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  • 常见的几类误差是
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    2019-10-21 15:52:24

    数据的误差分为两类:

    1.抽样误差

    是一种随机性误差;
    引起:抽样的随机性
    只出现在概率抽样中;
    只要采用概率抽样,抽样误差就是不可避免的
    抽样误差是可计算的
    抽样误差是可控制的,主要通过改变样本量来控制;

    2.非抽样误差

    出现在概率抽样、非概率抽样、全面调查中;
    可控制,但不可计算;
    非抽样误差可分为:

    1. 抽样框误差
      只出现在概率抽样中(因为只有概率抽样需要抽样框)。
    2. 回答误差
      主要有理解误差、记忆误差、有意识误差。
      记忆误差,是一种随机误差,最终结果是具有趋中的倾向;
      有意识误差,是一种系统误差,偏向一个方向;
    3. 无回答误差
      有时是随机的,有时是系统的。
      不因调查内容的无回答是随机的,可通过增大样本量来解决;
      因调查内容的无回答是系统性误差。
    4. 调查员误差
    5. 测量误差
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  • 计算方法(一):误差

    千次阅读 2021-03-01 21:29:31
    本文主要介绍误差的种类,绝对误差、相对误差及有效数字的关系,数值运算中的误差传播规律,以及数值运算中应注意的原则

    误差

    误差的分类

    1、模型误差:用数值计算方法解决实际问题时建立数学模型,而建立起的数学模型只是复杂客观现象的近似描述,存在误差。数学模型与实际问题之间出现的这种误差被称为模型误差

    2、观测误差:由于工具精度和测量手段的限制,由观测或实验得来的物理量存在误差。由观测产生的误差称为观测误差参量误差

    3、截断误差:数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差,又称为方法误差

    例如:用 sin ⁡ x \sin x sinx 的泰勒展开式的部分和 S n ( x ) S_n(x) Sn(x) 来近似替代 sin ⁡ x \sin x sinx ,其余项 R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 就是真值的截断误差。
    sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 + ⋯ ≈ x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 = S 5 ( x ) \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\approx x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5=S_5(x) sinx=x3!1x3+5!1x57!1x7+x3!1x3+5!1x5=S5(x)

    R 5 ( x ) = sin ⁡ x − S 5 ( x ) = − 1 7 ! x 7 + 1 9 ! x 9 − ⋯ R_5(x)=\sin x-S_5(x)=-\frac{1}{7!}x^7+\frac{1}{9!}x^9-\cdots R5(x)=sinxS5(x)=7!1x7+9!1x9

    4、舍入误差:由于计算机位数有限,计算时只能对超过位数的数字进行四舍五入,由此产生的误差称为舍入误差。舍入误差的积累可能是十分惊人的。

    截断误差舍入误差是由计算方法所引起的,是数值计算方法的主要研究对象。

    绝对误差、相对误差和有效数字

    绝对误差与绝对误差限

    设某一量的精确值为 x x x ,其近似值为 x ∗ x^* x ,则称:
    e ∗ ( x ) = x − x ∗ e^*(x)=x-x^* e(x)=xx
    为近似值 x ∗ x^* x绝对误差,简称误差

    一般地,某一量的精确值 x x x 是不知道的,因而 e ∗ ( x ) e^*(x) e(x) 也无法求出,但往往可以估计出 e ∗ ( x ) e^*(x) e(x) 的上界:

    即存在正数 ε ∗ \varepsilon^* ε ,使得
    ∣ e ∗ ( x ) ∣ = ∣ x − x ∗ ∣ ≤ ε ∗ |e^*(x)|=|x-x^*|\leq\varepsilon^* e(x)=xxε
    ε ∗ \varepsilon^* ε 为近似值 x ∗ x^* x绝对误差限 ,简称误差限精度

    ε ∗ \varepsilon^* ε 越小,表示近似值 x ∗ x^* x 的精度越高。

    工程技术中,通常的表示是: x x x = x ∗ x^* x ± \pm ± ε ∗ \varepsilon^* ε,绝对误差是有量纲的。

    例如: v v v =(100 ± \pm ± 2) V 表示 v ∗ v^* v =100 V 是电压 v v v 的一个近似值,而 2 V 是近似值 v ∗ v^* v 的一个绝对误差限,即:
    ∣ v − v ∗ ∣ ≤ 2 V . |v-v^*|\leq2V. vv2V.

    相对误差与相对误差限

    称绝对误差与精确值之比为相对误差,即:
    e r ( x ) = e ∗ ( x ) x = x − x ∗ x e_r(x)=\frac{e^*(x)}{x}=\frac{x-x^*}{x} er(x)=xe(x)=xxx
    其中 x ∗ x^* x x x x 的近似值, e ∗ ( x ) e^*(x) e(x) 为绝对误差。

    实际计算中,精确值 x x x 往往是不知道的,并且:
    e ∗ ( x ) x − e ∗ ( x ) x ∗ = e ∗ ( x ) ( x ∗ − x ) x x ∗ = − [ e ∗ ( x ) ] 2 [ x ∗ + e ∗ ( x ) ] x ∗ = − [ e ∗ ( x ) x ∗ ] 2 1 + e ∗ ( x ) x ∗ \frac{e^*(x)}{x}-\frac{e^*(x)}{x^*}=\frac{e^*(x)(x^*-x)}{xx^*}=\frac{-[e^*(x)]^2}{[x^*+e^*(x)]x^*}=\frac{-[\frac{e^*(x)}{x^*}]^2}{1+\frac{e^*(x)}{x^*}} xe(x)xe(x)=xxe(x)(xx)=[x+e(x)]x[e(x)]2=1+xe(x)[xe(x)]2
    这项是 e ∗ ( x ) x ∗ \frac{e^*(x)}{x^*} xe(x) 的平方级,为无穷小量,可忽略不计,所以相对误差也可写作:
    e r ∗ ( x ) = e ∗ ( x ) x ∗ = x − x ∗ x ∗ e_r^*(x)=\frac{e^*(x)}{x^*}=\frac{x-x^*}{x^*} er(x)=xe(x)=xxx
    相对误差同样存在相对误差限,若存在正数 ε r ∗ \varepsilon_r^* εr ,使得:
    ∣ e r ∗ ( x ) ∣ = ∣ e ∗ ( x ) x ∗ ∣ = ∣ x − x ∗ x ∗ ∣ ≤ ε r ∗ |e_r^*(x)|=|\frac{e^*(x)}{x^*}|=|\frac{x-x^*}{x^*}|\leq\varepsilon_r^* er(x)=xe(x)=xxxεr
    则称 ε r ∗ \varepsilon_r^* εr 为近似值 x ∗ x^* x相对误差限,相对误差是无量纲的,通常用百分比表示,也称百分误差

    例如, x 1 x_1 x1 = 100 ± \pm ± 2的近似值 x 1 ∗ x_1^* x1 = 100的相对误差为
    ∣ e r ∗ ( x 1 ) ∣ = ∣ e ∗ ( x 1 ) x 1 ∗ ∣ ≤ 2 100 = 2 % |e_r^*(x_1)|=|\frac{e^*(x_1)}{x_1^*}|\leq\frac{2}{100}=2\% er(x1)=x1e(x1)1002=2%
    x 2 x_2 x2 = 10 ± \pm ± 1的近似值 x 2 ∗ x_2^* x2 = 10的相对误差为
    ∣ e r ∗ ( x 2 ) ∣ = ∣ e ∗ ( x 2 ) x 2 ∗ ∣ ≤ 1 10 = 10 % |e_r^*(x_2)|=|\frac{e^*(x_2)}{x_2^*}|\leq\frac{1}{10}=10\% er(x2)=x2e(x2)101=10%
    因此,从相对误差来看,近似值 x 1 ∗ x_1^* x1 x 2 ∗ x_2^* x2 的准确程度好得多。

    有效数字与有效数字位数

    当准确值 x x x 有很多位数时,我们常按四舍五入的原则得到 x x x 的近似值 x ∗ x^* x

    有效数字:若近似值 x ∗ x^* x 的绝对误差是某一位的半个单位,就称其“准确”到这一位,且从该位直到 x ∗ x^* x 的第一位非零数字共有 n n n有效数字。例如,358.467、0.00427511、8.000034的具有5位有效数字的近似值分别是358.47、0.0042751、8.0000。有效数字尾部的零不能随意省去,以免损失精度。

    有效数字、绝对误差、相对误差之间的关系

    近似值 x ∗ x^* x 具有 n n n 位有效数字的科学计数法:
    x ∗ = ± ( a 1 × 1 0 − 1 + a 2 × 1 0 − 2 + ⋯ + a n × 1 0 − n ) × 1 0 m + 1 = ± 1 0 m × ( a 1 + a 2 × 1 0 − 1 + ⋯ + a n × 1 0 − ( n − 1 ) ) x^*=\pm(a_1\times10^{-1}+a_2\times10^{-2}+\cdots+a_n\times10^{-n})\times10^{m+1}=\pm10^m\times(a_1+a_2\times10^{-1}+\cdots+a_n\times10^{-(n-1)}) x=±(a1×101+a2×102++an×10n)×10m+1=±10m×(a1+a2×101++an×10(n1))
    其中 a 1 a_1 a1 ≠ \neq = 0, a 2 a_2 a2, ⋯ \cdots , a n a_n an:0~9.

    则其绝对误差满足:
    ∣ x ∗ − x ∣ ≤ 1 2 × 1 0 m − n + 1 |x^*-x|\leq\frac{1}{2}\times10^{m-n+1} xx21×10mn+1
    a 1 × 1 0 m ≤ ∣ x ∗ ∣ ≤ ( a 1 + 1 ) × 1 0 m a_1\times10^m\leq|x^*|\leq(a_1+1)\times10^m a1×10mx(a1+1)×10m,可知:
    ∣ e r ∗ ( x ) ∣ = ∣ x − x ∗ x ∣ ≤ 1 2 × 1 0 m − n + 1 a 1 × 1 0 m = 1 2 a 1 × 1 0 − n + 1 |e_r^*(x)|=|\frac{x-x^*}{x}|\leq\frac{\frac{1}{2}\times10^{m-n+1}}{a_1\times10^m}=\frac{1}{2a_1}\times10^{-n+1} er(x)=xxxa1×10m21×10mn+1=2a11×10n+1
    定理1:若上述的近似值 x ∗ x^* x 具有 n n n 位有效数字,则其相对误差满足不等式:
    ∣ e r ∗ ( x ) ∣ ≤ 1 2 a 1 × 1 0 − n + 1 |e_r^*(x)|\leq\frac{1}{2a_1}\times10^{-n+1} er(x)2a11×10n+1
    其中 a 1 a_1 a1 x ∗ x^* x 的第一个非零数字。

    定理2:若近似值 x ∗ x^* x 的相对误差满足不等式:
    ∣ e r ∗ ( x ) ∣ ≤ 1 2 ( a 1 + 1 ) × 1 0 − n + 1 |e_r^*(x)|\leq\frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-n+1} er(x)2a1+11×10n+1
    其中 a 1 a_1 a1 x ∗ x^* x 的第一个非零数字,则它至少有 n n n 位有效数字。

    对同一个数的近似值,有效数字位数越多,其绝对误差与相对误差越小;反之,绝对误差或相对误差变小,有效数字的位数则变多。

    数值运算中误差传播规律简析

    x 1 ∗ , x 2 ∗ x_1^*,x_2^* x1,x2 分别是 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 的近似值, y ∗ = f ( x 1 ∗ , x 2 ∗ ) y^*=f(x_1^*,x_2^*) y=f(x1,x2) 作为 y = f ( x 1 , x 2 ) y=f(x_1,x_2) y=f(x1,x2) 的近似值,其绝对误差和相对误差有(利用泰勒展开式):
    y − y ∗ = f ( x 1 , x 2 ) − f ( x 1 ∗ , x 2 ∗ ) ≈ ( ∂ f ∂ x 1 ) ∗ ( x 1 − x 1 ∗ ) + ( ∂ f ∂ x 2 ) ∗ ( x 2 − x 2 ∗ ) y-y^*=f(x_1,x_2)-f(x_1^*,x_2^*)\approx(\frac{\partial f}{\partial x_1})^*(x_1-x_1^*)+(\frac{\partial f}{\partial x_2})^*(x_2-x_2^*) yy=f(x1,x2)f(x1,x2)(x1f)(x1x1)+(x2f)(x2x2)

    e ∗ ( y ) ≈ ( ∂ f ∂ x 1 ) ∗ e ∗ ( x 1 ) + ( ∂ f ∂ x 2 ) ∗ e ∗ ( x 2 ) e^*(y)\approx(\frac{\partial f}{\partial x_1})^*e^*(x_1)+(\frac{\partial f}{\partial x_2})^*e^*(x_2) e(y)(x1f)e(x1)+(x2f)e(x2)

    ( ∂ f ∂ x 1 ) ∗ = ∂ f ∂ x 1 ∣ ( x 1 ∗ , x 2 ∗ )     ,      ( ∂ f ∂ x 2 ) ∗ = ∂ f ∂ x 2 ∣ ( x 1 ∗ , x 2 ∗ ) (\frac{\partial f}{\partial x_1})^*=\frac{\partial f}{\partial x_1}|_{(x_1^*,x_2^*)}\ \ \ ,\ \ \ \ (\frac{\partial f}{\partial x_2})^*=\frac{\partial f}{\partial x_2}|_{(x_1^*,x_2^*)} (x1f)=x1f(x1,x2)   ,    (x2f)=x2f(x1,x2)

    在近似等式的两边同时除以 y ∗ y^* y ,可得近似值 y ∗ y^* y 的相对误差:
    e r ∗ ( y ) ≈ ( ∂ f ∂ x 1 ) ∗ x 1 ∗ y ∗ e r ∗ ( x 1 ) + ( ∂ f ∂ x 2 ) ∗ x 2 ∗ y ∗ e r ∗ ( x 2 ) e_r^*(y)\approx(\frac{\partial f}{\partial x_1})^*\frac{x_1^*}{y^*}e_r^*(x_1)+(\frac{\partial f}{\partial x_2})^*\frac{x_2^*}{y^*}e_r^*(x_2) er(y)(x1f)yx1er(x1)+(x2f)yx2er(x2)

    数值运算中应注意的几个原则

    选用算法时一般应给遵循以下原则:算法是否稳定;算法的逻辑结构是否简单合理;算法的运算次数和算法的存储量是否尽量少等等。

    1、选用数值稳定性好的算法:舍入误差对计算结果的精确性影响较小的算法,具有较好的数值稳定性,称为稳定的算法。如果算法不稳定,数值计算的结果就会严重背离数学模型的真实结果。因此,在选择数值计算公式来进行近似计算时,应特别注意选用那些在数值计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。

    2、相近两数避免相减:数值计算中,两个相近的数相减将会造成有效数字的严重损失。可通过因式分解、分子分母有理化、三角函数恒等式、其他恒等式、Taylor展开式等计算公式来防止减法运算的出现,得到比较精确的结果。

    3、绝对值相对太小的数不宜作除数:数值计算中,用绝对值太小的数作除数,会使商数量级增加,甚至会在计算机造成“溢出”停机,且当很小的除数稍有一点误差时,会对计算结果影响很大。

    4、警惕大数“吃掉”小数造成的危害:数值计算中参与运算的数有时数量级相差很大,而计算机的位数有限,如不注意运算次序,就很可能导致大数吃掉小数的现象。例如, ( 1 0 12 + 10 ) − 1 0 12 (10^{12}+10)-10^{12} (1012+10)1012 在计算机上计算的结果接近于0,而 ( 1 0 12 − 1 0 12 ) + 10 (10^{12}-10^{12})+10 (10121012)+10 在计算机上计算可得到接近于10的真实结果。

    5、简化计算步骤,减少运算次数:同样一个计算问题,若能选用更为简单的计算公式,减少运算次数,不但可以节省计算量,提高计算速度,还能增加逻辑结构,减少误差积累。

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  • 机器学习常见算法分类

    千次阅读 2021-02-03 19:32:43
    在维基百科上对机器学习提出以下种定义: “机器学习是一门人工智能的科学,该领域的主要研究对象是人工智能,特别是如何在经验学习中改善具体算法的性能”。 “机器学习是对能通过经验自动改进的计算机算法的...

    1 机器学习概念

    1.1 机器学习的定义

    在维基百科上对机器学习提出以下几种定义:

    • “机器学习是一门人工智能的科学,该领域的主要研究对象是人工智能,特别是如何在经验学习中改善具体算法的性能”。
    • “机器学习是对能通过经验自动改进的计算机算法的研究”。
    • “机器学习是用数据或以往的经验,以此优化计算机程序的性能标准。” 一种经常引用的英文定义是:A computer program is said to learn from experience E with respect to some class of tasks T and performance measure P, if its performance at tasks in T, as measured by P, improves with experience E。

    可以看出机器学习强调三个关键词:算法、经验、性能,其处理过程如下图所示。
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    上图表明机器学习是数据通过算法构建出模型并对模型进行评估,评估的性能如果达到要求就拿这个模型来测试其他的数据,如果达不到要求就要调整算法来重新建立模型,再次进行评估,如此循环往复,最终获得满意的经验来处理其他的数据。

    1.2 机器学习的分类

    1.2.1 监督学习

    监督是从给定的训练数据集中学习一个函数(模型),当新的数据到来时,可以根据这个函数(模型)预测结果。监督学习的训练集要求包括输入和输出,也可以说是特征和目标。训练集中的目标是由人标注(标量)的。在监督式学习下,输入数据被称为“训练数据”,每组训练数据有一个明确的标识或结果,如对防垃圾邮件系统中“垃圾邮件”、“非垃圾邮件”,对手写数字识别中的“1”、“2”、“3”等。在建立预测模型时,监督式学习建立一个学习过程,将预测结果与“训练数据”的实际结果进行比较,不断调整预测模型,直到模型的预测结果达到一个预期的准确率。常见的监督学习算法包括回归分析和统计分类:

    • 二元分类是机器学习要解决的基本问题,将测试数据分成两个类,如垃圾邮件的判别、房贷是否允许等问题的判断。
    • 多元分类是二元分类的逻辑延伸。例如,在因特网的流分类的情况下,根据问题的分类,网页可以被归类为体育、新闻、技术等,依此类推。
      监督学习常常用于分类,因为目标往往是让计算机去学习我们已经创建好的分类系统。数字识别再一次成为分类学习的常见样本。一般来说,对于那些有用的分类系统和容易判断的分类系统,分类学习都适用。

    监督学习是训练神经网络和决策树的最常见技术。神经网络和决策树技术高度依赖于事先确定的分类系统给出的信息。对于神经网络来说,分类系统用于判断网络的错误,然后调整网络去适应它;对于决策树,分类系统用来判断哪些属性提供了最多的信息,如此一来可以用它解决分类系统的问题。
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    1.2.2 无监督学习

    与监督学习相比,无监督学习的训练集没有人为标注的结果。在非监督式学习中,数据并不被特别标识,学习模型是为了推断出数据的一些内在结构。常见的应用场景包括关联规则的学习以及聚类等。常见算法包括Apriori算法和k-Means算法。这类学习类型的目标不是让效用函数最大化,而是找到训练数据中的近似点。聚类常常能发现那些与假设匹配的相当好的直观分类,例如基于人口统计的聚合个体可能会在一个群体中形成一个富有的聚合,以及其他的贫穷的聚合。

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    非监督学习看起来非常困难:目标是我们不告诉计算机怎么做,而是让它(计算机)自己去学习怎样做一些事情。非监督学习一般有两种思路:第一种思路是在指导Agent时不为其指定明确的分类,而是在成功时采用某种形式的激励制度。需要注意的是,这类训练通常会置于决策问题的框架里,因为它的目标不是产生一个分类系统,而是做出最大回报的决定。这种思路很好地概括了现实世界,Agent可以对那些正确的行为做出激励,并对其他的行为进行处罚。
    因为无监督学习假定没有事先分类的样本,这在一些情况下会非常强大,例如,我们的分类方法可能并非最佳选择。在这方面一个突出的例子是Backgammon(西洋双陆棋)游戏,有一系列计算机程序(例如neuro-gammon和TD-gammon)通过非监督学习自己一遍又一遍地玩这个游戏,变得比最强的人类棋手还要出色。这些程序发现的一些原则甚至令双陆棋专家都感到惊讶,并且它们比那些使用预分类样本训练的双陆棋程序工作得更出色。

    1.2.3 半监督学习

    半监督学习(Semi-supervised Learning)是介于监督学习与无监督学习之间一种机器学习方式,是模式识别和机器学习领域研究的重点问题。它主要考虑如何利用少量的标注样本和大量的未标注样本进行训练和分类的问题。半监督学习对于减少标注代价,提高学习机器性能具有非常重大的实际意义。主要算法有五类:基于概率的算法;在现有监督算法基础上进行修改的方法;直接依赖于聚类假设的方法等,在此学习方式下,输入数据部分被标识,部分没有被标识,这种学习模型可以用来进行预测,但是模型首先需要学习数据的内在结构以便合理地组织数据来进行预测。应用场景包括分类和回归,算法包括一些对常用监督式学习算法的延伸,这些算法首先试图对未标识数据进行建模,在此基础上再对标识的数据进行预测,如图论推理算法(Graph Inference)或者拉普拉斯支持向量机(Laplacian SVM)等。
    半监督学习分类算法提出的时间比较短,还有许多方面没有更深入的研究。半监督学习从诞生以来,主要用于处理人工合成数据,无噪声干扰的样本数据是当前大部分半监督学习方法使用的数据,而在实际生活中用到的数据却大部分不是无干扰的,通常都比较难以得到纯样本数据。

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    1.2.4 强化学习

    强化学习通过观察来学习动作的完成,每个动作都会对环境有所影响,学习对象根据观察到的周围环境的反馈来做出判断。在这种学习模式下,输入数据作为对模型的反馈,不像监督模型那样,输入数据仅仅是作为一个检查模型对错的方式,在强化学习下,输入数据直接反馈到模型,模型必须对此立刻做出调整。常见的应用场景包括动态系统以及机器人控制等。常见算法包括Q-Learning 以及时间差学习(Temporal difference learning)。

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    在企业数据应用的场景下,人们最常用的可能就是监督式学习和非监督式学习的模型。在图像识别等领域,由于存在大量的非标识的数据和少量的可标识数据,目前半监督式学习是一个很热的话题。而强化学习更多地应用在机器人控制及其他需要进行系统控制的领域。

    1.3 机器学习的常见算法

    常见的机器学习算法有:

    • 构造条件概率:回归分析和统计分类;
    • 人工神经网络;
    • 决策树;
    • 高斯过程回归;
    • 线性判别分析;
    • 最近邻居法;
    • 感知器;
    • 径向基函数核;
    • 支持向量机;
    • 通过再生模型构造概率密度函数;
    • 最大期望算法;
    • graphical model:包括贝叶斯网和Markov随机场;
    • Generative Topographic Mapping;
    • 近似推断技术;
    • 马尔可夫链蒙特卡罗方法;
    • 变分法;
    • 最优化:大多数以上方法,直接或者间接使用最优化算法。

    根据算法的功能和形式的类似性,我们可以把算法分类,比如说基于树的算法,基于神经网络的算法等等。当然,机器学习的范围非常庞大,有些算法很难明确归类到某一类。而对于有些分类来说,同一分类的算法可以针对不同类型的问题,下面用一些相对比较容易理解的方式来解析一些主要的机器学习算法:

    1.3.1 回归算法

    回归算法是试图采用对误差的衡量来探索变量之间的关系的一类算法。回归算法是统计机器学习的利器。在机器学习领域,人们说起回归,有时候是指一类问题,有时候是指一类算法,这一点常常会使初学者有所困惑。常见的回归算法包括:最小二乘法(Ordinary Least Square),逻辑回归(Logistic Regression),逐步式回归(Stepwise Regression),多元自适应回归样条(Multivariate Adaptive Regression Splines)以及本地散点平滑估计(Locally Estimated Scatterplot Smoothing)。
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    1.3.2 基于实例的算法

    基于实例的算法常常用来对决策问题建立模型,这样的模型常常先选取一批样本数据,然后根据某些近似性把新数据与样本数据进行比较。通过这种方式来寻找最佳的匹配。因此,基于实例的算法常常也被称为“赢家通吃”学习或者“基于记忆的学习”。常见的算法包括 k-Nearest Neighbor (KNN),、学习矢量量化(Learning Vector Quantization, LVQ)以及自组织映射算法(Self-Organizing Map,SOM)
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    1.3.3 正则化方法

    正则化方法是其他算法(通常是回归算法)的延伸,根据算法的复杂度对算法进行调整。正则化方法通常对简单模型予以奖励而对复杂算法予以惩罚。常见的算法包括:Ridge Regression、Least Absolute Shrinkage and Selection Operator(LASSO)以及弹性网络(Elastic Net)。
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    1.3.4 决策树学习

    决策树算法根据数据的属性采用树状结构建立决策模型, 决策树模型常常用来解决分类和回归问题。常见的算法包括:分类及回归树(Classification And Regression Tree, CART)、 ID3 (Iterative Dichotomiser 3)、C4.5、Chi-squared Automatic Interaction Detection (CHAID)、Decision Stump、机森林(Random Forest)、多元自适应回归样条(MARS)以及梯度推进机(Gradient Boosting Machine,GBM)。
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    1.3.5 贝叶斯学习

    贝叶斯方法算法是基于贝叶斯定理的一类算法,主要用来解决分类和回归问题。常见算法包括:朴素贝叶斯算法、平均单依赖估计(Averaged One-Dependence Estimators, AODE)以及 Bayesian Belief Network(BBN)。
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    1.3.6 基于核的算法

    基于核的算法中最著名的莫过于支持向量机(SVM)了。基于核的算法把输入数据映射到一个高阶的向量空间, 在这些高阶向量空间里, 有些分类或者回归问题能够更容易解决。 常见的基于核的算法包括:支持向量机(Support Vector Machine,SVM)、径向基函数(Radial Basis Function,RBF)以及线性判别分析(Linear Discriminate Analysis,LDA)等。
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    1.3.7 聚类算法

    聚类就像回归一样,有时候人们描述的是一类问题,有时候描述的是一类算法。聚类算法通常按照中心点或者分层的方式对输入数据进行归并。所有的聚类算法都试图找到数据的内在结构,以便按照最大的共同点将数据进行归类。常见的聚类算法包括 k-Means 算法以及期望最大化算法(Expectation Maximization,EM)。
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    1.3.8 关联规则学习

    关联规则学习通过寻找最能够解释数据变量之间关系的规则,来找出大量多元数据集中有用的关联规则。常见算法包括 Apriori 算法和 Eclat 算法等。
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    1.3.9 人工神经网络算法

    人工神经网络算法模拟生物神经网络,是一类模式匹配算法。通常用于解决分类和回归问题。人工神经网络是机器学习的一个庞大的分支,有几百种不同的算法(其中深度学习就是其中的一类算法,我们会单独讨论)。重要的人工神经网络算法包括:感知器神经网络(Perceptron Neural Network)、反向传递(Back Propagation)、Hopfield 网络、自组织映射(Self-Organizing Map, SOM)、学习矢量量化(Learning Vector Quantization,LVQ)。
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    1.3.10 深度学习算法

    深度学习算法是对人工神经网络的发展,在近期赢得了很多关注,特别是百度也开始发力深度学习后,更是在国内引起了很多关注。在计算能力变得日益廉价的今天,深度学习试图建立大得多也复杂得多的神经网络。很多深度学习的算法是半监督式学习算法,用来处理存在少量未标识数据的大数据集。常见的深度学习算法包括:受限波尔兹曼机(Restricted Boltzmann Machine, RBN)、 Deep Belief Networks(DBN)、卷积网络(Convolutional Network)、堆栈式自动编码器(Stacked Auto-encoders)。
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    1.3.11 降低维度算法

    像聚类算法一样,降低维度算法试图分析数据的内在结构,不过降低维度算法是以非监督学习的方式,试图利用较少的信息来归纳或者解释数据。这类算法可以用于高维数据的可视化或者用来简化数据以便监督式学习使用。常见的算法包括:主成份分析(Principle Component Analysis, PCA)、偏最小二乘回归(Partial Least Square Regression,PLS)、 Sammon 映射、多维尺度(Multi-Dimensional Scaling, MDS)、投影追踪(Projection Pursuit)等。
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    1.3.12 集成算法

    集成算法用一些相对较弱的学习模型独立地对同样的样本进行训练,然后把结果整合起来进行整体预测。集成算法的主要难点在于究竟集成哪些独立的较弱的学习模型以及如何把学习结果整合起来。这是一类非常强大的算法,同时也非常流行。常见的算法包括:Boosting、Bootstrapped Aggregation(Bagging)、AdaBoost、堆叠泛化(Stacked Generalization, Blending)、梯度推进机(Gradient Boosting Machine, GBM)、随机森林(Random Forest)。
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    参考:https://blog.csdn.net/yirenboy/article/details/47844663 

    https://github.com/Wasabi1234/Spark-MLlib-Tutorial

    https://cloud.tencent.com/developer/article/1411034

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  • 数值计算中的误差

    千次阅读 2020-12-01 22:20:36
    7、定理1.1—— 8、基本运算中的误差估计: 和、差、积、商的误差公式如下 由上式可得出 因此,和差的误差限不超过各数的误差限之和,积商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和。 9、算法的数值稳定性:对于同一...

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    1、数值计算方法:是研究解数学问题(数学模型)近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支,由于所研究的数学问题往往来源于科学研究与工程计算问题,故数值计算方法也称为也称为科学计算方法。数值计算与模拟已成为与理论研究、科学实验同样重要和有效的第三种手段。

    2、误差:实际问题的精确解与数值计算所得到的近似解之间的差别。在科学计算中误差不可避免,用数学方法解决实际问题时,通常按照以下过程进行,实际问题(抽象简化)——>数学模型(数值计算)——>问题近似解。

    3、误差的类型

    • 模型误差——实际问题的解与数学模型的解之差;
    • 观测误差——对于数学问题中所出现的一些参量,观测不可能绝对准确;
    • 截断误差——一般问题通常难以求出精确解,需要简化为较易求解的问题,以简化问题的解作为原问题解的近似。比如求一个收敛的无穷级数之和,总是用它的部分和作为近似值,截去该级数后面的无穷多项;
    • 舍入误差——在计算的过程中往往要对数字进行舍入,如受机器字长的限制,无穷小数和位数很多的数必须舍入成一定的位数。

    4、绝对误差:设x* 准确值的一个近似值,称e( x* ) = x - x* 为近似值x* 的绝对误差,简称误差。估计出的误差绝对值的一个上界ε称为近似值x*绝对误差限,简称误差限,满足公式 | e(x* ) | = | x - x* | ≤ ε。并且误差限并不唯一。

    5、相对误差:设x* 准确值的一个近似值,称绝对误差与准确值之比为近似值x* 为近似值x* 的相对误差,记为
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    同样,相对误差也只能估计其上限,如果存在正数εr使得

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    则称ε(r )为x*相对误差限

    6、有效数字:是近似值的一种表示方法,既能表示近似值的大小,又能表示其精度。如果近似值x*的误差限是1/2 x 10 -n,则称 x* 准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到到这一位的所有数字均成为有效数字。一般的,如果近似值x * 的规格化形式为
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    其中m为整数,a1≠0,ai为0-9之间的整数,且| x - x* | ≤ 1/2 x 10m-n。称x* 有n位有效数字。

    7、定理1.1——
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    8、基本运算中的误差估计
    和、差、积、商的误差公式如下
    在这里插入图片描述
    由上式可得出
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    因此,和差的误差限不超过各数的误差限之和,积商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和。

    9、算法的数值稳定性:对于同一数学问题,使用的算法不同,效果也大不相同,称计算过程中舍入误差不增长的算法具有数值稳定性,否则就是数值不稳定的,选用数值稳定性好的算法才能求得比较准确的结果。

    10、数值计算中应注意的问题

    1. 避免两个相近的数相减——当两个数x、y很接近时,u=x-y的相对误差很大,有效数字位数将严重丢失;
    2. 避免大数“吞掉”小数——采用由小到大的运算过程;
    3. 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
    4. 简化计算,减少运算次数,提高效率——比如计算多项式时改写成下式只需做n次乘法和n次加法;
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    5. 选用数值稳定性好的算法
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