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  • 2 离散型随机变量概率分布 2.1二项分布 2.2超几何分布 2.2.1 概念 2.2.2 举例 2.3泊松分布 3 连续型随机变量概率分布 3.1均匀分布 3.1.1 概念 3.2 正态分布 3.2.1 概念 3.3指数分布 3.3.1 概念 ...

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    1 基本概念

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    2.2.2 举例

    2.3 泊松分布 

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    3.3.2 举例

    4 参考文献


    1 基本概念

    在之前的博文中,已经明白了概率分布函数和概率密度函数。下面来讲解一下常见的离散型和连续型随机变量概率分布。

    在此之前,介绍几个基本概念:

    • 均值(期望值expected value):\mu=E(x)=\sum xp(x)
    • 方差(variance): \sigma^2=E[(x-\mu)^2]=\sum (x-\mu)^2p(x)
    • 标准差(standard deviation):\sigma =\sqrt {\sigma^2}

    其中,可以证明E[(x-\mu^2)]=E(x^2)-\mu^2

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    如果进行n次不同的实验,每次试验完全相同并且只有两种可能的结果,这样的实验结果分布情况就是二项分布。最简单的比如投掷一枚硬币,不管进行多少次实验,实验结果都只有正面朝上或者反面朝上,这就是一个简单的二项分布。 

    二项分布概率分布:

    p(x)=C_{n}^{x} p^xq^{n-x} \space (x=0,1,2,3···,n)

    其中:n代表n次实验,x表示实验结果为T的次数,q是实验结果为T的概率,q=1-p,表示实验结果为F的概率。

    二项分布的 
    均值:\mu=np
    方差:\sigma^2=npq
    标准差:\sigma=\sqrt {npq}
    二项分布对于结果只有两种情况的随机事件有非常好的描述,属于日常生活中最常见、最简单的随机变量概率分布,在知道某种实验结果概率的情况下,能够很好推断实验次数后发生其中某一结果次数的概率。

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    超几何分布和二项分布比较相似,二项分布每次实验完全一样,而超几何分布前一次的实验结果会影响后面的实验结果。简单地讲,二项分布抽取之后放回元素,而超几何分布是无放回的抽取。 
    超几何分布的概率分布,均值和方差

    p(x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    \mu=\frac{nr}{N}

    \sigma^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}

    2.2.2 举例

    在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?

    解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

    其中N = 30. r = 10. n = 5.

    P(一等奖)= P(X=4)+ P(X=5)

    由公式

     p(X=x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    ,x=0,1,2,...得:

     

     

    P(一等奖) = 106/3393

    2.3 泊松分布 

    2.3.1 概念

    泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

    泊松分布的概率分布,均值和方差: 

    p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\space (x=0,1,2,···)

    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

    \mu=\lambda

    \sigma^2=\lambda

    2.3.2 举例

    采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式: 

     

     

     

    ……

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    均匀概率分布(uniform probability distribution)是指连续随机变量所有可能出现值出现概率都相同。 
    均匀分布 
    均匀分布的概率分布,均值,方差和标准差: 

    f(x)=\frac{1}{b-a}(a\leq x\leq b)

    均值:\mu=\frac{a+b}{2}

    方差:\sigma=\frac{(b-a)^2}{12}
    标准差:\sigma=\frac{b-a}{\sqrt {12}}

    如何求解均值和标准差:

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    正态分布是统计学中常见的一种分布,表现为两边对称,是一种钟型的概率分布(bell curve),其概率密度图为:

    æ­£æåå¸

    概率密度函数为:

     

    其中,\mu是正态随机变量的均值; \sigma是标准差; \pi是圆周率,约等于3.1416··· ;e=2.71828⋅⋅⋅

    特别的,当\mu=0\sigma=1的正态分布,被称为标准正态分布(standard distribution),此时有:

     

    正态分布转化为标准正态分布: 
    正态分布x,均值是μ,标准差是σ,z定义为z=\frac{x-\mu }{\sigma}

    正态分布来近似二项分布 :
    当n足够大的时候,正态分布对于离散型二项分布能够很好地近似。 
    二项分布

    评价正态分布 :
    如何来确定数据是否正态分布,主要有以下几种方法: 
    1. 图形感受法:建立直方图或者枝干图,看图像的形状是否类似正态曲线,既土墩形或者钟形,并且两端对称。 
    2. 计算区间\bar x\pm s,\bar x\pm 2s,\bar x\pm 3s,看落在区间的百分比是否近似于68%,95%,100%。(切比雪夫法则和经验法则) 
    3. 求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s≈1.3.
    4. 建立正态概率图,如果近似正态分布,点会落在一条直线上。 

    æ­£ææ¦çå¾

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。除了用于泊松过程的分析,还有许多其他应用,如以下场景:

    • 世界杯比赛中进球之间的时间间隔
    • 超市客户中心接到顾客来电之间的时间间隔
    • 流星雨发生的时间间隔
    • 机器发生故障之间的时间间隔
    • 癌症病人从确诊到死亡的时间间隔

    指数分布有如下的适用条件: 
    1. x是两个事件发生之间的时间间隔,并且x>0; 
    2. 事件之间是相互独立的; 
    3. 事件发生的频率是稳定的; 
    4. 两个事件不能发生在同一瞬间。

    这几个条件实质上也是使用泊松分布的前提条件。如果满足上述条件,则x是一个指数随机变量,x的分布是一个指数分布。如果不满足上述条件,那么需要使用Weibull分布或者gamma分布。

    指数分布只有一个参数,“λ”,λ是事件发生的频率,在不同的应用场景中可能有不同名称:

    • 事件频率
    • 到达频率
    • 死亡率
    • 故障率
    • 转变率
    • …………

    λ是单元时间内事件发生的次数,这里需要注意的是,单元时间可以是秒,分,小时等不同的单位,同时λ根据单元时间度量的不同,其数值也不一样。如单元时间为1小时,λ为6,则单元时间1分钟,λ为6/60=0.1

    指数分布的概率密度函数(probability density func,PDF)由λ和x(时间)构成:

    f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

    均值:\mu=\frac{1}{\lambda}

    方差:\sigma^2=\frac{1}{\lambda}

    3.3.2 举例

    一个设备出现多次故障的时间间隔记录如下:

    23, 261, 87, 7, 120, 14, 62, 47, 225, 71, 246, 21, 42, 20, 5, 12, 120, 11, 3, 14, 71, 11, 14, 11, 16, 90, 1, 16, 52, 95

    根据上面数据,我们可以计算得到该设备发生故障的平均时间是59.6小时,即单位小时时间内发生故障事件的次数为λ=1/59.6=0.0168。 
    那么该设备在3天(72小时)内出现故障的概率是多大呢?即求P(x<72),这就需要计算指数分布的累积分布函数: 

    P(X<72)=\int_{0}^{72}\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda(72)}=1-e^{-0.0168*72}=0.7017
    也即该设备3天内出现故障的概率大于70%。


    4 参考文献

    【1】统计学:离散型和连续型随机变量的概率分布

    【2】指数分布

     

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  • 离散型随机变量和连续型随机变量及其常见分布

    万次阅读 多人点赞 2018-09-24 15:11:04
    离散型随机变量及其分布率 若随机变量XXX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1​,x2​,...,xn​或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...x1​,x2​,...,xn​,...,则称XXX为离散型随机变量...

    离散型随机变量及其分布率

    若随机变量XX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...,则称XX离散型随机变量

    要掌握一个离散型随机变量XX的统计规律,必须知道XX所有可能取的值以及每一个可能值的概率

    定义:设离散型随机变量XX所有可能的取值为xi(i=1,2,...)x_i(i=1,2,...)XX取各个可能值的概率,即事件{X=xi}\{X=x_i\}的概率为P{X=xi}=pii=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,...则称该式子为离散型随机变量XX的分布律。分布律也常用表格形式表示:

    X x1x_1 x2x_2 ...... xix_i ......
    pip_i p1p_1 p2p_2 ...... pip_i ......

    由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,因此,由离散型随机变量的分布律可以推出分布函数,反之亦然。

    F(x)F(x)是离散型随机变量XX的分布函数,则XX的分布律P{X=xi}=pi0i=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i \geq 0,i=1,2,...易得F(x)=P{Xx}=xixP{X=xi}=xixpiF(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_i \leq x}P\{X=x_i\}=\sum_{x_i \leq x}p_i

    常见的离散型随机变量的概率分布

    1、两点分布 B(1,p)B(1, p)

    若随机变量的XX只能取x1x_1x2x_2,且它的分布律为P{X=x1}=p(0<p<1)P\{X=x_1\}=p,(0 < p < 1)P{X=x2}=1pP\{X=x_2\}=1-pP{X=xi}=(1p)1xipxii=1,2P\{X=x_i\}=(1-p)^{1-x_i}p^{x_i},i=1,2则称XX服从参数为pp的两点分布

    特别地,当x1=1x2=0x_1=1,x_2=0时两点分布也叫(01)(0-1)分布,记为X(0,1)X \thicksim (0,1)分布或XB(1,p)X \thicksim B(1,p)

    2、二项分布 B(n,p)B(n, p)

    若随机变量的XX分布律为P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n则称XX服从参数为np(0<p<1)n,p(0 < p < 1)的二项分布,记为B(n,p)B(n,p)

    这与nn重伯努利试验中事件AA发生kk次的概率计算公式一致Pn(k)=P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP_n(k)=P\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n可知,若XB(n,p)X \thicksim B(n, p)X=kX=k就可以用来表示nn重伯努利试验中事件AA恰好发生kk

    二项分布的近似计算

    ①泊松近似:
    泊松近似即泊松定理
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn很大(n40n\geqslant 40)且pp很小(p0.1p\leqslant 0.1)时,可以用泊松分布来近似拟合二项分布,有XP(k,np)X\sim P(k,np)Cnkpk(1p)nkλkk!eλC_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}其中λ=np\lambda=np

    ②标准正太近似:
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn充分大时,可以用标准正太分布来近似拟合二项分布,有XN(np,np(1p))X\sim N(np,np(1-p))P(a<X<b)Φ(bnpnp(1p))Φ(anpnp(1p))P(a < X < b)\approx \Phi(\frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}})

    拓展
    多项式展开定理:(a+b)n=k=0nCnkakbnk(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k}

    幂级数展开定理:ex=n=0xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

    3、泊松分布 P(k,λ)P(k,\lambda)

    泊松定理:设λ>0\lambda > 0是一常数,nn是正整数。若npn=λnp_n=\lambda,则对任一固定的非负整数kk有:limnCnk(1pn)nkpn=λkk!eλ\lim_{n \to \infty}C_n^k(1-p_n)^{n-k}p_n=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

    若随机变量XX的分布律为P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}则称XX服从参数为λ\lambda的泊松分布,记为XP(λ)X \thicksim P(\lambda)XP(k;λ)X \thicksim P(k;\lambda)

    泊松分布的概率值为:P(k;λ)=P{X=k}=λkk!eλk=0,1,2,...P(k;\lambda) = P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,...

    连续型随机变量及其概率密度函数

    定义:设XX是随机变量,F(X)F(X)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数f(x)f(x),使得对任意的xRx \in R,有:F(x)=P{X}F(x)=P\{X \}则称XX为连续型随机变量,其中f(x)f(x)称为XX的概率密度函数,简称概率密度或密度函数

    概率密度函数的性质

    1. 非负性:f(x)0,xRf(x) \geq 0,x \in R
    2. 规范性:+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1
    3. p{a<Xb}=F(b)F(a)=abf(x)dx,(ab)p\{a < X \leq b\} = F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx,(a \leq b)
    4. f(x)f(x)xx处是连续的,则分布函数的导数等于概率密度函数,即:F(x)=f(x)F'(x)=f(x)
    5. XX是连续型随机变量,对aR\forall a \in R,有P{X=a}=0P\{X=a\}=0,即对于连续型随机变量,取得某一点的概率为0(注意这里的概率为0不代表不可能事件)

    常见的连续型随机变量的概率分布

    1、均匀分布 U[a,b]U[a,b]

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={1ba,axb0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b\\ 0, & otherwise \end{cases}则称XX在区间[a,b][a,b]上服从均匀分布,记为XU[a,b]X\sim U[a,b]

    易知f(x)0f(x) \geqslant 0,并且+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1

    均匀分布中XX的分布函数为F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x) = \begin{cases} 0, & x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & x \geqslant b \end{cases}

    2、指数分布 E(λ)E(\lambda)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={λeλx,x>00,x0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}其中λ>0\lambda > 0为常数

    则称随机变量XX服从参数为λ\lambda(失效率)的指数分布,记为XE(λ)X \sim E(\lambda)

    显然f(x)0f(x) \geqslant 0,且:+f(x)dx=0+λeλxdx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1指数分布中XX的分布函数为:F(x)={1eλx,x>00,x0F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}

    3、正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)=12πσe(xμ2)2σ2,<x<+f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\infty其中μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma > 0)为常数,则称XX服从参数为μ,σ\mu,\sigma的正态分布或高斯分布,记为XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)

    显然 f(x)0f(x) \geqslant 0,且+f(x)dx=+12πσe(xμ2)2σ2dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}}dx = 1

    标准正态分布 N(0,1)N\sim (0,1):
    XN(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),则Y=Xμσ2N(0,1)Y=\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}} \sim N(0, 1)标准正态分布的分布函数:Φ(x)=P(Xx)=12πxeu22du\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^2}{2}}du标准正态分布的概率密度函数:ϕ(x)=12πex22\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}标准正态分布的具体值可以通过查表得知:标准正态分布表

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  • 常见的离散性随机变量:0-1分布、二项分布和泊松分布 3.连续型随机变量 定义 分布函数和概率密度函数 常见的连续型随机变量:均匀分布、正态分布和标准正态分布、指数分布               ...

    本节知识点

    1.随机变量及其分布函数的定义

    2.离散型随机变量

    定义:随机变量可能取得的值是有限个或者可列无限个

    概率分布列

    分布函数

    常见的离散性随机变量:0-1分布、二项分布和泊松分布

    3.连续型随机变量

    定义

    分布函数和概率密度函数

    常见的连续型随机变量:均匀分布、正态分布和标准正态分布、指数分布

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 大纲:常见的离散型概率分布(二项,几何,超几何,泊松)常见的连续型概率分布(指数,正态,均匀)三大抽样分布(卡方,t,F)一些推论和分布之间的关系离散型分布二项分布实验重复n次,每次实验相互独立(伯努利...

    e3423f051858ab442f5a173120e6c4b2.png

    大纲:

    1. 常见的离散型概率分布(二项,几何,超几何,泊松)
    2. 常见的连续型概率分布(指数,正态,均匀)
    3. 三大抽样分布(卡方,t,F)
    4. 一些推论和分布之间的关系

    离散型分布

    • 二项分布

    实验重复n次,每次实验相互独立(伯努利实验),实验有两种结果,成功概率p,失败概率1-p。

    在二项分布中,我们关注的是在n次试验中成功的次数(区别于几何分布)。

    举个栗子:

    当我们要计算抛硬币n次,恰巧有x次正面朝上的概率,可以使用二项分布的公式:

    cf87777f6ca3bf6a8e69d66e6b3d7f8f.png

    二项概率的数学期望为E(x) = np,方差D(x) = np(1-p)。


    • 几何分布

    几何分布(英语:Geometric distribution)指的是以下两种离散型概率分布中的一种:

    • 在伯努利试验中,得到一次成功所需要的试验次数 X
    • 在得到第一次成功之前所经历的失败次数 X
    n重伯努利实验

    在第X次成功的概率:

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    • 超几何分布

    超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件,成功抽出指定种类的物件的个数(不归还 (without replacement))。

    例如:从N个样本中抽取n个,N个中有r个不合格的,求抽到x个不合格样本的概率。

    超几何分布的概率分布,均值和方差:

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    • 泊松分布

    泊松概率的成立条件是在任意两个长度相等的时间区间中,事件发生的概率是相同的,并且事件是否发生都是相互独立的。

    x代表发生x次,u代表发生次数的数学期望,概率函数为:

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    实际计算过程中用这个公式更好理解:

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    t是你要计算的时间区间长度,t=1时即为泊松分布(单位时间),扩展后的函数是泊松过程。

    泊松分布的数学期望和方差相等,因此E(x) = D(x) = λ。


    连续型分布

    • 均匀分布

    在取值区间内出现概率相同(常数)

    概率密度函数,均值和方差:

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    • 指数分布

    指数分布是连续型概率分布!!!放在这里是因为它跟泊松分布关系密切,可以由泊松分布推导而来。

    指数分布是事件的时间间隔的概率。时间间隔大于t,等同于t时间内事件次数为0的概率,而后者的概率可以由泊松过程给出。

    推导过程:

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    指数分布的期望和方差:若以λ为参数,则是E(X)=1/λ D(X)=1/λ²


    • 正态分布

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    正态分布的经验法则:

    均值±标准差:68.3%
    均值±2标准差:95.4%
    均值±3标准差:99.7%

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    抽样分布

    • 点估计和区间估计

    点估计:用样本统计量估计总体参数,未给出估计的可靠程度(置信度)

    区间估计:给定置信水平,以估计值为中心给出真实值可能出现的区间范围。


    • 大数定律和中心极限定理

    大数定律:样本量趋近于无穷时,样本均值收敛到总体期望

    中心极限定理:

    1,样本均值约等于总体均值
    2,抽样次数趋近于无穷时,样本均值围绕总体均值呈现正态分布(无论总体分布是否服从正态分布)

    • 标准差与标准误

    标准差 = 一次抽样中个体分数间的离散程度,反映了个体分数对样本均值的代表性,用于描述统计

    标准误 = 多次抽样中样本均值间的离散程度,反映了样本均值对总体均值的代表性,用于推论统计

    53a010ebc44c26353a90fed9b0d1f595.png

    • 卡方分布

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    概率密度函数及其形状:

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    当自由度n增大时,卡方分布的概率密度函数趋于对称。

    卡方分布的性质:

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    • t分布

    在讲t分布之前先了解下t检验和z检验:

    1. Z-Test 用于大样本(n>30),或总体方差已知;
    2. T-Test 在小样本(n<30),且总体方差未知时,适用性优于Z-Test,而在大样本时,T-Test 与 Z-Test 结论趋同。

    单样本t统计量:由于总体标准差未知,一般用样本标准差S估计总体标准差

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    双样本t统计量:

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    t统计量的分布服从t分布。当样本量无限大时,t分布无限接近于正态分布N(0,1)。

    自由度为n的t分布

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    概率密度函数及其形状:

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    t变量的性质:当n趋向于无穷大时,t变量的极限分布为N(0,1)。


    • F分布

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    概率密度函数及其图形:

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    自由度为m,n的F分布的密度函数

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    F分布的自由度mn是有顺序的, 当m≠n时, 若将自由度mn的顺序颠倒一下, 得到的是两个不同的F分布.

    F变量的性质:

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    几个重要推论和分布间的关系

    • 正态变量线性函数的分布

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    • 正态变量样本均值和样本方差的分布

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    • 一些推论

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    参考资料:

    小白都能看懂的95%置信区间_bitcarmanlee的博客-CSDN博客

    https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82656691

    《商务与经济统计》学习笔记(七)-各统计分布知识点归纳_天阑之蓝的博客-CSDN博客

    如何七周成为数据分析师15:读了本文,你就懂了概率分布 | 人人都是产品经理

    展开全文
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    2021-02-02 09:44:14
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