1衰减振荡型二阶系统的时域动态性能指标示意图如图3所示。表征二阶测量系统在阶跃输入作用下时域主要性能指标主要如下:

    (1)延迟时间td系统输出响应值达到稳态值的50%所需的时间,称为延迟时间。

    (2)上升时间tr系统输出响应值从10%到达90%稳态值所需的时间,称为上升时间。

    816145bfe82e28c1b13c20597d88a67d.gif

    图3 二阶系统的时域动态性能指标不恿图

    (3)响应时间ts在响应曲线上,系统输出响应达到一个允许误差范围的稳态值,并永远保持在这一允许误差范围内所需的最小时间,称为响应时间。根据不同的应用要求,允许误差范围取值不同,对应的响应时间也不同。工程中多数选系统输出响应第一次到达稳态值的95%或98%(也即允许误差为±5%或±2%)的时间为响应时间。

    (4)峰值时间tp输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间,称为峰值时间。因为峰值时间与超调量相对应,所以峰值时间等于阻尼振荡周期的一半,即tp=t/2。

    (5)超调量σ超调量为输出响应曲线的最大偏差与稳态值比值的百分数,即

    σ=[ y (tp)-y(∞)]/y(∞)×100%

    (6)衰减率d 衰减振荡型二阶系统过渡过程曲线上相差一个周期t的两个峰值之比称为衰减率。

    上述衰减振荡型二阶检测系统的动态性能指标、相互关系及计算公式如表1所示。

    表1 0<

    fad0ecbcaea66c2c48ff5664763ce5e1.gif<1二阶检测系统时域动态性能指标

    504968dbb1683022c2d4e4ca636a966c.gif

    3.检测系统的频域动态性能指标

    检测系统的频域动态性能指标由检测系统的幅频特性和相频特性的特性参数来表示,主要有通频带与工作频带以及系统固有角频率。

    (1)系统的通频带与工作频带

    如果一个检测系统,其输出y(t)与输入x(t)之间满足

    y(t)=ax(t-τ) (2)

    即系统的输出与输入之间有一个数值为a的固定放大倍数和相移为

    03588155cc0d845245daa143e9b8e7c2.gif的延时。这样的系统称为完全不失真系统。在工程上,完全不失真系统难于实现。一些设计较好的检测系统通常也只在一定的频度范围内使幅频特性曲线保持一段较为平坦的近似水平的线段(在这一范围a近似不变)。工程上,把幅频放大倍数大于

    4aff2a4b944d39578d95c6d0fca3e6ed.gif的范围叫通频带。而检测系统的相频特性近似线性的范围一般比通频带小得多。为使检测系统有较高的精度,应选检测系统相频特性近似线性或幅频特性近似水平的频率范围为系统的工作频带。

    (2)系统的固有频率

    当|h(jω)|= |h(jω)|max时所对应的频率称为系统固有角频率w0。知道和确定了检测系统的固有角频率w0,就可以确定该系统可测信号的频率范围,以保证测量获得较高的精度,这在设计和选用检测仪器和检测系统时是非常重要的。

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    二阶系统的性能

    一个典型的二阶系统如图所示

    f2760947e0a1838f4ec557b6097f2e4a.png

    输入输出关系为

    62db80974f4d859fe38e7ad183f4d3b4.png

    考虑单位脉冲函数的输入(拉普拉斯变换为1),系统输出为

    a2110d15a6e82b0da07f2e8e932e31c1.png

    对应的瞬态响应为

    533a6c9b628b333e88a05075fd453ab7.png

    二阶控制系统的典型阶跃响应如下图所示(欠阻尼系统)

    ee533575e6a55eef6bd9626d50ce13ea.png

    系统的瞬态响应性能主要体现在以下两个方面

    • 响应的快速性:由上升时间和峰值时间表征
    • 实际相应对预期响应的逼近程度:由超调量和调节时间表征

    这些量的计算公式如下,通过公式可以看到系统瞬态响应性能的两个方面是相互冲突的。

    99b1ba17acc3d2b202575b206a9ec750.png
    调节时间(误差为2%时,近似表达)

    47c4a14902d570e3a31102e4544e1b18.png

    c6824be997cbe57290e5ee797223d778.png
    峰值时间

    ffe8101f943e62ddabb5e1362d5de77e.png
    上升时间(近似表达)

    一些结论:

    • 误差要求为2%时,调节时间约为时间常数的4倍
    • 阻尼比越大,超调量越小-->系统对乐器响应的逼近程度越好;同时峰值时间增加-->系统响应的快速性减弱
    • 给定阻尼比,当系统频率增加时,系统响应变快,且超调量不变
    • 给定系统频率,阻尼比越小,系统响应速度越快,但是逼近程度减小

    高阶系统的简化分析

    • 具有一堆主导极点的高阶系统,可用和高阶系统具有相同主导极点的二阶系统近似,以避免复杂的运算。
    • 系统同时收到零点的影响,具有零点的二阶及更高阶的系统需要另行分析

    系统阻尼的简单辨识

    二阶系统在调节时间内可观测到的振荡的次数约为

    092b23ffd442297e8090de5467f917d7.png

    可以以此来对系统阻尼进行粗略辨识。


    反馈控制系统的稳态误差

    忽略测量噪声和干扰信号时,单位负反馈系统的跟踪误差为

    9f07db4cef22b701ecebc67439ed1e51.png

    由终值定理得,稳态跟踪误差为

    26aae268409e1708db28202b52880e08.png

    可以看到,稳态误差完全由开环传递函数决定。

    若开环传递函数中有N个积分器,则该系统得型数为N

    可将阶跃信号视为0次曲线,斜坡信号视为1次曲线,抛物线信号视为2次曲线。

    若系统型数大于信号的次幂数,则系统稳态误差为0,若系统型数等于信号的次幂数,则系统稳态误差为常数;若系统型数小于信号的次幂数,则系统稳态误差为无穷大

    对应关系如下表。该表中阶跃响应的稳态误差和其他两个信号不同,因为阶跃信号不连续

    aaa609bd671efa19028da1c52c7630f7.png

    位置误差常数、速度误差常数和加速度误差常数很有规律,分别为

    ebab684aee126c7857dd97175650e4e4.png
    位置误差常数

    d4a4184d9c7ecca8bdd58cedc885ad7b.png
    速度误差常数

    895d2470bf43c299d586770114bae72c.png
    加速度误差常数

    综合性能指标

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空空如也

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