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  • 常见的状态函数有哪些
    千次阅读
    2021-04-18 06:59:50

    传递函数:在零初始条件下,线性定常系统输出象函数X0(s)与输入象函数Xi(s)之比,称为系统的传递函数,用G(s)表示。

    传递函数的概念只适用于线性定常系统。

    2d73270429156eb0580aee80f26dde25.png

    状态空间模型:系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组(状态空间表达式)来描述,能同时给出系统全部独立变量的响应,因而能同时确定系统发全部内部运动状态。状态空间模型即状态空间表达式,包括状态方程和输出方程,

    9d15e6be51d0d7d307d00227cacaa94b.png

    8f71dd2a1452c388bb37cb79d890759f.png  ,A:系统矩阵,B:输入矩阵,C:输出矩阵,D:直传矩阵

    状态空间表达式构成对一个系统动态行为的完整描述。

    MATLAB对于控制方面的问题可以很好的进行仿真

    1、传递函数变换为状态空间方程,其调用格式为:[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

    例:94c3973e5023405050e69d46255cb9ce.png,num=[0,1,2,3],den=[1,3,3,1],[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

    2、状态空间方程变换为传递函数,其调用格式为:[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu),iu表示多输入时输入的编号

    3、利用matlab由状态空间表达式建立状态空间模型,其调用格式为:

    sys=ss(A,B,C,D),sys为连续系统的状态空间模型;

    sys=ss(A,B,C,D,Ts),sys为离散系统的状态空间模型,Ts为采样时间。

    4、利用matlab由传递函数建立状态空间模型,其调用格式为:sys=tf(num,den)

    5、任意输入和初始状态下系统响应的调用格式:

    [y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0),u为输入,t为时间(0:0.01:3),x0为初始状态

    6、对系统离散化的调用格式:

    [G,H]=czd(A,B,Ts),Ts为采样周期

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  • 四种常见激活函数

    千次阅读 2021-01-16 23:15:13
    1、relu函数 Relu激活函数的解析式 Relu函数及其导数的图像如下图所示: Relu激活函数优点: 当输入 x<0 时,输出为 0,当 x> 0 时,输出为 x。该激活函数使网络更快速地收敛。它不会饱和,即它可以对抗梯度...

    原文

    1、relu函数

    Relu激活函数的解析式
    在这里插入图片描述
    Relu函数及其导数的图像如下图所示:
    在这里插入图片描述
    Relu激活函数优点:
    当输入 x<0 时,输出为 0,当 x> 0 时,输出为 x。该激活函数使网络更快速地收敛。它不会饱和,即它可以对抗梯度消失问题,至少在正区域(x> 0 时)可以这样,因此神经元至少在一半区域中不会把所有零进行反向传播。由于使用了简单的阈值化(thresholding),ReLU 计算效率很高。
    Relu激活函数缺点:
    (1)不以零为中心:和 Sigmoid 激活函数类似,ReLU 函数的输出不以零为中心。
    (2)前向传导(forward pass)过程中,如果 x < 0,则神经元保持非激活状态,且在后向传导(backward pass)中「杀死」梯度。这样权重无法得到更新,网络无法学习。当 x = 0 时,该点的梯度未定义,但是这个问题在实现中得到了解决,通过采用左侧或右侧的梯度的方式。

    2、sigmoid函数

    Sigmoid激活函数的解析式
    在这里插入图片描述
    sigmoid函数及其导数的图像如下图所示:

    在这里插入图片描述

    sigmoid函数也叫Logistic函数,用于隐藏层的输出,输出在(0,1)之间,它可以将一个实数映射到(0,1)的范围内,可以用来做二分类。常用于:在特征相差比较复杂或是相差不是特别大的时候效果比较好。该函数将大的负数转换成0,将大的正数转换为1。
    sigmoid函数的缺点:

    (1)梯度消失:Sigmoid 函数趋近 0 和 1 的时候变化率会变得平坦,也就是说,Sigmoid 的梯度趋近于 0。神经网络使用 Sigmoid 激活函数进行反向传播时,输出接近 0 或 1 的神经元其梯度趋近于 0。这些神经元叫作饱和神经元。因此,这些神经元的权重不会更新。此外,与此类神经元相连的神经元的权重也更新得很慢。该问题叫作梯度消失。因此,想象一下,如果一个大型神经网络包含 Sigmoid 神经元,而其中很多个都处于饱和状态,那么该网络无法执行反向传播。
    (2)不以零为中心:Sigmoid 输出不以零为中心的。
    (3)计算成本高昂:exp() 函数与其他非线性激活函数相比,计算成本高昂。

    3、tanh函数

    tanh激活函数的解析式
    在这里插入图片描述
    tanh函数及其导数的图像如下图所示:

    在这里插入图片描述
    与 Sigmoid 函数类似,Tanh 函数也使用真值,但 Tanh 函数将其压缩至-1 到 1 的区间内。与 Sigmoid 不同,Tanh 函数的输出以零为中心,因为区间在-1 到 1 之间。你可以将 Tanh 函数想象成两个 Sigmoid 函数放在一起。在实践中,Tanh 函数的使用优先性高于 Sigmoid 函数。负数输入被当作负值,零输入值的映射接近零,正数输入被当作正值。

    优点:它解决了Sigmoid函数的不是zero-centered输出问题。
    缺点:梯度消失(gradient vanishing)的问题和幂运算的问题仍然存在。
    为了解决梯度消失问题,我们来讨论另一个非线性激活函数——修正线性单元(rectified linear unit,ReLU),该函数明显优于前面两个函数,是现在使用最广泛的函数。

    4、Leaky Relu函数

    Leaky Relu激活函数的解析式
    在这里插入图片描述
    Leaky Relu函数及其导数的图像如下图所示:
    在这里插入图片描述
    Leaky ReLU 的概念是:当 x < 0 时,它得到 0.01 的正梯度。

    优点:该函数一定程度上缓解了 dead ReLU 问题。
    缺点:
    (1)使用该函数的结果并不连贯。尽管它具备 ReLU 激活函数的所有特征,如计算高效、快速收敛、在正区域内不会饱和。
    (2)Leaky ReLU 可以得到更多扩展。不让 x 乘常数项,而是让 x 乘超参数,这看起来比 Leaky ReLU 效果要好。该扩展就是 Parametric ReLU。

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  • 强化学习的状态函数状态动作值函数

    万次阅读 多人点赞 2019-08-23 20:16:22
    在本文中,我们将学习贝尔曼方程和价值函数。 回报和返还(return) 正如前面所讨论的,强化学习agent如何最大化累积未来的回报。用于描述累积未来回报的词是返还,通常用R表示。我们还使用一个下标t来表示某个时间...

    在本文中,我们将学习贝尔曼方程和价值函数。

    回报和返还(return)
    正如前面所讨论的,强化学习agent如何最大化累积未来的回报。用于描述累积未来回报的词是返还,通常用R表示。我们还使用一个下标t来表示某个时间步长的返还。在数学符号中,它是这样的:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    如果我们让这个级数趋于无穷,那么我们最终会得到无限的返还,这对于问题的定义并没有太大意义。因此,只有在我们期望返还的级数终止时,这个方程才有意义。我们将这种总是终止的任务称为“插曲式”(episodic)。纸牌游戏是解释“插曲式”问题的好例子。“插曲”开始于对每个人发牌,并且不可避免地会随着游戏规则的不同而结束。然后,下一“插曲”又开始了另一回合的游戏。

    相比使用未来的累积回报作为返还,更常见的是使用未来的累积折现回报(cumulative discounted reward):

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    其中0<γ<1。以这种方式定义返还的两个好处是,返还在无穷级数中得到了很好的定义,而且它把更大的权重给了更早的回报,这意味着我们更关心即将得到的回报,而不是将来会得到更多的回报。我们为γ选择的值越小就越正确。这种情况在我们让γ等于0或1时就可以看到。如果γ等于1,这个方程就变成了对所有的回报都同样的关心,无论在什么时候。另一方面,当γ等于0时,我们只关心眼前的回报,而不关心以后的回报。这将导致我们的算法极其短视。它将学会采取目前最好的行动,但不会考虑行动对未来的影响。

    策略
    一个策略,写成π(s, a),描述了一种行动方式。它是一个函数,能够采取一个状态和一个行动,并返回在那个状态下采取这个行动的概率。因此,对于一个给定的状态,即

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    必须是真实的。在下面的例子中,当我们“饥饿”的时候,我们可以在两种行为之间做出选择,要么“吃”,要么“不吃”。

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    我们的策略应该描述如何在每个状态中采取行动,所以一个等概率的随机策略看起来就像

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    ,在这里

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    (Eat)是行为“吃”,而

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    (Don’t Eat)是“不吃”。这意味着,如果你处于“饥饿”状态,选择“吃”和“不吃”的概率是相等的。

    我们在强化学习中的目标是学习一种最优策略,定义为

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    。最优策略告诉我们如何采取行动来最大化每个状态的返还。因为这是一个很简单的例子,所以很容易看出,在这种情况下,最优策略是在“饥饿”时总是“吃”,那么就是

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    。在这个实例中,对于许多马尔可夫决策来说,最优策略是确定的。每个状态都有一个最优的行动。有时这被写成

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    ,它是从状态到这些状态中的最优行动的映射。

    价值函数
    为了学习最优策略,我们利用了价值函数。在强化学习中有两种类型的价值函数:状态值函数(state value function),用V(s)表示,和行动值函数,用Q(s,a)表示。

    状态值函数在遵循策略时描述一个状态的值。当从状态的行为以我们的策略π开始时,这就是预期的返还。

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    需要注意的是,即使在相同的环境中,价值函数也会根据策略发生变化。这是因为状态的价值取决于你的行动,因为你在那个特定的状态下的行动会影响你期望看到的回报。同时还要注意期望的重要性。期望(expectation)就像一个平均值;它就是你期望看到的返还。我们使用期望的原因是当你到达一个状态后会发生一些随机事件。你可能有一个随机的策略,这意味着我们需要把我们采取的所有不同行动的结果结合起来。此外,转换函数(transition function)可以是随机的,也就是说,我们可能不会以100%的概率结束任何状态。请记住上面的例子:当你选择一个行动时,环境将返回下一个状态。即使给出一个行动,也可能会有多个状态返还。当我们看贝尔曼方程时,会看到更多这样的情况。期望将所有这些随机因素考虑在内。

    我们将使用的另一个价值函数是行动值函数。行动值函数告诉我们当跟随某个策略时,在某些状态下执行某个行动的值。给出状态和在π下的行动,这是期望的返还:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    对状态值函数的注释同样适用于行动值函数。根据该策略,期望将考虑未来行动的随机性,以及来自环境的返还状态的随机性。

    贝尔曼方程
    理查德·贝尔曼推导出了以下公式,让我们可以开始解决这些马尔可夫决策问题。贝尔曼方程在强化学习中无处不在,对于理解强化算法的工作原理是非常必要的。但在我们了解贝尔曼方程之前,我们需要一个更有用的符号,定义为

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    ,如下所示:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    是过渡概率。如果我们从状态s开始,然后采取行动a,我们就会得到状态

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    和概率

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    是另一种写为期望(或平均)回报的方式,我们从状态s开始,采取行动a,然后移动到状态

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    最后,有了这些条件,我们就可以推导出贝尔曼方程了。我们将考虑贝尔曼方程的状态值函数。根据返还的定义,我们可以重写方程(1),如下所示:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    如果我们从求和中得到第一个回报,我们可以这样重写它:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    这里的期望描述的是,如果我们继续遵循策略π的状态s,我们期望返还的是什么。通过对所有可能的行动和所有可能的返还状态的求和,可以明确地编写为期望。下面的两个方程可以帮助我们完成下一个步骤。

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    通过在这两个部分之间分配期望,我们就可以把我们的方程转化成:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    注意,方程(1)与这个方程的末尾形式相同。我们可以替换它,得到:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    贝尔曼方程的行动值函数可以以类似的方式进行推导。本文结尾有具体过程,其结果如下:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    贝尔曼方程的重要性在于,它们让我们表达了其它状态的价值。这意味着,如果我们知道

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    的值,我们可以很容易地计算出

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

    的值。这为计算每个状态值的迭代方法打开了大门,因为如果我们知道下一个状态的值,我们就可以知道当前状态的值。最重要的事情是我们需要记住一些编号方程。最后,在贝尔曼方程中,我们可以开始研究如何计算最优策略,并编码我们的第一个强化学习agent。

    在我们推导出贝尔曼方程的过程中,我们得到了这一系列的方程,从方程(2)开始:

    强化学习系列(下):贝尔曼方程

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  • 传递函数状态空间

    千次阅读 2019-09-21 23:31:37
       传递函数状态空间之间可相互转换,可以使用的matlab函数有 [A,B,C,D] = tf2ss(NUM,DEN) [NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,iu)    传递函数的形式唯一,但状态空间的形式不唯一,可以多种。 1、一阶惯性...

       传递函数与状态空间之间可相互转换,可以使用的matlab函数有

    [A,B,C,D] = tf2ss(NUM,DEN)
    [NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,iu)
    

       传递函数的形式唯一,但状态空间的形式不唯一,可以有多种。

    1、一阶惯性环节

     
    在这里插入图片描述
    时间常数为T,本身为低通滤波器,截止频率wc为1/T,通过伯德图可查看,如设置T=0.1,则

    T = 0.1;
    sys = tf(1,[T 1]);
    bode(sys);
    

    在这里插入图片描述

    a. 离散形式

       设u为输入,x为输出,h为步长,则:

    在这里插入图片描述
    simulink为:
    在这里插入图片描述

    b.状态空间形式

    在这里插入图片描述

    形式1:
    		A = -1/T;
    		B = 1/T;
    		C = 1;
    		D = 0;
    

    即:
    在这里插入图片描述

    形式2:
    		A = -1/T;
    		B = 1;
    		C = 1/T;
    		D = 0;
    

    即:
    在这里插入图片描述

    c.仿真

    在这里插入图片描述
    仿真结果:
    在这里插入图片描述
       传递函数、离散形式及状态空间形式所仿真的结果是一致的。

    2、二阶震荡环节

     
    在这里插入图片描述
       低通滤波器,当阻尼等于0.707时,传递函数的截止频率wc是wn,如wn等于10,bode图如下:
    在这里插入图片描述

    a. 离散形式

       设u为输入,x为输出,h为步长,则:
    在这里插入图片描述
    simulink为:
    在这里插入图片描述

    b. 状态空间

    形式1:
    		A = [0 1;-wn^2 -2*ksi*wn];
    		B = [0;wn^2];
    		C = [1 0];
    		D = 0;
    

    即:
    在这里插入图片描述

    形式2:
    		A = [0 1;-wn^2 -2*ksi*wn];
    		B = [0;1];
    		C = [wn^2 0];
    		D = 0;
    

    即:
    在这里插入图片描述

    c.仿真

    在这里插入图片描述
    仿真结果:
    在这里插入图片描述
       传递函数、离散形式及状态空间形式所仿真的结果是一致的。


    上面两个仿真的simulink模型在此:

    https://download.csdn.net/download/niu_88/11799584


    3、传递函数离散化以及状态空间转换

    可参考此资料:

    https://download.csdn.net/download/niu_88/11799588

    展开全文
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